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Supposons qu'on parle d'un point quelconque x' de la courbe (m), et que par ce point on mène le côté x' x" parallèlement à la droite fixe correspondante, il est visible que cette droite rencontrera la courbe (m) en m — i points .r" dif-

Fig. 38.

férents de x'. L'équation qui donnera les abscisses x"^ de ces points en fonction de x' et y' ne sera donc que du degré m — i en x"; mais (*) je dis de plus que, dans le cas actuel où la droite x' x" doit être parallèle à une direction fixe, ce qui rend (11) linéaire, l'équation dont il s'agit en x'jj-' et x" combinés, ne monte en effet qu'au degré m — i au lieu de 2 (m — i), c'est-à-dire que, dans tous les termes où ces coordonnées entrent, la somme de leurs exposants n'est jamais supérieure au nombre m — i.

Pour le prouver commençons par tirer j" de l'équation (/j) de la droite x'x" : on aura

r"=r' — Pix' — x");

(*) Je supprime ici tout un passage dans lequel je cherchais à faire pressentir à l'avance les résultats du calcul algébrique par des raisonnements à priori, fondés sur des considérations analytiques analogues à celles qui m'avaient guidé dans les IIP et IV* Cahiers du précédent volume pour le cas simple des directrices coniques. Mais ces raisonnements généraux, pcir là même vagues et obscurs, ne pouvaient expliquer comment, dans le cas de pôles quelconques où les équations (/) cessent d'être linéaires, le degré des courbes engendrées par le sommet libre x du polygone mobile se trouvait généralement doublé.

Si,

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Il n'est point nécessaire de développer les calculs ainsi que je viens de le faire; car on voit tout de suite que l'équation (/j) étant linéaire, la substitution de y" dans [c^] doit donner une équation seulement du degré m en x", x' et/' à la fois, laquelle retranchée de (c,) du même degré en x', y , donnera encore une équation du degré m en x" , x' et j'; c'est-à-dire que, dans aucun terme, la somme des exposants de x' , y' et x" ne pourra surpasser m. Or, le développement de chacune des puissances de l'expression de j" tirée de l'équation (/j) se compose de deux parties, dont l'une, le premier terme, est la même puissance dej', et dont l'autre est divisible par .^■' — x" \ considérant donc à part le résultat de la substitution des premiers termes et les retranchant respectivement de ceux de l'équation (C|), le terme en j''" disparaîtra aussi bien que ôj'™-' B, cj''"-'E, etc., et tous les autres fourniront des différences divisibles par x' — x" . Comme la deuxième partie du développement de l'équation ainsi obtenue par soustraction sera elle-même divisible par x' — x" , en supprimant ce facteur, on aura en définitive en x" , x' et y' , une équation qui ne sera que du degré m — i par rapport à ces quantités.

En traitant de même les trois équations (c^), (ca) et (/,), on en tirera une équation en x" , y" et x'" du degré m — i seulement, et en continuant ainsi pour les autres équations qui appartiennent aux côtés successifs du polygone variable, on parviendra à remplacer les n — i dernières équations (c) par n — 1 autres équations complètes du degré m — i seulement par rapport aux coordonnées qui y entrent; en y joignant la première du degré m et conservant les w-f-i équations du premier degré (^i), (/j ),..., (/(h+o)» éliminant ensuite toutes les inconnues x', y', x", y",..., excepté x et [3, oli sait, d'après la théorie de l'élimination, que le degré de l'équation finale en a et (3 ne montera pas au-dessus du produit des exposants de chacune de ces équations. Or les n — i équations du degré m — i donnent pour produit de leurs exposants (m — i)""', le produit des exposants des w + i équations linéaires (/) est i.i..., = i; donc celui de l'équation (<?,) étant m, le produit de tous les exposants ou le degré de l'équation finale en a et [3, et par conséquent celui de la courbe x, sera

i.m.{ni — i)''-'=:m(w — i )"""'. c. q. f. d.

Remarque. — Quand les pôles donnés ne sont pas situés en ligne droite, la démonstration analytique devient pour ainsi dire impossible à cause des difficultés que présentent les théories de l'élimination. On ne peut donc plus savoir par ce moyen quel est le degré de l'équation finale, c'est-à-dire le degré de la courbe engendrée par le mouvement du point a. La géométrie intuitive, combinée avec les considérations générales de l'analyse, parvient pourtant à ce but d'une manière assez simple. Nous allons, par ce moyen, démontrer une suite de théorèmes sur la description des courbes, qu'on pourra regarder comme l'extension de ceux qu'on trouve dans l'ouvrage de Braikenridge intitulé : De descriptione linearum curvarum ( 1733) (* ).

Proposition XXIV. — Lemme démontré p. i'^*.

Si un polygone est assujetti à avoir tous ses sommets, à l'exception d'un seul, situés sur autant de droites données dans son plan; que, de plus, chacun de ses côtés passant constamment par un pôle fixe, l'on vienne à déformer ce polygone de toutes les manières possibles, le dernier sommet libre parcourra une ligne du second degré.

Remarque. — Quand tous les pôles sont situés sur une même ligne droite, le sommet libre décrit une autre droite au lieu d'une section conique.

(*) L'ouvrage de Braikenridge, dont les citations de MM. Servois et Brianchon m'ont donné la première connaissance, et qui, rédigé d'une manière plutôt algébrique que géométrique, est par là même très-pénible à lire, ne concerne guère que la description des courbes géométriques au moyen du triangle mobile autour de trois pôles fixes : cette description toute linéaire n'exige que le tracé de simples lignes droites quand les directrices curvilignes sont données ; mais , par cela même que les courbes décrites ont pour points multiples les pôles adjacents au sommet descripteur du triangle mobile, elle ne s'applique qu'à une classe particulière de lignes géométriques; ce qui a contribué, sans doute, à en diminuer beaucoup l'intérêt aux yeux des géomètres, indépendamment de quelques erreurs échappées à Braikenridge et de la revendication faite par Maclaurin dans les Transactions philosophiques de la Société royale de Londres (année lySS, p. i52 à 174, lu en 1732), revendication qui re-

Proposition XXV. — Théorème général.

Si l'on déforme un polygone quelconque en assujettissant tous ses côtés à tourner respectivement autour de pôles fixes dans son plan, et chacun de ses sommets, un seul a excepté, à parcourir des lignes quelconques de degrés respectifs m, n, p, q, r,..., le dernier sommet libre parcourra une courbe qui sera en général et au plus, du degré 2 mnpq....

D'abord, cette proposition a lieu (p. i) pour le cas où les directrices sont des lignes droites; car alors m = i, n = i,...;

je dis, en outre, qu'elle aura également lieu si l'on substitue [fig. 39) une courbe du degré m à l'une quelconque de ces

monte à l'époque de 1722, lors du séjour de Maclaurin à Nanci (Nancy, en France, peut-être?). Mais le fond de cette revendication portait principalement sur la descripUon linéaire des courbes du second degré par points au moyen de deux, de trois, ou d'un nombre quelconque de directrices rectilignes et de pôles arbitraires, conformément à un théorème qui, bien que facile à déduire de Xhexagrammum mysticiun de Pascal, n'en appartient pas moins à Maclaurin, auquel on doit également d'avoir généralisé la description organique de ces courbes due à Newton, au moyen d'angles constants mobiles autour de pôles fixes quelconques sur un plan : cette description comprenant la précédente, relative au cas où les angles sont nuls ou de deux droits. Toutefois , aucune de ces intéressantes spéculations géométriques n'a trait aux théorèmes qui concernent l'enveloppe du dernier côté libre des polygones mobiles, et dont le véritable point de départ se trouve dans le théorème original et fécond de Brianchon sur l'hexagone circonscrit à une conique.

lignes droites, par exemple bc; c'est-à-dire que, dans ce cas, le point a. parcourt une courbe du degré 2 m. Cette proposition sera démontrée si l'on prouve que la courbe (a) ne peut rencontrer une ligne droite quelconque XY tracée dans son plan qu'en 2m points seulement.

Qu'on rende en effet le sommet a:' libre et que, tout restant comme auparavant, on oblige, à l'inverse, le sommet a à parcourir la droite XY; d'après le lemme qui précède, toutesles directrices étant de simples lignes droites, le sommet a;-' devenu libre, parcourra une courbe du second degré; mais, cette courbe étant indépendante de celle (m) qui est donnée, la coupera en général en 2m points, lesquels correspondront à 2 m positions de a sur la droite XY. D'ailleurs, ces derniers points appartiennent visiblement à la ligne décrite par a libre, quand le sommet x' est assujetti à rester sur la courbe donnée (m); de plus, il est visible encore qu'il ne saurait y avoir sur XY d'autres points qui lui soient communs avec la courbe ( a ), car le point correspondante' devant être situé à la fois sur la conique cidessus et sur la courbe (m), serait nécessairement l'un des 2 m points de leur intersection commune. Donc enfin la courbe des a ne saurait rencontrer une droite XY, tracée arbitrairement dans son plan, en plus de 2 m points; donc elle est, au plus, du degré 2. m.

La proposition étant établie pour le cas où l'on substitue une courbe de degré m a l'une des directrices droites du polygone mobile, on pourra démontrer de la même manière qu'elle a lieu pour le cas où l'on remplacerait deux directrices droites par deux courbes de degré m et n.

En effet, soit tracée {Jig- Sg), comme ci-dessus, une droite quelconque XY dans le plan de la courbe des sommets oc, et cherchons de même quel sera le nombre de points qui lui sont communs avec la courbe, et par conséquent quel sera le degré de cette courbe. Si, au lieu d'astreindre le sommet a:' à parcourir la courbe {n], on le rend libre tandis qu'au contraire on force le sommet a à parcourir la droite XY, il est visible, d'après ce qui précède, que le point x', devenu mobile, parcourra une ligne du degré 2m coupant, d'après un théorème bien connu, la courbe {n) qui en est généralement indépendante en 2inn points. Donc le sommet libre a, parmi toutes

6o P' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

les positions qu'il peut prendre, en a imn pour lesquelles il est situé sur la droite XY. Donc le degré de la courbe qu'il parcourt est en général 2/nn.

Le même raisonnement servirait à démontrer que la proposition est vraie quand, à la place des directrices droites du lemme ci-dessus, on substitue successivement trois courbes, quatre courbes, etc. ; donc elle est vraie en général pour des directrices courbes géométriques, en nombre quelconque.

Proposition XXVI. — Sur les points multiples polaires.

Les pôles extrêmes p et p^" [Jig. ^o), qui répondent aux deux derniers côtés adjacents au sommet libre a du polygone mobile dont il vient d'' être parlé (Prop. XXV), appartiennent l'un et l'autre à la courbe (a); de plus, ils en sont des points multiples.

Effectivement, à mesure que le côté xa, par exemple, s'approche de la droite indéfinie pp^^ qui passe par ces pôles, le point à doit se rapprocher du pôle p''' et finir par se confondre avec lui ; la même chose a lieu pour le pôle/? quand c'est le

côté x'" p^"" qui tend à se confondre avec p/?"; en outre, il est facile de reconnaître que ces mêmes points sont des points multiples ; c'est-à-dire qu'il y passe à la fois plusieurs branches distinctes de (a). Pour le prouver d'une manière claire et en même temps pour découvrir le degré de multiplicité de ces points ou le nombre des branches qui y passent respectivement, nous considérerons le cas particulier de quatre directrices données de degrés m, n, p et q. Cela posé, concevons que l'on ait tracé l'une quelconque ^a

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 6i

des génératrices passant par le pôle p, et qu'on demande de trouver les points tels que a qui lui correspondent : d'après l'énoncé du théorème général qui fait l'objet de la Proposition II, on devra chercher le point inconnu x , où cette génératrice rencontre la courbe [m], puis tracer la génératrice consécutive xp' qui passe par le second pôle p' et le point X ainsi obtenu, chercher derechef le point x' où cette génératrice rencontre la courbe [q), et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier point x'" situé sur la courbe [n), voisine de a. ou />''. Joignant alors ce point x'" au pôle adjacent p^", par la droite x"'p'^, le point oc où celle-ci coupera la première des génératrices du polygone px, sera le point demandé de la courbe des a qui correspond à la position particulière de cette génératrice. Or, si l'on fait attention que la génératrice px ne rencontre pas la courbe (m) en un seul point X, mais encore en m — t autres points distincts de x^ et qu'il n'y a pas de raison pour se servir de la première de ces intersections plutôt que de l'une quelconque des autres, on en conclura que, à une même direction xa, correspondent m autres droites xp'.

Pareillement, chacune de celles-ci rencontrant la courbe (q) en q points x', il y aura q génératrices x' p" qui répondront à une même direction xp', et par conséquent mq de ces directions correspondront à la génératrice de départ px. En allant ainsi de proche en proche, on voit enfin qu'on trouvera mqpn dernières génératrices x'" p^"' correspondantes Axp, lesquelles donneront avec celle-ci un même nombre de points d'intersection appartenant tous à la courbe (a) : car il n'y a pas de raison de choisir l'un plutôt que l'autre de ces points, puisqu'ils dérivent de la même loi.

Ainsi donc, à une même génératrice xp correspondent mnpq points appartenant à la courbe inconnue (a); or il est visible que, quand cette génératrice viendra à prendre la position pp^^ , les mnpq autres génératrices qui lui correspondent, et qui en général ne se confondent pas avec elle, la couperont précisément en ce point j?'"; et comme, avant et après ce même point, les sommets a de la courbe situés sur xp sont en nombre mnpq, il est évident qu'il y aura autant de branches passant par le pôle />'''; donc enfin ce pôle

est un point multiple de l'ordre mnpq. Le même raisonnement s'appliquant à la droite x"' p^" en la considérant comme génératrice de départ, on doit en conclure que le pôle p est aussi un point multiple de l'ordre mnpq de la courbe (a). Enfin la droite pp^^ ne renferme évidemment aucun autre point de la même courbe, car elle ne peut être coupée qu'en mnpq ^- mnpq = 1 171 . n . p . g points, au plus.

Proposition XXVII. — Tracé des tangentes.

Pour trouver les mnpq tangentes à la courbe (a) en p ou /?'^, par exemple en /?'^, on considérera la droite xp parvenue à la position />/?"', et ayant recherché par la loi indiquée cidessus tous les points x, x', x",..., qui lui correspondent, on mènera en ces points les tangentes aux courbes respectives (m), («), (/?),...

Considérons à part l'un des polygones analogues à celui axx'x"x"' de hjig. ^o, ainsi que les tangentes aux courbes (m), [q),... {n) répondant aux sommets x, x', x", x'", et supposons que l'on vienne à déformer ce polygone en obligeant ses sommets à parcourir les tangentes respectives qui leur correspondent, et ses côtés consécutifs à tourner autour des pôles adjacents /?,/)',... />'^, il est visible, d'après la Prop.XXIV, que le sommet oc précédemment confondu avec le pôlep'^, s'en détachant pour devenir libre, parcourra une section conique passant aussi par les points p et p"'; or, celle conique aura au pôle p"' un élément en commun avec l'une des branches de la courbe des x qui passe en ce point.

En effet, pour deux positions infiniment voisines, les sommets X, x', x",... sont situés à la fois sur les tangentes et les directrices [m], [q),...{n) auxquelles elles appartiennent respectivement; et par conséquent les deux positions infiniment voisines du point générateur a qui leur correspondent, et dont l'une est p^", appartiennent à la fois, et à la conique dont il s'agit, et à la courbe des a; donc ces courbes ont une tangente commune en p^", facile à obtenir par la règle seule (t. P"", p. i38), en prenant avec les pôles extrêmes j» et ;?'% trois autres points quelconques de la conique.

Un autre polygone distinct du précédent {xx' ... x"'p'''),

donnerait une nouvelle tangente à la courbe (a) en p'^, puis par une méthode toute semblable, on obtiendrait les tangentes aux mnpq branches qui passent par l'autre point multiple/? de cette même courbe des a.

Remarque. — En général, le même procédé donnera la tangente en un point quelconque de cette courbe, dès qu'on saura mener une tangente aux directrices (m), [n), {q). Nous chercherons par la suite (*) à mener directement la tangente à une courbe géométrique quelconque, du degré m, décrite sur un plan, en ne se servant que de la règle seule.

Pour le moment, nous allons nous occuper des différents cas où le degré de la courbe ci-dessus s'abaisse d'une ou de plusieurs unités. Et d'abord, commençons par examiner les cas où les pôles donnés p, p' ,- ■ • sont tous ou en partie, rangés sur une même ligne droite.

Proposition XXVIII. — Théorème.

Si tous les sommets d'un polygone mobile, un seul excepté, sont assujettis à parcourir autant de courbes géométriques de degrés m, n, p,... situées dans le même plan, et qu'en même temps tous les côtés de ce polygone soient astreints à pivoter constamment autour d'autant de pôles fixes situés en ligne droite, le dernier sommet demeuré libre décrira par le même mouvement une courbe de degré mnp....

On démontrera facilement cette proposition en appliquant à ce cas particulier le raisonnement du théorème général, p. 58, et en s'appuyant sur la remarque de la Proposition XXIV. Car, par exemple, si, dans le cas où toutes les directrices

(*) Foir le Cahier suivant où la théorie des transversales est appliquée à la recherche des osculatrices coniques en des points donnés quelconques. Quant au tracé des tangentes par la précédente méthode, M. Moutard me fait observer qu'elle n'a d'intérêt que s'il s'agit d'un point a quelconque de la courbe; car les considérations géométriques mêmes du texte prouvent qu'en un point multiple tel que /», par exemple, les tangentes ne sont autres que les mnpq directions de la génératrice J^'"/?'", qui correspondent à .xp quand celle-ci vient à se confondre avec />/>'*.

64 l" CAHIER. — PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

étant du premier degré, la courbe des a est elle-même de ce degré, on remplace l'une quelconque de ces directrices droites par une ligne quelconque du degré m, on prouvera aisément que la courbe engendrée par le sommet a sera ellemême du degré m. En effet, si l'on trace une transversale droite XY arbitraire, dans le plan de \^Jig. 4i> et qu'on assu-

Fig. 4i.

jettisse le sommet a à rester sur cette droite en rendant au contraire libre le sommet x, qui d'abord parcourait la courbe, alors il arrivera, en vertu du lemme cité, que ce sommet décrira une dernière ligne droite rencontrant la courbe (m) en m points auxquels en correspondront m autres a situés sur XY, et qui appartiendront à la courbe décrite par le sommet a, supposé libre selon notre primitive hypothèse. Or, il ne saurait y en avoir, sur la transversale XY, d'autres qui appartiennent en même temps à la courbe des a; donc cette courbe ne rencontre une droite arbitraire menée dans son plan qu'en m points ; donc elle est en général et au plus du degré m. En poursuivant ce raisonnement de proche en proche pour les directrices courbes {p), [q). . ., substituées à des directrices rectilignes, on arrivera enfin à la démonstration du théorème cidessus énoncé.

Remarque concernant la multiplicité des points polaires. — Dans le cas particulier considéré où tous les pôles sont en ligne droite, on ne peut plus conclure qu'aucun d'entre eux appartienne à la courbe et soit un point multiple. En effet, quand la génératrice rectiligne xp, par exemple, vient à se confondre avec la direction pp^", toutes les autres génératrices polygonales mobiles, y compris la dernière x'" p^^, tendent à se

confondre avec la même droite; donc alors les points a, relatifs à ce cas, ne sont plus distincts comme dans l'hypothèse générale, et il est impossible d'affirmer qu'ils se confondent avec p ou p^". Il y a plus , on peut se convaincre par des exemples que cela n'a pas lieu en général.

En particulier, quand toutes les directrices des sommets sont rectilignes, on sait que le sommet libre a parcourt lui-même une ligne droite; or, cette ligne droite ne saurait évidemment passer par les pôles p et p"", puisqu'elle serait déterminée indépendamment de toutes les autres données du problème dont elle dépend essentiellement; ce qui est absurde. Toutefois, on ne doit pas inférer de là que la courbe des a ne rencontre en aucun point la droite des pôles pp''', mais seulement que la position de ces points n'est pas immédiatement déterminée par la supposition actuelle.

Cette circonstance nous rappelle d'autre part que toute fonc-

lion algébrique qui prend la forme -•> change nécessairement

de nature. Or, dans le cas général où les pôles ont une position quelconque, l'équation de la courbe des a, dont les coefficients sont des fonctions des coordonnées constantes qui déterminent la position de ces pôles, peut être telle, qu'en y substituant à la place de l'abscisse x, celle de l'un quelconque des points p ou p'^, le résultat, par suite de réductions, soitdécomposable en deux facteurs de même degré mnpq, et dont l'un soit de la forme (j — h)""iP" par exemple, ce qui annonce que la courbe passe mpqn fois par le pôle correspondant. On conçoit encore qu'il puisse arriver que l'équation primitive de la courbe des a soit telle, qu'en y introduisant la condition des pôles en ligne droite, il s'évanouisse quelques termes, et qu'elle s'abaisse au degré mnpq , après avoir été délivrée du facteur qui l'embarrasse nécessairement, facteur de la forme même de l'équation de la droite /?/>'^, c'est-à-dire

ou

[[b — b')f — {a — a')x-\-ab' — ba']"'"PJ;

l'autre facteur pouvant ne plus s'évanouir par la substitution des coordonnées des points/) et /?'% etc.