C:{.4-Aî)=o

condition qui ne peut être satisfaite à moins que Ci ne soit nul. Mais alors le coefficient de la première puissance de x devenant nul aussi, ce terme disparaît de Téquation (i5) en même temps que le terme en y^^, >

Pour découvrir d'où provient cette impossibilité, il est nécessaire de remonter à Téquation même de la surface conique (i 2 bis)y qui remplit les conditions du problème de section ou de projection, tel qu'il a primitivement été posé. Or la quantité Ci devant être nulle dans celte équation^ elle prend la forme toute particulière

jï — 7-hA, (^ — a)^B,(j— p)=a,

appartenant à un plan qui ne peut être coupé, par un autre, que suivant une simple et unique ligne droite.

Quelque hypothèse que Ton fasse sur les indéterminées a, p, 7, Al, Bi et Cl qui fixent la position et la grandeur du cône dans l'espace, il ne sera jamais possible de ramener l'oquation générale (i3), de son intersection par le plan des xy^ à la forme indiquée

±Nj:' — Px = o-

Néanmoins il semble a priori, qu'en supposant les coordonnées a, p et 7 infinies, le cône doive se changer en un cylindre droit à base circulaire , et par conséquent pouvoir, dans ce nouvel état, être coupé par une infinité de plans suivant deux droites parallèles.

Mais il n'en est réellement pas ainsi ; car, si l'on suppose que le sommet du cône passe à l'infini sur son axe central situé

dans le plan des xzy sans changer d'ouverture , et par conséquent le cosinus Ci qui s'y rapporte restant toujours le même» il est clair que la courbe d'intersection de ce cône avec le plan des orz, tangente toujoursâTaxedes j, ayant comme dans le cas précédent, une courbure infiniment petite, devrait être considérée comme une véritable ligne droite confondue avec ce dernier axe. Si Ton suppose, en outre, que l'angle d'ouverture du cône, au lieu d'être quelconque devienne nul, alors il est évident que, soit que le sommet se trouve ou ne se trouve pas àrinfini sur l'axe central, toutes les génératrices se confondant avec cet axe, la surface entière du cône se réduirait à ce inème axe.

L'analyse conduit à des conséquences semblables. En effet, si dans l'équation [126/5) de la surface conique. Ton fait Ci=:i, elle devient, après quelques transformations,

Le premier membre de cette nouvelle équation étant ta somme de trois carrés, ne saurait s'annuler à moins que l'on n ait simultanément les trois relations

dont la dernière est une conséquence immédiate des deux, précédentes.

Or on s'aperçoit facilement que celles-ci représentent l'axe même du cône, projeté sur le plan des xz et celui des jz. Donc, la surface conique se confond, en effet, avec cet axe.

Concluons de là que l'équation (126/5) ne doit pas être considérée comme la plus générale possible d'un cône droit et circulaire, puisqu'elle ne saurait se réduire à celle d'un cylindre pareil, à base finie. Mais il en serait tout autrement si l'on considérait la surface de ce cône comme engendrée par le mouvement d'une droite indéfinie qui , passant dans toutes ses positions par un point arbitrairement donné, toucherait continuellement une sphère également donnée. Alors, en effet, l'équation du cône droit engendré de cette manière, aurait toute la généralité possible , et celle de son intersection avec

le plai) des xy^ serait aussi la plus générale parmi celles des sections coniques, puisqu'elle pourrait même représenter le système de deux droites parallèles.

Au surplus, malgré la restriction que comporte en soi la démonstration précédente, relative au cas où Téquation (i) se réduit à la forme particulière

on n'en est pas moins en droit de conclure, d'après nos dernières remarques, que le lieu géométrique de cette même équation (i) peut généralement être considéré comme une section conique.

"Note additionnelle pendant V impression.

Autant qu'il m*en souvienne, après un aussi long laps de temps écoulé et d'événements survenus, la discussion était continuée sur un dernier feuillet, détaché du manuscrit de i8i3, sans doute à cause de retendue que comportaient déjà les précédents, relatifs aux cas les plus élémentaires de la question. Il restait, en effet, à examiner Thypothèse du cône oblique d'Apollonius, à base circulaire, hypothèse plus générale que celle examinée ci-dessus pour le cône droit des Éléments, quoique oflVant des r^s d'impossibilité analogues, mais intéressant plus particulièrement la théorie des projections coniques ou centrales et les conséquences géométriques qui en dérivent, but sinon exclusif, du moins principal de ces premières études.

D'ailleurs dans la précédente discussion, on n^a pas assez insisté sur une remarque capitale au point de vue de l'analyse et du principe de continuité : c'est que Tidentité dont on s'occupe ne saurait avoir lieu rigoureusement, lorsque l'équation du deuxième degré en x et y^ dans le système de représentation des courbes imaginé par Descartes, appartient à des points, des droites ou des lignes entièrement imaginaires^ comme on en a un exemple bien simple dans l'équation

relative à un cercle dont le rayon r\' — i ne saurait appartenir à un cône réel ou géométrique, tandis qu'il peut fort bien être considéré, dans le même système de coordonnées, du moins au point de vue algorithmique ou symbolique, comme l'intersection d'une sphère par un plan indéfini extérieur à sa surface.

Cette intersection, en effet, est susceptible de se réduire à un point tout comme pour le cône, mais avec cette différence caractéristique que, dans ce dernier, d'après ce qu'on a vu, le point de section, toujours réel mais de natures diverses selon les cas, peut être aussi remplacé par le système de deux droites imaginaires qui, en s'y croisant sous un angle susceptible de varier entre certaines limites dépendantes de l'ouverture même de l'angle au sommet du cône, représentent une hyperbole à diamètres infiniment petits, etc., tandis que, pour la sphère, le point isolé ou de section tangeniielle conservant , analytiquement et exclusivement^ tous les caractères d'un cercle réel ou imaginaire, il ne peut, en aucune manière, être considéré comme la limite hyperbolique, parabolique, ni même elliptique, des sections semblables faites dans sa surface parallèlement à un plan quelconque donné : chose rigoureusement permise à l'égard de tout plan infiniment voisin du sommet du cône à deux nappes dont il est ici question, d'après les maximes généralement reçues dans l'École de Monge,. et parce que, dans l'hypothèse de la continuité > les formes particulières de l'étendue figurée retiennent constamment quelques-uns des caractères essentiels , môme des propriétés, des formes générales dont elles dérivent ou sont censées dériver.