M. O. Terqiiem à M. Poncelet. (Paris, 21 janvier
« Mon cher compatriote, l'instructive et profonde dissertation que vous m.'avez adressée sous le titre modeste d'une amicale épître, a été longtemps l'objet de nos méditations. MM. Servois et Brianchon l'ont lue, relue, débattue, discutée, controversée et approuvée, et ont ainsi appliqué le sceau de leur autorité aux résultats de mes propres réflexions; je regrette de n'avoir pas votre lettre sous la main; mon intention est de répondre catégoriquement à tous les articles qui méritent d'être pris individitellement en considération. En me conformant à vos intentions, j'ai remis la lettre à l'ami Brianchon, et depuis un mois mes réclamations voyagent journellement de Paris à Vincennes, où demeure le savant professeur de la Garde. Il parait qu'il se dispose aussi à faire une réplique adaptée à la circonstance; mais, en attendant, il me prive du plaisir de pouvoir motiver mon adhésion à vos idées, qui paraissent devoir transporter les généralités algébriques dans les domaines jusqu'ici assez restreints de la Géométrie. Il est de l'essence de l'Arithmétique universelle, autrement dit de l'Algèbre, de traiter tous les éléments soumis à l'opération, comihe des nombres abstraits et comme tels de faire subir à ces éléments
savante, mais où, conformément à l'esprit de l'Algèbre et de la théorie des nombres discrets, on néglige entièrement la notion de coiitinuité, et confond trop souvent les méthodes de démonstration ou d'exposition avec les méthodes d'invention, M. Servois s'est livré à une critique spirituelle et railleuse, sinon toujours juste et éclairée, contre la témérité de l'auteur de la Technie algorithmique, ce disciple de Kant, qui, tout en osant entreprendre la Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange, annonçait fastueusement avoir résolu les équations de tous les degrés, et trouvé dans l'infini la solution des plus grands problèmes, des plus grandes diflicultés de l'Analyse algébrique. M. Servois était donc, mieux que personne, en état de décider si mes idées géométriques avaient une analogie, même lointaine, avec celles du philosophe et de la philosophie A'outre-Rhin. {Note de i863.)
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les deux seules modifications premières que des nombres puissent éprouver : l'augmentation et la diminution. La seule abstraction que l'Algèbre se permet ne porte que sur la nature des unités; aussi ses éléments sont essentiellement abstraits, discontinus et finis : abstraits dans leur essence, discontinus dans leur coexistence, et finis dans leurs limites. Mais c'est dans la science de l'étendue que la faculté ^'ahstj-airc développe toute sa puissance, qui va jusqu'à anéantir successivement les trois dimensions primordiales des corps: elle fait abstraction de la substance {suh stare) et s'occupe essentiellement de l'enveloppe, pour ainsi dire de la surstance, ou, en se servant de l'expression usitée, de la surface des corps. Par une seconde et une troisième abstraction, on arrive aux idées des lignes et des points. Les surfaces, les lignes sont ou limitées ou illimitées; dans ce dernier cas, elles appartiennent, il me semble, à la Géométrie exclusivement; mais dans le premier cas elles sont encore, par leur nature générique, soumises aux lois qui régissent les êtres géométriques, mais numériquement parlant, comme quantités discontinues , elles font partie de l'apanage de l'Arithmétique. Les êtres géométriques limités établissent donc une sorte de liaison naturelle entre la Géométrie et l'Algèbre, et c'est toujours par eux, d'une manière tacite ou ostensible, directe ou indirecte, qu'on a introduit une de ces sciences dans l'autre. Je n'ai jamais pu me rendre nettement compte pourquoi l'Algèbre, si pauvre en abstraction, est si riche en généralités, tandis que tout le contraire s'observe dans la Géométrie. Les faces nouvelles sous lesquelles vous nous faites considérer ces sciences, paraissent devoir jeter un grand jour sur cette question et enrichir chacune d'elles aux dépens du surabondant des deux. Un seul changement de signes suffit à l'Algèbre pour transporter les propriétés du cercle à l'hyperbole équilatère. Au moyen de votre ingénieux système interprétatif, la Géométrie trouvera dans son sein de quoi opérer de semblables et d'aussi heureuses métamorphoses. Dans une prochaine lettre, j'espère entrer dans de plus grands détails et vous faire part de quelques difficultés du genre de celles dont M. Servois dit : « M. Poncelet » vous dira cela. » Notre pauvre conservateur souffre en ce moment d'une ophthalmie qui l'empêche de vous envoyer des éloges ; il me charge provisoirement de prendre l'initiative et de vous engager à bientôt publier la suite de vos travaux ; tels que je les ai vus, ils méritent déjà de voir le jour, et il est à craindre qu'en différant plus longtemps, d'autres personnes ne trouvent moyen, d'après les données que vous avez déjà fait connaître, sinon de vous enlever, mais du moins de vous disputer l'antériorité de vos découvertes. Si vous avez l'intention de faire imprimer vos ouvrages à Paris, vous pouvez disposer entièrement de ma bonne volonté. Les relations que j'ai d'office avec les libraires du pays me donnent peut-être des facilités à vous servir, ce qui me serait très-agréable. J'attends là-dessus la manifestation de vos dispositions. Mais surtout ménagez votre santé. Quand on en fait un si noble usage, elle devient le bien
(le tous ceux qui s'intéressent aux progrès de la raison, il est de votre devoir de la leur conserver. — J'ai l'honneur d'être votre très-dévoué compatriote.
» Signé : 0. Terquem.
» P. S. Connaissez-vous l'ouvrage latin de Lambert, sur les comètes? il renferme une foule de propriétés des coniques extrêmement ingénieuses, et dont quelques-unes sont consignées dans votre lettre à M. Gergonne, imprimée dans les Annales. »
3. — M. O. Terquem à M. Poncelet. (Sans date, probablement en septembre 1819.)
« Mon cher, nous avons reçu avec beaucoup de plaisir des nouvelles de votre santé, sur le rétablissement de laquelle' nous avions besoin d'être rassurés. Le Mémoire intéressant que vous avez bien voulu nous confier nous a été d'autant plus agréable qu'il est- un document précieux à l'appui de votre amitié pour nous; n'allez pas nous accuser de répondre à votre affectueuse épître par des formes diplomatiques; par nous j'entends parler de MM. Servois, Brianchon et de votre serviteur. Différents travaux nous ont empêchés de nous livrer de suite à la lecture suivie et attentive de votre production; M. Brianchon l'a lue le premier et seul; ensuite M. Servois et moi l'avons lue ensemble. Ces messieurs m'ont chargé d'être l'interprète de leurs sentiments. Je vais tâcher de m'acquitter le moins mal que je pourrai de cette importante mission.
» Opinion de M. Brianchon :
» Il me l'a fait connaître par lettre. Il me dit qu'il n'a trouvé rien à reprendre dans votre écrit, quelques expressions exceptées ; qu'on devrait de suite procéder à l'impression, afin de hâter l'apparition du second Mémoire que vous annoncez dans le premier. La doctrine est neuve, piquante et d'une vérité incontestable.
» Opinion de MM. Servois et Terquem :
» Nous avons analysé et discuté soigneusement avec toute l'attention dont nous sommes capables; il règne, en général, une grande clarté dans l'exposition des principes, et vous faites très-bien ressortir l'emploi tacite que font les géomètres de quantités imaginaires, ou du moins dont ils ne connaissent pas d'avance les conditions et conséquemment la possibilité apodictique de l'existence ; emploi qui a lieu même dans les démonstrations les plus rigoureuses, lorsqu'on suppose qu'on mène certaines lignes et qu'on suppose certaines grandeurs sans s'inquiéter de la possibilité réelle de mener ces lignes et de fixer ces grandeurs. Les algébristes se distinguent en cela des géomètres, qu'ils se servent des imaginaires tacitement et ouvertement. Ainsi, lorsqu'ils disent que la somme des racines d'une équation est égale au deuxième terme pris négativement, cette
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somme est réelle, mais elle comprend tacitement les racines imaginaires de cette équation. Lorsque ensuite ils opèrent sur des quantités de la forme a±b \J — i, qu'ils les élèvent à des puissances et les soumettent à toutes les modifications arithmétiques, ils travaillent d'une manière patente sur des objets d'idéale existence. C'est à enrichir la Géométrie de cette dernière sorte de travaux, à doter la science de l'étendue des ressources qu'offre la science des quantités numériques, que tendent tous vos travaux ; nous croyons, avec vous, que la réussite de cette entreprise amènerait de grandes simplifications et d'importantes découvertes; votre troisième Section en offre d'intéressants exemples. Toutefois, il reste encore quelques points obscurs, ou qui nous paraissent tels; comme nous jugeons toujours les idées d'autrui en les comparant aux nôtres, nous croyons vous donner les moyens de faire disparaître les difficultés qui nous arrêtent, en vous faisant connaître notre manière de considérer les relations mutuelles de similitude et de' dissemblances que nous trouvons entre l'Algèbre et la Géométrie. Dans cette dernière, comme vous l'avez fort bien remarqué, il existe deux sortes de propriétés : les unes, métriques^ supposent la préexistence d'une ou de plusieurs unités connues et déterminées ou déterminables ; les autres, descriptives^ sont indépendantes de toutes unités; mais nous croyons remarquer aussi deux sortes de propriétés distinctes en Algèbre, savoir : les propriétés métriques et les propriétés opératoires ou algorithmiques; les premières ne dépendent que de la grandeur soumise aux opérations, tandis que les secondes dépendent de la nature de l'opération, selon qu'elle exige des extractions de racines, des élévations de puissance, des difîérentiations, des intégrales, l'usage des logarithmes, etc. De là doivent résulter deux sortes d'impossibilités : les unes métriques, les autres algorithmiques, et que malheureusement nous savons distinguer en très-peu de cas. Ainsi, nous savons que la possibilité de \/a tient à la propriété métrique de « > ou < o, et ainsi des autres imaginaires ; mais on a longtemps discuté pour savoir si log — a était dans le possible ou non, quoique cela ne tienne qu'à une propriété métrique. Mais lorsque les conditions de l'existence sont réglées sur la nature de l'opération, c'est alors que les ténèbres nous enveloppent de tous côtés : sait-on ce que signifient les factorielles, les différentielles, les logarithmes, les intégrales à exposants fractionnés ; ne sont-ce peut-être que des quantités essentiellement imaginaires, indépendamment de toute propriété métrique? Du moins, avant de prononcer, il est permis de douter; mais ce doute nous semble porter atteinte à votre théorie. En effet vous faites voir, en prenant pour exemple les intersections de deux lignes, que l'une restant fixe pendant que l'autre tourne autour d'un de ses points comme centre de rotation, plusieurs points d'intersection s'évanouissent par suite du mouvement ; des grandeurs réelles deviennent imaginaires, et vous dites que ces imaginaires répondent exactement aux imaginaires algébriques. Nous vous demanderons d'abord à quelle espèce d'imaginaires : algébriques, métriques
ou algorithmiques? vous vous décidez pour les métriques, et vous avez raison dans le cas particulier qui vous occupe. En eflet, les intersections sont déterminées par des abscisses ou ordonnées toujours racines d'une même équation ; les coefficients de cette équation peuvent se construire dans tous les cas géométriquement, parce qu'ils ont une existence réelle indépendante de leurs racines et conséquemment des points d'intersection possibles et non; mais qu'il s'agisse d'une courbe plane et d'une droite située dans son plan; supposons que la droite s'élève tant soit peu hors du plan, voilà toutes les intersections qui deviennent impossibles à la fois, et alors à quelle impossibilité algébrique correspond cette impossibilité géométrique? nous n'en savons rien, et nous recevrons avec beaucoup d'empressement vos éclaircissements sur ce passage brusque de l'être au non-être. Nous ne connaissons rien de semblable en Analyse ; les imaginaires radicales passent insensiblement du possible à l'impossible en traversant le néant et les imaginaires opératoires? Ici commencent les mystères : c'est au ministre à nous initier ; vous avez entr'ouvert la porte du temple, peut-être qu'elle cédera à vos efforts; le passé est d'un heureux augure pour l'avenir. Nous espérons beaucoup de votre second Mémoire, et voici ce que nous vous conseillons relativement au premier.
» La première et la seconde Section renferment des idées qui, se rapprochant beaucoup de celles de Carnot, sont aujourd'hui assez répandues parmi les géomètres pour qu'on puisse se dispenser d'entrer dans de grands développements; ainsi nous croyons que ces deux parties, considérablement réduites et convenablement présentées, pourraient se réduire à quelques pages qui, ajoutées à la troisième partie, seraient une bonne et excellente introduction au Mémoire que vous annoncez. Nous pensons que vous devez achever ce Mémoire et différer jusque-là la publication de celui-ci. Les idées abstraites, de nos jours, n'obtiennent accès que lorsqu'on les fait suivre immédiatement de fertiles et d'utiles applications; les vôtres sont de ce nombre, nous en avons des preuves multipliées. Nous désirons, par ceci, vous donner à notre tour une preuve de la sincérité de nos intentions et de l'intérêt que nous prenons à vos découvertes et à la réputation qu'elles sont destinées à fonder.'
» Signé : 0. Terquem. — F.-O. Sehvois. »
4. — Réponse de M. Poncelet aux deux lettres précédentes. (Metz, le i4 octobre 1819.)
« Monsieur et cher compatriote, j'ai reçu avec reconnaissance la lettre pleine d'intérêt que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire au nom de trois personnes que j'estime et que j'aime également; je suis on ne peut plus flatté de l'attention qu'elles ont bien voulu donner à une faible production d'un de leurs disciples dans la science de l'étendue, et vous prie
d'être auprès d'elles à la fois l'interprète de mes inaltérables sentiments.
» Pour reconnaître, autant qu'il est en moi, la bonté et l'indulgence qu'elles me témoignent, je crois ne pouvoir mieux faire que de répondre avec une entière franchise aux observations qu'elles ont daigné me transmettre, en me dépouillant, s'il se peut, de tout amour-propre d'auteur. Puissent-elles au moins reconnaître dans cette réponse le vif besoin que j'éprouve d'obtenir leurs suffrages et leur approbation !
» Je m'occuperai d'abord des réflexions et des observations générales, de celles qui sont comme le résultat de l'examen de mon écrit, parce que ce sont celles-là qui me tiennent le plus au cœur; je tâcherai ensuite de répliquer, le moins mal que je pourrai, aux observations particulières qu'on m'a faites. Je m'abstiendrai , du reste, de parler de celle des opinions émises (Brianchon) qui m'est tout à fait favorable, parce qu'il est fort naturel et fort simple qu'en ma qualité d'auteur j'en trouve les conséquences à mon gré; quant aux corrections que cette même opinion indique, je répondrai que, non-seulement je les approuve, mais qu'encore je souhaiterais qu'on daignât rayer impitoyablement toute expression, toute phrase inconvenante, obscure ou trop ambitieuse. Par exemple, si j'avais donné à entendre quelque part que je déduirai des principes renfermés dans mon écrit, de fertiles et d'utiles applications, de celles qui sont d'un intérêt général, j'aurais mal expliqué ma pensée, et j'aurais contre mon gré, donné sujet moi-même à l'application de la fable de la Montagne qui enfante une souris. Je déclare donc que je ne refuse pas d'effacer, de corriger, et qu'on me rendra un grand service en usant largement de cette faculté.
» J'insiste beaucoup là-dessus, parce qu'il me semble qu'on s'est mépris sur le but véritable de mes recherches, et qu'on en a conçu une opinion beaucoup trop avantageuse ou trop relevée, et à laquelle je me sens incapable de répondre. Ainsi, mon objet n'a pas été d'attaquer des idées reçues, de créer une théorie nouvelle pour l'opposer à l'ancienne, je n'ai pas formé le chimérique espoir de dissiper les ténèbres qui nous enveloppent de toutes parts, quand nous voulons remonter aux premiers principes des sciences. J'ai voulu simplement mettre en évidence un fait, un axiome devenu familier à la plupart des géomètres analystes, sans qu'ils s'en soient rendu explicitement un compte bien clair et bien déterminé, puisque s'ils l'ont fort souvent admis, ils l'ont plus souvent encore repoussé, lorsqu'il conduisait, dans les applications, à des difficultés, à des conséquences étranges ou paradoxales.
» M. Carnot, lui-même, rejette ces conséquences, quoique tacitement il s'en soit appuyé pour établir sa théorie de la corrélation des figures; c'est une contradiction continuelle, qui jette du louche dans cette théorie, et principalement sur les exemples dont elle s'appuie. Si je ne l'ai pas signalée, c'est par respect pour le grand homme; j'ai pourtant remarqué, à
dessein (art. 6 de mon Mémoire), qu'on ne devait pas confondre la corrélation de signes avec la corrélation de situation des figures, sans justification préalable; or, c'est ce que M. Garnot fait souvent d'une manière purement implicite.
» Après ces éclaircissements sur l'axiome ou principe de continuité considéré en Géométrie, j'ai voulu montrer qu'il n'avait pas mieux sa raison en Analyse, et en déduire cette conséquence qu'il doit être admis sans restriction dans la première de ces deux sciences, de même qu'il l'a été naturellement, et en quelque sorte forcément, dans l'autre. Telle est la conclusion comme le but véritable de mon écrit; ce que j'ai ajouté dans le troisième paragraphe ne concerne proprement que des applications générales, et forme ainsi un complément utile, mais non indispensable, des deux premières parties.
» Voilà, Monsieur, ce que j'ai déjà eu lilionneurde vous mander dans ma première lettre (novembre 1818), qui renfermait comme l'analyse démon Mémoire actuel et d'un autre, qui pourra le suivre un jour, sur l'application de l'Algèbre en général à la Géométrie. Je vous suppliais, dans cette même lettre, de me donner votre avis sur le degré d'intérêt que pourraient présenter ces idées aux yeux des géomètres; c'est-àdire si elles vous paraissaient neuves, si elles valaient la peine d'être écrites : j'attendais avec impatience votre réponse pour m'y conformer dans la rédaction de ce Mémoire. Celle que vous me fîtes parvenir (en janvier 1819) n'était que provisoire et ne dissipait nullement mes incertitudes; cependant l'hiver s'écoulait, et avec lui, le court moment de loisirs que nous laisse le service militaire; c'est alors que notre ami Brianchon fixa mon irrésolution en me conseillant de faire imprimer, à part et à mes frais, la partie métaphysique de mon travail, jugeant avec raison qu'elle figurerait mal avec l'autre, et qu'elle l'allongerait désagréablement aux yeux des géomètres qui, ainsi que vous le dites vous-même dans votre dernière missive, aiment avant tout les applications solides et utiles. J'ai donc rédigé mon deuxième Mémoire et vous l'ai envoyé, afin de profiter de l'offre obligeante que vous m'avez faite de le relire et de le faire imprimer.
» Avec plus de talent dans l'art d'écrire, j'aurais pu sans nul doute m'exprimer en moms de mots, l'aurais-je fait avec autant de clarté pour tout le monde? Voilà ce qui, selon moi, n'est pas très-certain. Que des savants, qui ont beaucoup réfléchi sur la marche de la Géométrie et de l'Analyse algébrique, conçoivent, du premier jet, des idées qui leur sont déjà devenues familières par l'usage autant que par la méditation, cela ne me paraît pas du tout surprenant; mais je doute que les développements que j'ai donnés à certaines d'entre elles paraissent superflus au grand nombre de ceux qui, n'étant pas aussi bien initiés par eux-mêmes, connaissent pourtant le Discours préliminaire et la première Section de la Gf-oniétrie de position ; les principes exposés dans cet immortel ouvrage ji. 35
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110 sont pas tous tellement évidents, qu'ils n'aient été déjà combattus à diverses reprises par des géomètres, d'ailleurs estimables et d'une excellente réputation. Enfin, il ne me paraît pas du tout clair et hors de doute que mes idées rentrent assez dans celles de M. Carnet, pour qu'il paraisse inutile de les énoncer sous une nouvelle forme, et, peut-être même, inconvenant de ne lui en pas faire un hommage ostensible et complet.
» Cet illustre géomètre recherche la mutation des signes qui peut survenir dans une formule pour la rendre applicable aux figures corrélatives de celle à laquelle elles s'appliquent; il se sert pour cela, mais sans l'énoncer ni l'examiner explicitement, du principe de la continuité, et, ainsi que je l'ai déjà dit, c'est encore avec des restrictions qu'il en fait usage implicitement, comme d'un axiome évident par lui-même. Or, il n'est clair et évident que pour les états absolus ou réels du système de la figure, pour ceux où la corrélation est simplement directe ; aussi l'auteur ne l'a-t-i! admis que mentalement, et comme malgré lui, dans les cas les plus compliqués.
» Pour faire voir la contradiction qui résulte de là dans les conséquences de ses principes, il suffit de se rappeler (n" 2, Sect. I , n° 78, Sect. II, Dissertation préliminaire, p. xxvii ) qu'il nomme figures corrélatives celles qui naissent de la figure donnée, en vertu d'une transformation opérée par degrés insensibles, et par conséquent continue, ce qui suppose forcément qu'elle ait lieu d'une manière absolue et réelle, possible géométriquement. Qu'arriverait-il néanmoins si quelqu'une des grandeurs du système devenait impossible? Faudra-t-il multiplier son expression dans les formules primitives par les signes y/— i, ±i, etc., comme l'auteur semble le dire, n"' G et S43. En un mot la corrélation sera-t-elle imaginaire, complexe ou simplement indirecte ?Yo\Va ce qu'on ne saurait résoudre affirmativement à l'aide des principes posés; il est même évident qu'on serait en droit de conclure, d'après ces principes, qu'il faudrait multiplier l'expression dont il s'agit par \/—i ou son carré par — i, ce qu'on peut démontrer être ici vraiment faux et absurde. Il manque donc quelque chose à cette théorie, et elle n'est pas aussi claire qu'on pourrait le désirer. Enfin, notre célèbre auteur ne s'occupe nullement des modifications qui arrivent, non dans les propriétés métriques, dans les formules, mais dans les propriétés descriptives, dans l'état des grandeurs figurées et décrites. Mon Mémoire, au contraire, a pour objet d'examiner l'axiome de la continuité en lui-même. Sans s'occuper des règles et des signes ou opérations algébriques, mais seulement des grandeurs figurées ou décrites, en un mot, des notions abstraites et des expressions de langage qui appartiennent aux divers états d'un système géométrique dans ses transformations diverses par degrés insensibles.
» En voilà assez, je pense, pour montrer que mes idées ne se rapprochent pas, autant qu'on pourrait le croire, de celles de M. Carnot, et pour prouver que, si elles ont semblé aux yeux de savants et estimables géo-
mètres être empreintes d'un certain air de famille, elles n'en valent pas moins la peine d'être énoncées d'une manière formelle et entièrement explicite. Je dois, bien plus, me féliciter d'avoir ainsi fondu en quelque sorte mes idées dans les leurs, et d'avoir par là obtenu pour elles à l'avance une approbation certaine, sinon complète. Le jugement que ces sa- ^ants ont porté sur les deux premières parties de mon Mémoire, me confirme tout au moins dans la conviction que je n'ai pas erré, et que les conséquences auxquelles je suis arrivé, tout étranges qu'elles puissent paraître en Géométrie pure, ne me seront pas contestées. Mais, au lieu de conclure avec eux que ces deux parties doivent être réduites à quelques pages, je m'en appuie, au contraire, pour me renforcer dans l'opinion intime et profonde qu'elles doivent être conservées en entier, sauf les corrections qu'on pourra juger à propos d'y faire et que j'ai déjà réclamées comme une faveur exceptionnelle.
» Ce jugement me rappelle celui de M. Badelle (mon ancien professeur de mathématiques au lycée de Metz en 1806 et 1807), à une époque déjà bien reculée; depuis lors j'ai eu le temps de réfléchir, de méditer la Géométrie de position, de me convaincre enfin que mes etîorts pour éclairer la métaphysique de la simple Géométrie n'étaient pas tout à fait inutiles. Cette réflexion, qui arrive d'une manière toute naturelle, me fait ressouvenir à son tour que M. Ridelle est en ce moment à Paris, et que je lui dois un souvenir d'estime et d'amitié, dont je vous prie, Monsieur, d'être auprès de lui l'interprète à la fois fidèle et officieux.
» Il me reste maintenant à répondre à quelques objections que vous m'avez adressées dans votre lettre; leur solution ne me paraît pas, à beaucoup près, aussi difficile et aussi délicate que celle des questions qui viennent de m' occuper. En effet, je suis d'accord avec vous que l'Algèbre n'est pas purement la science des grandeurs numériques, mais la science des opérations algorithmiques, c'est l'avis de Lagrange, et je m'y range formellement tlans mon Mémoire; je n'en conclus pas pour cela qu'il y ait en Algèbre deiix sortes ePimpossibilités, les unes métriques, les autres algorithmiques; je dis au contraire qu'il n'y en a que d'une seule espèce, savoir : les impossibilités métriques. Si l'on demande, par exemple, la décomposition d'un polynôme, de «^ + i' je suppose, en facteur du i*"" degré, on trouve qu'il y a impossibilité numérique, car ces facteurs sont
mais il n'y a évidemment aucune impossibilité algorithmique, puisqu'on a rigoureusement
«24- h-'={a + h v/^) [a - h if^) ; et il en est de même des autres impossibilités algébriques ; ainsi
log(— 1)= {im + i)Tr^—i
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est impossible numériquement et possible sous le point de vue algorithmique; c'est aussi ce qui porte à regarder log (—1) comme un symbole, une expression qui n'est pas tout à fait illusoire, et de là résulte Vantinomie que présentent en général les êtres de non-existence à l'entendement.
« La question, si longtemps débattue, de savoir si log (—1) était réel, revient à demander si l'équation ci-dessus renferme ou donne toutes les valeurs, toutes les racines de cette expression. Or, d'Alembert a présenté ce doute, qu'Euler a laissé subsister en son entier, savoir : que
quand x ~- dans l'équation y ~ a*, on avait algébriquement j=d=(rt)' ou -=:Logj=Log(± v^«),
de sorte qu'il semble que les irrationnels négatifs ne soient pas compris dans la règle ci -dessus.
» Au reste, je n'ai pas la prétention de prononcer, c'est une réflexion qui me vient à l'occasion de la vôtre. Les factorielles, les différentielles, les logarithmes, les intégrales à indices fractionnaires yj — 1 sont-ils des imaginaires absolus, algorithmiques ou métriques? Je répondrai à votre doute en disant qu'il est possible, et peut-être permis, de supposer que le contraire ait lieu; car, ainsi que je l'ai dit, la question n'est piis plus absurde que tant d'autres, et la solution ne dépend que des progrès qu'on pourra faire faire, par la suite, à l'algorithmie. Je dirai plus, j'ai vu quelque part que les coefficients différentiels à indices fractionnaires répondent à des interpolatii/ns véritables.
» D'ailleurs, Monsieur, je n'ai émis qu'un doute, et ce doute, qui ne fait rien à la théorie de mon Mémoire, ne peut pas être combattu par up autre doute; si j'ai dit ou supposé que les impossibles géométriques répondent exactement aux imaginaires algébriques, je n'ai fait que me conformer à l'opinion généralement admise, que toutes les fonctions imaginaires se ramènent à la forme a^h y/— i; je ne crois pas avec vous que cela porte atteinte à ma théorie.
» Ou me fait à cette occasion l'objection suivante : Une droite et une courbe étant dans un même plan, leurs points d'intersection seront en effet tour à tour réels, imaginaires ; mais si ton vient à supposer que la droite se détache tant soit peu du plan, toutes les intersections deviendront impossibles ; à quelle impossibilité algébricjue correspondra cette impossibilité géométrique ? La réponse est toute simple : je demande, en effet, si les deux états du sj'stème sont comparables, homogènes et peuvent être géométriquement comparés? Sont-ils assujettis à la même dépendance, à la même loi, au même mode de génération? Le principe, la loi de continuité ne sont-ils pas violés, puisqu'il y a changement d'hypothèse, de condition, ou plutôt anéantissement des conditions primitives? Or,
dans toute recherche, les conditions essentielles et constitutives du système doivent rester les mêmes ; ce qui fait qu'il n'y a pas seulement ici impossibilité, imaginante, mais bien absurdité absolue, c'est qu'il faut une condition distincte pour qu'une ligne soit sur un plan, et qu'on la viole ou qu'on change la question, en la supposant ensuite dans l'espace : les imaginaires véritables ne tiennent qu'au simple changement de grandeur relative ou absolue des parties, et non au changement des conditions ou relations constitutives.
Si l'on me demande cependant comment l'Algèbre répond à l'absurdité d'une question ainsi présentée, il me suflira de poser les équations de deux lignes, l'une sur le plan des xj et l'autre dans l'espace; je trouverai une équation entre les constantes qui m'indiquera qu'il faut une condition particulière pour que l'intersection ait lieu, de sorte que la question est entièrement illusoire, si cette condition est violée ou non remplie. Au surplus, je remarque que la question revient, en dernière analyse, à trouver les intersections de celle des deux lignes qui est sur le plan des xy, avec un certain nombre de points également situés sur ce plan; question non moins illusoire en apparence que celle de demander l'intersection mutuelle de deux points, et qui ne peut avoir de sens rationnel et géométrique qu'autant qu'on supposerait ces points représenter des courbes fermées infiniment petites, par exemple des cercles, des ellipses, etc.
Aussi l'Analyse algébrique donne-t-elle, dans cette hypothèse, une réponse toute simple et naturelle, à cause qiie l'idée de la continuité et de l'homogénéité subsiste entre le cas général et le cas particulier. En effet, ces points, ces cercles infiniment petits, ont évidemment pour équations
(x — a)*-4-(jr — 6)» = o, (a:--«')'-+-(^ — *')»=o;
en les retranchant l'une de l'autre, on obtiendra d'abord
2 ( a — a' ) X -H 2 (6 — ^' )jr -h a'^ — «' -t- ^'' — *' = o,
équation de la corde idéale commune, qui n'est autre chose que la perpendiculaire élevée sur le milieu.de la distance des deux points.
On obtiendra ensuite entre les constantes, par l'élimination de x ou de y, les deux équations suivantes :
[[a-a'y+{b-b'y][!^{x-af-!^{a-a'){x-a)-i-{a-a'y+{b~b'y]=:o, \{a-a'y-^{b-b'Y\[k{f-by-!^{b-b')(^y-b)-^{a-a'y+{b-b'y] = o, auxquelles on peut satisfaire simultanément par l'équation de condition unique
qui exige la coïncidence des deux points proposés; mais elles peuvent encore être satisfaites, indépendamment de l'égalité à zéro du facteur qui leur est commun, en posant les équations
j — b— dr S—i, x~a — rp \ — i,
lesquelles donnent les coordonnées des points d'intersection imaginaires des deux cercles.
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Ainsi l'analyse répond encore par des imaginaires à l'impossibilité géométrique de la question, telle qu'elle vient d'être posée. On voit que, pour le cas général des deux courbes quelconques dans l'espace, on obtiendrait des résultats semblables, en substituant, comme il est rationnel de le faire, des surfaces canaux infiniment minces à la place de ces deux courbes, la question cesserait en effet, alors, de devenir entièrement illusoire et absurde, quand on viendrait à détacher l'une des deux courbes de son plan, mais l'Analyse n'en donnerait pas moins la condition au moyen de laquelle on peut rendre la solution tout à fait raisonnable ou réelle : savoir que les deux courbes étant planes doivent être situées dans le même plan.
» Je n'insisterai pas davantage sur cette difficulté, qui me semble suffisamment éclaircie, et terminerai là cette discussion (beaucoup trop longue, sans doute, pour le degré d'importance du Mémoire qui en est l'objet), en en tirant la conclusion naturelle : que je me crois autorisé à persévérer dans l'intention de le "faire imprimer, soit à mes frais, soit à ceux d'un libraire qui voudra bien s'en charger aux conditions énoncées dan^ ma précédente lettre. A cet effet je vous supplierai, Monsieur, si ce n'est pas trop vous causer d'importunités, de me servir d'intermédiaire auprès de celui dés libraires de la capitale avec lequel vous avez des relations plus particulières et plus immédiates. En usant aussi librement de l'offre obligeante que vous m'avez faite, je vous donne une preuve sincère de l'inaltérable confiance que j'ai dans vos bontés. Comme je vous laisse toute la latitude possible pour les conditions du marché, que je m'engage formellement à remplir telles que vous les aurez fixées, je ne pense pas qu'il puisse y avoir aucun obstacle, ni aucune sérieuse difficulté; toutefois, si le contraire avait lieu, ou que vos occupations ne vous permissent pas de vous en occuper, j'entrerais, sMl le faut, en correspondance directe avec le libraire, ou bien M. Rrianchon, qui me doit une lettre, aurait la complaisance de m'en donner avis par occasion. .T'oublie d'ajouter que je suis définitivement décidé à ce que mon Mémoire soit imprimé sous format grand in-8°, toujours avec beau papier et beau caractère selon le goût moderne.
» Je vous envoie ci -joint, Monsieur, le Mémoire que je vous ai depuis longtemps annoncé [Propriétés pmjectives des sections coniques) \ je le soumets comme l'autre à votre critique sévère et impartiale, ainsi qu'à celle de MM. Servois et Brianchon ; j'ose vous supplier, ainsi qu'eux, de lui accorder la même faveur et la même attention qu'au précédent, supposé toutefois que ce ne soit pas trop compter sur votre indulgence et votre bonté. J'ai rédigé ce Mémoire dans l'hypothèse où l'autre serait déjà publié, mais non encore généralement connu des géomètres; j'ai en conséquence admis que le lecteur ne serait pas parfaitement familiarisé avec l'emploi du principe de continuité, en sorte que je reviens souvent sur les mêmes idées, afin de les éclairer peu à peu et d'une façon naturelle. Il m'eût été beaucoup 'plus facile de traiter les choses d'un point de vue plus élevé et
par un procédé entièrement direct; j'aurais pu ainsi réduire mon Mémoire à un petit nombre de pages; mais je me suis assuré, par un premier essai de rédaction, que j'aurais beaucoup risqué de perdre du côté de la rigueur et de la clarté; j'ai donc tâché de le rendre facile et intelligible au grand nombre de ceux qui cultivent la Géométrie, et ce sera là toujours le but de mes recherches ultérieures. Si cette manière de traiter la science offre moins d'éclat, elle est plus utile, ce me semble, et prouve au moins qu'on sait faire, jusqu'à un certain point, le sacrifice de l'amourpropre.
» C'est pour cette même raison notamment que je rappelle et démontre, chemin faisant, toutes les propositions auxiliaires ou lemmes qui ne sont pas généralement connus, et qui, étant indispensables à ma théorie, sont susceptibles d'en recevoir une extension facile et naturelle. C'est dans cette situation particulière d'esprit que je vous prie. Monsieur, d'avoir la bonté d'accueillir et d'examiner ce nouveau Mémoire auquel j'avais joint d'abord un discours préliminaire où, en disant à peu près les mêmes choses, je rendais hommage aux savants qui, à diverses époques, ont envisagé sous un point de vue analogue les propriétés des sections coniques; j'y rappelais aussi mon Mémoire sur le principe de continuité, en prévenant que c'est, en partie, sur son admission que s'appuient mes recherches; je terminais enfin par annoncer les deux Mémoires qui doivent renfermer proprement les applications du précédent; mais j'ai supprimé cet Avant-propos, et ne le livrerai à l'impression que quand le sort des deux premiers aura été fixé.
» Ceux-ci, au surplus, ont le désavantage regrettable de ne renfermer que des principes généraux; le temps me manque pour rédiger de suite les deux autres, et j'en sens toute la conséquence et la fatalité; je compte toutefois me dédommager avant le printemps prochain, le plus difficile est de commencer. Je pense, en outre, que rien n'empêche qu'on ne publie, dès à présent, ceux qui sont terminés; une cinquantaine de pages de métaphysique ennuyeuse, ajoutées aux nombreux volumes qui existent déjà sur ce sujet, n'influenceront guère, j'ose l'espérer du moins, la bonne ou la mauvaise opinion qu'on pourra se former de mes autres recherches, et qu'on les oubliera si elles ne valent pas la peine, en effet, d'être conservées : ce qui ne sera un grand malheur ni pour moi, ni pour ceux qui auront eu la patience de les lire et de les méditer.
» Je viens de m'expliquer, dans tout ce qui précède, avec franchise et sans crainte, parce que je connais toute l'indulgence des savants géomètres auxquels j'ai osé m'adresser; je croirais avoir manqué aux égards et au respect que je dois à leur façon de voir et de juger, si je ne leur avais pas dévoilé tout le fond de ma pensée; j'ai cru devoir, pour obtenir et mériter leurs suffrages, discuter et combattre de tous mes moyens l'opinion défavorable qu'ils ont conçue des deux premières parties de mon Mémoire, et pense avoir par là prouvé combien je suis inconsolable de
55^ VIP ET DERMEU CAHIER. — CORRESPONDANCE,
n'avoir pas obtenu leur approbation tout entière. Il ne me reste plus maintenant, pour terminer, comme je le dois, cette longue et pénible lettre, que de leur demander des excuses sur les embarras et les peines que je leur cause malgré moi, en leur témoignant toute la reconnaissance que j'éprouve de leurs bontés et les priant de me faire la grâce de me les continuer, comme par le passé.
» Daignez, je vous prie, Monsieur, me recommander au souvenir de notre savant et respectable conservateur du Musée d'Artillerie, etc. »
5. — Réponse à la précédente, lettre, par M. Terqueni. (Paris, 12 janvier 1820.)
« Mon cher, nous nous étions flattés longtemps de l'espoir de vous posséder à Paris ; c'est ce qui m'avait engagé à retarder la réponse à votre dernière lettre: votre présence aurait sans doute été très -favorable à l'exécution de vos projets typographiques. Comme, à ce qu'il parait, votre voyage est différé, il ne s'ensuit pas que vos projets doivent en souffrir; j'ai parlé à M. Bachelier, libraire, qui m'a donné les renseignements portés dans la Note ci-jointe. Nous sommes convenus de réunir en un volume les deux Mémoires, avec ce titre : Nouvelles propriétés des courbes, précédées de considérations sur le principe de la continuité dans la Géométrie.
» Nous attendons vos observations sur le titre, que nous croyons propre à attirer des chalands; car c'est à cela qu'il faut viser lorsqu'on s'adresse au public. C'est une maxime de libraire, qu'il n'est pas prudent de négliger. Si vous aviez encore quelque chose de préparé, il serait bon de l'envoyer afin de faire paraître tout à la fois. Vos Mémoires seront imprimés tels que vous les avez rédigés, sauf quelques légères corrections dont je me charge ainsi que de la révision des épreuves. Vous pouvez compter que M. Servois et moi ne négligerons rien en ce qui concerne les soins et la correction typographique. M. Servois a lu votre second Mémoire et il en paraît très-content. Des occupations multipliées ne m'ont pas encore permis de me livrer à cette lecture, qui doit être faite avec attention; mais je sanctionne de confiance la décision servoisienne ; je ne doute pas qu'elle ne soit portée en connaissance de cause. J'ai lu avec plaisir vos observations en réponse aux nôtres sur votre premier Mémoire. Nos remarques subsistent; je crois toujours que votre Mémoire gagnerait non-seulement en intérêt, mais même en clarté, s'il était réduit à des dimensions moindres, au quart par exemple. Voilà un langage qu'on ne tient pas ordinairementaux auteurs, d'accord; mais qu'on devrait toujours tenir aux amis dont on estime le caractère, dont on admire le talent et dont on désire/ sincèrement le stiroès. Votre très-dévoué ami et compatriote. ».
EXAMEN CRITIQUE DES OPINIONS ET DL JUGEAIENT ÉMIS PAR M. CALCHY DANS SON RAPPORT SUR LE MÉMOIRE INSÉRÉ AU V'' CAHIER.
Observations préalables .
Le Rapport à rAcadémie des Sciences de Paris, mentionné ci-dessus, a été imprimé une première fois en septembre 1820, dans les anciennes Annales de Mathématiques, avec des .^annotations du rédacteur qui n'étaient guère propres à relever les doctrines de l'Essai sur les coniques de l'état de discrédit où l'avait plongé le Rapporteur, qui jouissait alors de toute l'influence accordée à sa brillante renommée scientifique. Néanmoins les annotations de M. Gergonne, partant d'un esprit philosophique, bien que parfois aventureux, ne pouvaient être entièrement défavorables au principe de continuité ; et c'est ce que prouve le passage suivant de la note insérée à la p. 78 du t. XI des Annales : « Il » faut employer le principe de M. Poncelet, ainsi que le tour de démonstration » introduit par Monge, à peu près comme on employait le calcul différentiel » lorsqu'on n'en voyait pas bien encore la métaphysique, c'est-à-dire unique- » ment comme instrument de découverte; mais ce n'en seront pas moins des » instruments trés-précieux, car le plus souvent, en mathématiques, découvrir » est tout; ce ne sont pas d'ordinaire les démonstrations qui embarrassent » beaucoup. »
Plus tard il est vrai, en 1827, M. Gergonne, moins indulgent, s'exprime ainsi dans une note de la p. i35 du t. XVIII des Annales:
« Je persiste à penser que M. Poncelet a gravement compromis ses doctrines » en mêlant au classique que tout le monde admet, le romantique que, pour » ma part, je suis fort loin de repousser, mais sur lequel enfin on discute encore, » et que MM. les Commissaires de l'Académie eux-mêmes, au jugement desquels » M. Poncelet déclare attacher beaucoup de prix, ont traité assez sévèrement. »
M. Gergonne confond ici, comme s'il eût ignoré les usages académiques pourtant bien connus, le texte du Rapport de M. Cauchy avec les conclusions favorables à mon Mémoire de 1820, conclusions débattues, arrêtées et signées par MM. Arago et Poisson, puis approuvées par l'Académie. J'ai donc pu témoigner une respectueuse déférence pour le jugement des Commissaires, sans néanmoins adopter les opinions personnelles du Rapporteur, contre lesquelles je viens aujourd'hui protester, quoique tardivement, comme je l'ai déjà fait dans une tliscussion relative aux pertes de forces vii'es pendant le choc et au théorème de Carnot. Dans cette discussion M. Cauchy, coutumier du fait, revendiquant des droits de priorité mal acquis (t. XLIV des Comptes rendus, année 1807) et à bout d'arguments, n'a pas craint, en présence d'un nombreux auditoire, de me taxer d'ingratitude, parce que je lui avais reproché son peu de sympathie pour les théories géométriques en général, et les miennes en particulier, à peu près comme l'avait fait 3o ans auparavant, le rédacteur des anciennes Annales de Mathématiques , dans une circonstance analogue et en termes non moins pénibles pour l'amour-propre où le persiflage tenait lieu de justice et de raison. Or, je ne jiuis consentir à rester indéfiniment sous le coup des publiques et
. absurdes récriminations que contenait la dernière lecture de M. Cauchy, dont je n'avais point jusqu'ici voulu rappeler le souvenir, et que l'Académie des Sciences, à mon grand regret, à mon préjudice peut-être, n'a pas permis qu'on imprimât dans ses Comptes rendus; car il m'eût été facile alors d'en rétorquer les singuliers arguments et les illusions venant d'une fausse interprétation puisée dans la lettre d'envoi et dans quelques passages pleins de déférence, du Traité f/es Propriétés projectiles dont, en 1822, j'avais adressé un exemplaire au savant Rapporteur du Mémoire de 1820.
Quant à la discussion sur les pertes de forces vives, on peut consulter le volume cité des Comptes rendus dont j'ai fait tirer à part, en 1807, la partie qui concerne cette discussion et que le lecteur trouvera à la librairie même de ce Recueil, afin de montrer que, dès l'époque précitée, je ne craignais pas de dire publiquement et de son vivant l'entière vérité à mon ancien Rapporteur. En réimprimant pour la seconde fois, en tête du Traité des Propriétés projectiles, le Rapport de M. Cauchy, j'avais l'espoir que les nombreuses applications qui y étaient faites du principe de continuité et de la doctrine des projections, pourraient ramener l'opinion des savants et celle du Rapporteur lui-même, à de plus justes appréciations sur la portée et l'exactitude mathématique des théories par lesquelles je mettais les amateurs de Géométrie pure en état, sinon de créer, de suppléer le véritable génie d'invention, du moins de trouver, démontrer ou généraliser sans calcul ni contention nouvelle de l'esprit, une multitude dé propositions et corollaires, tout en passant du fini à l'infini, du réel à l'imaginaire, ou réciproquement.
Mon attente ayant été en majeure partie déçue, et M. Cauchy, dans un insignifiant et tardif Rapport de lévrier 1828, sur la théorie des polaires réciproques, ayant, à propos du principe de continuité, persisté dans ses opinions antiphilosophiques, dont la reproduction ne pouvait pas ajouter au tort que m'occasionnaient quatre années d'un silence pour moi bien fâcheux; je pris la courageuse mais très-pénible résolution d'ajourner jusqu'à l'époque de ma retraite, le soin de publier l'ensemble de mes travaux antérieurs à 1822; et c'est pourquoi je réimprime aujourd'hui pour la troisième et dernière fois, le Rapport dont il s'agit, avec des observations critiques qui, prématurées et dangereuses, peut-être, lors de la publication du Traité des Propriétés projectives, mettront, je l'espère, en plus parfaite évidence que dans les précédents Cahiers, le caractère qui distingue l'esprit du calcul algébrique de celui de la Géométrie pure.
^ Au surplus, pour expliquer la circonspection et l'extrême réserve de ma conduite scientifique au début de ma carrière, il faudrait encore évoquer les tristes souvenirs de l'état d'abaissement et d'intimidation où nous avaient plongés, aux époques antérieures à i83o, des passions réactionnaires, morales ou politiques, qui ont exercé plus d'influence qu'on ne le suppose sur l'avenir des sciences. Mais c'est ce dont je me garderai bien par respect pour la dignité des questions dont nous devons nous occuper exclusivement ici ; car la Géométrie n'a rien à voir dans les humiliations imposées à quelques-uns de ses anciens représentants, infimes ou illustres. Qu'il me suffise de déclarer que, depuis l'époque d'avril 1820 où je venais, non sans appréhension, présenter mon premier Mémoire au jugement de V^cadémie rojale des Sciences, j'ai d'autant plus apprécié la promptitude d'un Rapport, dont il est vrai, la laveur m'a été reprochée en iS.l'j, que je nie trouvais infiniment mieux traité qu'Abel de
POLÉMIQUE ET FRAGMEiNTS DIVERS. 555
Christiania victime du silence et de l'oubli; déni de justice qui prouve que, même dans le sanctuaire de l'Académie des Sciences, il est indispensable d'avoir des amis et des protecteurs influents.
Rapport à V Académie royale des Sciences , sur un Mémoire relatif aux propriétés projectives des sections coniques [Séance du 5 juin 1 820) .
L'Académie nous a chargés, MM. Arago, Poisson et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Poncelet sur les propriétés projectives des sections coniques. L'auteur appelle ainsi les propriétés relatives aux cordes communes, aux points de concours des tangentes communes, et beaucoup d'autres semblables qui, étant indépendantes des dimensions attribuées aux courbes que l'on considère et de leurs paramètres, subsistent lorsqu'on projette ces courbes sur de nouveaux plans, à l'aide de droites qui concourent vers un même point; c'est-à-dire, en d'autres termes, lorsqu'on met ces courbes en perspective; ce qui a également lieu pour le cas où, le point de concours s'éloignant à l'infinf, les projections deviennent orthogonales. Nous allons d'abord indiquer les moyens que l'auteur emploie pour établir les propriétés dont il s'agit.
Lorsque plusieurs courbes, qui composent une seule cla?se ou famille, possèdent en commun diverses propriétés, une des méthodes les plus expéditives pour la démonstration de ces mêmes propriétés consiste à les établir d'abord pour les courbes les plus simples de la classe dont il est question, et à les étendre ensuite aux autres courbes de la même classe, par la comparaison de celles-ci avec les premières. Cette méthode peut même servir à la recherche des propriétés d'une courbe donnée. Veut-on connaître, par exemple, celle d'une ellipse? on commencera par supposer les deux axes égaux; ce qui réduira cette ellipse à une circonférence de cercle. On remarquera que la surface du cercle est égale au carré du rayon multiplié par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre; que deux rayons qui se coupent à angles droits sont parallèles aux tangentes menées par leurs extrémités; que ces mêmes rayons comprennent entre eux une surface constante; que la somme de leurs carrés est égale à la somme des cariiés de leurs projections sur un diamètre quelconque; que les tangentes des angles aigus qu'ils forment avec un même diamètre, étant multipliées l'une par l'autre, donnent l'unité pour produit; enfin, que la perpendiculaire élevée sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments adjacents. Si maintenant on considère une ellipse dont les deux axes soient inégaux, on décrira sur le grand axe de cette ellipse, pris pour diamètre, une circonférence de cercle, dont l'ordonnée, comptée perpendiculairement au grand axe, aura un rapport constant avec celle de l'ellipse. Cela posé, si l'on appelle diamètres conjugués de l'ellipse ceux dont les projections sur le grand axe coïncident avec les projections de deux
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diamètres du cercle qui se coupent à angles droits, on conclura immédiatement des remarques faites à l'égard du cercle que la surface de l'ellipse est égale au produit des deux demi-axes par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètrq; que, dans la même courbe, les tangentes menées aux extrémités de deux diamètres conjugués, sont parallèles à ces diamètres; que deux demi-diamètres conjugués comprennent entre eux une surface constante; que les sommes des carrés de leurs projections sur le grand axe et sur le petit axe sont respectivement égales aux carrés des demi-axes, et que, par suite, la somme des carrés des deux demi-diamètres équivaut à la somme des carrés des deux demiaxes; enfin, que le rapport de ces deux derniers carrés mesure à la fois le produit des tangentes des angles aigus formés avec le grand axe par deux diamètres conjugués et le rapport du carré d'une ordonnée aux segments correspondants de ce môme grand axe. Au reste, pour obtenir le cercle auxiliaire dont nous venons d'indiquer l'usage, il suffit de chercher dans l'espace un cercle dont l'ellipse donnée soit la projection orthogonale, et de rabattre" ensuite le plan de ce cercle sur celui de l'ellipse, après avoir fait tourner le premier autour du diamètre parallèle au second. Plus généralement, on peut considérer une ellipse, une hyperbole ou une parabole comme la perspective ou projection centrale d'un cercle quelconque, et déduire, des propriétés de ce cercle, celles de la projection. Tel est, en effet, le moyen employé par M. Poncelet pour déterminer les propriétés projectives des sections coniques. Il appelle centre de projection le point où se trouve placé dans la perspective l'œil du spectateur. Ce point est le sommet dune surface conique du second degré qui a pour base la courbe proposée. Il est bon de rappeler, à ce sujet, que, si l'on coupe une surface conique quelconque par deux plans parallèles, les deux sections seront toujours semblables entre elles. Il y a plus, si, d'un centre de projection pris à volonté dans l'espace, on mène des rayons vecteurs aux différents points d'un système composé de points, de lignes ou de surfaces quelconques, et que l'on fasse croître ou décroître à la fois tous les rayons vecteurs dans un rapport donné, on obtiendra un second système de points, lignes ou surfaces, semblable au premier et semblablement placé, en sorte que les droites et les plans menés dans les deux systèmes, par des points correspondants, seront toujours parallèles. Le centre commun, vers lequel convergent tous les rayons vecteurs, est ce qu'on peut appeler le centre de similitude des deux systèmes. Pour deux cercles, tracés sur un même plan, ce centre de similitude ne peut être que le point de concours des tangentes communes, extérieures ou intérieures. M. Poncelet expose ses diverses propriétés, dont un grand nombre dérivent immédiatement de la définition même que nous venons d'en donner. Outre la considération des projections centrales, M. Poncelet emploie encore, dans son Mémoire, ce qu'il appelle le principe de la continuité. L'admission de ce principe en Géométrie consiste à supposer que, dans le
cas où une figure composée d'un système de lignes droites ou courtes conserve constamment certaines propriétés, tandis que les dimensions absolues ou relatives de ses diverses parties varient d'une manière quelconque, entre certaines limites, ces mêmes propriétés subsistent nécessairement lorsqu'on fait sortir les dimensions dont il s'agit des limites entre lesquelles on les supposait d'abord renfermées; et que, si quelques parties de la figure disparaissent dans la seconde hypothèse, celles qui restent jouissent encore, les unes à l'égard des autres, des propriétés qu'elles avaient dans la figure primitive. Ce principe n'est, à proprement parler, qu'une forte induction, à l'aide de laquelle on étend des tliéorènies établis, d'abord à la faveur de certaines restrictions, aux cas où ces mêmes restrictions n'existent plus. Etant applifjué aux courbes du second deqré, il a conduit Fauteur à des résultats exacts. Néanmoins, nous pensons qu'il ne saurait être admis généralement et appliqué indistinctement à toutes sortes de questions en Géométrie, ni même en Analyse. En lui accordant trop de confiance, on pourrait tomber quelquefois dans des erreurs manifestes. On sait, par exemple, que, dans la détermination des intégrales définies, et par suite, dans Cévaluation des longueurs, des surfaces et des volumes, on rencontre un grcmd nombre de formules qui ne sont -vraies qu'autant que les valeurs des quantités qu'elles renferment restent comprises entre certaines limites.
Au reste, nous distinguerons soigneusement les considérations de M. Poncelet sur la continuité de celles qui ont pour objet les propriétés des lignes auxquelles il donne le nom de cordes idéales des sections coniques. Comme ces propriétés nous paraissent mériter d'être remarquées, et qu'elles fournissent à l'auteur un troisième moyen de résoudre les questions relatives aux courbes du second degré, nous allons donner à ce sujet quelques développements.
Si, après avoir mené, parle centre d'une hyperbole, un diamètre iJ qui rencontre les deux branches, on fait passer, par les points de rencontre des tangentes à l'hyperbole et par le centre, une parallèle à ces tangentes; puisque l'on cherche à déterminer, par l'Analyse, les coordonnées des points où cette parallèle rencontre la courbe et les distances respectives de ces points au centre, on trouvera, pour l'une et l'autre distances, en faisant abstraction du signe, une expression imaginaire de la forme B\/—\; et par conséquent, pour la distance entre les deux points, une autre expression de la forme 'i.B\/—i. Le coefficient de y/— i, dans cette dernière, ou la longueur iB, qui est une quantité réelle, peut se construire géométriquement ; et, comme la considération de cette longueur peut être utile dans la recherche des propriétés de l'hyperbole, on lui a donné un nom, en disant que iB représente le diamètre conjugué au diamètre iA. On sait qu'étant donné le diamètre -xB, avec sa direction, on peut facilement en déduire le diamètre iA; en coupant les asymptotes par une sécante parallèle à la direction donnée, la ligne menée du
centre au milieu de la sécante indiquera la direction du diamètre 2^; et
le rapport de cette dernière ligne à la moitié de la sécante sera précisé-
ment égal au rapport -^r -
Supposons maintenant que l'on cherche, par l'Analyse, les points d'intersection, non plus d'un diamètre, mais d'une droite quelconque avec une courbe du second degré, et la distance de ces deux points, ou, en d'autres termes, la corde qui les unit ; lorsque la droite ne rencontrera plus la courbe, la distance donnée par l'Analyse deviendra imaginaire, et sera de la forme 1 C \/— i; tandis que le point milieu de la corde conservera des coordonnées réelles. 11 devient alors utile de substituer à la corde imaginaire, qui n'existe pas, une corde fictive 2 C, comptée sur la droite proposée, et dont le milieu coïncide avec le point dont nous venons de parler.
C'est à cette corde fictive qu'on pourrait appliquer la dénomination de corde idéale, par laquelle M. Poncelet désigne tantôt la droite indéfinie que l'on considère, et tantôt la corde imaginaire interceptée par la courbe, puisqu'il appelle centre de la corde idéale le point réel que l'Analyse indique comme étant le milieu de la corde imaginaire. Le sens dans lequel l'auteur emploie le mot idéale se trouverait ainsi modifié de telle manière que les longueurs idéales resteraient des longueurs réelles et constructibles en Géométrie. Ainsi, par exemple, dans une hyperbole, dont le grand axe rencontre la courbe, la longueur idéale du diamètre, perpendiculaire au grand axe, serait le petit axe lui-même. Si, en adoptant cette manière de s'exprimer, on construit, pour une section conique quelconque, toutes les cordes idéales parallèles à une direction donnée ; les extrémités de toutes ces cordes se trouveront sur une nouvelle section conique, que l'auteur appelle supplémentaire de la première, relativement à la direction dont il s'agit.
Cela posé, il est facile de voir que deux sections coniques supplémentaires l'une de l'autre, relativement à une direction donnée, sont nécessairement ou deux paraboles ou une hyperbole et une ellipse. Dans le premier cas, les deux paraboles ont le même paramètre, avec une tangente commune, parallèle à la direction donnée, et un diamètre commun passant par le point de contact. Dans le second cas, les deux courbes peuvent aisément se déduire Tune de l'autre, d'après la condition à laquelle elles se trouvent assujetties d'avoir en commun deux diamètres conjugués, dont l'un est parallèle à la droite donnée, tandis que l'autre rencontre à la fois les deux courbes qui se touchent ainsi par ses extrémités. Dans le même cas, toutes les fois que l'ellipse se réduit à un cercle, l'hyperbole devient équilatère, et a pour axe transverse le diamètre du cercle. Enfin, l'on prouve aisément que, si deux courbes sont supplémentaires l'une de l'autre, relativement à une direction donnée, indiquée par une certaine droite, leurs projections sur un plan parallèle à cette droite jouiront de la même propriété.
POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. ÔSg
En vertu de ce qui précède, si l'on donne une section conique quelconque, avec un centre et un plan de projection, il deviendra facile de déterminer, pour la section conique projetée: i° l'angle formé par deux diamètres conjugués, dont l'un serait parallèle au plan de la section conique proposée; 2" le rapport de ces mêmes diamètres. En effet, si l'on conçoit d'abord que la section conique projetée soit une hyperbole, un plan quelconque, parallèle au plan de projection, coupera le cône qui a pour ibase la courbe proposée, et pour sommet le centre de projection suivant des hyperboles semblables et comprises entre des asymptotes parallèles. Par suite, si le plan coupant passe par le sommet du cône, la section se trouvera réduite à deux arêtes parallèles aux asymptotes dont il s'agit. Comme d'ailleurs le même plan coupera évidemment la courbe donnée suivant une certaine corde terminée à ces deux arêtes, il en résulte : 1° que l'angle cherché sera équivalent à celui que forme la corde en question avec la droite qui joint son milieu et le sommet du cône ; 2° que le rapport cherché sera celui qui existe entre la longueur de cette droite et celle de la demi-corde. Lorsque la courbe projetée sera une ellipse, le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection ne rencontrera plus la courbe proposée; mais sa trace sur le plan de cette dernière sera toujours une droite réelle, à laquelle correspondra une dt^rtaine corde idéale de la courbe donnée. Dans la même hypothèse, on appliquera les raisonnements que nous avons employés ci-dessus, non plus à la courbe proposée, mais à la section conique supplémentaire de cette courbe, relativement à la corde idéale dont nous venons de parler ; et l'on en conclura : i" que l'angle cherché est équivalent à celui que forme la corde idéale avec la droite qui joint le milieu de celte corde et le centre de projection; 2° que le rapport cherché est celui qui existe entre la longueur de cette droite et la demi-corde. Lorsque la courbe projetée te réduit à un cercle, tous ses diamètres conjugués sont égaux et se coupent à angles droits. Par conséquent, dans ce cas pairticulier, la droite menée du centre de projection au milieu de la corde idéale de la courbe donnée doit être perpendiculaire sur cette corde et égale à sa moitié.
La question que nous venons de résoudre n'a pas été traitée directement par M. Poncelet; mais la solution que nous avons déduite des principes qu'il a établis fournit le moyen de simplifier et de généraliser, tout à la fois, celles de plusieurs autres problèmes dont nous parlerons ciaprès.
Considérons à présent deux sections coniques tracées sur un même plan. Il peut arriver ou qu'elles se coupent en quatre points, ou qu'elles se coupent en deux points, ou qu'elles ne se coupent pas. Si l'on cherche, par l'Analyse, les abscisses des points d'intersection, on trouvera que ces abscisses sont les racines d'une équation du quatrième degré à coefficients réels, et que cette même équation a quatre racines réelles dans le premier cas, deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées
r,Go YII" ET DERNIER CAHIEU. - CORRESPONDANCE,
dans le second, enfin ([uatre racines imaginaires conjuguées deux à deux dans le troisième. De plus, comme, en combinant les équations des deux courbes, on peut en déduire une troisième équation du second degré, qui ne renferme l'ordonnée qu'au premier degré seulement, il en résulte que l'Analyse indique seulement quatre points d'intersection, et que, pour chacun de ces points, on peut exprimer l'ordonnée en fonctions rationnelle et réelle de l'abscisse. Par suite, si l'on trouve, pour un point d'intersection, une abscisse réelle, l'ordonnée le sera également; et si l'Analyse fournit, pour deux de ces points, deux abscisses imaginaires conjuguées, les ordonnées corresj ondantes seront elles-mêmes imaginaires et conjuguées. Considérons, en particulier, deux points de cette dernière espèce. Comme, pour transformer les coordonnées de l'une en celles de l'autre, il suffira de remplacer 4- \/—i par — v^— i, il est clair que toutes les équations et quantités diverses qui, étant rationnelles par rapport à ces ordonnées, ne devront pas être altérées par leur échange mutuel, seront nécessairement des équations réelles et des quantités réelles. Par exemple, l'équation de la droite qui passe par les deux points sera réelle, ainsi que le carré de leur distance mutuelle, ou, en d'autres termes, de la corde qui les unit, et il en sera de même des coordonnées du milieu de cette corde. Toutefois, comme, par hypothèse, les deux points ne sont pas réels, le carré de la corde en question ne pourra être qu'une quantité négative, 5ont la racine, abstraction faite du signe, sera une expression imaginaire de la forme 2 C \J — i •
Pour déterminer le coefficient réel 2 C, dans cette expression, il suffira évidemment de chercher la corde idéale qu'on obtient en considérant la droite réelle qui passe par les deux points imaginaires comme sécanle idéale de l'une ou de l'autre des deux courbes proposées. Par conséquent, la longueur iC sera celle d'une corde idéale réellement commune à ces deux courbes. Cela posé, si l'on passe successivement en revue les trois hypothèses que l'on peut faire sur le nombre des points réels communs aux deux courbes proposées, on trouvera que ces deux courbes ont, en général, ou six cordes communes, passant par quatre points réels, ou deux cordes communes, dont urte idéale, ou deux cordes idéales communes. Toutefois, pour deux hyperboles semblables, ou du moins comprises entre des asymptotes parallèles, ainsi que pour des ellipses semblables et semblablement placées, une seule corde commune naturelle ou idéale subsiste, tandis qu'une autre s'éloigne à l'infini. C'est ce qui a lieu, en particulier, pour deux circonférences de cercle. De plus, il peut arriver que deux cordes communes viennent à se confondre, et alors, si ces cordes ne sont pas idéales, les deux courbes se toucheront évidemment en deux points réels. Ajoutons que, si l'on projette deux sections coniques, situées dans un même plan sur un nouveau plan, parallèle à une corde idéale qui leur soit commune, la projection de cette corde sera elle-même une corde idéale commune aux projections des deux sections
coniques. Par suite, si les deux courbes proposées étaient dissemblables entre elles, auquel cas elles avaient nécessairement plusieurs cordes réelles ou idéales communes ; pour rendre leurs projections semblables et semblablement placées, il faudra faire en sorte qu'une des cordes communes s'éloigne à l'inlini. On remplira cette condition en plaçant le centre de projection partout où l'on voudra, pourvu qu'ensuite on prenne le plan de projection parallèle à celui qui passera par ce centre et par l'une des cordes communes aux deux courbes données.
Dans ce qui précède, nous avons déduit de l'Analyse la notion des cordes idéales des sections coniques ; mais on peut arriver au même but par des considérations géométriques.
Par exemple, lorsqu'une ellipse ou une In^perbole se trouve coupée en deux points réels par une sécante quelconque, le milieu de la corde interceptée coïncide avec le point où la sécante est rencontrée par le diamètre conjugué à sa direction, et la corde elle-même est équivalente au double produit du rapport entre le diamutre parallèle et le diamètre conjugué, par une moyenne proportionnelle entre les distances du point que l'on considère aux extrémités du diamètre conjugué. Si l'on détermine, d'après les mêmes conditions, la corde et son milieu, dans le cas où la sécante devient idéale, on obtiendra ce que nous avons nommé la corde idéale relative à cette sécante.
Considérons encore deux cercles non concentriques et situés dans un même plan. Si, par ces cercles, on fait passer deux spH^res qui se coupent, le plan d'intersection des deux sphères rencontrera le plan des deux cercles suivant une certaine droite; et cette droite, si les deux cercles se coupent, passera par les deux points qui leur sont communs. Si, au contraire, les deux cercles ne se coupent pas, cette droite sera précisément la sécante idéale, dont la direction coïncide avec celle de la corde idéale commune, et le point d'intersection de cette sécante avec la droite des centres sera le milieu de la même corde. La construction précédente, en donnant un moyen facile de fixer la direction de la corde idéale commune à deux cercles, sert en même temps à faire connaître ses principales propriétés. Par exemple, si d'un point pris sur cette sécante on mène une suite de tangentes aux deux sphères, elles seront évidemment égales aux tangentes menées par ce même point à leur cercle d'intersection : il en résulte immédiatement que les quatre tangentes menées à deux cercles par un point pris sur la direction de la corde commune sont égales entre elles. Cette propriété était déjà connue des géomètres. On avait remarqué la droite à laquelle elle appartient; et M. Gaultier, auteur d'un Mémoire iiîséré dans le XVP Cahier du Journal de V École Polytechnique, a particulièrement considéré les droites de cette espèce, auxquelles il a donné le nom A'a.xcs radicaux.
Après avoir entretenu l'Académie des méthodes employées par M. Poncelet, nous allons présenter une indication sommaire des applications II. 3ô
qu'il en a faites. Son Mémoire est divisé en trois paragraphes : le premier est relatif aux cordes idéales des sections coniques, et renferme leur définition ainsi que leurs propriétés générales, déduites de considérations purement géométriques. L'auteur y remarque également que le point de concours des tangentes menées à une section conique, par les extrémités d'une même corde, ou ce qu'on appelle communément le pôle de cette corde, est un point réel, lors même que les tangentes deviennent imaginaires. Il montre la relation qui existe constamment entre ce pôle et le milieu de la corde, et s'en sert pour construire le pôle idéal correspondant à une corde idéale donnée.
Dans le second paragraphe, M. Poncelet s'occupe des cordes idéales, considérées dans le cas particulier de la circonférence du cercle, et démontre plusieurs propositions relatives, soit aux cordes réelles ou idéales, soit aux pôles de ces mêmes cordes, soit aux centres de similitude et aux cordes communes de deux ou plusieurs cercles situés sur un même plan. On pourrait déduire un grand nombre de ces propositions des propriétés que possèdent deux points choisis sur une droite et sur son prolongement, de manière que leurs distances aux extrémités de la droite soient entre elles dans le même rapport. Parmi ces propriétés, l'une des plus remarquables consiste en ce que la circonférence décrite sur la droite comme diamètre coupe orthogonalement toutes celles qui passent par les deux points en question. On doit distinguer, dans le même paragraphe, une solution trèVélégante du problème dans lequel on demande de tracer un cercle tangent à trois autres.
Dans le troisième paragraphe, l'auteur établit les principes de projection centrale ou perspective à l'aide desquels on peut étendre les théorèmes vérifiés pour le cas du cercle à des sections coniques quelconques. Par exemple, voulant démontrer que les propriétés projectives du système de deux cercles, situés dans un même plan, subsistent pour le système de deux sections coniques, il a seulement à faire voir que le premier système peut être considéré, en général, comme la projection du second. Il recherche, à ce sujet, tous les points de l'espace susceptibles de projeter deux sections coniques suivant deux cercles, et prouve que tous ces points appartiennent à des circonférences décrites avec des rayons perpendiculaires sur les milieux des cordes idéales communes aux deux courbes données, et respectivement égaux aux moitiés de ces cordes. Au reste, on est conduit directement au même résultat par la solution du problème que nous avons traité plus haut. On pourrait même, en s'appuyant sur cette" solution, déterminer tous les points de l'espace susceptibles de projeter deux courbes quelconques du second degré, suivant deux autres courbes du même degré, mais semblables entre elles, pour lesquelles le diamètre, parallèle au plan des deux premières courbes, formerait, avec son conjugué, un angle donné, et serait à ce même conjugué dans un rapport donné. On trouverait que c^s points sont situés sur des
circonférences de cercles décrites par des rayons vecteurs qui, aboutissant aux milieux des cordes naturelles ou idéales communes aux deux courbes proposées, forment avec ces mômes cordes l'angle donné, et sont à leurs moitiés dans le rapport donné. Plusieurs autres questions du même genre, traitées par l'auteur, dans ce troisième paragraphe, se résolvent d'après les mêmes principes.
D'après le compte que nous venons de rendre du Mémoire de M. Poncelet, on voit qu'il suppose dans son auteur un esprit familiarisé avec les conceptions de la Géométrie et fécond en ressources, dans la recherche des propriétés des courbes, ainsi que dans la solution des problèmes qui s'y rapportent.
Nous pensons, en conséquence, que ce Mémoire est digne de l'approbation de l'Académie ; et nous proposerions de l'insérer dans le Recueil, des Savants étrangers^ si l'auteur ne le destinait à faire partie d'un ouvrage qu'il se propose de publier sur cette matière.
Signés : Poisson ; Arago ; Cauchy, rapporteur.
Remarques critiques et réflexions diverses à propos du précédent Rapport.
Maintenant je reviens à cette Géométrie intuitive, soi-disant métaphysique, qui remonte à Descartes, à Desargues, à Pascal, à Monge dans les temps modernes, mais que Descartes lui-même, écrivant au père Mersenne, prétend avoir été mise en usage par Archimède; à cette Géométrie que le Rapporteur de l'Académie, grand calculateur algébriste, appréciait si peu à l'époque de 1820, et même à celle de 1824 où, pendant de si longues et pour moi si pénibles années, il retint entre ses mains les deux autres grands Mémoires sur les centres de moyennes harmoniques et la théorie des polaires réciproques, dont j'ai souvent, trop souvent peut-être, déjà parlé dans ce second volume des applications.
Je remarque, tout d'abord, que les premières pages du précédent Rapport, non-seulement confirment ce que je viens avancer relativement à l'insuffisance de son rédacteur au point de \-ue géométrique, mais montrent aussi que M. Cauchy, indiffèrent à de pareilles études, ne semblait nullement connaître ou avoir compris et goûté les divers Articles publiés par moi de 181 7 à 18 19, dans les anciennes Annales mathématiques (VF Cahier de ce volume) ; c'est par CCS motifs, sans doute, et d'autres que j'ignore, qu'il a été amené à me traiter aussi légèrement qu'il l'a fait dans le texte de son Rapport. J'aurais donc volontiers supprimé à l'impression plusieurs des pages de cet écrit peu digne de la haute renommée scientifique de l'auteur, si je n'avais craint qu'une telle suppression ne devint pour quelques lecteurs, un motif de doutes, de reproches même, au sujet des opinions tranchantes que je viens d'émettre, en paraissant ne prendre aucun souci de les justifier explicitement. A plus forte raison, ne saurais-je garder le silence sur ce que le Rapporteur affirme relativement à ce que, dans mon Mémoire de 1820, j'appelais laconiquement : principe de la continuité, parce que je sous-entendais, pour la brièveté du discours, les mots : ou permanence des relations métriques et descriptives des flgures. Vour M. Cauchy, on le voit, ce principe n'était qu'une forte induction susceptible de conduire à
des erreurs manifestes, etc.; mais ce jugement sévère n'est appuyé d'aucun exemple, d'îiucune preuve quelconque; ce n'est là qu'une assertion vague, par conséquent irréfutable logiquement, et qui prenait sa source dans des opinions préconçues sur la continuité algébrique.
Avec un peu plus d'expérience des affaires académiques et d'après les vaines tentatives que j'avais faites pour obtenir une audience du savant Rapporteur, ainsi que par les mots bienveillants, mais discrets, échappés à mes anciens et illustres maîtres. Ampère, Arago, Lacroix, Poinsot et Poisson, peu soucieux d'intervenir dans la discussion, j'aurais dû comprendre que l'opinion de M. Cauchy n'était pas favorable à la tendance de mes idées philosophiques. Redoutant, avec raison, que douze années de travaux et de méditations persévérantes ne devinssent pour moi un sujet de déception et peut-être même de ridicule aux yeux de mes supérieurs, de mes camarades et du public géomètre, assez indifférent et peu indulgent en général, je parvins, lors d'une dernière démarche, à atteindre mon inflexible juge à son domicile, rue Serpente, n° 7, au moment où il le quittait pour se rendre à Saint-Sulpice; mais durant ce rapide et trop court trajet, je m'aperçus promptement que je n'avais aucun droit acquis à ses ménagements, à son estime scientifique, et qu'il me serait même impossible de m'en faire comprendre. Aussi me bornai-je, en humble et timide solliciteur, à le prévenir respectueusement que les objections et les diflicultés qu'il croyait apercevoir dans l'adoption du principe de continuité en Géométrie, tenaient essentiellement à l'insuffisante attention jusquelà accordée à la loi des signes déposition, loi dont je m'étais préoccupé dès 181 3, en Russie, mais surtout depuis mon retour en France en 181 4, et dont la discussion mathématique aurait précédé ma communication à l'Académie, si d'estimables savants (voir p. 1 3o et suiv.) ne m'en avaient détourné. Mais, sans me permettre d'en dire davantage, il me quitta brusquement en me renvoyant à la future publication de ses Leçons à l'École Polytechnique où la question devait, selon lui, être convenablement approfondie.
Ces Leçons parurent, en effet, l'année suivante (1821), sous le titre de Cours d' analyse (F'' partie, en un volume în-8° de 670 pages); or, je fus grandement désappointé de n'y rencontrer que des théorèmes et problèmes de synthèse algébrique, exposés sous une forme de rigueur tout au moins apparente, c'està-dire à la manière d'Euclide, de Legendre, etc.; synthèse où se trouvent accumulées les nombreuses difficultés ou objections auxquelles avait donné lieu jusqu'alors l'application du calcul numérique à certaines formules de l'Analyse algébrique qu'il prétendait soustraire à tout reproche, à toute pétition basée sur ce que j'avais nommé principe de continuité. Quant à ce principe et à la loi des signes de position considérés en eux-mêmes, en Géométrie ou en Analyse, on en chercherait en vain des traces explicites dans ce volume de 182 1. Pourtant l'auteur y admet, avec certaines restrictions il est vrai, même pour les fonctions simples, l'existence de la loi de continuité dont Lagrange et Ampère évitaient, d'une manière plus apparente que réelle, l'emploi dans leurs leçons d'Analyse algébrique (1807 à 1809); leçons auxquelles, pour ce motif, j'ai toujours préféré celles de notre ancien et vénérable professeur Lacroix, et de son spirituel successeur à l'École Polytechnique, Poinsot, qui auraient, sans nul doute, repoussé cette définition hybride mais fort commode au point de vue algébrique {Cours d'Analyse, p. 34 et suiv.) : une fonction réelle et simple qui devient infinie entre deux limites données est une fonction discontinue. De sorte que.
notamment, la tangente et la sécante trigonométriques d'un arc de cercle compris entre zéro et un arc supérieur à deux quadrants étant considérées comme discontinues par M. Cauchy, il devait en être ainsi, à fortiori, des arcs, des aires, etc., compris entre deux points appartenant à des branches opposées de l'hyperbole, bien que contigus à une même asymptote : néanmoins, au point de vue géométrique, ces branches sont nécessairement soumises à un même mode de génération continue.
Cette définition, jetée au début d'un Traité d'Anafyse algébrique, est à coup sûr, je le répète, un moyen commode d'en éluder les difficultés, mais non de les résoudre et de les aborder avec franchise. De plus, une pareille manière de procéder, qui rappelle sans avantage celle des Anciens, accorde une trop grande prépondérance aux faits particuliers sur les faits généraux : elle rompt la liaison des théories et des idées, pour y substituer une série d'énoncés, de recettes pour ainsi dire, dont la science des nombres discrets, jusqu'ici encore soustraite à toute loi de continuité malgré les travaux de Dirichlet, offre un très-remarquable exemple. Évidemment, on ne pourrait s'imposer pour modèle une telle manière sans oublier le but véritable des Majhématiques, et sans courir la chance de nous ramener à la scolastique du moyen âge, dont l'esprit étroit et difficultueux ne s'est, comme j'en ai déjà fait la remarque, que trop propagé dans l'enseignement de nos lycées et collèges, à dater de l'époque où régnait l'examinateur baron Reynaud, puissant personnage à la ville et à la cour, grand faiseur d'objections et de subtiles questions dont il était l'inventeur satisfait; du reste commentateur obscur et ampoulé de Bezout, le plus lucide, avec Lacroix, de nos auteurs de Traités de Mathématiques élémentaires, parce qu'ils ne repoussaient pas l'axiome de la continuité, et s'attachaient plus à l'esprit des méthodes qu'à la solution impromptue de petits problêmes qui eussent embarrassé le modeste Lagrange, et sont propres seulement à avertir les professeurs et à préparer les examens de l'année suivante.
Les procédés de démonstration et d'exposition épineux et décousus, dont je viens de parler, étaient, sans nul doute, l'origine et la base du jugement si légèrement prononcé contre le principe de continuité par M. Cauchy, qui, à mon sens, oubliait trop que la continuité en elle-même est un fait, un axiome indémontré, indémontrable algébriquement, et qu'elle doit se manifester non pas seulement dans les fonctions simples et primitives, mais dans toutes leurs dérivées des divers ordres, comme le témoignent les belles séries de Taylor, de Maclaurin et d'autres développements illimités : employés, en effet, dans des conditions de calcul et d'approximation purement numériques, par conséquent restrictives et étrangères à la Géométrie ou à l'Analyse en général, ces développements sans limites ni restes complémentaires, seraient susceptibles de conduire à des conséquences absurdes ou contradictoires [voir le contenu du n° III qui suit).
Or, ces circonstances singulières, qui exercent aujourd'hui encore la sagacité des calculateurs, ne me préoccupaient nullement dans un Mémoire de pure Géométrie, exclusivement destiné à l'étude des propriétés projectiles des Jigures; car elles ne prouvent rien contre le principe de continuité, comme on l'a établi dans le IIF Cahier de ce volume; ce principe ne cessant de subsister que lorsqu'il y a antagonisme entre les signes des relations métriques primitivement soumises à des conditions incompatibles et étrangères à la situation relative des divers éléments fixes ou mobiles d'une figure géométrique, .(l'est bien
là, si je ne me trompe, un fait irrécusable que le célèbre Rapporteur de l'Académie royale des Sciences ne pouvait connaître, faute d'une préalable et suffisante étude de la matière : la forme algébrique, l'expression générale des résultats ne pouvant changer d'une manière absolue avec les hypothèses primitives que dans ces cas d'antagonisme, dont je pourrais citer des exemples, même dans les machines, indépendamment de ceux qui sont offerts par les formules de l'attraction des sphéroïdes, etc., où les forces et les distances peuvent suivre des lois indépendantes par rapport aux signes de position, et que Lejeune- Dirichlet, l'illustre ami des Crelle et des Borchardt, des Jacobi, des Steiner, des Liouville et le mien propre, a ramené au principe de continuité par un heureux artifice de calcul appliqué à l'intégration des fonctions différentielles dépendante de ce qu'on nomme le potentiel.
Ces observations générales me semblent, quant à présent, devoir suffire pour montrer que les scrupules, les objections tranchantes de M. Cauchy, relatives au principe de continuité, étaient sans fondement logique; et ce qui le prouve, c'est que Jacobi et d'autres illustres géomètres étrangers, en citant le Traité des Propriétés pro}ecti\res, ne se sont nullement arrêtés .à ces malencontreux scrupules. D'ailleurs la V^ Partie du Cours d' Analyse, si volumineuse à cause des nombreux développements sur le calcul des formes imaginaires, est restée sans suite immédiate, et il m'a fallu franchir l'intervalle de 1824 à 1826 où parvit le tome F"" des Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la Géométrie (Imprimerie Royale), pour voir comment M. Cauchy abordait, dans la théorie des courbes algébriques, le passage délicat du fini à l'infini, qui dans tous les temps a offert de si grandes difficultés aux esprits philosophiques incapables de déguiser la vérité par des artifices de calculs ou de langage conventionnels et sophistiques.
Or, je le déclare sans détour, je n'y ai rien trouvé concernant la loi des signes de position, renvoyée sans doute aux Traités de Géométrie analytique élémentaires; rien sur la continuité des courbes, admise à priori et sans réserve pour le premier ordre d'infiniment petits ou d'infiniment grands, mais soigneusement évitée dans les autres ordres, grâce à un mode de démonstration d'une apparente rigueur, emprunté au philosophe Gergonne {Annales, t. IX, 1818), qui , blâmant hardiment les doctrines de Leibnitz et de Newton, n'admettait pour légitimes que celles des dérivées de Lagrange, critiquées, non sans raison, par Wronski au point de vue de l'Algorithmie et de l'infini.
De là aussi, de la part du Rapporteur académicien, ces reproches adressés au principe de continuité, si embarrassant pour ceux qui ont une aveugle confiance dans les résultats du calcul algébrique, dont l'apparente rigueur fait illusion à beaucoup de jeunes néophytes, qui confondent les formules, les équations de la Çéométrie de Descartes avec celles de l'Arithmétique proprement dite; Géométrie qu'on débarrasse ainsi de toutes les difficultés inhérentes à l'Analyse en général, aux signes algorithmiques des fonctions et à la position relative des grandeurs; je veux dire aux signes afférents au mode d'existence propre de ces grandeurs. C'est à tel point, que ces impitoyables et crédules ennemis de la continuité géométrique en sont venus à affirmer nettement, même dans les courbes simplement algébriques, l'existence effective de points d'arrêt brusques, de points saillants, etc., dont M. Cauchy, d'ailleurs assez mal affermi dans sa voie comme j'en ai déjà apporté des preuves, emprunte sans examen suffisant la doctrine à un Mémoire de 1824 r''<"senlé à l'Académie des Sciences par M. Roche.
Au surplus, bien que de telles erreurs se soient propagées dans d'autres écrits recommandables à certains titres, je ne veux pas insister ici sur l'imparfaite ébauche de M. Cauchy, datée de 1826 et qui prouve tout au moins que ses idées sur la continuité des fonctions et des équations algébriques n'étaient pas dès lors parfaitement arrêtées dans son esprit, et qu'il faut descendre jusqu'en 1828 {Calcul intégral) et 1829 {Calcul différentiel), pour les voir se rapprocher de plus en plus de celles d'Euler, de Lagrange, d'Ampère, de Lacroix et de Poinsot, relatives aux différentielles, aux dérivées, aux limites et aux infiniment petits prescrits par le programme de 181 3; mais dont l'exposition, d'une rigueur apparente, se trouve complétée par le calcul des imaginaires, déduit de conventions à priori très-peu propres à infirmer le principe de continuité, que, pourtant, le Rapporteur du Mémoire sur les polaires réciproques niait encore si obstinément dans cette même année 1828.
Après ces réflexions générales sur la manière vague et imparfaite dont le savant Rapporteur de mon Mémoire de 1820 entendait le principe de continuité, je puis, sans entrer dans des détails inutiles aux lecteurs instruits des progrès récents de l'Analyse appliquée à la Géométrie, me permettre d'insister quelque peu sur la manière tout algébrique dont il a plu à M. Cauchy de traduire, à son propre point de vue, mes idées relatives aux cordes idéales ou imaginaires communes à un système de coniques sur un plan, et aux principes de projection centrale qui les concernent. Les personnes qui ont bien voulu lire avec quelque attention le I**" volume de ces applications, comprendront combien il m'a été pénible de voir interpréter et traiter avec un tel sans façon et si peu d'intelligence philosophique, des notions de Géométrie générale jusque-là, il est vrai, étrangères au Calcul algébrique, trop souvent, je le répète, confondu avec l'Arithmétique.
Par exemple, M. Cauchy, en s'appesantissant pour le démontrer à sa manière sur les propriétés élémentaires d'un système de cercles dans un plan ou do sphères dans l'espace, ne s'est pas aperçu, n'a pas compris que, d'après les principes subséquents de mon Mémoire, ces propriétés, toutes projectives et linéaires, s'étendaient à des systèmes de coniques et de surfaces du second degré quelconques, ayant en commun une sécante ou un plan de section. Il est vrai que j'avais laissé aux lecteurs intelligents le soin de cette application, facile quand on prend garde que les cercles et les sphères dont il s'agit ont toujours des sections imaginaires communes à l'infini.
Malheureusement, des considérations de ■ cette nature étaient comme non avenues pour le Rapporteur, auquel il eût été au contraire beaucoup plus aisé de mettre en évidence son incontestable supériorité algébrique, en essayant de démontrer par l'Analyse de Descartes, à laquelle je substituais le raisonnement géométrique, l'existence et le mode de construction des cordes idéales communes au système de deux coniques quelconques sur un plan, ainsi que la possibilité de projeter ces courbes suivant des cercles, auxquels le Rapporteur substitue des coniques semblables et semblablement placées sur un second plan à déterminer dans l'espace ; mais je ferai remarquer que ce problème, bien qu'en apparence plus général, est, par le fait, moins riche en conséquences utiles, puisque les propriétés relatives aux cercles et aux sphères,
étant plus élémentaires, plus abordables à l'universalité des esprits et étant aussi mieux connues, une telle généralisation allait précisément au rebours du but que je voulais atteindre.
Comment d'ailleurs M. Cauchy, qui ne craignait pas de montrer sa supériorité en fait de Géométrie, ne s'est-il pas aperçu que ses démonstrations à posteriori, ses prétendues généralisations des théorèmes établis dans mon Mémoire de 1820, étaient dénuées de tout mérite original après la découverte des relations intimes qui lient les cordes communes au système de deux coniques, aux centres et aux plans auxiliaires de projection? S'était-il donc figuré que ces relations fussent le résultat d'une simple intuition ou improvisation géométrique, et qu'elles n'eussent donné aucun mal à acquérir, même par la voie de l'Analyse algébrique {voir t. I'''" des Applications , p. 99, 118, 287, 4o8 à 4^9)? N'estil pas décourageant au dernier point, de voir de nos jours que les découvertes géométriques les plus délicates sous le rapport de la philosophie de la science, soient ainsi travesties, rabaissées par des esprits légers, satisfaits, tout au moins inattentifs, et qui n'ont pas peu contribué à jeter dans l'enseignement le désordre et l'indiscipline dont j'ai déjà parlé? N'eût-il pas été beaucoup plus digne de la réputation de M. Cauchy, d'appliquer directement, sans préventions ni idées préconçues, son prodigieux talent d'algébriste à la recherche directe du lieu des sommets communs aux cônes projetants dont il a été parlé? Ce problème, en effet, vainement tenté par d'autres avant ou depuis i8i3, et qu'à cette époque j'ai abordé directement par les voies de l'Analyse algébrique, dépend, comme on l'a vu, d'une équation du 12* degré, décomposable implicitement en six autres du 2^, mais dont les coefficients ou constantes dépendent à leur tour d'une équation du 6^ degré, réductible au 3^, ce problème méritait bien, je crois, l'intérêt et l'attention du Rapporteur.
Peut-être qu'une pareille tentative eût rendu ce savant plus circonspect, moins dédaigneux envers l'auteur du Mémoire dont la Commission académique l'avait fait Rapporteur, sinon juge exclusif. Peut-être aussi qu'en y réfléchissant davantage, il se fut aperçu que la théorie des coniques supplémentaires, offrant la construction géométrique immédiate des six cordes idéales communes en général à deux coniques données, pouvait servir de point de départ à de plus vastes doctrines concernant, sinon la représentation, du moins l'interprétation simple et naturelle des expressions imaginaires. C'est ce qui arrive, en effet, dans la recherche des propriétés de certaines intégrales périodiques que les géomètres algébristes ont, en dernier lieu, abordées par des méthodes assez peu satisfaisantes au point de vue géométrique, mais que M. Maximilien Marie, connu par de savantes et originales publications, a remplacées par d'autres plus lumineuses, dans un remarquable Mémoire sur la théorie des fonctions de -variables imaginaires, soumis en i854 au jujjement de l'Académie, Mémoire que M. Cauchy aurait plus favorablement encore apprécié comme Rapporteur, s'il avait gardé iln meilleur souvenir de mes écrits de 1820 et 1822. Or, j'insiste quoique bien à regret, M. Cauchy était peu apte à comprendre et goûter les doctrines de la Géométrie, ce dont on se convaincra en lisant le Mémoire sur la synthèse algébrique (t. XVI de nos Comptes rendus, p. 867 à 881, 967 à 976, 1089 à io52), où cet académicien reproduit un peu tardivement (i843) les méthodes de son ami et affidé scientifique M. Gergonne, qui consistent à traiter, sans calcul ni éliminations laborieuses, certaines questions de Géométrie élémentaire, relatives aux contacts des cercles, des sphères, etc.
Que l'on consulte encore les divers Articles ou Notes non moins étendues, écrites à l'occasion d'un Rapport sur des Recherches géométriques de M. Amyot, et qui a donné lieu à de longues discussions et réclamations insérées dans le même volume des Comptes rendus de l'Académie des Sciences (p. 828 à 833, 933 à 939, 9'f7 à 954, iioj à II 12), devenues la cause, le motif stimulant des excursions de M. Cauchy dans le domaine de la Géométrie pure, et certes on ne pourra disconvenir avec moi, à part toute prévention morale et scientifique, que M. Cauchy, si puissant comme calculateur, si léger et superficiel dans ses jugements, manquait absolument du sens philosophique et géométrique, nécessaire pour généraliser les méthodes et franchir les bornes établies par ses illustres prédécesseurs.
Maintenant, on doit comprendre comment peu goûté, encore moins encouragé au dedans comme au dehors de l'Académie des Sciences, dans ma téméraire entreprise de publication du Traité des Propriétés projectiles, j'ai dû, faute de ressources pécuniaires et d'éditeurs bénévoles, recourir à une souscription publique, immédiatement couverte il est vrai, grâce au bienveillant intérêt de mes amis, de mes camarades et de mes chefs, parmi lesquels la reconnaissance me fait un devoir de citer avant tous, le digne et illustre général du génie Baudrand, membre du jury d'examen de l'École d'application de Metz.
On conçoit encore comment, après l'impression entière de ce volumineux ouvrage, en 1822, j'ai dû attendre avec résignation le jugement académique sur les théories générales du centre de moyenne harmonique et des polaires réciproques que j'ai si souvent mentionnées, parce que, n'ayant obtenu que des Rapports aussi tardifs que peu encourageants et peu intelligibles au point de vue géométrique, ils sont devenus pour moi la source dje nombreuses et pénibles déceptions scientifiques, au nombre desquelles on me permettra de rappeler ici l'injuste oubli des successeurs et vulgarisateurs auxquels j'avais donné de plus généreux exemples dans le Traité des Propriétés projectiles, mais surtout l'hostilité flagrante des rédacteurs ou collaborateurs des Annales de Montpellier et du Bulletin des Sciences mathématiques (1826 à 1828), dont je n'ai pu combattre et vaincre le mauvais vouloir qu'à force de réclamations, de sollicitations persévérantes, qui ne témoignent pas en faveur de l'impartialité de certains échos de la presse scientifique.
Enfin, on conçoit mieux encore comment, profondément humilié et contrarié de tant de retards et de dénis de justice, je me suis décidé, non sans un regret patriotique amer, à recourir à l'impartial Journal de Mathématiques, publié tout récemment alors (1826) à Berlin, par l'honorable et savant D"" Crelle, qui accueillit les Mémoires dont il vient d'être parlé, non il est vrai sans quelques timides réserves dictées par la crainte de déplaire aux rédacteurs alors toutpuissants, des Recueils scientifiques français que je viens de citer.
RÉSUMÉ ANALYTIQUE DE DIVERSES NOTES OU SOUVENIRS ANTÉRIEURS A 1820, AVEC QUELQUES DÉVELOPPEMENTS PLUS RÉCENTS.
Sur la continuité des courbes géométriques et transcendantes.
Envisagée dans le sens le plus général, la continuité, dont aujourd'hui encore on ose à peine invoquer le principe, est un fait mathématique qui ne saurait se démontrer à priori, ni en Analyse algébrique, ni en Géométrie, ni môme dans la Mécanique rationnelle et abstraite où, cependant, elle semble de toute évidence à l'égard du mouvement, puisque le mobile, quel qu'il soit, ne saurait s'anéantira aucun instant. Dans la génération des courbes et des surfaces notamment, elle se manifeste par l'accord exact des faits avec les résultats déduits de son admission à priori et de l'application du calcul ou du raisonnement aux relations algébriques et géométriques qui définissent l'état, la constitution et le mode de génération des grandeurs que l'on considère.
J'ai déjà émis, dans diverses notes ou passages du texte (III* et IV' Cahiers), quelques idées relatives à la continuité des courbes ou des surfaces, idées qui remontent à l'époque de mon séjour à l'École Polytechnique ; je ne saurais y revenir ici, mais je ne puis me dispenser de rappeler que, longtemps avant la présentation à l'Institut, en 1820, de V Essai sur les Propriétés projcctives des sections coniques, j'avais écrit diverses Notes au sujet de la continuité des courbes; ces Notes, d'ailleurs fort incorrectes, sont trop étendues pour trouver place dans ce volume, outre que plusieurs sont perdues ou échappées partiellement de ma mémoire; je me bornerai donc à en présenter ici un résumé succinct. J'y admettais à priori, d'après une multitude d'exemples plus ou moins connus, la continuilé des courbes dites algébriques, pourvu, comme je l'ai déjà expliqué en divers endroits, que l'on donne à leur définition génétique ou organique, à leur description par points ou enveloppements tangentiels, la généralité et le sens géométrique qui convient, dans chaque cas, d'après le principe même de continuité. Or cela est surtout indispensable pour ce qui concerne les atîections multiples que ces courbes ou les surfaces présentent aux points singuliers divers de leur cours limité ou infini.
Dans une Note toute spéciale de 1818, relative aux courbes en général , considérant la continuité des lignes exprimées par de simples équations algébriques, comme entièrement hors de cause, je faisais des vœux pour que l'étude à priori en fût développée davantage par cette intuition géométrique dont l'École de Monge a offert de si beaux exemples. Quant aux courbes dites transcendantes, je citais divers exemples où la continuité semble cesser d'avoir lieu en des points pour lesquels leur
cours éprouve un changement brusque tout au moins apparent; mais ces cas se rapportent généralement à des lignes définies par des équations purement analytiques ou littérales, parmi lesquelles se distinguent, en nombre nécessairement illimité, celles qui renferment des fonctions logarithmiques ou exponentielles et certaines intégrales définies, que l'on considère, à tort, comme autant de formules essentiellement arithmétiques et qui sont trop souvent dépourvues du caractère d'homogénéité inséparable du point de vue géométrique.
Au préalable, je dois rappeler que, dans la Note dont il s'agit, je regardais comme chose évidente en soi : i " que les courbes décrites par des procédés purement géométriques ou mécaniques, fussent-elles mêmes à évolutions multiples et comprises sous la dénomination de courbes transcendantes, telles que les spirales, les cycloïdes, sinusoïdes, épicycloïdes ou roulettes et développantes diverses; ces courbes, qui se rapportent toutes aux fonctions simplement circulaires, doivent être considérées comme assujetties à un double mode de génération continue, directe ou inverse, progressive ou rétrograde, c'est-à-dire dans des sens contraires, positifs et négatifs, mais non pas exclusivement dans un seul de ces sens, comme cela se faisait d'habitude, sans doute pour la facilité des discussions; 1° que c'est aussi à tort que, par une abstraction non permise, on sépare souvent les diverses branches d'une même courbe susceptibles en apparence de descriptions distinctes, mais, par le fait, inséparables et intimement liées entre elles d'après le principe de continuité, de permanence des relations métriques et descriptives des figures; car ces relations admettent aussi bien les points imaginaires que les points à l'infini dont, remarquons-le bien, les distances mutuelles peuvent demeurer limitées ou finies et devenir, dans certains cas, négligeables ou comme nulles, par rapport à celles qui sont essentiellement infinies; 3° que les relations métriques, les équations qui définissent algébriquement dépareilles lignes courbes, doivent, n'importe les cas, être homogènes dans leurs termes divers, soit numériquement, soit géométriquement, c'est-à-dire que ces équations, purement littérales, doivent être telles, qu'en divisant chacune des grandeurs simples qui y entrent par l'unité concrète de son espèce, indifféremment considérée comme positive ou négative, selon le sens progressif ou rétrograde qu'il plaît de leur supposer à priori, les diverses unités concrètes, mises ainsi en évidence, disparaissent naturellement comme facteurs communs à tous les termes de l'équation ; 4° enfin que, dans le cas où une telle unité, fùt-elle la même pour tous les termes de l'équation, ne pourrait disparaître à la fois comme facteur commun, il serait indispensable de l'y laisser subsister d'une manièie apparente et explicite, afin de conserver à cette même équation le caractère d'homogénéité géométrique sans lequel il est difficile de ne pas tomber dans des contradictions et des obscurités inextricables. En particulier, la question de savoir si les courbes exponentielles et logarithmiques dont les équa-
lions les plus simples, d'ailleurs identiques et de la forme /=é''^, j:=\og;}, sont ou non assujetties dans toute leur étendue à la loi de continuité, cette question revient évidemment à étudier la marche même de la fonction e", quand x y croît par degrés insensibles.
Or, on sait toutes les difficultés et les divergences d'opinion que cette discussion a fait naître parmi les anciens géomètres algébristes : Leibnilz, d'Alembert, Euler, Jean Bernoulli, etc. Ce sont ces difficultés, aujourd'hui non entièrement résolues sous le rapport géométrique, que j'ai lâché d'approfondir, sinon d'éclaircir parfaitement en 1818, dans une Note qui roule presque exclusivement sur l'opinion consistant à regarder les logarithmes des nombres négatifs comme les mômes que (eux des nombres positifs : cette opinion, on le sait, a été combattue par Léonard Euler, qui repoussait l'argument de d'Alembert fondé sur la prétendue exactitude des identités ou transformées algébriques
{—ay={ + aY=a\ ■2.\og( — û) = 'i\og[-\-a), log (— rt) = log( + a),
à la dernière desquelles Euler a substitué, pour les nombres négatifs, cette autre plus générale et plus rigoureuse,
log(— «) = Log«+ (2/« + 0^ V^~') tandis que, pour la série des nombres positifs, on aurait simplement log( + «) = Logrt + 2W7T v/— I,
Log« désignant un nombre tabulaire, par, conséquent réel et absolu.
Euler, esprit essentiellement juste, n'admettait probablement pas la considération des valeurs multiples de j correspondant à des valeurs numériques fractionnaires de x dans l'équation j = 6-^, du moins, s'en est-il tu dans sa réplique à d'Alembert, comme il s'est également tu à l'égard de l'objection de Bernoulli, relative à l'aire de l'hyperbole équilatère; chose regrettable au point de vue de la Géométrie analytique, ainsi qu'on le verra ci-après.
En particulier, si l'on substituait dans l'équation j = e" des valeurs de
la forme — 5 m et n étant des nombres entiers quelconques, cette équation donnerait algébriquement
Y = (P " = ( e'» ) - " , soit ,1- =" = e "',
et conduirait, comme on sait, à in valeurs distinctes de j, dont les deux premières
POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. Syi
sont seules réelles, mais de signes contraires; les a (« — i) autres étant
toutes imaginaires et égales au produit de \/e"' par les racines de l'unité, fourni par la formule connue
cosp — t-sm/^- v — i,
qui, émanées des théorèmes de Côtes, deMoivre, etc., donnent la division en parties égales de la circonférence du cercle; la lettre/^ devant prendre toutes les valeurs entières comprises entre p — n çl p — n.
Les géomètres algébristes admettront encore plus difficilement peutêtre, une autre considération avancée, non sans quelque réserve, dans la Note précitée de 1818, en vue d'établir la continuité des fonctions exponentielles e', savoir : que si l'on suppose l'unité / de la valeur de x divisée en un nombre infini 2« de parties égales, chacune d'elles pourra être
représentée par une fraction de la forme — où le dénominateur 2« = 00
in
est la limite infinie de nombres entiers positifs ; de sorte que la valeur numérique de x serait ainsi exprimée por la quantité fractionnaire — ou
— C'est ce qui arriverait, par exemple, dans le système de numération
où l'on voudrait rapporter tous les nombres à la fraction décimale infiniment petite de l'unité, en se rapprochant ainsi de l'idée qui a donné naissance à la doctrine des indivisibles àe, Cavalicri (i635), de Robe/vnl et d'autres géomètres initiateurs, auxquels il ne faut pas trop reprocher certaines absurdités qui ne sont que des vices de langage.
L'exponentielle t'"^ pouvant ainsi être représentée en général par l'expression e'", cela fait retomber directement sur les solutions précédentes pour exprimer les valeurs numériques diverses de j; seulement, ici, le nombre p étant infini, ses racines et les ordonnées correspondantes à x sont en réalité inassignables, à l'exception de celles qui répondent à /^ =0, p = «, c'est-à-dire aux valeurs
tn
Or cela assignerait directement à l'exponentielle y = e^ ou, ce qui revient au même, à la logarithmique x — logj, une infinité de branches imaginaires conjuguées à un couple de branches réelles opposées, asymptotes par rapport à l'axe des x, et constituant à l'infini, du côté négatif de cet axe, un point de rebroussement auquel il servirait de tangente ; ce qui rétablit la continuité dans l'étendue entière de la courbe.
Ces raisonnements, tout au moins spécieux, supposant que l'unité de mesure de X soit un nombre absolu ou discret, ainsi que la constante e et l'ordonnée jr, cela ôte à la conséquence tout caractère géométrique relative-
ment à la cpnlimiilé des courbes exponentielles el logarithmiques. En outre le mode de démonstrations ci -dessus pour établir l'exactitude de l'équation j — ± c" ne saurait pleinement satisfaire l'esprit sous le rapport de la rigueur mathématique, quoique notre sévère Lagrange [^Leçons sur le calcul des fonctions, 2"" édition, 1806), dans son exposé algébrique des logarithmes des nombres, les considère (p. 35) comme dérivant de la racine infinitième de ces nombres, et comportant, par là même, une infinité de valeurs, de racines algcbi'iques réelles ou imaginaires.
Je ne parlerai pas des autres tentatives que j'ai faites avant ou depuis l'époque de 1818, pour justifier la continuité de la logarithmique, soit en recourant au système analytique de projection de la courbe à branche unique, projection dans laquelle, selon l'ancienne hypothèse, les points à l'infini seraient représentés par des points d'arrêt brusque, sans raccordement quelconque ; encore moins parlerai-je d'essais infructueux de démonstrations algébriques ou trigonométriques, fondées sur des développements en série de sin,r, coso-, etc., démonstrations analogues à celles qui ont été données par Legendre el dans lesquelles l'usage du binôme de Newton, tout au moins indispensable, peut autoriser l'introduction de l'ambiguïté ±. Car ces diverses tentatives algébriques, quoique rationnelles et établies dans l'hypothèse de la progression (ascendante ou descendante) des nombres discrets sans signes de position, ne m'ont conduit à aucune conséquence distincte de celles qui se concluent du mode analytique de démonstration généralement adopté depuis Euler, mode où l'on s'occupe exclusivement de la génération des nombres considérés dans l'ordre direct ou positif, tandis qu'il conviendrait non moins, peut-être, de les considérer à priori dans l'ordre négatif, c'est-à-dire inverse ou rétrograde, comme cela se fait en Géométrie (IIP Cahier, p. 169 et suiv. ).
Ceci conduirait inévitablement à adopter pour les nombres, dans l'échelle rétrograde, une unité également affectée du signe de position — ; de sorte qu'à ce point de vue géométrique, en supposant que j et :r fussent de véritables longueurs rapportées à leur unité de mesure propre /, positive ou négative selon la région où on la considère, on devrait remplacer l'équation ordinaire y = C' par cette autre
•'-r = e 1 y = ie •■,
ce qui donnerait pour la logarithmique, non plus simplement x = logj,
mais bien -7 = log'T5 x — i\o%-^--,
qui n'offre rien d'absurde quand on suppose à la fois x et / négatifs, et comporte ainsi implicitement le double signe de j et le signe toujours
positif et numérique de-r-
POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. SyS
Cela étant d'ailleurs admis, et quel que soit le parti ou système d'interprétation qu'on adopte, il restera toujours à résoudre les difficultés
inhérentes aux valeurs fractionnaires de - et aux bizarres conséquences
qui en dérivent pour le tracé par points de la logarithmique, dès que l'on admet de telles valeurs et les longueurs réelles ou imaginaires correspondantes de l'ordonnée y de la courbe. Or ces difficultés disparaissent, comme on l'a vu, dans l'hypothèse de la continuité et d'une seconde branche réelle, raccordée à l'infini avec la première, raccordement impossible dans le cas d'une branche unique ; même quand on y adjoint toutes ses branches imaginaires en nombre infini.
N'est-il pas regrettable d'ailleurs que nos savants algébristes, cédant à une espèce de lassitude et d'entraînement scientifiques, aient, à l'aide d'une convention générale et tacite, abandonné l'éclaircissement géométrique de pareilles questions, sous le prétexte « qu'elles impliquaient l'in- » fini, et qu'il est difficile dans de telles circonstances de vérifier la loi » de continuité? » (Lacroix, Calcul différentiel et intégrcd^ in-4°, t. I, » p. i35.). Lacroix, mathématicien érudit et philosophe, a tort d'avancer que la discussion relative aux logarithmes négatifs est, par elle-même, sans importance; car les difficultés qui viennent du changement de signe de certaines fonctions algébriques, se reproduisent presque à chaque pas, dans les applications du calcul aux quadratures, aux intégrales définies, etc. ; les valeurs de la fonction sous le signe / étant susceptibles de passer par l'infini, eh changeant ou non de signe algébrique, tout comme il lui arrive de passer par zéro dans des conditions analogues. C'est, en effet, ce dont on peut se convaincre même sur les exemples rapportés par notre ancien et vénérable professeur, en un autre endroit de son précieux et grand ouvrage (t. I, p. i56 et suiv. ), où, reculant en présence de telles difficultés au lieu de chercher à les résoudre, il aboutit, de guerre lasse sans doute (t. II, p. i6i, n° 492), par se ranger à l'opinion d'Euler sur les logarithmes des quantités négatives, contre Jean BernouUi, qui était pourtant aussi un grand géomètre algébriste, et alléguait l'exemple de la quadrature des espaces asymptotiques de l'hyperbole équilatère, dont, il faut bien le remarquer, l'équation algébrique xy — à^ est véritablement homogène dans le sens précédemment indiqué.
Or cette conclusion est d'autant plus surprenante que Lacroix ne conteste pas, au fond et d'une manière absolue, la continuité de la courbe exponentielle dans la loi de croissance ou de signes des ordonnées et des éléments d'aires, compris entre l'infini positif et l'infini négatif; que même il soupçonne, à propos de cette épineuse discussion, qu'il pourrait bien y avoir lieu de considérer deux ordres ou séries naturelles des nombres, les uns positifs, les autres négatijs. Mais Lacroix ne s'arrête nullement à cette idée, et finit par se ranger, non toutefois sans quelque hésitation, à l'opinion de Leibnitz et d'Euler contre Jean Bernoulli et d'Alemberl, sous
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le prétexte que la théorie algébrique d'Euler avait depuis longtemps reçu y assentiment des analystes les plus distingués^ nonobstant les objections soulevées de part et d'autre, mais non entièrement résolues; ce qui le porte à conclure :
« Que la marche du calcul ne lui permet pas toujours d'exprimer toutes » les circonstances qui se rencontrent dans les constructions géomé- » triques...; ce calcul, ajoute-t-il, redevenant conforme au cours des » lignes lorsque ce qui tient à r infini en est écarté. »
Toutefois, les hésitations et le jugement définitif de Lacroix, qui ont dû se propager dans les Écoles, sont mal fondés en principe, et tiennent, j'oserai le dire, uniquement à des difficultés relatives aux signes de position, que j'avais, comme le prouve le contenu du Iir Cahier de ce volume, cherché à résoudre selon mes faibles moyens, et en m'efforçant d'éclairer la théorie dans ses applications les plus simples à des questions de Géométrie élémentaire.
Pour s'en convaincre, il suffit de se reporter à l'objection spécieuse et tout algébrique de l'endroit déjà cité de l'ouvrage de Lacroix (t. II, p. i6i, n° 402), où ce célèbre professeur pose et discute les formules de quadrature des hyperboles de divers degrés pairs ou impairs, représentées par l'équation
et dont les aires, à partir de .r = o, ont pour expression commune
car les objections soulevées par le même savant sont plutôt algébriques que géométriques, et ne tiennent pas un compte suffisant de la loi relative aux signes de position, qui s'accorde parfaitement avec les règles ordinaires de l'intégration. Quant à l'objection relative au cas particulier de rt = I , où la courbe se réduit à l'hyperbole équilatère du second degré entre des axes rectangulaires asymptotes, cette objection fondée sur ce que la fonction ci-dessus, qui représente en général les aires hyperboliques, n'est point de la même forme que la fonction log(i + .r) représentative de cette hyperbole pour laquelle « = i, cette objection n'est d'aucune valeur. Car, en développant en série l'intégrale générale ci-dessus, d'après la formule du binôme, puis faisant n — i dans le résultat, cette intégrale cesse d'être indéterminée, et l'on obtient pour l'expression de l'aire hyperbolique correspondante la série indéfinie
convergente pour x < i, et qui représente précisément la valeur réelle
et positive de log(i + j:).
D'ailleurs Lacroix, qui redoute de se prononcer pour tous les cas où
les fonctions acquièrent explicitement des valeurs infinies, ne prend pas
garde que, dans ses calculs analytiques, en passant brusquement d'une
valeur positive à une valeur négative de x, il franchit implicitement et
sans hésitation les intervalles où les coordonnées x et j, les éléments
d'aires asymptotiques jdx^ ainsi que les coefficients différentiels réci-
dy ffoC proques -f-' -#-' qui mesurent les inclinaisons des tangentes de la courbe
par rapport aux axes coordonnés, deviennent eux-mêmes nuls ou infinis pour certaines valeurs de l'abscisse t.
Que conclure de tout ceci? C'est que le calcul algébrique, en ce qui concerne la discussion de certaines propriétés des lignes courbes, relatives aux aires ou quadratures, etc., n'a point encore, malgré les travaux des plus grands géomètres algébristes, acquis le degré de clarté et de rectitude désirable pour les applications aux sciences qui reposent sur la Géométrie: fait généralement reconnu par les esprits élevés et sérieux. Tout en applaudissant donc aux efforts multipliés et souvent heureux des modernes, relativement à la théorie des nombres, à la résolution des équations numériques, aux règles du calcul et du développement en séries des fonctions de quantités réelles, imaginaires, etc., je ne puis néanmoins m'empècher de remarquer que ces diverses théories ou méthodes, demeurées si imparfaites entre les mains de nos prédécesseurs, laissent encore beaucoup à désirer du côté de la rigueur, de la généralité et, par suite, de la clarté.
D'accord avec Lacroix {Calcul différentiel et intégral, t. II, p. 162), que « rien n'est plus facile que d'abuser de la métaphysique en mathé- » matiques (*), et de perdre ainsi en vaines subtilités un temps et des n moyens qu'on peui employer à perfectionner les méthodes et à aug- » monter l'édifice analytique, » je ne puis cependant approuver entièrement, si ce n'est comme simple exercice et en dehors des classes, cette profusion souvent stérile et nuisible au succès de la partie intellectuelle
(*) Je ne crois pas me tromper en supposant que Lacroix avait ici en vue quelques-uns des successeurs de d'Alerabert, Carnot même, mais surtout Wronski et son précurseur Suremain-Misseri, qui, dans sa Théorie purement algébrique des quantités imaginaires (an IX, 1801), fondée en partie sur le calcul douteux des radicaux et des séries, combat la démonstration géométrique de Jean Bernoulli, sans la comprendre, sans tenir compte des signes de position, c'est-à-dire par des raisonnements inexacts et confus, en un mot, sans prendre garde que, pour convaincre l'esprit des hommes en général, et à fortiori celui des géomètres, il faut des affirmations logiques, et non des hésitations ou des doutes.
