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DKS SIMPLES CONIQUES. 221

En substituant les valeurs de x" et >" dans x'" et y^'", celles- ( i ensuite dans ^" et r'^ el continuant de même les substitulions successives, on obtiendra finalement celles de x^ el y^ en .r' el r', qni seront de la forme,

et qu'il faudra substituer dans Tcqualion (3) de la droite aj;"; ce qui donnera pour celte équation, en réduisant au même dénominateur,

A'-h B'x'-f- C'.>-'— p(D -h Ejt-'H- l\r') = ;,,(AH-B^'H-(:r')-h/it(l)-hE^'-HF/>.

Quand les valeurs de x' el r' seront déterminées, les coordodinées du point d'intersection « des deux droilcs ax' cl a^r", le seront pareillement. Donc, si Ton élimine x' et y entre l'équation précédente et les deux suivantes,

on obtiendra une équation entre a et p, qui aura lieu quel que soii !e point j:', et sera par conséquent l'équation même de la courbe cherchée.

Ordonnant d'abord par rapport à x' el j', les équations des deux droites en question, il vient

(C— ÔF— amF-f-Cm)r'-f-(B'— pE — amE-HmB):t' = wDa-hl>p — mA — A',

r ' — mx'= p — nix.

Tirant de là les valeurs de x' el r', ce qui donne

*^""""^ -(E-f-///F)fi--i/wE-4-//rF)^4-B'-f-///B-hC//i'+///C' '

, ~E^'H-w'Ea'4- (wDh-B^4- wB)f.+ (/y/'D - ntW- m'BVx — w^k-mX' ^ " --^EH-/;/F)f!3-(///E-l-///^F)a-t-B'-l-///BH-C/w^-hwC'

Subsiiluanl enfin ces valeurs dans l'équation x'^-\-y^=r\ il

viendra, pour l'équalion de la courbe cherchée, entre les

coordonnées variables a et p,

(rtou4) I 4- [■~E(p'-wV)-hDw(p+wa)-|-(B'+wB) (p— ;wa)-/w(/«A-|-A')J^ ( = r'^[~(E+/wF)(P-h/«a)-hB'4-//'(B-+-C/«-+-C')y.

Cette équation est, comme on le voit, du quatrième degré ; d'où Ton est autorisé à concltire que la courbe lieu des sommets libres a du polygone, est en général, elle-même, du quatrième degré.

En combinant cette équation avec celle a»-hp'=r% du cercle directeur rapporté aux coordonnées a et p, prises pour variables indépendantes, on obtiendrait les intersections de la courbe inconnue avec ce cercle; ce qui permettrait de^résoudre ce problème : « Inscrire à un cercle donné, un poly- » gone dont les côtés passent respectivement par des points » également donnés. i>

Ce problème a déjà été résolu précédemment (Cah. 111), et nous avons vu qu'il revenait finalement, pour le cas le plus général, à trouver les intersections d'une droite et d'une seclion conique. Donc les deux points où la courbe ci-dessus rencontre le cercle doivent pouvoir se déterminer dans tous les cas géométriquement, et les coordonnées de ces points , par conséquent, dépendre simplement de la résolution d'équations du deuxième degré.

Je n'essayerai pas de démontrer la chose en général, au point de vue purement analytique; ce serait d'une longueur si ce n'est d'une difficulté extrême. Je me bornerai à l'étude circonstanciée de quelques cas spéciaux où l'équation générale [a] du lieu, subit un abaissement naturel.

Application des précédents résultats, au cas singulier oà les pôles des côtés sont confondus avec le centre même du cercle directeur, en projection.

On voit, à la simple inspection de l'équation précédente («), que la courbe qu'elle représente se réduira généralement à une section conique lorsqu'il arrivera, par les conditions du problème, que l'on ait en même temps, E = o, F = o.

DES SIMPLES CONIQUES. 7.'ii

Dans celle supposilion, d'ailleurs, les valeurs de ^" el > " doivent iiécessairenienl se réduire à la forme

ei il ne pourra généraleoienl en êlre ainsi, à moins que loules les valeurs des ordonnées des somniels de polygone x", x"* . . . précédani x^, ne soient aussi de cette forme. Or on peut satisfaire immédialemenl à cette condition en supposant que tous les pôles a, a', etc., [fig. io3) se confondent en un seul, avec l'origine C des coordonnées; ce qui donne

rt = o, 6==o, rt'=o, b'=Oy etc.

Les valeurs des coordonnées .r", j", etc., deviennent, par

celte supposition,

les signes supérieurs de x^ et j" ayant lieu quand n sera impair et les signes inférieurs quand n sera pair.

Pour savoir ce que devient alors l'équation de la courbe, il faut observer que l'on a ici

ce qui donne l'équation

;(P4-ma)zp(p — ma)]'H-/n'[(?H-/W3t)±(p — ;wa)p=4m'/'',

ou bien, en prenant les signes supérieurs de db et de et, en adoptant les signes inférieurs.

•224 IV* CAHIEU. - PROPRIÉTÉS DESC^.RIPTIVES

La première de ces équations est celle du cercle directeur même; la seconde est celle d'une ellipse.

On ne saurait être surpris de retomber sur Téquation du cercle (C); car, pour un nombre pair de pôles ou côtés, les sommets extrêmes xf et x^ se confondent sur sa circonférence, et les droites a.x\ ax", partant d'un même pointer', se coupent en ce point, ce qui fait que le sommet libre a, confondu avec x\ ne quitte pas le cercle (C).

La deuxième équation correspond, à l'inverse, au cas où les pôles étant en nombre pair, les deux points x^ et jc" seraient situés aux extrémités d'un même diamètre; elle représente évidemment une ellipse concentrique à (C), et dont les axes ont la direction de ceux des coordonnées : l'un de ces axes

étant égal à imr et l'autre à — {*\. •

Développement de Vandly^se relative au cas général^ dans V hypothèse oà les pôles des divers jcôtés sont situés à r infini, sur le plan du cercle directeur.

Transformation, réduction des formules fondamentales, — Les valeurs des coordonnées x" et j", x'" et r"', etc., prendront

encore la forme particulière '- ^ — -^^ lorsque tous les

(*) En se reportant à lay%. 107 du cas général, dont celle (fig. loB) du cercle est la projection, on verra que le centre de celui-ci y serait représenté par le point conjugué à la droite indéfinie qui contient les pi* vots a et «*' ou a^ des deux derniers côtés aj:', ax" du polygone variable considéré, mais réduit dans Thypothèse actuelle, à un simple triangle formé de ces côtés et des cordes pivotantes de la conique donnée, assujetties à passer par le point fixe ci-dessus; ; seule condition indispensable pour que le lieu des sommets a se réduise à une courbe du même degré. Mais il ne s'agit ici que de trouver, par l'analyse, les bases fondamentales de théorèmes ou lemmes de géométrie qui doivent devenir l'objet de recherches ultérieures plus étendues ou approfondies. Du reste, les déductions de Tanalyse des coordonnées, comme celles, ci-après, qui concernent les polygones variables dont les côtés pivotent autour de points fixes rangés en ligne droite, ont des relations intimes avec la théorie géométrique des intersections de surfaces cylindriques et coniques, en général.

DES SIMPLES œNIQUES. 2!>5

pAles étant situés à TinAni» on aura

€^=^t b'=^y ar=^y 6"=-î-» etc. o o o o

Alors les côtés du polygone conservant des directions déter-

iDînéeSy les tangentes tabulaires des angles que ces directions

forment avec Taxe des x auront elles-mêmes^ en général, des

b' b" valeurs déterminées bien que les fractions -7» -^» etc., se

présentent sous la forme -'

Posons donc -7 = m', -t? = mf^ et ainsi de suite ; introdui-

sons ces hypothèses dans les valeurs de af^ y'^y etc., trouvées ci-dessus, après les avoir préparées de la manière convenable; posant enfin et successivement a!z=^^ ^ a"=oo , etc., ces diverses valeurs deviendront

^__ — 'i.w!y' — x'[\ — m!^) „ — am^j;^ — r' [m'^ — i)

On tirera évidemment de là, pour j;" et 7", d'autres valeurs de cette forme linéaire,

d'où il résulte que l'hypothèse faite sur les quantités a' et 6', a" et 6''% etc., rend à la fois nulles, dans le cas particulier qui nous occupe, les constantes £, F, A et A' qui entrent dans l'équation générale [a] de la courbe cherchée. Pour savoir ce que deviennent les valeurs des autres coeffi- I i5

2i6 IV* CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

cienls B, C, B', G' et D de celte même équation, il est indispensable de développer un peu les substitutions successives de x" et x^x"* eir'% etc.

A cet effety nous poserons, pour plus de simplicité, dans les expressions déjà trouvées,

— 2 m'*' 1 -H mT^

ffi

i-hni

i-l-mt

les lettres a' et A', a^ et M, etc., ayant ici d'ailleurs des acceptions très-distinctes de celles qu'on leur avait attribuées dans le n" IV ci-dessus; cela fera prendre aux valeurs de x^ et /", etc., la nouvelle forme

x"' = a" x'' -^ by\ x'^z=n"'x'"-hb'^x'^.

y"z=zb'x' — a'y',

y''=V'x"—a!'y\ y^''=h''x'"-'ary'\

Les quatre premières de ces équations donnant

on aperçoit déjà que ces valeurs linéaires de ar^'et y" conservent en or' et 7' la même forme que celles dea;^ et/"; sauf que l'expression de j^" a pris un signe explicite ou extérieur contraire par rapport à y'\ Si Ton fait de nouveau, en effel.

rt'rt"-f-6'6''=A', 6'«"— fl'A"==B',

DES SllfPLES œNIQUES. 227

les constantes A' et B' ayant, ici encore, des valeurs distinctes de celles du n"* IV, ces deux expressions deviendront

(2) ^=A'^-HBy, j'"= — B'x'-+-Ay=: — (Ba:'— A'7),

lesquelles combinées avec les valeurs ci-dessus de x^^ et j" en x'" et j*', donneront Texpression de ces mêmes coordonnées, x^^ et j'^ en x' et y' .

Pour les obtenir, il suffira évidemment de changer, dans les deux équations (j), a' en B', V en A', x^ en y* et j' en x\ puis a" en oT , b" en Vy ce qui donnera

I x'^=^[^'d"—Wb'")x'-^[k!b'"-\-Wa"')x\ ' ' I j«^=(A'6"'-f-B'a^)x'— (A'a'^— B'^)/'.

D'où Ton voit que ces expressions de x^^ et j'^ reprennent, aux notations près, absolument la forme première de x" et j" en x' et 7', c'est-à-dire sans aucun changement de signe extérieur ou apparent.

Car, si nous posons, derechef,

A'a'"— B'r=r A", A'^^^-h BV"= B",

elles deviennent, en effet,

x'''=\fx'-^Wf, 7»^=B"^'— AV-

En combinant, à leur tour, ces dernières équations avec celles qui donnent x'' et ^% il est clair qu'on retombera encore sur des expressions de la forme (ï) ou (2), et, pour y parvenir, il suffira de changer dans ces expressions, a' et 6' en A'^ et B'^, af et b" en a'^ et 6'^, ce qui donnera

piuis, si Ton y fait de nouveau,

A"a'"-^B"6''==A^ B"a''— A"6'^=B'", elles deviendront

x^=k'"x''^-wfy y^—Wx^-^hry.

Il est inutile de pousser plus loin les substitiïtions successives; car on voit par les premières, qu'on obtiendra aUemativement, pour la valeur des coordonnées ^" et/'', x" ely", etc., x" et /" en x' eljr', des expressions de Tune ou de l'autre des formes (i) et (3), selon que ces coordonnées seront d'un accent ou indice supérieur, impair ou pair.

Dans les mêmes cas, les coefficients de ces coordonnées seront représentés, en général, par les expressions

ou bien par celles-ci

selon encore, que af et y* seront accentués impair ou pair, c'est-à-dire selon que le nombre des accents (')sera lui-même impair ou pair.

Donc les valeurs générales des coordonnées x^ et /" prendront, quand n sera impair, la forme spéciale

(4) a?"= A"-» j:'-i- B"-»/', /"= — B"-»^-f- A"-»/', et alors on aura

A"-*= A"-»a"-'-i-B"-'6"-', B""»=B"-»rf'-' — A"-«6"-' ; tandis que si n est pair, elles acquerront cette autre forme

(5) ar*=A"-»;r'-HB"->/', /"=B"-'«r'— A"-y, répondant aux valeurs

A"-»= A"-»a"-'— B"-»6"-*, B"->= B"-»a"-' -h A"-»rf^'.

Examen analytique du cas où le polygone, à directions de côtés invariables, est d'ordre impair.

Équations spéciales, — n étant pair alors, les valeurs de x^ et j", qui, dans le cas général, étaient exprimées par les formules

,A4-B3r^-4-Cr' ^A'-hB'x'-hCr'

^ ""DH-E^'-hF/'' ^ — D-hEx'-hFr' '

prennent la forme particulière (5); ce qui donne évidemment pour l'hypothèse actuelle,

? — A"^» - — R"-» 51 — B»-2 G! — -La"->

Si donc on fait, dans Téquation générale (a) du lieu cherché» les quatre quantités A, A^ E et F égales à zéro, elle deviendra, toutes réductions faites,

[(D — C— mC)^4-(Dm-f.B/n-4-B')']P' -Hm»[(D + C'-+-mC)*-+-(Dm — B'— mB)']a»

-f-2m[D»— B"— e"H-m'(D>— B'— C') — 2m(BB'4-CC')]ap = r»[B'+mB-Hm(C'4-mC)]%

représentant, comme dans la question particulière examinée ci-dessus, une courbe unique du deuxième degré, concentrique au cercle directeur.

Le terme en ap doit disparaître de cette équation; car si Ton divise son coefficient par D% il deviendra , en y mettant

ensuite pour -rr 9 r=r» etc., leurs valeurs indiquées ci-dessus,

expression dans laquelle il faut substituer les valeurs numériques de B("-'^' et A("-*)S en fonction de a, 6, «', b', etc.

Or les valeurs de ces quantités, fournies par les deux équa* tions (5], donnent en premier lieu,

A(*-»)>4-B(""'^»= (a(»-')»+fc("-')>) (A<"-'^»-hB("-=*J') En continuant ainsi, on voit qu'il viendra enfin

Substituant dans Tun des facteurs a" 4- &'% pour a' et 6' les va-

a3o IV CAHIER, - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

leurs d*abord obtenues,

lin' . ni'^ — I

cela donnera évidemment

On aurait de même

a"^-h6"»=i, etc., et, en général,

Delà, et, par conséquent,

Le terme en ap disparaît donc, en effet, de Téquation de la courbe, qui devient ainsi,

[(D — C— mC)^-|-(D/n-|-B/ii-|-B')-^]p' -l-An»[(D-hG'-f-mC)'-+'(Dm — B'— mBj'la^»

= H[B'-hmB4-m(C'-hmC)p.

Celte équation est encore susceptible de simplitication : en la

divisant par D», el mettant pour les quantités tx» tt* etc.,

leurs valeurs, on obtient, toutes réductions faites,

Discussion. — Les constantes A"~^ el B"~* de celte dernière équation, ne sauraient évidemment être supérieures à Tunilé; car il existe entre elles la relation Af''-"''^*-f-Bf"''^^= i (*), dont

[*) Le lecteur s'apercevra immédiatement que les diverses formules ou équations de ce paragraphe appartiennent aux fonctions angulaires ou trigonométriques, et qu'il était possible d'arriver aux mêmes résultats par des considérations plus directes et plus élémentaires. On pourrait uiôrae être tenté de croire qu'après avoir suivi celte voie, j'en aurais

DES SIMPLES CONIQUES. 23i

tous les termes sont essenliellement positifs, et par consé* quent la courbe qu'elle représente est une ellipse rapportée à son centre et à ses axes.

£lle se réduira à celle d'un cercle quand les coefficients des variables a et p seront égaux, ce qui entraîne Téquation de condition

i4-A"-='=m'(i — A"-'), ou A"-'^ =

et, comme on a toujours

A("-')'-+-B("-^^»=i, il viendra, d'un autre côté,

Substituant ces valeurs dans l'équation (6) dont il s'agit, elle se réduira à la suivante

qui montre que la courbe parcourue par le sommet libre a, du polygone mobile, se confond, dans ce cas, avec le cercle directeur même.

Il n'est pas difficile, au surplus, de reconnaître, sur la figure, (|uel est le cas où la circonstance précédente a lieu.

Considérons, par exemple, l'heptagone 9lx' x" ... j;''' a de la figure ci-après, pour lequel, d'après nos précédentes définitions,

ensuite changé, par préférence pour la méthode de démonstration purement algébrique et en vue de déguiser, comme cela se fait assez souvent, la marche laborieuse des découvertes et des tâtonnements. Mais^ d'après divers motifs qui se révéleront dans les volumes suivants, je n'hésite point à dire que cette supposition serait d'autant plus inexacte que je n'ai jamais été le partisan exclusif de l'Analyse algébrique, et que je n'ai jamais non plus pensé qu'il fût indispensable de tout rapporter à cette science, même en fait de choses purement mathématiques , ni que , en dehors de sa manière d'opérer, il n'y eût aucun moyen rigoureux de raisonner et de démontrer.

a3a IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

N est égal à yi ; il est visible que le sommet a ne peut décrire le cercle (C) dans toutes ses positions, à moins qu'il ne se confonde avec l'un des sommets adjacents ac'j x^S ou encore,

gt^l

à moins que le polygone olx'x" . . .ar^'a ne reste inscrit au cercle (C), de quelque manière qu'on le déforme, en assujettissant ses côtés à conserver les mêmes directions respectives et ses sommets, moins un, à décrire la circonférence.

La première circonstance ne peut avoir lieu que dans le cas où l'un des côtés ax', ax^^ se confond avec la corde x'x"*^, ce qui exige que l'hexagone x'x^ . . .x^'^x' reste inscrit au cercle de quelque manière qu'on le fasse varier. Or nous avons prouvé précédemment (III, p. 208), que, quand un polygone fermé, d'un nombre pair de côtés, est inscrit à un cercle donné, il lui demeure, en effet, inscrit quelle que soit la manière donlon le déforme en assujettissant toujours ses côtés à conserver des directions constantes, et ses côtés, moins un, à rester sur la circonférence, mais que, si le nombre des sommets est impair, la même chose cesse d'avoir lieu.

Donc, puisque le polygone x'x". . .x^^x' est, par nos hypothèses, d'un nombre pair de côtés, la première de ces deux conditions sera remplie, et, par conséquent, le sommet libre a de l'heptagone se confondra , dans toutes ses positions, avec le sommet adjacent x' ou avec le sommet or^S s'il s'y confond pour une seule d'entre elles.

La deuxième des circonstances ci-dessus n'est pas possible, car le polygone ctx'x",..x^^y étant d'un nombre impair de côtés, il pourra bien être inscriptible au cercle dans certaines positions, mais il ne saurait l'être pour toutes celles qu'il peut prendre sous les mêmes conditions.

DES SIMPLES œNIQUES. a33

Concluons de là, en particulier, que l'équation

i-hm'

exprime la relation qui doit exister entre les tangentes tabulaires — m, m', m",..., m des angles que chacun des côtés d'un polygone à nombre pair de sommets, fait avec une droite CX [/ig. 109), prise sur son plan comme axe des abscisses parallèles à la bissectrice de l'angle a, pour que ce polygone soit susceptible d'être constamment inscriptible au cercle.

Intersection de l'ellipse lieu du sommet libre du polygone, avec le cercle directeur; paradoxe. — Si l'on fait successivement dans l'équation (6) de ce lieu, p=o et «=o, elle donne pour les valeurs des demi-axes principaux de l'ellipse.

rB"-"v'(»H-'wM rB"-^v/(TTm5.

mv^V^i — A"-» v/âv^i-hA"-'

dont aucun ne saurait devenir infini.

Pour que cela arrivât à l'égard du premier axe, notamment, il faudrait que l'on eût

ou I — A""-»=o, ou B"-'=-;

mais, comme A("-'J*-hB("-')»=i, on devrait, dans l'hypothèse de A"-'= 1, avoir en même temps, B("-')* = o; ce qui rendrait l'autre axe nul, et réduirait, pour ce cas, l'équation de la courbe à P'=o, représentant une double droite ou ellipse aplatie sur l'axe même des abscisses x ou a.

Si B"-» était infini, alors l'équation A("-')*H- BC"-')»= i devenant

' + pï=;Ti=0' c'est-à-dire i^-^gi^.j =^»

serait absurde ou impossible, n'importe la valeur du rapport de (A"-')^ à (B"-*)% puisque ce rapport est toujours positif.

Ainsi, les axes principaux du lieu des sommets libres de polygones ne pouvant devenir infinis , c'est essentiellement

a34 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

une courbe fermée ou ellipse concentrique au cercle directeur, mais susceptible de s'aplatir, de dégénérer en une simple droite, limitée de longueur, et dont les directions diamétrales se confondent avec celles des bissectrices des angles aux sommets libres du polygone mobile.

D'ailleurs, Tellipse décrite par ce sommet rencontre le cercle directeur en quatre points généralement distincts, et que Ton peut toujours déterminer par une construction géométrique fort simple, puisque, en représentant les carrés a» et p* des

coordonnées de ces points par a! et p', on aura entre ces quantités deux équations du premier degré seulement.

11 semblerait, d'après cela, qu'il pût y avoir quatre manières essentiellement différentes, d'inscrire un polygone d'ordre impair, dans un cercle donné, en l'assujettissant à la condition : « d'avoir ses côtés respectivement parallèles à des directions » fixes. » Or cela n'a réellement pas lieu, comme nous l'avons fait voir dans l'un des articles du présent Cahier. Pour montrer à quoi tient cette contradiction apparente, et, en même temps, faire connaître quelles sont, des quatre intersections ci-dessus, les deux seules qui résolvent le problème de l'inscription effective du polygone au cercle, je vais reprendre la question d'un peu plus haut.

Eclaircissement du paradoxe, — Nous avons trouvé que les valeurs générales de x" et j" pour le cas de n pair, étaient

a:'= A«-=»j:'-f- B"-y , 7"= B"-»jr'— A"-\>''.

Nous avons, de plus, prouvé qu'il existait entre A"-' et B

DES SIMPLES CONIQUES. i35

la relation particulière

A("-»)«-hB<-~»)^=i.

D'après cela, je di» qu'il existe nécessairement deux positions symétriques du polygone variable(yîg'. 109), pour lesquelles les points 3^ et x^ se confondent sûr la circonférence du cercle directeur. En effet, si Ton substitue dans les expressions cidessus (fr), ^' à 0?" et j^' à j", on aura les nouvelles équations de condition

Mais, comme de plus, on a entre x' et y' la relation x'*-f-^'2=: r% il est clair que ces dernières équations ne pourront coexister qu'autant que Tune d'elles sera la conséquence de l'autre. Or c'est ce qui a lieu par le fait; car si l'on observe que la relation A(''~»)'-i-B("-')'=i donne

, Am-2 ^ ,

et qu'on substitue cette valeur dans la première des deux équations (c), elle deviendra, toutes réductions faites et en changeant les signes,

qui revient précisément à la seconde d'entre elles.

En combinant donc l'une ou l'autre des équations (c), avec celle ^'*+^'*=r* du cercle directeur, il viendra, pour les coordonnées du point où le sommet a^ [fig, 109), du polygone se confond avec le sommet x'y

V^'H-A"-' „, ^ Vi-A-^

Maintenant, il n'est pas difficile de voir que le point, ou plutôt, les deux points dont nous venons de démontrer l'existence, points situés sur un même diamètre, appartiennent simultanément à la courbe des a et au cercle (C). En effet, un

a36 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

point quelconque a, de cette courbe» se détermine en menant par x^ et ar" deux droites qui aient respectivement m et — m, pour tangentes trigonométriques de leurs inclinaisons symétriques sur Taxe des abscisses CX, et, par conséquent, elles se couperont au point même de (C), déterminé ci-dessus, où :r", a, oc' sont confondus et n -h i est réduit An — i .

Au reste, on peut s'assurer directement que les points obtenus comme on vient de le dire, sont effectivement deux de ceux où le lieu des sommets a rencontre ce cercle, en recherchant, au moyen des équations en a et p, de ces deux lignes, les valeurs des coordonnées des quatre intersections; car on retrouvera parmi elles les expressions précédentes de^?' etdej^'.

Remarques diverses. — Ces valeurs sont explicitement indépendantes de m, ce qui semble absurde à priori, car la position des points en question dépend nécessairement de la direction des deux côtés olx' et olx^. Mais il faut se rappeler que la position de Taxe CX des abscisses, est liée à celle de ces côtés, puisque ceux-ci font, de part et d'autre, le même angle avec sa direction indéfinie.

Si Ton donnait, en effet, une autre direction à ces côtés, il faudrait en même temps, changer la direction de l'axe CX des abscisses x ou a, sans quoi les équations précédentes cesseraient de répondre à la question ; et si seulement, on changeait la direction des deux droites clx' et a j;", de manière que leurs nouveaux angles avec CX fussent différents des premiers, quoique symétriquement situés et égaux entre eux, il arriverait encore que la courbe décrite par leur commune intersection a, rencontrerait le cercle (C) en de tout autres points que la précédente.

Avant de passer à l'examen du cas où le nombre des côtés du polygone est pair, je vais indiquer un moyen bien simple de parvenir à l'équation de condition

Nous avons vu que les valeurs de x^ et y^ étaient données par les équations suivantes :

:c"= A»-2x'-+- B"-»r', 7"= B^-'ar'— A"-'/'.

DES SIMPLES CONIQUES. aSy

Or ces deux équations doivent évidemment coexister avec celles du cercle directeur,

Substituant donc, dans cette dernière, les valeurs de j?" et de jr*y on aura la nouvelle relation

si Ton y met pour j?'*h-j^'* sa valeur r*, et qu'on divise ensuite les deux membres de Téquation par r% il viendra

relation qui existe ainsi entre les quantités A^"-')' et B<"~'>*, pour toutes les valeurs particulières qui seraient assignées aux quantités trigonométriques m, m', m"^ etc.

Examen analytique relatif au lieu du sommet libre, pour les polygones d'ordre pair.

Équations propres à ce cas. — Le nombre n 4- 1 des côtés du polygone inscrit, étant pair, on a alors (49 p* 228), pour déterminer x^ et j", les équations

ar" = A"-»ar' -h B"-y , 7"= — B"-»a:'4- A"-»7',

avec les relations particulières,

A"-*= A"-^a"-'H-B"-^6"-', B"~»= B^-'a"-'— A"-»6"-'. De plus, les valeurs générales

^ ""D-hEar'H-F/'' ^ "" D-hEjr'H-Fj' '

se réduisant à la forme particulière des précédentes, on aura évidemment ici les relations