CA:C'A'::CS:C'S

relation qui apprend que les rayons CA et C'A' sont toujours parallèles, ce qui ne peut convenir qu'aux deux points de concours des couples de tangentes extérieures ou intérieures, communes aux cercles (C) et (C), soit que ces tangentes subsistent ou ne subsistent pas.

62. Ces deux démonstrations comprennent évidemment tous les cas possibles; car, d'après la propriété dont jouit le point S que l'on considère, ce point doit nécessairement être, ou tout à fait intérieur aux deux cercles, ou tout à fait extérieur à ces mêmes cercles. Dans le premier cas, les transversales passant

DES SECTIONS CONIQUES. 4i5

par ce point rencontreront à la fois les deux cercles ; dans le second, les tangentes issues de ce point seront possibles. On peut donc affirmer généralement que :

« Si un point, situé sur le plan commun à deux circonfé- » rences de cercle, est tel, que les pôles d'une droite quel- » conque passant par ce point soient rangés sur une nouvelle » droite passant réciproquement par le même point, ce point » est nécessairement un de ceux où se coupent deux tan- » gentes communes aux cercles proposés. »

63. La difficulté que nous venons de rencontrer dans la démonstration de ce théorème provient de ce qu'il existe d'autres points que les centres de similitude directe et opposée qui jouissent de la propriété examinée, car nous venons de voir qu'il n'y a pas de nécessité que les droites issues de ce point rencontrent à la fois les deux cercles, caractère qui appartient proprement aux deux centres dont il s'agit ; toutefois, comme, dans le cas contraire, ce point doit nécessairement être situé au dehors des deux cercles, il fa/it, d'après ce qui précède, qu'il appartienne toujours à la mutuelle intersection de deux tangentes communes ; ce sera donc un des quatre points qui sont la rencontre de deux tangentes communes de différente espèce. Or on peut démontrer directement, et nous aurons occasion de démontrer plus tard, qu'en effet chacun de ces quatre points jouit à l'égard des deux cercles de la propriété ci-dessus énoncée (5G), propriété qui n'a encore été établie jusqu'ici que pour les points de concours des tangentes communes de même espèce, c'est-à-dire que pour les centres de similitude de ces cercles.

Ainsi, la propriété qui nous occupe appartient à la fois aux six points où peuvent concourir deux à deux les tangentes communes aux deux circonférences de cercle ; ces points forment donc séparément autant de systèmes assujettis à la même loi, et il n'y a de différence entre eux que dans la situation respective des lignes et dans la réalité ou la non-réalité des points d'intersection qui leur correspondent.

Nous avons beaucoup insisté sur cet exemple particulier, afin de montrer combien l'admission ouverte du principe de continuité en Géométrie rationnelle, peut abréger et même

4i6 V CAHIER. - ESSAT SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES faciliter les démonslralions elles recherches. Il est visible, en effet, qu'en adoptant les conséquences de ce principe, il n'y a point de nécessité de refaire la démonstration de l'article 60, et que celte démonstration est aussi satisfaisante que complète. Dans des cas plus compliqués, l'avantage de l'admission du principe est bien autrement évident : nous en rencontrerons de nombreux exemples dans le cours de ces recherches; il nous suffit d'en avoir donné dès à présent une idée.

.64. Les diverses propriétés qui nous ont occupés dans ce qui précède conduisent d'une manière si naturelle, si directe, à celles du cercle tangent à trois autres situés sur un plan, que nous ne croyons pas devoir nous abstenir de les rapporter ici, quoiqu'elles appartiennent à un sujet tant de fois traité par de savants et illustres géomètres. D'ailleurs, comme ces propriétés se rattachent d'une manière intime à la théorie des cordes, et des tangentes communes aux circonférences de cercle, et que nous aurons même occasion par la suite de les étendre aux sections coniques en général , je pense qu'on me pardonnera facilement l'espèce de digression qu'elles amènent pour le moment.

65. Considérons donc le système de trois circonférences de cercle (C), (C), (C") , Ji^. 162 , situées sur un même plan; on sait qu'à ces trois

Fiff. 162.

fl P^ /P s ; / /S« /p

cercles répondent toujours six centres de similitude directe ou opposée,

distribués, trois à trois, sur quatre lignes droites ou oxes de siin'ditude ; examinons en particulier celui de ces axes qui renferme les trois centres S, S', S" de similitude directe , et qui correspond par conséquent aux cercles (c) et [c') , ayant à la fois un contact de même espèce avec les trois cercles proposés (55) ; ce que nous dirons de cet axe sera immédiatement applicable à chacun des trois autres et aux systèmes de cercles tangents qui leur correspondent respectivement. Cela posé, on conclura directement de l'article 57, et sans qu'il soit besoin de recourir à de nouveaux raisonnements, que :

« i" Le centre de similitude s des cercles tangents [c) et [c') est, à la fois, sur chacune des trois cordes communes aux cercles proposés, et se trouve par conséquent à leur intersection mutuelle.

» 2° La corde commune aux mêmes cercles passe à la fois par S, S', S", et se confond par conséquent avec l'axe de similitude S S' S" des cercles proposés.

» 3° La ligne des centres de ces cercles, qui fiasse par .v, est par suite perpendiculaire à cet axe.

» 4° Si l'on trace le cercle TT'T" ou (,v), qui a s pour centre et pour rayon une quelconque des tangentes aux cercles (C), (C), (C"), issues de ce même point, il coupera à la fois orthogonalement ces trois cercles, et aura SS'S" pour corde commune avec les cercles tangents (c) et [c').

» 5° Si l'on trace les trois cercles (S), (S'), (S") qui appartiennent aux cercles (C), (C), (C") pris deux à deux (55), ils auront respectivement même corde commune avec ceux qui leur correspondent, et couperont à la fois orthogonalement les cercles (c), [c') et [s)\ de sorte que, ayant leurs centres sur l'axe de similitude SS'S", ils appartiendront à la série orthogonale réciproque de ces cercles, et auront par conséquent la droite des centres c et c' pour corde commune (36, 39).

» 6° Les trois points de contact A, A', A" ou B, B', B", qui appartiennent à chaque cercle tangent aux proposés sont, deux à deux, sur trois droites concourant respectivement aux centres de similitude S, S', S" qui leur correspondent, en sorte que les trois cordes de contact AB, A'B', A"B'' sont, dans le même ordre, homologues inverses.

» 7" Ces cordes de contact passent toutes trois par le centre de similitude .V des cercles [c) et (c'), c'est-à-dire par le point de concours unique des cordes deux à deux communes aux cercles proposés.

» 8° Les pôles P, P', P" de ces cordes respectives sont tous trois rangés sur la corde commune à {c) et (c'), c'est-à-dire sur l'axe de similitude SS'S" que l'on considère.

» 9° Les cordes T/, Tt\ T"f", deux à deux communes au cercle [s] et aux cercles proposés, c'est-à-dire les polaires qui correspondent à ces cercles et au point s, vont concourir respectivement aux pôles P, P', P" dont il s'agit.

» 10° Les pôles tt, r.', t." de l'axe de similitude SS'S", dans chaque II. 27

4i8 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES cercle proposé, sont situés respectivement sur les trois cordes de contact AB, A'B'et A"B".

» II" Enfin, ces mêmes pôles sont deux à deux homologues inverses, c'est-à-dire qu'ils sont, dans le même ordre, sur des droites passant par les centres de similitude S, S', S" correspondants (59). »

A ces diverses propositions on pourrait joindre la suivante, bien facile à démontrer :

« 11° Les centres des cercles tangents (c) et [c') se trouvent à la fois situés sur trois sections coniques, ayant chacune pour foyers deux des centres des cercles proposés, et pour grand axe la différence des rayons qui leur correspondent respectivement. »

66. Voilà en peu de mots, tout ce qu'on connaît d'intéressant sur le cercle tangent à trois autres décrits sur un plan. Les Propos. III, VIII et IX donnent la solution du problème correspondant, qui appartient à M. Gaultier de Tours (*)., mais un peu 'généralisée ; les VIP et X* donnent une solution qui revient, quant au fond, à celle qu'a présentée du même problème, M. Gergonne, rédacteur des Annales de Mathématiques.

^es mômes considérations vont nous conduire à une autre solution non moins directe et non moins simple que les premières , et qui jouit avec elles de l'avantage de pouvoir être exécutée avec la règle seule, quand orx a la connaissance préalable des centres de similitude qui appartiennent deux à deux aux cercles proposés.

67. Nous venons de voir que le cercle (^), orthogonal à la fois aux cercles (C), (C), (C"), et qui a son centre au point s où se coupent les cordes communes à ces cercles, a lui-même l'axe de similitude SS'S" pour corde commune avec les cercles tangents [c] et [c'); mais, au moyen des remarques de l'article 54, on peut facilement déterminer un cercle quelconque de la suite à laquelle il appartient, ainsi qne [c) et (f'), sans la connaissance préalable du point s.

Par le centre de similitude S [fig- i63), menons en effet une transversale quelconque SA dans les cercles correspondants (C) et (C), pour obtenir deux points A et A' hbmologues inverses (54); par l'un de ces points, par le point A, par exemple, menons de nouveau la transversale S'A dirigée au centre de similitude S', et rencontrant le troisième cercle (C") au point A" homologue inverse de A; par les points A, A', A" ainsi obtenus, faisons passer une circonférence de cercle, elle rencontrera de nouveau les proposées aux points B, B', B", et appartiendra nécessairement à la suite des cercles [c] et (f'); car, par construction, elle est

(*) Voir le Mémoire déjà cité (40), où se trouvent aussi exposées d'une manière synthétique les propositions qui viennent de nous occuper.

orthogonale à la fols aux cercles (S) et (S'), n° Sd, ce qui ne peut avoir lieu à moins qu'elle n'appartienne à la suite réciproque de ces cercles

Fig. i63.

(36, 39) et du cercle (S"), puisque ce dernier a même corde commune avec les deux autres, c'est-à-dire à la suite (c), {c').

Il résulte de là immédiatement et de la construction du cercle dont il s'agit, que si l'on trace les droites BB', BB", B'A", B"A', ainsi que les cordes AB, A'B' et A"B", qui sont communes à ce cercle et à chacun des proposés :

« 1° Chacune des premières ira concourir (54. 55) au centre de similitude directe S, S' ou S" des deux cercles auxquels cette droite correspond, en sorte que les trois autres droites ou cordes AB, A'B', A"B" seront deux à deux homologues inverses.

» 1° Ces trois cordes iront concourir respectivement aux points P, P', P" déterminés ci-dessus, pôles invariables des cordes de contact des deux cercles (c), [c') tangents aux proposés (56).

» 3° La figure AA'B"BB'A"A, dont les sommets s'appuient deux à deux sur les cercles proposés et qui est en même temps inscrite au cercle [c") de la suite que l'on considère , forme naturellement un hexagone fermé dont les côtés opposés vont respectivement concourir aux centres de similitude S, S', S", et les diagonales AB, A'B', A"B", qui joignent les sommets opposés aux trois points P, P', P" désignés ci-dessus. »

68. D'après cela, réciproquement, si l'on essaye à volonté de construire un hexagone tel que celui qui précède, dont les sommets s'appuient sur les cercles proposés et soient deux à deux consécutivement homologues

420 Y" CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES inverses (54) à l'égard des cercles et du centre de similitude auxquels ils appartiennent, il arrivera que :

« 1° Cet hexagone viendra naturellement se refermer au point pris pour sommet de départ.

» 2° Cet hexagone sera inscriptible à une même circonférence de cercle, appartenant à la suite que déterminent les cercles tangents à la fois aux proposés.

» 3° Les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone viendront rencontrer l'axe de similitude SS'S" aux pôles invariables P, P', P" des cordes de contact des cercles tangents dont il s'agit. »

69. Si l'on se proposait seulement de déterminer le pôle P" et la corde de contact qui lui correspond dans le cercle (C"), la description de l'hexagone deviendrait inutile; car il résulte de ce qui précède, que si, au lieu de tracer l'hexagone tout entier, on s'arrête aux trois premiers côtés A"A, AA', A'B", en prenant pour sommet de départ un point quelconque A" du cercle que l'on considère, on formera naturellement une portion de polygone A"AA'B", dont les sommets extrêmes A", B", ceux qui correspondent au cercle (C") que l'on considère, appartiendront à l'une des diagonales de l'hexagone ci-dessus, ,et seront par conséquent situés sur une droite passant par le pôle P" cherché.

Cette nouvelle propriété peut s'exprimer ainsi :

« Si l'on construit à. volonté une portion de polygone A'AA'B" com- » posée de trois côtés, dont les sommets soient consécutivement et deux » à deux homologues inverses, ses sommets extrêmes A" et B" seront » nécessairement à un même cercle (C") et, en général, distincts entre » eux; mais, si l'on trace la droite A"B" qui les renferme à la fois, elle » concourra sans cesse au pôle P" appartenant à ce cercle. »

70. En appliquant aux diverses considérations qui viennent de nous occuper, les conséquences du principe de continuité, on arrive directement à quelques corollaires faciles, qu'il ne sera pas hors de propos d'examiner ici.

Considérons toujours, comme dans ce qui précède, le système de trois circonférences de cercle quelconques situées sur un même plan, et supposons qu'on leur ait mené les tangentes qui leur sont deux à deux extérieures communes, afin d'obtenir, par leurs intersections respectives, les trois centres de similitude directe S, S', S" qui leur appartiennent. Cela posé, imaginons que l'une des circonférences dont il s'agit glisse entre les deux tangentes qui lui sont communes avec l'une des deux autres, jusqu'à s'en rapprocher à une distance d'abord infiniment petite, puis ensuite nulle, c'est-à-dire jusqu'à se confondre avec le cercle fixe; concevons que, par suite du même mouvement, la dernière circonférence glisse également entre les deux tangentes qui lui sont communes avec le cercle

DES SECTIONS COIsIQUES. /in

fixe, mais de manière cependant que le centre de similitude qui lui appartient, ainsi qu'au premier cercle variable, reste toujours à la même place, chose évidemment possible, il arrivera nécessairement que cette circonférence se rapprochant sans cesse de celle qui reste fixe, finira par s'y confondre en même temps que l'autre qui en dirige le mouvement : or, dans ce nouvel état du système, les divers objets de la figure devront jouir entre eux des mêmes propriétés que dans la figure primitive, pourvu qu'on ait égard aux modifications qui auront pu s'y opérer; donc, si l'on observe que les trois points S, S', S" peuvent être remplacés par trois points quelconques situés en ligne droite, on conclura immédiatement des n°' 68 et 69, ces deux nouveaux théorèmes appartenant à la Géométrie de la règle :

« 1° Trois points en ligne droite étant donnés à volonté sur le plan » d'une circonférence de cercle, si l'on essaye d'inscrire à cette circonfé- » rence un hexagone dont les côtés respectivement opposés concourent aux » trois points en question , cet hexagone se refermera de lui-même sur » la courbe, quel que soit le sommet ou le côté qu'on ait choisi pour » point de départ.

» 1° Les mêmes choses étant données, si l'on inscrit, à volonté, dans » ce cercle, un quadrilatère dont les trois premiers côtés concourent res- » pectivement aux points donnés, le dernier côté, resté libre, ira sans » cesse concourir en un quatrième point fixe, situé sur la droite qui ren- » ferme les trois autres. »

71. Le premier de ces théorèmes n'est, au fond, que la proposition connue sous le nom de X hexagramme mystique de Pascal; quant à l'autre, il fait partie d'une proposition beaucoup plus générale que nous avons énoncée, sans démonstration, dans un article inséré au tome VII des Annales de Mathématiques. Notre dessein, en les présentant ici, n'a pas été de les examiner en eux-mêmes, puisque nous nous proposons d'y revenir d'une manière générale par la suite, mais de faire voir seulement, par un exemple remarquable, comment l'admission de la continuité en Géométrie peut servir à étendre les conceptions et les idées, et "comment aussi elle sert à établir une liaison étroite et intime entre des vérités et des figures en apparence distinctes.

Au reste, on pourrait déduire des considérations qui précèdent d'autres conséquences également remarquables, mais qui ne seraient pas ici à leur place, et nous feraient tout à fait perdre de vue l'objet véritable de te paragraphe, dont nous nous sommes déjà beaucoup trop écartés; seulement, nous ferons remarquer, en terminant, que ces considérations sur les cercles tangents à trois autres s'appliquent immédiatement au système d'un nombre quelconque de circonférences de cercle également tangentes à deux autres sur un plan ; en sorte que la théorie qui précède, uniquement basée sur les propriétés des cordes réelles ou idéales communes,

422 V^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES donne tout ce que l'on peut désirer de plus général sur les cercles qui se coupent ou se touchent sur un même plan.

72. Toutes les propriétés que nous avons jusqu'ici établies pour le cas général de deux circonférences de cercle quelconques situées sur un même plan, subsistent évidemment, en tout ou en partie et avec les modifications convenables, dans les diverses circonstances particulières que le système de ces cercles peut présenter ; c'est une conséquence nécessaire et ici tout à fait évidente du principe de continuité. L'examen de quelques-unes de ces circonstances va nous servir à justifier, à posteriori, les notions exposées au commencement de ce paragraphe.

Et d'abord, on peut remarquer, en général, qu'il existe entre les cordes communes à distances finie et infinie, toutes deux ayant constamment lieu à la fois (31), une dépendance tellement intime, que, quand l'une est donnée, l'autre s'ensuit nécessairement et par une même loi;- caria même construction, appliquée à chacune d'elles (51), donne simultanément les deux centres de similitude des cercles correspondants ; or chacun de ces points est propre, à son tour (50), à donner simultanément des systèmes de droites concourant sur l'une et l'autre corde commune.

Cette liaison intime entre les deux cordes qui nous occupent, peut servir à justifier à posteriori et pour le cas du cercle, la définition admise à l'article 20 pour les cordes communes qui se rencontrent au dehors du périmètre des deux courbes; car elles forment naturellement ici un système de cordes conjuguées entre elles. Au reste, la dépendance qui lie entre eux les deux centres de similitude est non moins remarquable, et porte également à leur appliquer le nom de points de concours conjugués des tangentes communes. Nous étendrons plus tard le sens de cette définition, quand nous en viendrons à considérer les propriétés des cordes et des tangentes communes aux sections coniques en général.

73. Pour passer maintenant à l'examen de quelques cas particuliers, supposons que les deux circonférences proposées deviennent concentriques ; d'après l'article 33, les deux cordes communes qui leur appartiennent, se confondent alors en une

seule située à l'infini. Or celte circonstance se retrace parfaitement à l'aide des considérations générales ci-dessus.

En effet alors, les centres de similitude directe et opposée se réunissent au centre commun des deux cercles , et si l'on trace par ce point, des transversales arbitraires pour obtenir d«s cordes homologues suivant la délînilion, il arrivera évidemment que celles qui sont inverses, et qui précédemment allaient concourir sur la corde commune à dislance donnée, seront parallèles aux cordes homologues directes qui leur correspondent, et par conséquent concourront avec elles en des points à l'infini, ce qui exige que les cordes communes, elles-mêmes, se soient confondues à l'infini. • On voit qu'ici les propriétés des cordes homologues, directes ou inverses, acquièrent un grand degré d'évidence, à cause de la symétrie des deux cercles autour de leur centre commun. Or il en est de même de toutes les autres propriétés générales dont on s'est occupé dans ce qui précède, et chacune d'elles, en particulier, peut servir à prouver réciproquement que les cercles concentriques se comportent comme si leur corde commune ordinaire était passée à l'infini.

74. Concevons actuellement que l'un des deux cercles, au lieu de devenir concentrique à l'autre, comme dans la supposition précédente, acquière des dimensions infiniment petites ou se réduise à un point. D'après ce que nous avons vu (32), le système correspondant devra conserver encore, outre sa corde idéale commune à l'infini, une autre corde idéale commune à distance donnée, laquelle jouira des mêmes propriétés à l'égard de ce système.

Qu'on trace, par exemple, une circonférence de cercle quelconque passant par le point qui représente le cercle infiniment p.etit, la corde qui lui est commune avec ce dernier cercle sera évidemment la tangente au point en question ; quant à la corde commune à ce petit cercle et à celui du système proposé, elle devra concourir avec la première, sur la corde idéale commune de ce système, comme cela résulte du cas général, et pourrait facilement se vérifier à priori.

Pareillement, si du point dont il s'agit, qui représente évidemment à la fois le centre du cercle infiniment petit et les

424 ^" CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES deux centres de similitude du système, on mène une transversale arbitraire rencontrant le cercle donné en deux points, puis qu'on trace les deux tangentes qui correspondent à ces points et les deux parallèles à ces tangentes passant par le point donné,, lesquelles, de leur côté, représenteront (49) les tangentes du cercle infiniment petit, homologues aux premières, il arrivera que les tangentes homologues non directes ou qui se rencontrent, iront concourir sur la corde idéale commune au système du point et du cercle proposé (50).

Pour démontrer en particulier celte dernière assertion d'une manière tout à fait directe, soient (C) et {'C!),Jîg. i64, le cercle

Fig. i6.^.

et le point proposés, CD une transversale arbitraire passant par C et rencontrant le cercle (C) en E et D ; parole point C soient menées les parallèles C'K et CL aux tangentes ET et Dï, qui correspondent au cercle (C) et à la sécante CD : elles rencontreront les tangentes dont il s'agit aux pointsJK et L qui, d'après l'hypothèse, appartiendront à la corde tnn commune au système du point C et du cercle (C).

Considérons en particulier le point K, et abaissons de ce point la perpendiculaire indéfinie KO sur la ligne des centres CC; en regardant cette perpendiculaire comme une corde idéale du cercle (C), on aura (28)

KD =K0 +OA.OB;

mais, par construction,

kd'=kc'' = kô -hÔc',

à cause que le triangle KDC est isocèle, et le triangle KOC rectangle ; donc

ÔC'' = OA.OB,

ce qui est conforme à la définition (32) de la corde idéale commune au cercle (C) et au point C (*), et apprend que tous les points K sont sur cette droite indéfinie.

75. On pourrait pousser plus loin cet examen, mais les rapprochements que nous venons de faire doivent suffire pour justifier, quant à ce qui concerne la circonférence du cercle, les définitions et les notions jusqu'ici admises. IHins ce qui suit, nous nous occuperons spécialement des principes de projection à l'aide desquels on peut ramener la recherche ou la démonstration des propriétés générales des sections coniques à celle des propriétés de la circonférence du cercle. En nous appuyant sur les diverses considérations présentées au premier paragraphe, nous établirons ces principes d'une manière entièrement géométrique et extrêmement simple, si on compare nos démonstrations à celles qu'on pourrait déduire de la Géométrie analytique. Mais, pour y arriver d'une manière qui soit en même temps naturelle, nous aurons à exposer quelques définitions et quelques notions déjà connues de la doctrine des projections, et c'est à cela que nous consacrerons le commencement du paragraphe ci-après.

§ III. — Principes de la doctrine des projections.

76. Dans ce qui suit, nous donnerons toujours au mot de projection le même sens que celui de perspective; ainsi la projection sera centrale.

(*) N'oublions pas que, en conservant à ces lignes droites le nom de cordes, nous entendons par là que le cercle correspondant ait reçu des dimensions infiniment petites, et non pas nulles; car autrement l'expression de corde ou sécante serait non-seulement peu naturelle, mais encore absurde et opposée aux notions que nous avons jusqu'ici admises (i8i8).

426 V CAHIER, - ESSAI SUR LES PBbPRlÉTÉS PROJECtiVES

' Dans celle softe de projection, la surface sur laquelle on projette la figure donnée peut être quelconque ; cette figure elle-même peut êlre située arbitrairement dans l'espace ; mais celte grande extension étant inutile à l'objet des recherches qui suivent, nous supposerons toujours que la figure donnée et la surface de projection soient l'une et l'autre planes.

Ainsi, que l'on conçoive que, d'un point donné pris pour centre de projection, parte un faisceau de lignes droites dirigées vers tous les points d'une figure tracée sur un même plan; si l'on vient à couper ce faisceau de droites projetantes par un autre plan disposé d'une manière arbitraire dans l'espace, il en résultera sur ce plan une nouvelle figure, qui sera la projection de la première.

77. Celle projection ne change évidemment ni la disposition, ni le degré des lignes de la figure primitive, ni, en général, toute espèce de dépendance graphique entre les parties de cette figure, qui ne concernerait que la direction indéfinie des lignes, leur intersection mutuelle, leur contact, etc.; mais elle pourra faire varier seulement l'espèce particulière de ces mêmes lignes, et, en général, toutes les dépendances qui concerneraient des grandeurs constantes et déterminées , telles que ; ouvertures d'angles, paramètres, etc. Ainsi, par exemple, de ce qu'une ligne est normale à une autre dans la figure primitive, on ne saurait en conclure qu'elle le soit dans la projection de celte figure sur un nouveau plan.

Toutes ces propriétés de la projection cenlraie résultent, d'une manière purement géométrique, de sa nature propre et des notions les plus communément admises, et il n'est pas besoin de recourir à l'Analyse algébrique pour les reconnaître elles démontrer; notamment, pour prouver qu'une ligne du degré m reste de ce degré dans la projection, il suffit defremarqueï" que, la jwemière ne pouvant être coupée en plus de m points par une droite arbitraire tracée dans son plan, il devra nécessairement en êlre de même de Taulre, puisque la projection d'une droite est toujours une ligne droite passant par tous les points qui correspondent à ceux delà première.

Une figure, dont les parties n'auront entre elles que des dé- , pendances graphiques de la nature des précédentes , c'est-

à-dire des dépendances indestructibles par l'effet de la projection, sera généralement appelée, dans ce qui va suivre, Jigure projective.

Ces dépendances elles-mêmes, et, en général, toutes les relations ou propriétés qui subsistent à la fois dans la figure donnée et dans ses projections, seront appelées également relations ou propriétés projectives.

78. 11 résulte de la nature même des propriétés projectives, telles que nous venons de les définir, que, voulant établir une semblable propriété sur une figure donnée, il suffira de démontrer qu'elle a lieu pour l'une quelconque de ses projections. Or, parmi toutes les projections possibles de cette figure, il peut en exister qui soient réduites à des circonstances plus simples, et sur lesquelles la démonstration ou la recherche qu'on se propose devienne d'une première facilité et n'exige qu'un léger coup d'oeil, ou, tout au plus, la connaissance de quelques propriétés élémentaires de la Géométrie. Par exemple, la figure renfermant, en particulier, une section conique, pourra être regardée comme la projection d'une autre, pour laquelle la section conique sera remplacée par une circonférence de cercle, et cette seule remarque suffira pour ramener les questions les plus générales des sections coniques à d'autres qui soient purement élémentaires.

On conçoit, d'après cela, de quelle importance peut être la doctrine des projections pour toutes les recherches géométriques, et combien les considérations qu'elle offre peuvent abréger et . faciliter ces recherches. C'est ainsi que déjà, quelques géomètres de notre époque démontrent, d'une manière fort élégante, diverses propriétés, nouvelles et curieuses de la Géométrie de la règle, qu'il serait aussi pénible que difficile de démontrer de toute autre manière.

79. Une figure étant donnée, tout se réduit, comme on le voit, à rechercher celle de ses projections qui présentera des circonstances plus élémentaires et plus propres par leur simplicité, à faire découvrir les relations particulières que l'on a en vue. La doctrine des projections fournit déjà quelques principes pour y parvenir, mais il s'en faut de beaucoup qu'elle n'en puisse fournir encore d'autres, et noire objet actuel est

428 ¥<= CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES précisément de les rechercher et de les faire connaître, d'une manière purement géométrique, à l'aide des notions établies dans le premier paragraphe de ce Mémoire.

Pour mettre dans cette exposition de l'ordre et de la clarté, nous commencerons par rappeler, d'une manière succincte, ceux des principes de projection qui, déjà connus des géomètres, peuvent être utiles à l'objet particulier de ces recherches, à cause de leur extrême simplicité; nous nous contenterons d'en rapporter l'énoncé sans nous attacher à en donner la démonstration, qui, d'ailleurs, est on ne peut plus facile, pour ne pas dire évidente.

80. Théorème I. — Le système d'un nombre quelconque de droites situées dans un même plan, et ayant un point de concours unique, peut toujours être regardé comme la projection d'un autre système composé d'un égal nombre de droites parallèles, situées aussi sur un même plan.

Il suffit évidemment, pour que cela ait lieu, que le plan de projection soit parallèle à la ligne droite qui joint le point de concours du premier système au centre, d'ailleurs arbitraire, de projection. Réciproquement :

Théorème II. — Le système d'un nombre quelconque de droites parallèles, situées sur un même plan, a toujours pour projection un égal nombre de droites concourant en un point unique, sauf le cas particulier où ces droites demeurent parallèles; ce qui arrive quand le plan de projection est lui-même parallèle aux droites données.

81. Dans l'un et l'autre cas, le point de concours du second système est sur une droite projetante parallèle au plan du premier.

Ces deux propositions donnent l'interprétation géométrique de cette notion généralement admise : les droites parallèles concourent en un point-unique à V infini. On voit, en effet, que les points de concours à distance infinie ou à distance donnée, s'échangent réciproquement par l'effet de la projection.

En admettant cette notion, et l'étendant à des lignes courbes quelconques, on peut généraliser ainsi les théorèmes bien connus qui viennent de nous occuper.

Théorème III. — Une Jigure plane quelconque, qui renferme un système de droites ou de courbes ayant un point de concours commun, peut toujours être regardée comme la projection d'une autre, du même genre, dans laquelle le point de concours est passé à Vinjini et les lignes correspondantes sont devenues parallèles. Réciproquement :

Théorème IV. — Lne figure plane quelconque, qui renferme un système de lignes droites ou courbes parallèles, ou concourant à l'infini, a toujours pour projection une figure de même genre, dans laquelle les lignes correspondantes concourent en un point commun à distance donnée, projection de celui du premier système.

82. Ici, comme dans le Théor. II, le point de concours de la projection peut être situé lui-même à l'infini, comme celui d'où il provient, dans le cas particulier où le plan de projection est parallèle au plan de la figure primitive.

Nous ferons remarquer aussi que, d'après la nature même de la projection centrale (78), si le point de concours que Ton considère était en même temps un point de contact pour certaines lignes de la figure primitive, son correspondant serait également un point de contact pour la projection de ces mêmes lignes; de sorte que, le point passant à l'infini, les lignes en question deviendraient tangentes à l'infini au lieu d'être simplement parallèles ; ce qu'on exprime ordinairement en disant qu'elles sont asymptotiques.

D'ailleurs, elles seraient asymptotiques du premier, du second, . . . , ordre, si les primitives étaient elles-mêmes osculatrices de cet ordre.

83. Théorème V. — Deux ou un plus grand nombre de systèmes de droites situées sur un même plan, et qui concourent, dans chaque système en particulier, en un point unique, peuvent être considérés, quand tous les points de concours sont rangés sur une même ligne droite, comme la projection d'un égal nombre de systèmes particuliers de droites parallèles, mais ayant une inclinaison différente, selon le système auquel elles appartiennent.

Il suffit évidemment, pour que cela ait lieu, que le plan de

43o V CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES projection soil parallèle à celui qui renferme la droite des points de concours de la figure primitive et le centre, d'ailleurs arbitraire, de projection. Réciproquement :

Théorème VI. — Deux ou un plus grand nombre de systèmes particuliers de droites parallèles, situées sur un même plan, ont, en général, pour projection un égal nombre de systèmes différents de droites concourant séparément en un point unique, et tels que tous les points de concours semblables sont rangés sur une seule et même ligne droite.

84. Dans le cas particulier où le plan de projection se trouve être parallèle à celui de la figure primitive, les droites qui étaient parallèles demeurent parallèles ; ainsi, dans ce cas, les points de concours et la droite qui les renferme demeurent tous à l'infini, comme dans la figure primitive.

Les deux propositions qui viennent de nous occuper sont susceptibles d'être ainsi généralisées, au moyen des remarques que contient l'art. 81.

Théorème VII. — Une figure plane quelconque, où entre une certaine ligne droite, peut être considérée comme la projection d'une autre, dans laquelle la droite correspondante est passée tout entière à l'infini ; de sorte que tout système de lignes qui concourent en un point de la première droite, sur la figure primitive, est devenu un système de lignes parallèles ûu concourant à l'infini dans la projection considérée. Réciproquement :

Théorème VIII. — Une figure plane quelconque, qui renferme un nombre arbitraire de systèmes de lignes, droites ou courbes, respeôtivement parallèles, c'est-à-dire qui concourent à l'infini dans chaque système respectif, a, en général, pour projection une autre figure dans laquelle les points de concours à l'infini de la première se trouvent rangés sur une seule et même ligne droite, à distance donnée et finie.

• 85. Ces diverses considérations, déduites uniquement des principes élémentaires de la projection centrale, peuvent servir à interpréter et à justifier même cette notion métaphysique que nous avons déjà fait connaître (27): « Tous les points situés à l'infini sur un plan peuvent être

» considérés idéalement, comme distribués sur une ligne » droite unique, mais indéterminée de situation.»

On voit, en effet, par ce qui précède, que tous ces points sont représentés en projection par ceux d'une ligne droite unique, située, en général, à une distance donnée et finie. Quant à la direction de la droite à l'infini, on doit évidemment la regarder comme indéterminée par rapport à celle des autres lignes de la figure ; car, quelle que soit la direction d'une droite donnée sur un plan, on peut toujours concevoir qu'elle se transporte, parallèlement à elle-même, à une distance infinie sur ce plan, auquel cas elle doit se confondre avec celle qui, selon ce qui précède, renferme nécessairement tous les points à l'infini du même plan.

Celte notion paradoxale reçoit ainsi un sens fixe et déterminé, quand on l'applique à une figure donnée sur un plan, et qu'on suppose cette figure mise en projection sur un autre plan quelconque. L'indétermination observée dans la direction de la droite à l'infini vient précisément de l'indétermination même qui existe dans celle du plan qui projette cette droite, au moment où il va devenir parallèle au plan de la figure donnée ; mais on voit aussi que cette indétermination n'a lieu que parce qu'on persiste à donner mentalement une existence réelle à la droite de leur intersection commune , quand ils deviennent tout à fait parallèles et que cette droite passe à l'infini. Au reste, l'indétermination n'existe véritablement que dans la loi ou la construction primitive qui donnait cette droite lorsqu'elle était constructible, et non dans sg direction même, puisque réellement elle cesse alors d'exister d'une manière purement géométrique.

86. Ces observations générales sont parfaitement d'accord avec les remarques particulières que nous avons eu occasion de faire aux n°* 24 et 27. On trouvera, peut-être , que nous aurions dû rapprocher entre elles les considérations d'où elles dérivent, en nous occupant d'abord de la projection des figures ; mais, ainsi que nous l'avons déjà fait observer au commencement de ces recherches, en suivant cette marche nous aurions risqué de faire perdre au sujet principal le degré de simplicité et d'uniformité dont il peut être susceptible.

432 V^ CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES Notre objet d'ailleurs , en présentant ces remarques dès le I" paragraphe, a été moins de justifier certaines notions de l'infini, que de donner, à l'avance, une idée des conséquences abstraites auxquelles pouvait conduire la considération des cordes communes aux systèmes de coniques.

Revenons maintenant à notre sujet principal, que les discussions précédentes nous ont fait un instant abandonner.

87. Aux principes de projection ci-dessus , dont la démonstration géométrique est facile et généralement connue, nous pourrions ajouter celui qui consiste à dire « qu'une sec- » tion conique quelconque peut être regardée comme la pro- » jection d'une circonférence de cercle; » mais ce principe n'est autre que la définition môme des sections coniques, et il se trouve d'ailleurs implicitement compris dans l'énoncé de ceux qui vont nous occuper.

On peut remarquer, en outre, que, dans tous les principes qui précèdent, rien ne fixe la position du centre de projection dans l'espace : elle est tout à fait arbitraire, et, pour un point quelconque donné, on pourra toujours remplir l'une ou l'autre des conditions prescrites. Il n'en est pas ainsi des principes qui suivent, ils ne peuvent avoir lieu que pour une série de positions particulières du centre de projection, et, comme la démonstration en est assez difficile et n'est pas encore connue des géomètres, nous croyons devoir nous y arrêter quelque temps et la donner d'une manière complète.

88. Théorème IX. — Une figure plane quelconque, où entrent une certaine ligne droite et une certaine section conique, peut, en général, êtra regardée comme la projection d'une autre, pour laquelle la droite est passée entièrement à l'infini et la section conique est devenue une circonférence de cercle ; de sorte que, suivant le Tliéor. Fil, tout système de lignes continues qui concouraient en un point de la droite en question dans la première figure, est devenu un système de lignes parallèles dans la projection, et vice versa.

Pour démontrer ce principe d'une manière complète, et qui ne laisse absolument rien à désirer sous le point de vue purement géométrique, nous supposerons qu'il s'agisse de résoudre la question suivante :

Etant données à volonté, sur un plan, une droite MN et

une section conique {C), Jig. i65, trouver un centre et un

Fig. iGh.

plan de projection tels, que la droite donnée MN soit projetée à l'infini sur ce plan, et que la section conique (C) r soit en même temps représentée par un cercle.

Supposons le problème résolu. Soit S le centre de projection; concevons le cône oblique qui aurait son sommet en ce point et pour base la section conique donnée : ce sera la surface conique projetante de cette courbe ; concevons pareillement, par le même point, un plan qui passe par la droite donnée MN : ce sera le plan projetant de cette droite. D'après les conditions du problème, il doit exister un certain plan de projection qui coupe la surface conique projetante suivant une circonférence de cercle, et le plan projetant suivant une droite à l'infini, c'est-à-dire qu'il doit être parallèle à ce dernier plan; or, ces deux conditions sont incompatibles si le plan projetant et la surface du cône projetant se pénètrent. Donc ;

« 1° La droite donnée MN doit être située tout entière au » dehors de la section conique (C), c'est-à-dire qu'elle doit » en être corde ou sécante idéale. »

En second lieu, si ces conditions sont remplies par rapport à un certain plan, elles le seront évidemment aussi pour tous les plans parallèles; car les sections parallèles de la surface H. 28

434 V« CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES projetante sont nécessairement toutes semblables, et par conséquent circulaires, dans l'hypothèse actuelle.

Considérons en particulier, une de ces sections circulaires. Soit M'N' la trace de son plan sur celui de la base (C); cette trace sera parallèle à MN d'après ce qui précède, et, en supposant qu'elle rencontre celle base, elle y interceptera une corde M'N' qui sera commune à celte courbe et à la section circulaire correspondante; le milieu ou centre 0' de la corde M'N' sera d'ailleurs, comme on sait, situé sur le diamètre AB, conjugué à la direction de MN, et pareille chose aura lieu à l'égard de toute autre section circulaire parallèle à la précédente; de sorte que tous les centres 0' des cordes M'N', qui leur sont communes avec la section conique (C), se trouvent être distribués sur le diamètre AB, conjugué à leur direction commune et à MN.

Cela posé, concevons par le sommet S et par le diamètre AB un plan SAB que nous appellerons plan diamétral; ce plan coupera évidemment en deux parties égales toutes les cordes terminées à la surface conique projetante, et qui sont parallèles à M'N' ou MN. Donc sa trace sur le plan de chaque seclion circulaire M'N' sera un diamètre D'E' de cette section, perpendiculaire, en son milieu 0', à la corde correspondante M'N', et, par conséquent, sa trace SO sur le plan projetant SMN, parallèle à ceux de ses sections circulaires , sera aussi perpendiculaire sur le milieu 0 de la corde idéale MN; car elle est parallèle aux cordes M'N'.

On conclut de là, que le sommet S doit nécessairement se trouver sur une certaine droite SO perpendiculaire à la corde idéale MN au centre 0; c'est-à-dire, en observant qu'il y a nécessairement une infinité de perpendiculaires semblables toutes situées dans un même plan, que :

« 2° Le centre inconnu de projection doit être situé dans » le plan élevé perpendiculairement au centre 0 de la corde » idéale MN. »

Considérons actuellement ce qui doit se passer en particulier dans le plan diamétral SAB. Soient SA et SB les arêtes du cône projetant situées dans ce plan; D'E' la trace de ce plan sur celui de la section circulaire M'N', terminé de part et d'autre aux arêtes dont il s'agit. D'après ce qui précède, celle

trace est un diamètre du cercle correspondant, perpendiculaire sur le milieu 0' de la corde M'N' appartenant à ce même cercle; de sorte qu'on a

Mais les lignes D'E' et SO étant parallèles, les triangles AO'P', AOS sont semblables, aussi bien que les triangles BO'E', BOS, et, par conséquent,