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498 Vr CAlllEH. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

ourra répandre un grand jour sur la marche de l'Analyse, et, si je ne me trompe, contribuera à en hâter d'une manière inattendue le progrès, devenu si indispensablement nécessaire.

XVIII. D'autre part, si l'on veut connaître jusqu'à la raison pour laquelle le facteur (c) se trouve être solution du problème dont il s'agit, il faudra de toute nécessité remonter aux équations d'où l'on est parti pour faire l'élimination. On voit très-bien d'abord ce que signifient les équations (.y) et (a) : l'une est celle de la courbe donnée que parcourt le pôle ou ommet mobile (a, (5), l'autre représente la tangente de la courbe cherchée, relative à une position particulière de ce pôle; il n'y a donc que r équation (b), qui a servi à l'élimination avec les deux autres, dont l'interprétation puisse souffrir quelque difficulté.

En la mettant sous celte nouvelle forme

b'y-hc'x + e' __ bp + cct + e

et remarquant que ses deux membres sont respectivement les expressions des tangentes tabulaires des angles que forment, avec l'axe des .r, les tangentes en {x,r), («, P) aux courbes {s') et (.v), mais prises avec des signes contraires, on en conclura, comme on l'a déjà fait ci-dessus à l'égard de l'équation (e), que cette équation, en y regardant x et j- comme les coordonnées courantes, et a., p comme constantes, représente un diamètre (je la courbe {s), dont le conjugué fait avec l'axe des x un angle précisément égal à celui que forme, avec ce môme axe, la tangente en (a, (3) de la courbe (,v) ; c'est donc l'intersection de ce diamètre avec la tangente (a) à la courbe réciproque cherchée qui donne le point de contact de cette tangente avec cette même courbe. Or, quand le point (a, p) vient passer à l'infini sans quitter la courbe (.v), le diamètre et la tangente dont il s'agit se confondent évidemment dans toute leur étendue (XVII), et ne donnent aucun point déterminé d'intersection appartenant à la courbe cherchée, ou plutôt donnent à la fois pour points d'intersection tous ceux du diamètre même dont il s'agit. Donc, l'équation finale devant donner simultanément les points qui appartiennent au système des équations (a) et (b), elle doit donner aussi tous ceux de ce même diamètre, et renfermer par conséquent l'équation de ce diamètre en facteur.

XIX. L'interprétation que nous venons de donner du facteur (c), pour le cas particulier de l'exemple qui précède, nous fait voir que, si la même courbe donnée [s), au lieu d'être une section conique, était en général du degré >n, le nombre des points situés à l'infini sur cette courbe étant alors en général w, il y aurait un même nombre de diamètres de la courbe (a') qui appartiendraient à la solution analytique du problème; l'équation finale se trouverait, par là, affectée d'un facteur étranger du de-

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIEll. 499

gré /«, qui la multiplierait inévitablement sans qu'il fût possible de l'en délivrer à priori par aucun procédé d'élimination, à moins de changer la forme même des équations primitives, c'est-à-dire la mise en équation, ou de le supprimer d'une manière implicite dans le résultat final. Ainsi, notamment, dans le cas particulier qui nous occupe, si, après avoir substitué les valeurs trouvées pour a, p dans l'équation (.v), au lieu de réduire de suite, comme nous l'avons fait, tout au même dénominateur, on eût réuni séparément les numérateurs des termes ayant />' pour dénominateur commun, et qui sont les seuls où x et j paraissent entrer au delà de la seconde puissance, on eût trouvé que D entre aussi comme facteur dans ce numérateur, et alors, en le supprimant, on serait nécessairement retombé sur l'équation (.v"), à laquelle nous sommes déjà parvenus. Mais on voit qu'en opérant ainsi on aurait réellement et à posteriori supprimé un facteur de l'équation finale. Il n'y aurait de ditférence entre cette manière de procéder et celle d'abord employée, qu'en ce qu'on aurait supprimé ce même facteur d'une manière implicite, et sans s'en être rendu aucun compte préalable, comme nous l'avons fait dans l'autre des deux cas dont il s'agit.

Si, présentement, on fait attention qu'il peut très-bien arriver que le facteur supprimé, par l'effet des opérations intermédiaires, représente précisément la véritable solution du problème , on devra comprendre que, s'il est des manières de procéder qui abrègent le calcul de l'élimination, il en est aussi qui peuvent par là conduire à des espèces d'absurdités, en faisant manquer le but réel qu'on se propose d'atteindre.

Dans les procédés généraux de l'élimination, les réductions partielles dont il vient d'être question ne peuvent plus avoir lieu d'une manière immédiate, et alors il arrive que les équations finales renferment d'une manière implicite les facteurs singuliers qui les compliquent inévitablement. On attribue à l'opération elle-même d'avoir introduit ces facteurs soi-disant étrangers, tandis que, comme on vient de le faire voir, ce n'est, au contraire, que par l'effet d'opérations particulières que ces facteurs peuvent disparaître fortuitement du résultat final, dont ils font nécessairement partie sous le rapport purement analytique. Si l'on s'attachait à bien étudier les équations de départ, on pourrait peut-être parvenir à connaître à l'avance le degré et la forme même de ces facteurs, et alors rien ne serait plus facile que de les supprimer après coup, s'ils ne répondaient pas immédiatement à l'énoncé verbal de la question proposée.

XX. Il résulte clairement de tout ce qui précèJe, que le résultat de l'élimination entre les équations (4, 5, 6) de l'art. lit doit renfermer, conformément à ce qui a été annoncé (IV^), un facteur étranger qui complique nécessairement son expression, et qu'il est impossible de supprimer à priori, c'est-à-dire autrement que dans l'équation finale elle-même; que ce facteur est du quatrième degré, et représente le système de quatre droites

5oo Vl" CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

particulières; qu'enfin on peut obtenir à l'avance l'expression de ce facteur en agissant conformément à ce qui a été dit (XVI, XVII, XVIII), c'est-à-dire en recherchant les diamètres de la section conique (v') qui ont pour pôles les points situes à l'infini sur la courbe donnée ( 4 ), et multipliant leurs équations entre elles.

Si, au lieu de considérer des lignes planes comme dans ce qui précède, on considérait des surfaces courbes abitrairement situées dans l'espace, hi surface directrice (.v') étant toujours du second ordre, on trouverait (Note do l'art. XVI) que le facteur étranger représente une seule et unique surface conique, ayant son sommet au centre même de la surface (v') qui sert de directrice, et dont les génératrices rectilignes seraient respectivement parallèles à celles de la surface dcvehppahle (isyinptotiqiœ de la proposée. Mais c'est assez s'arrêter sur les conséquences de l'analyse qui précède.

iVoTK ADDITIONNELLE aux 11°^ XV et XT'I, relative à la détermination des asymptotes, au lieu des points à l'infi?ii de l'espace, etc. (i863).

Avant de nous occuper de ce dernier objet, remarquons que les numéros dont il s'agit donnant analytiquement l'inclinaison des asymptotes d'une courbe plane, on a, par cela même, un moyen d'en déterminer la position absolue, en recourant aux considérations relatives aux polaires de contact, rapidement ébauchées dans l'art. IV du II* Cahier (p. i/p à i6i). Par exemple, pour les simples coniques, il suffit de mener parallèlement aux directions obtenues, autant de lignes droites passant par le centre de la courbe, pôle de la droite à l'infini du plan et que détermine immédiatement, pour la conique {s), le système des équations linéaires

Quant aux courbes planes et aux surfaces géométriques d'ordre quelconque, on comprend que la solution relative à la détermination des droites ou développables asymptotes ne saurait dépendre d'éléments aussi simples, et qu'il serait nécessaire de recourir aux considérations géométriques de l'art. IV cité où la transversale rectiligne et le plan qui, à l'infini, contiennent les points de contact des tangentes asymptotiques, seraient pris pour directrice des pôles ou points de convergence ji, des faisceaux de tangentes à la courbe ou surface considérée. Mais il ne saurait en être question dans cette Note additionnelle, et je préfère insister sur quelques points des indications rapides des n*"* XV à XX du texte ci-dessus imprimé en 1817, qui, à cette époque, n'ont pas suffi pour attirer l'attention, peut-être à cause de l'usage que j'y faisais de l'Analyse infinitésimale, aujourd'hui encore bannie de nos collèges et 'très-imparfaitement suppléée par la doctrine des dérivées, malgré le vœu formel des plus éminents professeurs, qui apprécient les avantages inhérents à l'admission de la continuité et de l'infini. En réalité, depuis un certain temps, l'enseignement public en France est livré à une sorte d'anarchie provenant du mélange des méthodes, du décousu des programmes et de l'arbitraire, de l'esprit d'indépendance des professeurs, des examinateurs et même des colleurs dont la délicate profession était fort peu connue de nos ancêtres.

EXTRAITS DES Aî^NALES DE MONTPELLIER. 5oi

Quant il l'objet dont il s'agit, il me semble inutile de se livrer à de profondes méditations et à de longs calculs pour apercevoir que les n°^ XV et WI et les notes qui les accompagnent contiennent implicitement la justilication analytique des principes, d'apparence métaphysique, démontrés géométriquement dans le \^ Cahier de ce volume et dans le Traité des Propriétés projectives des figures. Car, d'après les considérations analytiques de ces numéros, les droites qui, partant d'un point donné quelconque (soit l'origine même des coordonnées), vont auv diflérents points à l'intini d'une courbe ou d'une surl'ace continue, forment un faisceau convergent dont les diverses tangentes tabulaires d'inclinaison par rapport aux axes ou aux plans coordonnés, sont soumis à des conditions algébriques analogues à celles de l'équation

(/) aP -i--ibk-\-c=o,

déduite de l'équation (a) de la courbe considérée dans le cas particulier du texte, par un mode d'opérer qui, en remplaçant à son tour dans l'équation

ainsi transformée k par —i redonne la première partie,

{g) «,5* -t-2Ôa/3-hca* = o,

de la proposée (i); c'est-à-dire précisément celle qui se compose de la somme des termes do plus haute puissance en a et /3, et qu'on eût obtenue de suite, en observant que les points à coordonnées variables a et ,3, dont on s'occupe, étant situés à l'infini, les termes de puissances ou de produits inférieurs des mêmes variables sont comme nuls et doivent disparaître par rapport à ceux de puissances supérieures, selon un principe généralement admis parmi les géomètres algébristes qui n'ont pas absolument horreur de la notion abstraite de l'infini.

Ces considérations, étant applicables, mot pour mot, aux courbes et aux surfaces algébriques de tous les degrés, il devient permis d'en tirer des conséquences générales et rigoureuses, sans être obligé de recourir à des artifices de calcul, et de renoncer à la méthode classique des coordonnées de Descartes.

Remarquons d'abord que l'équation (/) ou son analogue dans le cas général d'une courbe plane de degré /«, donnant, par sa résolution au moins implicite, les m valeurs réelles ou imaginaires de l'inclinaison ft du faisceau des parallèles aux asymptotes issues de l'origine des coordonnées, cela prouve que le nombre des points à l'infini sur la courbe est le même que celui du degré m de cette courbe, et suppose évidemment que les points à l'infini de son plan sont sur une certaine droite indéterminée de situation dans ce plan, ainsi qu'on l'a démontré géométriquement dans le V* Cahier de ce volume.

Donc aussi, l'équation (^), ou son analogue dans le cas général, est l'équation même du faisceau convergent des parallèles aux asymptotes, c'est-à-dire le produit des équations linéaires des diverses droites de ce faisceau, ayant ici chacune la forme [î — A« = o.

Supposant, comme exemple très-particulier, que l'équation {s) soit celle d'un cercle de position quelconque, on aura a^=c, ^=:0; ce qui réduit les équations (f) et {g) aux deux suivantes :

A'-+-i=o, jS'h-!%' = 0; d'où h=±\j—\, fi = ±K\/—i,

5o2 VP CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

et par là fait connaître algébriquement les points où le cercle est rencontré par la droite à l'infini de son plan. De plus, comme on parvient à des résultats entièrement identiques pour d'autres circonférences de cercle quelconques situées sur le mémo plan, il en résulte la vérification algébrique à posteriori du no XXXIV de l'énoncé du précédent Cahier (p. 392); énoncé qui, d'après ce qui précède et un autre théorème d'Analyse bien facile à démontrer, s'étend évidemment à des systèmes de coniques ou de courbes algébriques d'ordre quelconque, semblables et semblablement placées sur un plan.

Quant au cas de l'espace, la méthode algébrique et ses principales conséquences restent les mêmes, à cela près que les équations comportent alors trois coordonnées indépendantes x, y, z, ou ce, /3, y, et que ces équations sont doubles ou triples pour chacune des parallèles aux asymptotes et des lignes courbes proposées ou données. Ainsi, par exemple, pour fixer les idées, dans le cas très-particulier encore d'une surface du second degré, où l'équation («) serait remplacée par la suivante:

A«' -H B/3' -+- C/ -^ D«/3 H- E«;^ -h F/3y -H Go-, . . . = o,

et l'équation unique de la parallèle aux nappes infinies ou asymptotiques, par les deux équations

« = »},, j3 = Ay,

les équations (/") et (^), ci-dessus, seraient elles-mêmes changées en celles-ci î

Al* -1- B A» -t- C + \Sik -h E/-f- FA -H G/ . . . = o,

A a' -i- B j3' -H C •/ -i- D «/3 + E ay -H- F/3y = o,

dont la dernière représente un cône à double nappe indéfinie, réelle ou imaginaire, parallèle à la développable conique et asymptote de la surface proposée (Monge). Ce cône ayant ici pour sommet l'origine des axes coordonnés, et pour section (réelle ou imaginaire) par un plan quelconque parallèle à celui des a/3, une courbe semblable et semblablement placée par rapport à la section correspondante de la surface proposée, il est clair que ces deux sections vont se superposer rigoureusement à l'infini sur le cône, c'est-à-dire pour la valeur y =00 . Or, ceci ayant lieu pour des surfaces algébriques d'ordre et en nombre quelconque, démontre à posteriori que tous les points à l'infini de l'espace peuvent et doivent, aussi au point de vue analytique, être supposés sur un plan, etc.

D'autre part, comme les équations des surfaces algébriques semblables et semblablement placées ne diffèrent entre elles, à un facteur constant près, que par les coefficients des termes de degrés inférieurs; cela justifie encore que de telles surfaces ont un même plan de section commune, réelle ou imaginaire, à l'infini, etc., etc.

Lorsque, il y a près d'un demi-siècle, je m'occupai de ces démonstrations, plutôt analytiques que géométriques, je considérais, ainsi qu'on apu s'en apercevoir, comme chose évidente, d'après les procédés des n"' XV et XVI et les théories bien connues de l'Algèbre, que le nombre des points à l'infini d'une courbe plane étant précisément égal à celui qui en marque le degré, ces points devaient être supposés appartenir à une droite à l'infini, indéterminée de direction dans le plan ou l'espace. Pour s'en convaincre plus directement encore, soit

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5o3

/(«, /3) = o l'équation de la courbe et y3 = A«, comme au n" XVI, celle d'une droite allant de l'origine des coordonnées à l'un quelconque des points à l'in fini de cette courbe; soit enfin /2 = Aa-»-B l'équation d'une transversale arbi traire, il paraît évident que les équations

/(«, Aa-t- B) =0, f{a.,k(/.) — o,

provenant de la substitution des deux valeurs ci-dessus de ?, seront identique si l'on y suppose simultanément B et a infinis, ainsi que

Aa-t-B=;Aa ou k — k^ — i a.

égalité susceptible d'être satisfaite, quelles que soient les valeurs attribuées

l'indéterminée — devenue-» quand la transversale )3=Aa-t-B passe tout en-

tière à l'infini; A étant une constante, donnée entièrement arbitraire, et k une autre constante déterminée par le calcul, comme on l'a montré dans ce qui précède.

Or, ce genre de raisonnement qu'on pourrait développer davantage d'après l'exposé des pages précédentes, étant considéré comme admissible en Analyse algébrique et s'étendant au cas des surfaces, prouve, avec une rigueur désormais incontestable, la vérité du principe dont il s'agit, déduit des notions de la continuité et de l'infini considéré dans ses divers ordres hiérarchiques ou subordonnés de grandeur et de petitesse variables. Ces notions métaphysiques, mises en parfaite évidence dans les multiples et curieux phénomènes de la Géométrie descriptive, ont éclairci déjà bien des obscurités, des mystères de l'Analyse algébrique, et contribueront, par la suite, à en éclaircir bien davantage encore; notamment en ce qui concerne l'abaissement du degré des équations des courbes et surfaces par la disparition de certains termes, de certains coefficients ou paramètres, d'où résulte soit l'évanouissement même de certaines branches, soit leur transport à l'infini, en vertu desquels elles se changent en autant de points isolés ou en autant de lignes droites tantôt distinctes, tantôt confondues entre elles.

Le principe de Géométrie relatif aux limites idéales de l'espace, qui, en raison de ce qu'une portion déterminée et finie d'une surface sphérique de rayon infini doit algébriquement ou figurativement être supposée plane, ne contredit nullement l'apophthegme des Anciens, mentionné dans la note de la p. i46, où je regrette de n'avoir pu mettre à profit le contenu d'une dissertation historique approfondie qu'a bien voulu me communiquer M. de Loménie, savant professeur de littérature au Collège de France et à l'École Polytechnique. Qu'il me suffise de joindre aux noms déjà cités dans cette note, ceux de Timée de Locres chez les Anciens, et, chez les modernes, de Rabelais qui avait probablement répété cet apophthegme plutôt au point de vue de la théologie qu'à celui des mathématiques. Toutefois la conception première d'une telle maxime me semblerait bien plutôt devoir être attribuée à Platon, ce généralisateur du cône et des coniques, dont l'École est célèbre par ces mots : Nul n'entre ici s'il n'est géomètre, et auquel on doit probablement aussi l'épithète d'éternel géomètre, appliquée à Dieu, l'esprit générateur et organisateur de toutes choses, cause, force ou principe, dont nous étudions ici-bas les lois et les effets divers.

RECHERCHES SUR LA DÉTERMINATION d'unE HYPERBOLE ÉQUILATÈRE , AU MOYEN DE QUATRE CONDITIONS DONNÉES ; PAR MM. BrIANCHON ET PoN-

CELET.

(T. XI des Annales, i**" janvier 1821.)

Théorème I. — Dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatcre, le point de concours des trois hauteurs est situé sur la courbe.

Démonstration. — On sait que, pour tout hexagone ABCDEF {/îg. 170) inscrit à une section conique, les trois points de concours II, I, K des côtés opposés sont en ligne droite. Si donc, la courbe ayant des branches infinies, on suppose que l'hexagone ait deux de ses sommets, comme E, F, situés à l'infini, le point I, concours des deux côtés EF, BC, se trouvera à l'infiini ; ce qui revient à dire que BC et HK seront parallèles.

Maintenant, la courbe étant une hyperbole, il est clair que les deux côtés DE, FA, adjacents à EF qui est à l'infini, seront respectivement

parallèles aux deux asymptotes, et, partant, seront rectangulaires, pour le cas de l'hyperbole équilatère, qui est celui dont il s'agit ici.

Les deux derniers sommets E, F de l'hexagone inscrit à cette courbe étant ainsi portés à l'infini, les quatre autres resteront arbitraires. Soient

Fi{;. 171.

donc pris à volonté les trois premiers A, B, C ( Jig. 171 ), et soit marqué

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5o5

le quatrième D tel que les deux côtés AB, CD, respectivement opposés à DE, FA, soient rectangulaires entre eux. Il résulte de ceci que AH est perpendiculaire sur DK. D'ailleurs AK est perpendiculaire sur DH, parla propriété des asymptotes; donc le point A est le croisement des trois hauteurs du triangle DHK; donc AD est perpendiculaire sur IIK, et conséquemment aussi sur BG, parallèle à IIK. Mais, par construction, CD est perpendiculaire sur AB; donc le point D est le croisement des trois hauteurs du triangle ABC. Or, le triangle ABC a été inscrit à volonté à la courbe; donc généralement « dans tout triangle ABC, inscrit à une » hyperbole équilatère, le point de croisement D des trois hauteurs est » un point de la courbe » ; ce qiUil fallait démontrer.

Si l'un A des angles du triangle inscrit varie de grandeur, en tendant vers l'angle droit, le point D se déplacera sur la courbe en s'approchant continuellement du sommet A; ce qui revient à dire que la sécante AD, perpendiculaire sur BC, tendra sans cesse à toucher la courbe en A, et qu'enfin elle sera tangente quand l'angle A sera droit. Donc :

Théorème IL — Dans tout triangle rectangle insci-it à une hyperbole équilatèrcy la perpendiculaire abaissée du sommet de Vangle droit sur l'hypoténuse est tangente à la courbe.

Il suit de là que, si l'angle droit oscille sur son sommet, l'hypoténuse se déplacera parallèlement à elle-même et à la normale menée à ce sommet; ce qui est un cas particulier du beau théorème démontré par M. Frégier dans le présent recueil [Annales, t. VI, p. 229 et 32 1, t. VII, p. 93).

Au moyen de ce qui précède, si on connaissait deux points A, B [fg. 1 72) de la courbe, et la tangente AP en l'un A de ces points, on pourrait en

Fijj. 172.

construire un troisième G en cette manière : du point B abaissez une perpendiculaire BC sur la tangente donnée, elle ira couper au point cherché C la perpendiculaire AC à AB.

On sait donc résoudre ces trois problèmes :

Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et la tangente en Fun (Ceux.

Décrire une hyperbole équilatère dont on a deux points et les tangentes en ces points.

Décrire une hyperbole équilatère dont on a deux points, la tangente en Pun de ces points et une autre tangente quelconque.

5o6 VP CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

En effet, par la construction qui vient d'être indiquée, on obtiendra un nouveau point de la courbe; après quoi, pour achever, on aura recours aux solutions connues de ces questions (*) :

Décrire une section conique dont on a quatre points et la tangente en Pun d'eux.

Décrire une section conique dont on a trois points et les tangentes en deux de ces points.

Décrire une section conique dont on a trois points, une tangente quelconque et la tangente en Pan de ces points.

Il résulte encore du Théorème I que, lorsqu'on connaît trois points A, B, C [Jîg. 171) d'une hyperbole équilatère, on en a un quatrième D, qui est le croisement des trois hauteurs du triangle ABC; en sorte qu'on sait aussi résoudre ces deux problèmes :

Décrire une hyperbole équilatère dont on a quatre points.

Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et une tangente.

Car, au moyen de la construction indiquée, on obtiendra un nouveau point de la courbe; après quoi, pour achever, on aura recours aux solutions connues de ces questions {**) :

Décrire une section conique dont on a cinq points.

Décrire une .section coniciue dont on a quatre points et une tangente.

Théorème III. — Si deux points, situés sur le plan dune hyperbole équilatère, sont les milieux ou les pôles respectifs de deux cordes ou de deux droites quelconques également situées sur ce plan; et que, par chacun d'eux, on mène une parallèle à la corde ou à la polaire qui correspond à P autre, le cercle qui passera par ces deux points et par celui où se coupent les parallèles passera aussi par le centre de la courbe.

Démonstration. — Soient, en premier lieu, CE, CF [fig. 173 ) les direc-

Fig. 173.

No-

tions indéfinies des deux cordes en question, I, K leurs milieux respec-

(*) Mémoire sur les lignes du second ordre, etc., par C.-J. Brianchon, Paris, 1817.

(**) Même ouvrage.

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. Soy

tifs, O le centre de l'hyperbole équilatère et EF Tune de ses asymptotes, rencontrant en E, F, les deux cordes CI, CK prolongées; les droites OK, 01 seront les diamètres de la courbe, conjugués à la direction de ces cordes.

Cela posé, puisque l'angle des asymptotes est droit et que le point K est le milieu de la partie interceptée par ces asymptotes sur la direction de CF, la distance KO = KF et par conséquent l'angle KFO = KOF. Par la même raison, l'angle lEO = lOE ; mais, à cause du triangle CEF, l'angle G est supplément de la somme des angles E, F, et par conséquent supplément de celle des angles KOF, lOE ; donc il est égal à l'angle lOK, formé de l'autre côté de IK par les diamètres IK, 10. D'ailleurs, on prouverait de la même manière que, si le point 0 était supposé du côté du sommet de l'angle C, l'angle lOK, formé par ces mêmes diamètres, serait égal au supplément de l'angle C ; donc il est sur la circonférence du cercle qui passe par les points K, I et par celui L où se coupent les parallèles KL, IL menées par chacun d'eux à la corde qui passe par l'autre : c'est-à-dire que,

1° « Si par chacun des points milieux de deux cordes quelconques d'une » hyperbole équilatère, on mène une parallèle à la corde qui correspond » à l'autre, le cercle qui passera par ces deux points et par celui où se » coupent les parallèles passera aussi par le centre de la courbe. »

En second lieu, soient PG, PH [fg. 174) deux droites quelconques, situées sur le plan d'une hyperbole équilatère; R, Q leurs pôles respec-

Fig. 174.

lit

tifs, par rapport à cette courbe. Concevons, par le point Q, la parallèle QC à la polaire PH de ce point; la corde correspondante sera évidemment partagée en deux parties égales en Q ; car, d'après la théorie généralement connue des pôles, « le diamètre d'une section conique qui renferme » les milieux de toutes les cordes parallèles à une même droite, située » sur le plan de la courbe, passe aussi par le pôle de cette droite. »

Par la même raison, si, par le point R, pôle de la droite PG, on mène la parallèle CR à cette droite, rencontrant la première au point C, la corde qui lui correspond, dans l'hyperbole équilatère, sera divisée en deux parties égales en R; ainsi, les points R, Q seront les milieux des droites ou cordes indéfinies RC, QC, qui passent respectivement par ces points et sont parallèles aux deux droites PG, PH.

5o8 VP CAHIER . - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Il suit de là et de ce qui précède que :

1° « La circonférence qui passe par deux points quelconques R, Q, situés w sur le plan d'une hyperbole équilatère, et par le point L où se cou- » peut les parallèles menées par chacun d'eux à la polaire PG ou PH de » l'autre, passe aussi par le centre de la courbe. »

Il est d'ailleurs évident que les mômes choses auraient encore lieu si, à la place de l'une des deux droites et de son pôle, on substituait une corde et son point milieu ; ce qui complète la démonstration du théorème énoncé.

S'il arrivait, dans le cas où l'on considère deux droites PG, PH et leurs pôles R, Q, que chacun de ces derniers fût situé sur la droite qui correspond à l'autre; c'est-à-dire, si le point Q se trouvait sur PG et le point R sur PII, les parallèles RL, QL se confondraient évidemment avec ces droites; donc la circonférence qui renferme le centre de l'hyperbole équilatère correspondante passerait alors par le point P où se rencontrent ces mêmes droites; mais, d'après la théorie des pôles, ce point a évidemment pour polaire la droite qui passe par les points Q, R; de sorte que ces trois points sont tels, que chacun d'eux est le pôle de la droite qui contient les deux autres; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème IV. — Lorsque trois points situés sur la plan cPune hyperbole ècjuilatère sont tels, que chacun d'aux est le pôle de la droite qui contient les deux cadres, le cercle cpd passe par ces trois points passe aussi par le centre de la courbe.

Quatre tangentes AB, BC, CD, DA [Jlg. lyS) à une même section conique forment, par leurs intersections mutuelles, un quadrilatère complet

TÂBCSD, dont les trois diagonales AC, BD, ST sont, comme l'on sait, telles que « chacune d'elles est la polaire de l'intersection des deux autres; » de sorte que, si la courbe est une hyperbole équilatère, la circonférence qui passera par les trois points P, Q, R, intersection des diagonales, passera aussi, d'après ce qui précède, par le centre de la courbe; d'où résulte ce nouveau théorème :

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. Sog

Théorème V. — Si l'on mène quatre tangentes quelconques à une hyperbole équilatère, le centre de In courbe sera situé sur la circonférence qui passe par les trois points cT intersection des diagonales du quadrilatère complet formé par ces tangentes;

Ou, ce qui revient au même :

Les centres de toutes les hyperboles équilatèrcs tangentes a quatre droites quelconques, tracées sur un plan, sont situés sur la circonférence d^un cercle unique qui passe par les trois points (P intersection des diagonales du quadrilatère complet formé par ces droites.

D'un autre côté, il résulte d'un théorème découvert par Newton [Principes mathématiques, etc., liv. I, Lem. XXV, Corol. III) que

« Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique quelconque, les » trois points milieux des diagonales sont sur une droite unique qui passe » par le centre de la courbe ; »

Ou, ce qui revient encore au même:

» Les centres de toutes les sections coniques tangentes à quatre droites » quelconques, tracées sur un même plan, sont situés sur la droite unique » qui passe par les trois points milieux des diagonales du quadrilatère » complet formé par ces droites. »

Donc, dans le cas de l'hyperbole équilatère, le centre de la courbe se trouve à la fois sur la droite unique dont il s'agit et sur la circonférence du cercle qui passe par les trois points P, Q, R, où se croisent les diagonales; en sorte qu'on peut aussi résoudre ce nouveau problème :

Décrire une hyperbole écpdlatère dont on a quatre tangentes.

En effet, ayant déterminé, au moyen de ce qui précède, le centre de la courbe (et il y en a évidemment deux, en général, qui résolvent la question), on le joindra par ime droite avec l'un quelconque P des points d'intersection des diagonales, laquelle ira rencontrer la diagonale opposée BD, polaire de P, en un point X qui, d'après la théorie des pôles, sera nécessairement le milieu de la corde correspondante, et par conséquent aussi le milieu de la partie interceptée par les asymptotes sur cette diagonale; portant donc, à partir du point X, deux dislances égales à OX sur la direction de la droite indéfinie BDX, leurs extrémités appartiendront aux deux asymptotes de la courbe, qui ainsi sera parfaitement déterminée de grandeur et de situation; car le point qui divisera en deux parties égales la distance interceptée parles asymptotes sur l'une quelconque des quatre tangentes données sera le point de contact de cette tangente.

Supposons maintenant que ABCD soit im quadrilatère inscrit à une section conique quelconque; les points de concours S, T de ses côtés opposés et le point d'intersection Q de ses deux diagonales simples seront encore, d'après la théorie des pôles, trois points tels, que « chacun d'entre eux sera le pôle de la droite qui passe par les deux autres »; donc,

5io VP CAHIER. — ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

si la courbe est une hyperbole équilatère, son centre se trouvera situé, d'après le Théorème IV démontré ci-dessus, sur la circonférence du cercle qui passe par les trois points Q, S, T, et par conséquent :

Théorème VI. — Dans tout quadrilatère simple^ inscrit h une hyperbole équilatère quelconque , le cercle passant par les deux points de concours des côtés opposés et par le point d'intersection des diagonales passe aussi par le centre de la courbe.

Il suit de là que, quand quatre points A, B, C, D sont donnés sur un plan, on connaît aussi la circonférence qui passe par lo centre de l'hyperbole équilatère passant par ces quatre points (*); d'ailleurs le Théorème III indique d'autres circonférences qui renferment également ce centre; donc il est entièrement déterminé de position sur le plan des quatre points donnés, et il en est par conséquent de même des asymptotes de la courbe; car, si l'on prend le milieu K de l'une quelconque CD des distances qui séparent deux à deux les points donnés, puis qu'on porte, à partir de K, sur la direction infinie de CD, deux longueurs égales à la distance de ce même point au centre de la courbe, leurs extrémités appartiendront aux asymptotes de cette courbe. Voilà donc une nouvelle solution, très-directe et très-simple, du problème déjà résolu plus haut, dans lequel il s'agit de décrire une hyperbole équilatère passant par quatre points donnés sur un plan.

On peut tirer du Théorème 111 d'autres conséquences remarquables.

Que A, B, C [Jig. 176) soient trois points quelconques, appartenant à une hyperbole équilatère; si l'on divise les côtés CA, CBdu triangle ABC,

Fig. 17G.

formé par ces points, en deux parties égales, aux nouveaux points I, K,

(*) On peut remarquer que, à quatre points donnés sur un plan, correspondent toujours trois quadrilatères simples différents, mais qui tous redonnent les mêmes points Q, S, T; en sorte que la circonférence en question est unique.

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5ii

et que, par ces derniers, on mène les parallèles IL, KL aux côtés CB, CA, elles viendront se couper en un point L qui, d'après le théorème cité, appartiendra au cercle qui, passant par I,'K, passe en outre par le centre de l'hyperbole équilatère ; mais le point L se confond évidemment avec le milieu du troisième côté AB du triangle ABC; donc

Théorème VIÏ. — Dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatère, le cercle qui passe par les trois points milieux des côtés passe aussi par le centre de la courbe;

Ou, ce qui revient au même :

Les centres de toutes les hyperboles équilatères circonscrites h un même triangle quelconque, sont sur la circonférence (Vun cercle qui renferme les trois points milieux des côtés de ce triangle.

On peut conclure de là et de ce qui précède que, quand un quadrilatère quelconque ABCD [fig, 175) est inscrit à une hyperbole équilatère, le centre de la courbe doit se trouver, à la fois, sur les circonférences de huit cercles différents.

En effet, si l'on trace les diagonales AC, BD de ce quadrilatère, on obtiendra quatre triangles inscrits à la courbe, dont les points milieux G, H, I, K, L, M, qui sont aussi ceux des diagonales et des côtés du quadrilatère, détermineront un égal nombre de circonférences, passant par le centre de celte courbe; d'ailleurs, ce centre devra aussi se trouver sur la circonférence qui renferme les trois points Q, S, T, où se coupent les diagonales et les côtés opposés du quadrilatère (Théor. VI) ; et il en sera de même encore de chacune des trois circonférences qui, passant par les points milieux de deux côtés opposés ou des deux diagonales de ce quadrilatère, renfermerait aussi le point où se coupent les deux parallèles menées par chacun d'eux (Théor. III) au côté ou à la diagonale qui renferme l'autre.

Le point où se coupent les huit circonférences dont il vient d'être question est nécessairement unique; car, s'il était possible qu'il y en eût un second, toutes les circonférences devraient y passer à la fois, comme par le premier; or, toutes ces circonférences, excepté celle qui renferme les points Q, S, T, et pourvu qu'on ne combine pas entre elles celles qui passent par les milieux des deux côtés opposés ou des diagonales du quadrilatère, sont évidemment telles que, prises deux à deux, elles ont pour intersection commune l'un des points milieux do ces côtés et de ces diagonales; donc il faudrait que tous ces points milieux fussent confondus en un seul, ce qui est absurde; donc enfin le centre de l'hyperbole équilatère qui passe par quatre points donnés sur un plan est unique.

Si l'on fait attention à la manière particulière dont se trouve déterminé le point dont il s'agit, relativement aux côtés et diagonales du quadrilatère ABCD, il sera permis d'en déduire cette conséquence générale :

5 1-2 Vl"^ CAHIER. — ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

ThÉoukmk VIII. — Quatre points étant pris a volonté sur un plan, il existe un autre point, et un seul point, tel, qu'e/i le joignant par des droites avec les milieux des six distances qui séparent les quatre premiers deux à deux, F angle formé par deux quelconques de ces droites est égal à celui des deux distances qui leur correspondent, ou en est le supplément. Ce point unique est, en outre, le centre de V hyperbole équilatcre passant par les quatre points dont il s'agit.

Ce théorème souffre pourtant une exception qu'il est nécessaire de signaler : c'est lorsque l'un D {fg. 17G) des quatre points que l'on considère, est le croisement des hauteurs du triangle ABC formé par les trois autres; car alors (Théor. I) il y a une infinité dhyperboles équilatères passant par les quatre points A, B, C, D; et par conséquent la position du centre de la courbe ne saurait être unique ; elle est nécessairement indéterminée. Or, il résulte de là que les huit circonférences de cercle dont il vient d'être question, et qui renferment simultanément le centre, doivent se confondre en un seul et même cercle; ce qui donne lieu à la proposition suivante appartenant à la Géométrie élémentaire :

Théorème IX. — J.e cercle qui jmsse par les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle quelconque sur les côtés respectivement opposés, passe aussi par les milieux de ces trois cotés, ainsi que par les nnlieux des distances qui séparent les sommets du point de croisement des perpendiculaires.

Démonstration. — Soient P, Q, R [fig. 17G) les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle ABC sur les côtés opposés, et soient K, I, L les points milieux do ces côtés.

Les triangles rectangles CBQ et ABR étant semblables, on aura