JE -— A«~» ^ — R"^» ?^ — R'»-» ^ — A

En ayant égard aux quatre premières d'entre elles et observant que, pour ce cas encore,

BB'-h CC'= o, AC-^»)'-!- B('-')»= I ,

réquation générale [a, p. 322) du lieu du sommet libre, quand les côtés, en nombre pair, conservent des directions parallèles à des droites respectivement données sur le plan du cercle directeur, cette équation générale, dis-je, s'abaissant encore au deuxième degré, se réduira à la suivante,

[(D — C— mC)»-|-(Dm-hBm-HB')»]p»

-Hm»[(D-hC'4-mC)^H-(Dm — B'— mB)>]a^ = r^[B'-hmB4-m(C'H-mC)p.

Divisant les termes de cette équation par D*, et substituant

B B' pour |rî ■=-^ etc., leurs valeurs ci-dessus, il viendra, toutes

réductions faites.

2[i-Hm»— A"-'{i — m») — 2mB"-»]p 2m'[n-/n^H-A''-^(i — m^)-4-2mB"-»]a = H [2 m A"-»— (i — m»)B"-»p.

Condition pour laquelle le lieu se confond avec la circon-férence directrice. — Les coefficients de la dernière équation sont nécessairement positifs; car leurs correspondants, dans la précédente, sont formés de sommes de divers carrés; donc la courbe cherchée reste ici encore une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Elle deviendra un cercle quand les coefficients de a' et P' y seront égaux entre eux; ce qui entraîne réquation de condition

I -h m'— A"-»(i — m') — 2/nB"-* = m»[i-f- m*H- A^-*( i — m*)-f- 2 mB"-*] ;

d'où Ton tire

I — m' — (1 — m*) A"-» — 2mB"-'=o, les coefficients de a' et de p* devenant alors égaux à 4"*'-

DES SIMPLES œNICfUES. aSg

Quant au coefficient de r% je dis qu'il se réduit de méoie, à la quantité f\ /n^ En effet, en le développant, il devient

4/7i'A("-»)^-|-B("-^)»(i — m')»— 4mA"-'^B"-»(i — m') toujours à cause de

Substituant dans cette dernière expression, pour B"-' sa valeur tirée de l'équation de condition ci-dessus, qui donne

2mB''->=(i — m»)(i— A"-'),

le coefficient dont il s'agit devient, toutes réductions faites,

4 m» A("-»)'-|- (i — m'Y-h \(^-i)i[j — m^y— 2 A"-»(i — m')^ = 4m»AC"-»)>-|- (i — m^Y (i — A"-»)»;

Or la quantité (i — m')»(i — A"~*)S d'après la même équation de condition, est égale à

donc l'expression du coefficient de r* devient

Substituant enfin ces valeurs des différents coefficients dans l'équation de la courbe, et divisant par le facteur ^ni* commun à tous ses termes, elle se réduira à la forme très-simple

Ainsi, dans l'hypothèse présente des polygones de rang pair, le Heu du sommet libre se confond avec le cercle directeur même des autres sommets. On peut d'ailleurs reconnaître à priori, la circonstance où le fait se réalise.

Considérations géométriques. — Supposons n = 5 (Jig. 1 1 1 ) ; pour que le point a parcoure le cercle (C), il faut bien : ou que

a4o IV CAHIER. — PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

le polygone a.x' x" af x^^ x* ay réduit à six côtés, soit inscriptible au cercle (C), quelle que soit la manière dont on essaye de l'y inscrire en assujettissant chacun de ces côtés à conserver une direction parallèle à elle-même ; ou que le sommet libre a reste

Fig. III.

confondu avec l'un ou Vautre de ses voisins, xf et x', pour toutes les positions du pentagone x* x^. ..x^jf assujetti à cette condition. Or nous savons déjà que, si un polygone quelconque, de rang pair, se trouve inscrit dans un cercle, il arrivera, n'importe la manière dont on le déforme en assujettissant ses sommets, à Texception d'un seul, à demeurer sur ce cercle et ses côtés à conserver des directions invariables, il arrivera que ce polygone restera spontanément inscrit à ce même cercle; ce qui revient à dire que son dernier sommet, supposé libre, parcourra la circonférence propre de ce cercle.

Donc enfin, puisque l'hexagone aar'a;"...a est, en effet, d'un nombre de côtés pair, a pour que son sommet a décrive i> la circonférence (C), il sera nécessaire et suffisant que ce » polygone y soit inscrit dans une seule de ses positions, j»

La seconde des conditions qui nous ont préoccupés dans le cas des polygones d'ordre impair, à savoir : que le sommet a se confonde avec l'un de ses voisins x^^ x" pour toutes les positions du polygone, est ici radicalement impossible; car la proposition précédente, vraie pour une figure d'un nombre pair de côtés, inscrite au cercle, ne Test nullement pour un pentagone tel que x' oc" afx^"* x^ x* ^ d'un nombre impair de côtés. Dans ce cas donc, il pourra bien exister des positions particulières pour lesquelles a se confonde avec j?' ou x^ ; mais cela ne saurait avoir lieu en général.

Le sommet a parcourrait aussi le cercle (C), tout entier, s'il arrivait que, dans une certaine position de l'hexagone ax'...a:^a,

DES SIMPLES œNIQUES. a4i

le sommet or' se confondît avec ravanl-dernier x^; car alors, le polygone formé avec les côtés x' x*\..,y x^^'x", étant d'ordre pair, il arriverait que, dans toutes les déformations qu*il pourrait subir en conservant à chacun de ses côtés une direction constante, il resterait invariablement inscrit au cercle (C), et que, par conséquent, dans toutes ses positions, le sommet x' se confondant avec les sommets x^ et a, ce dernier sommet parcourrait spontanément la circonférence de (C).

Conditions sous lesquelles les polygones d'ordre pair, deviennent inscriptibles au cercle.

Relations algébriques. — On vient de voir que la courbe des a peut se réduire au cercle (C) en deux cas différents; aussi réquation trigonométrique

2mB"-»=(i — w»)(i — A—^),

d'abord obtenue, est-elle décomposable en deux autres.

En effet, si on élève ses deux membres au carré, ei (jn'on mette pourB^""*)' sa valeur i — A("-'^% il vient

équation à laquelle on satisfait, soit en posant

I — A^-==o, soit en posant

c*est-à-dire

Pour reconnaître à quel cas réporul chacune de ces équations, il n*y a qu'à chercher, comme on Ta fait à l'occasion des polygones d'ordre impair, la condition sous laquelle le sommet x' {fig- m) coïncide avec x^oxx x"", et, pour cela , mettre dans les expressions des coordonnées x"*, r" obtenues tout d'abord, x', y' au lieu de x^y j"; ce qui donne

af[\ — A^-») — 8"-»/'= o, y [y — A'-') -I- B" -V= o. I. i6

a4a IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

S*il existe sur le cercle (G), des points pour lesquels x" se confonde avec x* indépendamment de toute condition particulière, il faut évidemment encore que l'une de ces équations soit la conséquence de l'autre ; car on a, de plus,

équation qui doit avoir lieu en même temps que les premières. Or cela n'arrive ici pour aucune des valeurs de x' et y' : si Ton élimine, en effet, y* entre les deux équations précédentes, on obtient

équation à laquelle il est impossible de satisfaire pour toute valeur de x\ à moins de prendre à la fois

I — A''-'=o et B''-»=o.

Mais la seconde de ces conditions n'est qu'une conséquence de l'autre, à cause de

Donc les sommets x' et x^ ne peuvent se confondre entre eux, à moins que l'on n'ait généralement

auquel cas les valeurs de x* et y\ restant indéterminées, les points du cercle (C) satisfont tous séparément à la condition dont il s'agit; car, selon la remarque ci-dessus, le sommet a, confondu dans le même cas, avec x' ou x", décrit nécessairement le cercle (C) en entier. On peut donc .aussi regarder l'équation i — A''~'=o comme l'expression même de la relation qui doit exister entre les tangentes trigonométriques m', m", etc., ou les fractions numériques a, a', 6, 6', . . ., pour que le polygone formé avec les seuls côtés x'j;", a:"^,..., ;c"""*j:', en nombre pair n — i, soit inscriptible à (C). L'autre équation de condition

A^-»(iH-m')'=(i — w')= — 4/?'%

exprime pareillement la relation qui doit exister entre ces quantités trigonométriques pour que le polygone aj/...j?''a, supposé d'un nombre pair n -h i de côtés, soit également inscriptible à la circonférence (C) (*).

ConstructionSy solutions qui en dérivent, — Le cercle directeur et la courbe des a, dans le cas général , se coupent (fig, 110) en quatre points faciles à obtenir au moyen d'une construction géométrique, puisque les valeurs des coordonnées de ces points sont de la forme très-simple

Ceci d'ailleurs n'est pas contradictoire avec ce qui a été dit ci-devant, où nous avons vu que le polygone cLx',,,x^cfL de n 4-1 côtés, ne saurait être inscrit dans (C), à moins que le sommet a ne parcoure ce cercle lui-même; car les quatre points d'intersection dont il s'agit, sont ceux pour lesquels a se confond avec l'un ou l'autre des points x'y x'^y et pour lesquels par conséquent, le même polygone se réduit à un nombre impair de côtés. "

Les valeurs des coordonnées a et p des points d'intersection, fournissent ainsi le moyen d'inscrire au cercle, un polygone d'un nombre impair de côtés à directions connues : deux de ces valeurs donnant la double position du sommet x' du polygone Kfië* im), par rapport à la direction du diamètre CX, parallèle à la bissectrice de l'angle des côtés jr'a, x^a; les deux autres donnant les positions du sommet x^ ou x"" par rapport à ce même diamètre pris pour axe des abscisses.

Enfin, on remarquera que ces polygones accouplés diffèrent uniquement entre eux, en ce que leur dernier côté a la direction x' % pour l'un et x^(x. pour l'autre. On ne doit donc pas être surpris de trouver [fig* no), dans ces mêmes circon-

(*) Évidemment, ces équations de condition convenablement développées, répondent à autant de formules, de théorèmes de trigonométrie plane, relatifs aux polygones inscrits ou circonscrits au cercle, et qui sont, comme on Ta déjà fait remarquer, la traduction algébrique des propositions ou relations angulaires exposées au n° III de ce IV' Cahier.

stances, quatre points d'intersection du cercle (C), avec la courbe décrite par le sommet libre a, des polygones variables inscrits à ce cercle, et dont les côtés ont des directions arbitrairement données.

Accord des solutions et résultats précédents avec ceux des sec t. II et III de ce Cahier.

Comme on le voit, tout ce qui précède s'accorde parfaitement avec ce que nous avons démontré dans les sect. II et III; mais on a vu, de plus, que, en général, il n'y a jamais que deux manières d'inscrire, à une courbe du second degré, un polygone dont les côtés, quel qu'en soit le nombre, passent par autant de points donnés à volonté sur son plan. Il serait difficile de le démontrer directement dans cette hypothèse générale, en suivant la marche précédente, à cause de la complication des coefficients qui entrent dans l'équation fondamentale (a), p. ii?. de la présente section ; il n'en est pas moins certain que la courbe représentée par cette équation, bien que du quatrième degré, ne rencontre le cercle qu'en quatre points réels, dont deux seulement donnent la solution du problème de l'inscription du polygone à ce cercle.

Nous reviendrons, peut-être, sur cette question par la suite. Pour le moment, je me contenterai de faire voir, sur un exemple particulier, comment, dans le cas qui vient d'être discuté tout au long, le lieu du sommet libre a du polygone, se trouve lié à celui du point où se coupent les deux tangentes menées au cercle (C), par ses intersections o et i [fig* 112) avec les directions indéfînies des côtés extrêmes ax' et aj;" ou aa?\

Cas des polygones de rang impair. — Examinons d'abord le cas {Jig> 1 12) où le sommet a?", étant de rang pair, le polygone 9.x' x" ...x^(j. est lui-même, d'un nombre impair de côtés, par exemple cinq, ce qui suppose n = 4; imaginons, de plus, le polygone de rang N-f-i ou hexagone oJ mnpqrai\ circonscrit au cercle (C) et dont les côtés le touchent respectivement aux divers points o, x\ j:",. .., 1. Cela posé, si l'on déforme le polygone oLx'...x''ot. comme il a été dit précédemment, le

DES SlBfPLES CONIQUES. ^5

point a et le point a' parcourront séparément, des courbes liées entre elles, de telle sorte que la connaissance de l'une devra entraîner celle de l'autre. Or nous avons démontré (n" III de ce Cah.) que, quand le polygone a'mn...ra', pos-

sède un nombre pair de côtés, le point a' parcourt un diamètre Ca' du cercle; donc, si Ton trace la corde o/, cette corde devra conserver dans toutes ses positions une direction constante, perpendiculaire à celle de ce diamètre Ca'. Donc aussi la courbe décrite par a, peut être considérée simplement comme engendrée par ie sommet libre d'un triangle aoi, dont les autres sommets o et i sont assujettis à parcourir le cercle (C), tandis que ses trois côtés restent, dans toutes leurs positions, parallèles à eux-mêmes.

La question est ainsi ramenée à quelque chose de bien simple; nous ne nous en occuperons pas davantage, parce qu'elle n'est qu'un cas particulier de celles qui ont été discutées précédemment très au long. Je ferai pourtant observer que les points où la diamétrale Ca' rencontre le cercle directeur, sont nécessairement deux des points de la courbe des sommets a, compris parmi les quatre points réels où cette courbe rencontre le cercle (C).

Si l'on se proposait d'inscrire le polygone ax\..x^aL à ce cercle, il est évident que les intersections particulières relatives au cas précédent, ne résoudraient nullement la question. Pour obtenir le couple des intersections qui donnent, seules, la solution géométrique du problème, on circonscrirait au triangle oai, pour une position quelconque, un cercle dont on joindrait le centre avec le sommet a par une ligne droite ; menant ensuite, par le centre C, du cercle directeur, undiamèlre parai-

lèle à la droite ainsi obtenue, il viendrait couper la circonférence de ce dernier, aux deux autres points où le lieu des points a la rencontre ; ce qui déterminerait la position des sommets de Tun et de Fautre des triangles oai qu'il faut inscrire au cercle (C), et d'où Ton déduirait enfin la position même de ces triangles et des polygones inscrits correspondants.

On voit, sans peine, que cette manière d'envisager la question offre les mêmes conséquences que celles précédemment déduites de l'équation de la courbe des sommets a, pour le cas où l'indice n était censé pair.

Cas des polygones de rang pair. — Dans le cas de n impair, égal à 3 par exemple [fig. 1 13), et où le polygone à inscrire au cercle (C) a un nombre pair de côtés n -h i = 4, le polygone circonscrit correspondant ol' mnpqoJ en a un nombre n-^-2 ou 5,

Fig. Il 3.

impair. Or nous avons démontré ci-dessus ( p. 209) que, dans ce cas, le sommet a! décrit une circonférence concentrique à celle de (C); donc la corde qui joint les points / et o conserve la même grandeur dans toutes ses positions, et, par conséquent, elle est tangente aussi, dans toutes ses positions, à un autre cercle concentrique à (C). ^

Cela suffit évidemment pour faire voir que le sommet a ne saurait être sur la circonférence (C), que quand il se confond avec l'un ou l'autre des points 1 et o; ce qui présente, comme il est aisé de s'en apercevoir, quatre cas différents : on obtiendra les deux positions où a et o coïncident, en menant au cercle enveloppe de la corde oi^ deux tangentes parallèles à a/, el choisissant parmi les quatre points ainsi obtenus

DES SIMPLES €ONIQUES. 247

sur (C)y ceux qui, étant situés sur un même diamètre, correspondent au point o.

Les deux positions où a coïncide avec le deuxième point 1 s'obtiendront d'une manière semblable; sur quoi on doit observer que, si Ton proposait la question d'inscrire au cercle (C) un polygone ax'. . .x"a, les quatre points ainsi déterminés ne la résoudraient pas, et, comme ils sont les seuls où la courbe des sommets a rencontre le cercle, on doit en conclure qu*il n'y aurait alors aucune solution effective. Pour qu'il y ait solution géométrique, il faut que la corde oi devienne nulle; or il est évident qu'alors le cercle enveloppe de cette corde, se confondra avec le cercle directeur (C) et la courbe des sommets libres a. Donc, dans ce même cas, la question aura une infmité de solutions géométriques.

Rapprochements. — Tout ceci encore, est parfaitement conforme aux conséquences que nous avons tirées de l'équation en â et p de la courbe ; car, dès que le sommet a se confond avec le point o, il faut qu'il se confonde en même temps avec le sommet x", et que, par conséquent, le quadrilatère oLx' x" x"' CL, se réduise à un simple* triangle x'x'^x'", puisque x'oL s'est lui-même confondu avec x' x"' ( * ).

On peut en donner une raison très-simple : en effet, puisque le sommet a doit se rapprocher du point o jusqu'à s'y confondre, il faut nécessairement que le triangle oulx" se réduise à un point dans celte même circonstance; or il n*est pas difficile de voir que le côié ox'", faisant partie du quadrilatère inscrit ox^x^xfo, doit conserver une direction constante, et, par conséquent, que le triangle oolx'" restant toujours semblable à lui-même, si l'un de ses côtés oa devient nul, il faut que les deux autres x^v. et ox'" s'évanouissent en même temps. Donc quand le point a sera sur le cercle (C), le côté x'a. se sera effectivement confondu avec la droite x' xf*^ et le quadrilatère se trouvera réduit à un simple triangle.

(^) On supprime ici, à cause de Tobscurité de sa rédaction, un alinéa entier du texte, dans lequel, pour faire comprendre la possibilité du rapprochement mutuel des points o, a, j:'", le quadrilatère convexe olx' af x'" a est déformé suivant le quadrilatère gauche x' x" cn^x^x' ^ à côtés parallèles et où la chose devient plus évidente aux yeux , par le triangle o'a,a;,.

Note additionnelle pendant i^ impression»

On peut être surpris de l'étendue accordée à Tétude d'une théorie en apparence aussi simple que celle des polygones inscrits ou circonscrits aux coniques, dans les conditions ici prescrites. Mais, outre l'intérêt historique et analytique qui s'y rattache, il faut encore remarquer que je ne connaissais, en 1 81 3, aucun fait géométrique d'indétermination aussi singulier que celui de l'inscription indéfinie, des polygones d'ordre pair; si ce n'est le fait même des polygones réguliers indéfiniment inscriptibles au cercle, â l'égard de ces derniers, on sait que, sans rien changer aux formules et démonstrations, on peut directement passer d'un nombre /z de côtés à un nombre « -|-i ou « — i : au contraire, ici, la parité ou l'imparité du nombre/? exerce une influence capitale et rompt toute continuité, comme cela se voit dans la science abstraite des nombres, à l'égard de certains théorèmes, par là même très-difficiles à découvrir ou à démontrer au moyen des méthodes qui reposent sur l'hypothèse de la continuité absolue.

En effet, l'enveloppe du côté libre de tout pôle, dans les polygones variables inscrits à uhe simple conique, de même que le lieu du sommet libre de toute directrice polaire, dans les polygones mobiles ciirconscrits à une telle courbe, ce lieu, cette enveloppe sont très-différents pour les polygones d'ordre pair ou impair ; l'enveloppe se réduisant à un point et le lieu à une droite fixe, pour l'ordre impair, contrairement à ce qui arrive pour l'ordre pair. Au reste, d'après les discussions des p. 19^ et aoi du texte, ces singulières anomalies s'étendent aux figures inscrites à un ou deux pôles et côtés seulement [unilatèrey bilatère)^ ainsi qu'aux figures circonscrites à un ou deux angles et directrices (uniangle, biangle), dont les curieuses et fécondes propriétés constituent, d'une part, la théorie du pôle et de la polaire simples, toujours possibles, d'une autre, celle du double contact, tantôt réel, tantôt imaginaire, des sections coniques; théories qui se trouvent, pour la première fois (1820, 1822), rattachées, par la doctrine des projections centrales et de l'infini, d'une manière on ne peut plus intime, aux propriétés, si élémentaires et si généralement connues, du centre du cercle et des circonférences concentriques [Traité des Propriétés projectivcs des figures ^ Sect. I et lil, chap. III).