CES PROPRIÉTÉS REPOSENT

SUR LES GORDBS SIMPLES, MOBILES, À Lk FOIS INSCRITES ET CIRCONSCRITES AUX SECTIONS CONIQUES.

La recherche qui termine le IV" Cahier se réduit au fond à la solution analytique de ce problème :

Prob. I. — a Étant donnés sur un plan, deux cercles concen- » triques ayant pour centre commun C (Jig. 1 14)> soit mené, en » un point quelconque x' du cercle intérieur, une tangente à ce » cercle, rencontrant le cercle extérieur aux points x" eix^; par » chacun de ces points soient menées sous des directions fixes, » des droites variables de position, c'est-à-dire parallèlement à » des droites données : elles produiront par leurs intersections » mutuelles une série de points a; quelle sera la courbe parcou- 0 rue par ces points quand on fera varier la tangente x'^x"'^ »

J'appelle /• le rayon du plus petit des deux ceicles et R relui du grand ; je donne, de plus, aux différentes coordon-

25o V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

nées les dénominations indiquées par la figure ; les équations indéfinies de ces cercles, rapportées au centre G et aux axes rectangulaires Cx, Cj, ces équations seront

(0 :r»H-j^=r% (2) x'-i-x'=fi';

celle de la tangente au point x* et j' du petit cercle étant

Nommant d'ailleurs met —m les tangentes trigonométriques des angles que les droites ^"a et x^a forment consUmmenl avec Taxe des abscisses dont la direction Cx, est supposée diviser Tangle des droites ax'' et ax'" en deux parties égales, on aura pour les équations de ces deux droites,

En éliminant x' et 7', x'' et j" entre ces deux équations et les précédentes ou celles qui les remplacent en fonction de ces coordonnées, on aura, entre a et p, une équation qui sera celle de la courbe parcourue par le sommet a.

Pour obtenir les valeurs de ^", j", x"" et y'", on peut d'abord combiner l'équation (3) de la tangente x" x'" avec celle (2) du cercle de rayon R, et l'on aura

rx'±: r' v^H^— r^ rv'zizcc' JK'— r=

Prenant les signes supérieurs du radical pour les valeurs de x% f et les signes inférieurs pour x^" et jr'% «1 viendra

„ __ rx'^fy^K^—r^ „ __ rf— x' \/K»— r'

On voit que ces expressions sont toutes du premier degré en X* et y' y et qu'elles ont, quant à la forme, une grande analogie avec celles des coordonnées appartenant aux différents sommets d'un polygone inscrit à un cercle dont les côtés auraient des directions constantes.

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. aSi

Substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5)» elles deviendront^ en les ordonnant par rapport à x* et j',

(mv^R^— r«— r)j'-h(mr-hv^H*— r^)^=r(ma — p), ' (mv^R»— r^— r)j'— (mr-hv/R'— r»}^' = — r{/na-hp).

Eliminante' et j' entre ces équations et l'équation j:''-h/''=r% il viendra enfin

= (mr-h VR^— r')'(m v^R^— H— r)\

Telle est Téquation de la courbe cherchée; elle offre absolument les mêmes circonstances que l'équation correspondante obtenue dans la sect. IV du Cahier précédent. Elle représentera, comme on voit, un cercle quand on aura

mr -\- sjW^^*^ ^=± m (mv^R' — r» — r) ; équation de condition décomposable dans les suivantes

2 mr = { m'— i ) y^R»— /•' , (m'4-i)v^R'— r»=o.

' On tire de la seconde,

Ainsi, le sommet ou point d'intersection a parcourra un cercle quand les deux proposés se confondront. Ton voit que cette condition revient à celle qui exige que les sommets :r' et x^ du polygone dont on s'est occupé (p. 7.Z7,, fig. 109) du précédent Cahier, se confondent en un seul; Féquation de la courbe des a devenant ainsi

aM-p'=R';

c'est-à-dire celle du cercle même de rayon R. L'autre équation de condition donne

i52 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

la quantité représentant évidemment la tangente tri-

gonométrique de Tangle atTaoL" que les droites a j:" et aar* forment entre elles. Donc, si Ton appelle a cet angle, on aura

= R COS a.

\/i -h tangua

Pour interpréter cette dernière équation, il suffît de mener par le centre G, du cercle de rayon donné R, deux droites Cm, C m' parallèles à a j;" et a:r*', et d'abaisser du points où Tune de ces droites rencontre ce cercle, une perpendiculaire ofrsur l'autre ; la distance C/r sera la valeur du rayon r. Car, dans le triangle rectangle oA-C, on a

/rC = oC.cosmCm' ou r=Rcosa.

En prolongeant les droites oh et oC jusqu'à leurs rencontres en / et ad avec le cercle de rayon R, et menant par ces deux points a' et / la droite a'/, on voit que cette droite sera parallèle à Cm', et qu'ainsi l'angle oa'i est égal à l'angle m Cm'. De plus, il est visible que la droite oi est tangente au cercle r, ainsi l'équation de condition r=Rcosa, exprime que le triangle x"xx"' doit être inscrit au cercle (R) dans l'une de ses positions. Or cette condition revient précisément à celle qui exige que le polygone olx', . .^c^a de la^g*. 109 ( p. 232 ), soit inscriplible dans le cercle (R) pour Tune au moins de ses positions: nous avons vu, en effet, qu'alors le point a décrivait ce cercle tout entier (*).

(*) On m'excusera de revenir sur l'objet des observations de la Note finale du précédent Cahier, concernant Tinscription au cercle des polygones dans des cas relativement élémentaires, en faveur de la bizarre circonstance qui. d'après la théorie de l'élimination, fait dépendre ce problème de la résolution d'une équation du huitième degré, même dans le cas simple où les côtés du polygone ont des directions fixes, assignées à priori : la courbe du sommet libre ou variable de ce polygone possède alors, à l'infini, des points doubles également assignables à priori, et conserve avec le cercle directeur des autres sommets, des relations très-intimes qu'il (uU été intéressant de discuter, si cela n'eiH pas trop écarté l'auteur du but philosophique principal do ses recherches.

Je retrouve parmi mes papiers, une Note écrite sans doute peu de temps

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. a53

L'équation précédente de la courbe offre évidemment la même circonstance ; car, en y faisant la supposition

2mr = (m*— i ) v/R^— rS elle devient simplement

Probl. II. — « Quelle est la courbe telle que, si Ton mène » de Tun quelconque de ses points a, deux tangentes a/ et a/'

Fig. II 5.

» à une première ligne du second degré (C), la corde tt' des » points de contact, soit tangente à une deuxième lignai (C)

après mon retour de Russie, et relative au cas où les côtés ax", a.r"' du triangle variable x^'tf.x" [fîg, ii4)j au lieu de demeurer parallèles à des directions fixes, passent respectivement par des pôles donnés sur le plan des deux cercles concentriques.

Dans ce cas plus général, l'équation en a et ^, à laquelle on parvient, s'élève au quatrième degré; mais elle se réduit à celle du texte, c'està-dire au second degré seulement , quand les pôles s'éloignent à l'inQni sur le plan des cercles; et, comme la figure relative à ce cas est la projection centrale ou perspective d'un système de deux coniques à double contact imaginaire, dont la corde ou sécante commune idéale, passée à l'infini, contient les deux pôles en question, il en résulte une série de théorèmes concernant le double contact des sections coniques, quelle que soit d'ailleurs la nature de leur corde de contact commune. Ces théorèmes sont relatifs à l'inscription et à la circonscription des polygones mobiles ou variables ayant a et x"jc"' pour dernier sommet ei dernier côté libres ; mais je crois inutile de les rappeler ici , parce qu'ils se trouvent compris implicitement parmi ceux du IV* Cahier, et sulTisamment indiqués dans le Traite des Propriétés pmjrctivcs des figures.

a54 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» de cet ordre et de forme, de situation également arbi- » ira ires? »

On peut projeter le système des deux lignes (G) et (C), de manière que Tune quelconque d'entre elles,(C) par exemple, devienne un cercle. Cela posé, admettons que l'origine des coordonnées soit placée au sommet 0 de la courbe (C), l'équation de celle-ci sera de la forme générale

(i) Aj'>-hB^'«-h2Ca-'=o,

qui peut représenter toutes les lignes du deuxième degré, en choisissant convenablement le rapport des coefficients constants B et A (Cah. II).

L'équation du cercle (C) peut, elle-même, être écrite de la manière suivante,

(2) {x''—aY'\-{x*'—by=r';

et celle de la tangente au point T, de la courbe (C),

(3) A7j'-hBa:a:'-hCar-|-C:r'=o.

OÙ x' et y sont les coordonnées de T.

Enfin, l'équation de la tangente indéfinie ta su point t du cercle (C), dont les coordonnées sont x" et^", étant

X{r"—b)-hx{x''—a)=r'—a'—b*-^ax"-i-bx'',

si l'on y substitue, pour x et j, les coordonnées variables « et p du sommet a de l'angle circonscrit à (C), on aura la nouvelle équation

(4) p(j"è)|a(x"a) = r'— a'— 6»-|-ajr"-|-6/",

qui exprime que ce point appartient à la tangente /a. Donc, si on la combine avec l'équation tirée de (2) qui exprime que le point répondant à ^" et j", appartient au cercle (C), on obtiendra les doubles valeurs des coordonnées relatives aux points de contact conjugués / et /',

Cela étant admis, il est clair que, si l'on regarde x*' et r" comme variables, a et p comme constants, l'équation (4), linéaire en x'\ y" y représentera une ligne droite qui passe par le couple des points / et /'; elle sera donc Téquation de la

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 255

corde indéfinie tV elle-même. Celle corde doit, d'après les données du problème, elre langenle à la courbe (C) au point T dont les coordonnées sont x' et y' ; donc aussi son équation doit pouvoir être rendue identique à Téquation (3) de la tan* gente à cette courbe, au même point.

Remplaçant d'abord les indéterminées x" et y" par les variables générales x et j, et ordonnant Tune et l'autre des équations (3) et (4) par rapport à ces variables, elles deviendront

Aj'j-+-(B^'-f-C)x-f-Cj:'=o, (P — 6)/-4-(a — a)a: = r'— a'— 6"-4-pfr-hart = — A-%

en introduisant la lettre k afin d'abréger.

Pour que ces dernières équations deviennent identiques, ou que les deux droites. qu'elles représentent se confondent, ii faut qu'on ait, d'une part.

et, d'autre part,

a — a B£^HhC

k^ Cx

^-b xy

Ces nouvelles équations expriment la relation qui doit exister entre les coordonnées a, p et ^',7', afin que la condition précédente ait lieu dans toutes les positions de la tangente ou corde infinie Tti'. Ainsi, étant donnés x' et j', on pourra déterminer, au moyen de ces équations, les valeurs de a et de ^ qui leur correspondent ou au point T. Donc, si l'on élimine x^ et j' entre ces mêmes équations et l'équation (i) à laquelle les coordonnées x' et j' doivent toujours satisfaire, on aura le lieu, la série illimitée des points a, déterminés comme il a été expliqué ci-dessus, c'est-à-dire, l'équalion indéfinie même de la courbe cherchée.

Mais les équations (5) et (6) donnent

, k'C , 0(P — ft)

"^""Cla — rt) — B/f' ^ ~~ A[C{y. — a) — Bh^y

donc, substituant ces valeurs dans (1), on aura pour l'équation

a56 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

de la courbe cherchée dans les coordonnées variables a et p,

AO(p — 6)»-f-BC'/r*-f-2C'/.'[C(a — flj — BA''] = o,

ou, en substituant la valeur de A^=a*-{- fr» — r» — frp — aa,

OU bien, plus simplement encore,

AOip — by-i-la'-hb'—r^—bp — aa] X [2C(oL — a) — B(a^-hb'—r'—bp — aoi)]=o.

Cette équation étant du deuxième degré, le lieu cherché, la ligne décrite par le point a, est une section conique ou courbe du même degré.

Quand le coefficient C de x' dans (i), est nul, (C) se réduit à un point ou à un couple de droites, ei l'équation du lieu devient, pour ce cas,

6p H- aa = a» -h b^ — /S

qui est celle d'une simple droite conjuguée au sommet O de (C), pris pour origine des axes coordonnés; propriété bien connue. On voit que cette droite est perpendiculaire à celle

dont réquation r=-:r, appartient à la dislance qui joint le

centre C au pôle ou point donné 0.

Remarque, — Il suit évidemment de ce que a parcourt uno courbe du deuxième degré, que réciproquement, si ce point devenu mobile, était, à priori, assujetti à décrire cette courbe censée donnée, et que, par chacune de ses positions, on menât un couple de tangentes a f et a/' à une autre ligne quelconque du deuxième degré, la corde de contact tf conjuguée de a, roulerait, dans toutes ses positions, sur une dernière ou troisième section conique (*).

(*) Cette remarque contient le premier germe de mes idées sur la théorie géométrique des polaires réciproques, auxquelles j'ai donné un certain développement dans un article imprimé en janvier 1818 et dont on trouvera la reproduction textuelle au t. II de ces Jpplicatinns.

Nous avons fait usage déjà de cette propriété dans le cours

de ces recherches. Elle peut, à la rigueur, ôtre déduite à

posteriori comme conséquence de la précédente; mais nous

allons ici nous proposer de la démontrer directement.

Prôb. III. — a Quelle est l'enveloppe de l'espace parcouru » par la corde de contact tf^ obtenue en menant, d'un point » (a) mobile sur une couii)e du second degré (C), un couple » de tangentes à une autre courbe (C) de ce degré? »

Nous supposerons, comme dans la question précédente, que l'on ait projeté la flgure de manière que la courbe (C) devienne un cercle quelconque; nous supposerons également que l'origine des coordonnées soit au sommet O de la courbe

Fig. 116.

(C), et nous désignerons les coordonnées courantes du sommet a, par a et p, comme ci-dessus.

Cela posé, les équations de la courbe (C) et du cercle (C) seront de cette forme

(i) Ap'-+-Ba>-h2Ca = 0,

(2) {y — bf-\-[x — û )'==/•».

L'équation d'une tangente au cercle (C), menée par un point t à coordonnées a/, y', étant, en général,

yix' — *) + ^(^' — û) = r^ — «' — **-H or' -h by' ,

si l'on y substitue a et |3 à la place de x et ^, elle exprimera la condition même qui doit exister entre les coordonnées a et p, x' et j' pour que celle tangente passe par le point a. Si d'ailleurs, on regardait, dans cette équation devenue

a58 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

les coordonnées x\ y' comme variables, elle sérail la propre équation de la corde tt!^ qui passe par les points de contact correspondants à a. Donc si l'on y remplace à leur tour, les coordonnées a:' et j' par x ex y, l'équation

(3) P(/ — b)-\-a.[x — a)=r^—a} — fr>-f-flxH-éj= A»,

qui en résultera sera l'équation de la direction indéfinie et toujours réelle, de la corde de contact «', conjuguée ou coi^ respondante au point a.

De là il résulte que a étant donné, la droite indéfinie tt le sera pareillement. Donc, si l'on déplace ce point en lui faisant parcourir la courbe du deuxième degré (C), ce qui établit la relation (i) entre a et p, la corde conjuguée if changera de position d'après une loi correspondante.

Supposons maintenant que le point a se déplace d'une quantité infiniment petite sur la courbe (C), la nouvelle corde sera infiniment voisine de la première, et leur intersection mutuelle sera le point même où celte corde touche l'enveloppe cherchée. D'après cela donc, il sera facile de trouver les coordonnées X et j de ce point; car si Ton suppose que l'abscisse a devienne a -h d%, l'ordonnée p devenant, en vertu de la continuité, p-hrfp, l'équation delà corde indéfinie correspondante, infiniment voisine de tt'y sera

(p-l-rfp)(/ — 6)-h(a-|-rfa)(^— a) = A^

En combinant celte équation avec l'équation (3) de la corde //', on aura la relation

dCK.

qui devra avoir lieu entre les coordonnées inconnues x et y du point d'intersection de ces cordes infiniment voisines. Mais, si l'on différentie l'équation (i), elle donne, pour la valeiir . d} ^ rfâ' rfp C + Ba

rfa"" Ap

Substituant donc cette valeur dans l'équation de condition

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. « »9

précédente, elle deviendra,

(4) Ap(j; — a) — (C-hBoc)(j— fr) = o.

Cette équation exprimant, comme on l'a dit, la relation qui existe entre les coordonnées :r et^ du point d'intersection de la corde variable //' et de celle qui lui est infiniment voisine, elle donnera, conjointement avec l'équation (3) de tt\ la valeur inconnue de ces coordonnées, qui sont aussi celles du point correspondant de la courbe enveloppe cherchée, pour chacune des valeurs particulières de a et de p. Donc enfin, si Ton élimine a et p entre ces deux équations et l'équation (i) qui subsiste toujours entre ces coordonnées variables, l'équation entre x et jr ainsi obtenue, sera l'équation même de la courbe enveloppe des cordes tf.

Pour y parvenir, je mets les équations (3) et (4) sous cette forme

p(7— 6)-ha(x — rt) = /iS

Ap{x — «) — Ba(j— />)=-(:(r— />); d'où Ton lire immédiatement

{r—bJl/t'B-^Cix—a]] h'\{x — a) — C{r—bf

""" A{x — ay-hB{x—l>y ' ""^ A(jr — rt)^-+-B(/— A)> '

Substituant dans l'équation (i), ce qui donne

A(j— 6)â[/,-^B -h C{x — a)p-hB[/»-'A(^ — «) — C(j— /;)']' 4-2C[A»A(^ — a) — C(j— 6)»][A(a: — rt)'-hB(j— 6)^] = o;

développant et rassemblant les facteurs de \{ar*—-aY-\-B(j'' — &)',

;AB/»^-hC'(j— 6)^-h?.C[/i»A(x — a) — C(j— />)']!x . • X[A(j; — «)'-f-B(j — 6'] = o;

divisant cette équation par le facteur insignifiant

introduit par l'élimination, il vient

ABA*-f-C»(r— ft)'-h2C[A»A{x — a) — C(7— fr)»] = o;

26o V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

substituanl enfin pour k^ sa valeur r' — a» — b^-hax-^by, on aura

^ l KBir'—a'—b^-hax-hbxy—OiX—by

Telle est l'équation de l'enveloppe cherchée qui est, comme on le voit, une section conique.

Du reste, on a pu remarquer, chemin faisant, que Téquation (4) est celle de la perpendiculaire CT, abaissée du centre du cercle (C ) sur la tangente indéfinie menée à la directrice (C ) au point a : il n'est pas difficile de se rendre raison de cela à priori et géométriquement; de sorte que cette observation fournit le moyen simple et élémentaire de se passer du secours de l'analyse transcendante dans la question qui vient de nous occuper.

Remarques diverses — L'équation trouvée en dernier lieu, ne représente la courbe enveloppe qu'autant que les opérations par lesquelles on a dû passer pour y parvenir ne seraient pas illusoires; car, dans le cas contraire, les raisonnements eux-mêmes devenant faux, la conséquence pourrait l'être également.

Ainsi, par exemple, si l'équation (i) avait la forme

Ba»-|-2Ca = o,

on ne pourrait plus en tirer la valeur de -7^9 et par conséquent la suite des opérations serait impossible. A la vérité, il serait toujours permis de considérer l'expres-

sion — — — comme représentant cette quantité V-> quand on

Ap (tct

y suppose A nul, ce qui la rendrait infinie, sauf pour les valeurs infinies mêmes de a; mais alors toutes les opérations changeant de forme, et les raisonnements d'abord admis devenant illusoires, l'équation (5) offrirait elle-même des incompatibilités. On trouve en effet, dans ce cas, qu'elle se réduit à l'équation X — ^ = 0 représentant une droite parallèle à Taxe des se menée par le centre de (C). En général, il est aisé de voir que pareille chose s'offrirait toutes les fois que l'équation (i), d'où

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. ^6i

Ton part» deviendrait décomposabie en facteurs réels linéaires ou du premier degré. Cela arriverait notamment pour les cas 011 elle prendrait l'une quelconque des formes

AP'— Ba^=0, P'=0, a»=0, Ba»-|-2Ca = 0.

Toutes les fois, au contraire, oii Téqualion (i) ne sera pas décomposabie en facteurs linéaires réels, et où par conséquent elle ne représenterait qu'une seufe et même section conique, l'équation (5) sera la véritable équation finale, bien qu'il arrive, cependant, que la suite des calculs change de forme dans certains cas.

Par exemple, si l'équation (r) avait la forme Ap'-4-Ba» = o, ou si la constante C était nulle, l'équation de la courbe enveloppe se réduirait à celle d'une droite

/.a — a^ — fc2 f ax -\-by = ^\

ce qui doit être si Ton suppose A et B de mêmes signes, car alors l'équation (i) peut être remplacée, comme on sait, par les deux suivantes

a = o et p = o ;

qui représentent un point placé à l'origine même 0, des coordonnées.

Si l'on supposait A et B simultanément nuls, on arriverait à d'autres contradictions ou difficultés que je ne me proposerai pas ici d'approfondir.

Nous devons conclure de tout ceci, que, quand les données analytiques d'une question changent de forme, il est possible que l'équation finale qui résout cette question d'une manière générale, devienne illusoire et même absurde pour les nouvelles données, et il n'est pas permis alors, sauf un examen particulier et attentif, de rien prononcer, à priori, d'une manière affirmative. Cependant^ comme dans ces mêmes circonstances, l'équation finale doit représenter elle-même, une solution singulière de la question telle qu'elle a été posée généralement, elle ne pourra jamais s'élever à un degré supérieur à celui du problème qui s'y rapporte.

Ainsi, par exemple, ayant trouvé que la courbe cherchée était du deuxième degré, elle ne saurait s'élever au troisième

26a V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

par aucun changement qui ne ferait que particulariser l'équa* lion (i); et, si Ton ne se propose, comme dans la question présente, que de trouver le genre de celte courbe, on pourra affirmer que toutes les équations auxquelles on arriverait pour des cas particuliers, seront comprises dans la classe de celles que représente Téqualion finale.

La proposition que nous venons de démontrer pour le système de deux courbes quelconques du deuxième degré correspond à une proposition analogue, relative aux surfaces du même ordre, d'où elle peut être déduite aisément comme cas particulier. Elle a été établie, s'il m'en souvient, au moyen de l'analyse transcendante, par M. Brianchon (*). En suivant la marche adoptée dans la première des deux démonstrations précédentes, on pourrait démontrer la propriété générale par les procédés de l'analyse algébrique ordinaire.

PROPRIÉTÉS DES CORDES ET DES TANGENTES COMMUNES AU SYSTÈME DE DEUX CONIQUES QUELCONQUES SUR UN PLAN.

Nous avons vu au commencement de ces Notes (**),que deux courbes quelconques du second degré, sur un plan, pouvaient être considérées, en général, comme les projections de deux circonférences de cercle; donc toute propriété dont jouit le système de deux cercles est applicable à deux courbes du deuitième degré, pourvu toutefois que celle propriété ne soit relative qu'à la situalion, à la direction indéfinie de ces parties et non à leurs grandeurs absolues.

(*) Je n'insisterai point ici sur ces souvenirs historiques, si ce n'est pour faire observer que , dans son Mémoire souvent cilé de 1810 ( X* Oih. du Journal de r Ecole polftechnifjue y p. 14), M. Brianchon démontre, par des considérations purement géométriques et sans s'occuper de sa réciproque, la proposition relative à la fig. 11 5, on substituant sans justidcation suffisante peut-être, le système de deux cercles à celui de deux sections coniques quelconques.

(**) Ce passage se rapporte à un essai de démonstration exclusivement analytique du V* Principe de transformation des Bgures par la projection centrale, principe dont il est fait un constant usage dans ce Cahier et le

DES DOUBLES CONÏQDES SUR UN PLAN. a63

Hésunté de quelques lemmes spéciaux relatifs au système de deux cercles.

Soient en général, (C) el (C) deux cercles quelconques de rentres C et C, il résulte, de ce qui a été démontré entre autres dans le 1" Cahier, sur les propriétés des systèmes de cercles et de lignes droites dans un plan :

1° Que, si Ton mène par les centres C et C deux rayons parallèles et de même sens, la droite qui joint les extrémités de ces rayons, vient couper celle des centres CC, prolongée, en un point 0, qui reste le même quels que soient les rayons qu'on ait ainsi menés; d'où Ton conclut que les tangentes communes extérieures aux deux cercles doivent aussi passer par le point invariable 0; mais que si, à l'inverse, des deux rayons parallèles quelconques, l'un est au-dessus et l'autre au-dessous de la ligne des cenires CC, et qu'on joigne, comme précédemment, leurs extrémités par une droite, celle-ci viendra couper la ligne CC en un autre point 0' situé entre les deux cercles, qui restera aussi le même quels que soient les rayons ainsi tracés, et se confondra par conséquent- avec celui où se rencontrent les tangentes intérieures communes aux circonférences de ces cercles.

2^ Que si, après avoir mené par le point 0 (^g*. 117), une transversale arbitraire OT, qui coupe les deux cercles en quatre points T, /, T' et /', on mène respectivement par ces points des tangentes à ces cercles, celles en T et /', de même situation par rapport au point 0, seront parallèles entre elles, aussi bien que celles des points homologues t etT'; que si,

suivant relatifs aux propriétés des systèmes de seclions coniques; mais, autant qu'il est possible d'en juger par la page restée seule au manuscrit (lu IIP Cahier et relative à cette tentative de démonstration, il ne s'agissait là que de considérations générales de géométrie analytique, d'aperçus (ontroversables, sur la recherche du lieu des sommets de cônes auxiliaires de projection et la direction indéterminée de leurs plans de sections cir- 4*ulâires communes; problème vainement tenté avant la publication, en 1822, du Traité des Propriétés projectives, et dont la solution complète a été, à cause de son étendue, répartie entre le IP et la fin du présent Cahier, selon la nature distincte des sujets qui y entrent.

a64 V* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

d'ailleurs, on prolonge les tangentes relatives aux intersections extérieures T et T', jusqu'à leur rencontre mutuelle en a, ce point décrira une droite LM perpendiculaire à la ligne des centres ce, quand on fera varier la sécante OT autour du point

Fig 117-

'Ta c r

la' C, b'

fixe 0, et pareillement, que le point correspondant a', où se coupent les tangentes menées aux intersections intérieures / et V y décrira, dans le même mouvement, la droite LM, lieu du point mobile a, de rencontre des deux premières tangentes.

Fig. i»S.

Que si d'ailleurs {fig, 1 18), par le point QT où se coupent les tangentes intérieures communes, on mène aux deux cercles, une transversale quelconque O'T, qui les coupe respectivement en quatre points T et /, T' et /', et qu'on trace, en ces

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 265

points, quatre tangentes; les tangentes aux intersections extérieures homologues T et t' concourront à Tinfini ou seront parallèles entre elles, aussi bien que celles qui correspondent aux intersections intérieures / et T'; que si, de plus, on fait varier la transversale Ti' autour du point fixe O', Tintersection a des tangentes Ta et T'a, menées aux points T et T', parcourra une droite ML, la même que la précédente, relative au cas où Ton faisait pivoter la transversale autour de 0 ; le point a! où se coupent les tangentes aux deux autres points t et i\ parcourant comme a, la droite variable LM, pendant la rotation de la transversale TT' autour du point 0' de concours des tangentes intérieures communes, dont il s'agit.

FIg. 119.

3* Que si les deux cercles (C ) et (C) se coupent réellement {fig. 119), la corde commune ML, qui joint leurs intersections M et L. se confondra précisément avec la droite lieu de tous les points a et a', et jouissant des propriétés précédentes; sur quoi il faut observer que, bien qu'alors il n'existe plus de tangentes intérieures communes aux deux cercles, le point 0' ne cesse pas, pour cela, de conserver une existence réelle : ce point et le'point 0 restant constructibles (i**) même quand l'un des deux cercles (C) ou (C) se trouve entièrement renfermé dans l'autre.

4** Qu'enfin, si Ton trace [fig, \ 17), par le point 0, une transversale quelconque OT, et qu'aux deux points T et / où elle

a66 V CAfflER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

rencontre le cercle (C), on mène les tangentes à ce cercle, le point p oii elles se rencontrent parcourra une droite PQ parallèle à M et L, conjuguée au pôle ou pivol 0 commun aux tangentes OP, OQ, quand on fera varier la transversale OT, autour de ce pivot; que pareillement, le point p' où se coupent les deux tangentes menées au cercle (C') par les intersections i' et T' relatives à ce cercle, parcourant, dans le même mouvement, une autre droite P'Q', également parallèle à la corde ou sécante indéfinie LM comniune aux deux cercles : la droite pp' qui joint les sommets d'angles circonscrits p et p', seconde diagonale du parallélogramme ap, a'p% émané du pôle ou pivot O, allant, comme la transversale OT, passer dans toutes ses positions par ce môme point 0, où concourent aussi les tangentes extérieures communes aux deux cercles (C) et (C), quand elles existent; tout cela pouvant se redire encore du point fixe 0', appartenant aux tangentes intérieures communes correspondantes de ces cercles, etc. (*).

Au surplus, ces diverses propositions ne sont que des cas l)ariiculiers de la suivante, que pour cela, nous renfermerons dans un seul et même énoncé.

Fig. i?o.

Lemme général. — Soient menées [fig* 120), par le point

(*) On supprime à Timpression, Tart. 5" qui formait double emploi avec renoncé de la proposition suivante, et se référait au cas très-particulier où la transversale Oe [fig, 120) coïncide avec la droite des centres OC'C.

extérieurOy par exemple, deux sécantesquelconques OTet De, elles couperont le cercle ( C ) en quatre points T, t^ e, 0 qui, réunis deux à deux, par des lignes droites, formeront le quadrilatère complet TeO/ avec ses côtés et ses diagonales; ces dernières se coupant au point intérieur 7, les côtés opposés sT ei Bt au point extérieur p, et les deux points ainsi obtenus étant situés sur une perpendiculaire PQ à la droite des centres ce, la même qui a été mentionnée dans l'article (4**); de sorte que, si Ton fait varier arbitrairement les OT, Ce transversales, les points p et7 resteront constamment sur cette droite, corde de contact, toujours réelle, des tangentes menées du pôle 0, au cercle (C).

L'autre quadrilatère T'e'ô'/' formé par les points homologues d'intersection des transversales Oï, Ce avec le cercle (C), offre les mêmes circonstances : les points f', 7', homologues à P et 7, resteront sur l'autre corde P'Q' conjuguée au pôle G par rapporta (C), et perpendiculaire à CC. De plus, les droites Te et /'6',/0 etT'e', Teet/'e', te et T'e', seront deux à deux parallèles ou concourront en des points à l'InOni.

Enfin, si Ton prolonge les cordes Te, T'e', tB et /'©', elles formeront, comme on l'a vu (2**), par leurs rencontres un parallélogramme a^a'p', dont la diagonale aa',^ perpendiculaire à la ligne des centres CC, se confondra avec la droite ML, que nous avons ci-dessus nommée corde ou sécante commune, quelle que soit la manière dont on fasse varier le système des deux transversales OT, Oe autour du point Vwe 0; les droites 77' et pp' passant, dans toutes leurs positions, par ce pôle concours des tangentes extérieures communes.

Remarques essentielles, — Ces diverses propriétés subsistent d'une manière analogue, pour le point de concours intérieure des tangentes communes aux doux cercles, soit qu'ils se coupent ou ne se coupent pas, et, d'après la remarque déjà faite plus haut, nous sommes autorisés à en conclure les propriétés suivantes du système général de deux courbes quelconques du deuxième degré sur un plan.

A ce sujet, il convient de se rappeler (Cah. 111, sect. I) que ce système pouvant, généralement aussi, être rcgai-dé comme la projection centrale ou conique du précédent, relatif à deux

circonférences de cercles y toutes les droites qui avaient des directions parallèles dans ce dernier système, ont même point de concours dans le premier, et que tous les points de concours pareils sont distribués sur une seule et même ligne droite ; qu'enfm les points qui, dans la figure générale des coniques, correspondent aux centres C et C de chacun des deux cercles, sont de véritables pôles conjugués à la droite unique dont il s'agit, représentant tous les points à Tinfini du plan de ces mêmes cercles.

Extension des lemmes précédents au système de deux coniques quelconques dans un plan.

Propriétés relatives à une simple transversale pivotante. — Soient(A) et(/V'),yîg-. 121, les courbes du second degré dont

Fi0. lai.

Il s'agit; 0 le point de rencontre des tangentes extérieures communes à ces courbes, 0' le point où se coupent pareille-

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 269

ment leurs tangentes intérieures communes. Soit menée par ces deux points, la droite indéfinie 00^ qui viendra couper respectivement chaque courbe en deux points a et 6, a! et V; cette droite représentera la projection de la ligne des centres ce des figures précédentes; d'où Ton voit déjà que, si l'on mène en ces points respectifs, des tangentes aux deux courbes (A) et (A'), elles viendront toutes quatre se croiser en un même point K, qui serait situé à l'infini dans \^Jig* 117, relative au système primitif des deux cercles. On voit, de plus, que si l'on mène par les points respectifs de con* tact P et Q, P' et Q' des tangentes communes ci-dessus, les droites PQ et P'Q', elles iront encore passer par ce nième point K.

Maintenant, soit menée par 0 une transversale quelconque OT, qui coupe la courbe (A)aux deux points T et ^, et la courbe ( A')aux deux points T' et /'; en chacunde ces points n^enons une tangente à la courbe correspondante, ces quatre tangentes formeront, en les prolongeant jusqu'à leurs rencontres mutuelles et traçant les diagonales, un quadrilatère complet laFa', dont les deux côtés opposés la' et Fa se couperont en un point p', et les deux autres la et a' F en un second point p. Cela posé, si l'on fait varier la transversale OT en la faisant tourner autour du point 0, les points et les lignes droites ci-dessus désignés variant aussi, il arrivera ce qui suit :

1** a Le sommet p parcourra dans son mouvement, la corde ou sécante de contact PQ, le sommet correspondant p' du quadrilatère traçant dans son propre mouvement, l'autre droite, P'Q' sécante indéfinie de contact conjuguée à 0. »

2*» « Les deux points p et p' dont il s'agit resteront, dans chacune de leurs positions correspondantes, situés sur une droite passant par ce même point de concours fixe 0. »

3** a Les deux sommets a et a! parcourront dans le même mouvement, une droite unique ML, qui sera la corde ou sécante indéfinie commune aux deux coniques si elles se rencontrent en deux points seulement. »

4** a Les deux sommets opposés I et F parcourront, chacun en particulier, une même droite contenant le point K déjà déterminé ci-dessus; cette droite IF représentant celle des

a70 V CAHIEK. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

points de concours, à Tinfini, des deux couples de tangentes parallèles du système primitif des deux cercles. »

5° a Si Ton mène, d'un point quelconque /de celte droite IF, deux tangentes Im et In à la courbe (A), et que Ton trace la cordée mn qui contient leurs points de contact m et n, cette corde viendra couper la droite 00', mentionnée en premier lieu, en un point C, qu'on peut considérer comme la projection du centre C de Tun des deux cercles du système primitif, et, si l'on fait parcourir la droite indéfinie IF au point /, sa corde de contact conjuguée mn, passera dans toutes ses positions par ce même point ou pôle central C. Pareille chose ayant lieu à l'égard de la courbe (A'), la corde de contact correspondante (non tracée) passera par un second pôle invariable C, qui peut être regardé comme la projection conique du centre C, de l'autre cercle dans la figure primitive.

Propriétés relatives an système de deiix transversales. — Supposons maintenant [fig. 122) que, par le point de concours extérieur 0, on mène la nouvelle transversale 0© coupant la courbe (A) aux points 0, 0, et la courbe (A') aux autres points e' et 0'; imaginons, enfin, qu'enjoigne par quatre lignes droites, les points T et e, t et G, T' et 0', t' et ô', ces droites formeront, par leurs rencontres mutuelles, un quadrilatère complet laFa', dans lequel les côtés opposés T© et /ô viendront se couper en un premier point p, et les deux autres T'e' et /'ô' en un second point P'. Imaginons, de plus, que Ton mène les quatre diagonales TO, 0/, T'O', 0'/' des deux quadrilatères T/00, T'/'ô'0', et qu'on les prolonge indéfiniment, elles formeront par leurs rencontres mutuelles, un second quadrilatère aya'v', analogue au premier laFa'; les deux côtés 7 a et f' a' qui sont opposés, donneront par leur rencontre mutuelle un premier point ï, et les deux autres côtés 7a' et 7'fl donneront également, par leur rencontre vers la droite de la figure, un deuxième point/.

Cela posé, si l'on fait varier les transversales rectilignes OT, O0 d'une manière quelconque autour du point 0, les intersections et les lignes droites que nous venons de désigner varieront aussi, et il arrivera :

I® a Que le point p et son correspondant 7 parcourront dans

leurs mouvements simultanés, la même droite PQ, tandis que les deux points p' et 7' décriront semblablement et séparémenl, l'autre droite P'Q', homologue à la première, n

2" a Que les deux points p et p' resteront, dans chacune de leurs positions successives, sur une même ligne droite passant

Fie. .î'.

par le point 0; les deux points correspondants r et 7' étant également situés sur une ligne droite différente de la première, mais qui passera comme elle, dans toutes ses positions, par le point de concours 0 des tangentes extérieures communes aux coniques (A) et (A'), n

3** c< Que les quatre points a, a', a et a\ concours de côtés et de diagonales homologues, parcourront, dans le même mouvement, une droite unique ML, la même qui a été définie et désignée pour la précédente figure, d

4° « Que les quatre points I, F, i et /parcourront, chacun en particulier, la droite unique et fixe IF passant par le point K; point et droite qui ont été géométriquement définis encore pour la précédente figure. »

Remarques et conclusions. — Toutes ces propriétés sont exclusivement relatives au point 0 où se coupent les tangentes extérieures communes aux coniques (A) et (A'); mais comme elles ont lieu d*une manière analogue pour le point 0' où se coupent les tangentes intérieures communes à ces courbes, il devient parfaitement inutile d'en donner ici te détail qui exigerait une troisième figure. On doit, en outre, observer que les quatre théorèmes d'abord énoncés, pourraient, à priori, être considérés comme autant de conséquences des quatre derniers.

De tout ce qui précède, il résulte aussi que les points 0, 0' et les droites fixes FI et ML, dont la dernière est, comme on Ta vu, la sécante indéfinie commune aux coniques (A) et (A'), quand elles se coupent réellement en deux points, sont liés entre eux, de manière que, quand Tun quelconque de ces éléments est déterminé, tous les autres le sont également et peuvent être déduits du point ou de la droite d*où Ton est parti, par une construction graphique très-simple et purement linéaire, ainsi qu'on le verra tout à l'heure.

Lorsque aucune de ces droites ni aucun de ces points ne sont connus, il devient absolument impossible, du moins en général, de les déterminer par aucune construction géométrique directe et simple. Le problème dépend alors d'une équation du quatrième degré; et, bien que tes coniques puissent, en certaines circonstances, ne se couper réellement qu'en deux points, l'équation finale à laquelle on arriverait par l'élimination dans ce cas, serait toujours de la même forme et irrésoluble; seulement deux de ses racines seraient imaginaires et les deux autres réelles, quoique inséparables. Quand il en est ainsi et que les deux coniques sont entièrement décrites, leur

corde commune LM est, par là même, donnée de siUKition ; par conséquent, si l'on se proposait de trouver les tangentes extérieures communes à ces courbes, ou leurs points de concours 0, 0', l'un extérieur, l'autre intérieur, la chose pourrait se faire d'une manière toute géométrique comme on le verra ci-après.

Problème. — Déterminer les points de concours réels conjugués des tangentes communes à deux coniques tracées sur un plan et quisjr coupent en deux points.

Soient (A) et (A') deux lignes du second degré décrites sur un plan, et dont on suppose les deux points d'intersection M et L déterminés à priori. Pour trouver le point 0 où se coupent les tangentes extérieures communes à ces courbes,

FÎR . I 2^ .

les seules existantes alors, il faudra tracer d'abord la corde ou sécante indéfinie ML ; puis de deux points quelconques a et a.' de celte droite, mener les tangentes extérieures «T et aT', a'e et a'e', qui détermineront les quatre points de contact T et T', 0 et e'. Ces points étant trouvés, on mènera par les deux premiers T et T' homologues ou qui se correspondent, une droite indéfinie TT', et par les deux autres points e et e' homologues entre eux, on tracera pareillement une seconde droite 68' qui, prolongée ainsi que la première, viendra la couper en l'un 0 des points demandes.

•^74 ,Âu V« CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Pour déterminer l'autre point de concours 0' conjugué à 0 et intérieur aux coniques, on mènera par a, le second couple de tangentes a tel oit' à ces coniques; on joindra les points de contact ï et /' de même situation» par une ligne droite T/' prolongée convenablement; de l'autre point a', on mènera pareillement vers l'intérieur, le couple de tangentes a'ô, a'ô', et ayant joint de même, les points de contact 0 et 0' par la droite indéfinie ©ô', elle coupera la première T/', au deuxième point demandé O', concours intérieur des tangentes communes, imaginaires dans nos hypothèses, etc., (*).

RECHERCHES GÉOMÉTRIQUES ' RELATIVES AUX QUADRILATÈRES A LA FOIS INSCRITS OU A LA FOIS CIRCONSCRITS AU SYSTÈUE DE DEUX SECTIONS CONIQUES QUELCONQUES.

Propriétés individuelles et réciproques des points de concours des cordes et des tangentes communes conjuguées ou respectivement opposées.

Soient (A) et [K!)yjig. 124, deux coniques quelconques se coupant en quatre points réels L, M, L', M', et supposons en

(*) Les considérations qui précèdent et les suivantes sur les doubles coniques dans un plan, ne doivent pas être confondues avec celles des géomètres philosophes Desargues et Pascal, dont, un des premiers en 1822, j*ai tâché de faire revivre les ingénieuses théories fort appréciées de Des- .cartes et de Leibnitz, et plus ou moins bien saisies par leurs successeurs De Lahire et Le Poivre. Car ces fondateurs de ce qu'on nomme la Géométrie moderne^ opéraient, raisonnaient sur les sections planes du cône simple d'Apollonius, ramenées dans le plan de sa base circulaire, et nullement sur des couples de lignes du second degré quelconques et indépendantes entre elles, comme c'est ici le cas.

Ainsi notamment, dans les Ploniconiques de' De Lahire et le Tr/iité postérieur de Le Poivre, fort vanté dans son temps (1704), où déjà Ton avait oublié le précédent imprimé en 1673, on procède par voie de rabattemeiil; de la section du cône sur sa base circulaire; ce qui permet de comparer directement l'une des deux courbes à l'autre, par un procédé graphique nommé depuis trnnsjormation et où Ton a prétendu voir le germe do nos méthodes é'/tomolo^fe, de pcrspectwc dans le plan ou Tespaco, c'est-à-dire p/a/ie ou rr? relief. Or il faut remarquer que les procédés de transformation, variables à l'infini en 'j;énmétrio comme en analyse, selon rinspiration et le iroùlde chacun, constituent au fond, une sorte de talon-

pariiculier, qu'on leur ail mené les deux langcnies communes extérieures Vp, V'p' se coupant en 0, il est clair que la corde

nement, d*essai plus ou moins heureux et fécond, pour découvrir des résultats nouveaux, dont il faut établir la rigueur, la généralité par des justifications préalables ou à posteriori, exemptes, s'il se peut, de toute pétition de principe, afin de ne pas trop s'écarter de la logique sévère des anciens, d'Euclide, d'Apollonius, d'Archimède particulièrement; logique admirée, regrettée même, des Fermât, des Huygens et des Newton, qui néanmoins, eux aussi, usaient des notions intuitives et métaphysiques de l'infini, de la continuité pour découvrir, sinon pour démontrer, des vérités nouvelles; ce qu'ont fait, avec plus de franchise, Desargues, Pascal, Roberval et Leibnitz, cet immortel créateur de l'algorithme différentiel. Afin d'offrir entre mille, un exemple de ce que j'avance ici, je remarque qu'on peut bien, par voie de déformation perspective, déduire des propriétés de cercles concentriques sur un plan, celles d'une certaine classe de coniques intérieures les unes aux autres, mais qu'il reste à prouver qu'elles ont un double contact imaginaire^ et que , en général , des coniques à double contact sont la représentation d'un système d^ cercles concentriques. Or, voilà précisément pourquoi nos principes de projection <^ntrale étaient non-seulement utiles, mais nécessaires.

commune LM, qui correspond au point de concours O, jouira, à l'égard de ce point, de toutes les propriétés que nous avons démontrées précédemment.

Par exemple, si par ce point extérieur aux coniques, on mène une transversale rectiligne quelconque OT, donnant dans ces deux courbes les quatre intersections : T, t sur (A), T', /' sur (A'), puis qu'on mène par les points T et T' extérieurs et opposés entre eux, des tangentes à ces courbes respectives, elles viendront (page 268) se couper en un point a situé sur la sécante commune LM; de même encore, si Ton eût mené des tangentes aux deux points d'intersection opposés intérieurs, / et /', elles seraient venues se couper en un autre point a', situé également sur la corde commune LM.

Détermination de la droite magistrale IF, correspondante à celle des Jig. 121 et 122. — Il résulte de nos principes généraux et des Lem. II (2° et 4°), qu'en menant des tangentes aux courbes (A) et (A') dans les points respectifs T et /', qui se correspondent au delà de LM par rapport à 0, elles se couperont en un point I de la droite magistrale FIK éesfig. 121 et 122; que pareillement, le point F de croisement des tangentes aux points T' et / qui se correspondent sur OT, en deçà de LM par rapport au même point 0, appartient encore à la droite magistrale dont il s'agit; qu'enQn si l'on faisait varier la transversale OT autour du point 0 comme pôle, l'un et l'autre des points I et F décriraient séparément. Tunique et même droite IF, représentant véritablement tous les points à l'infini du plan dans le cas de deux cercles.

Cette droite magistrale n'est autre que la corde commune L'M' opposée ou conjuguée à LM. — Je dis qu'il y aura une direction de OT pour laquelle le point I sera confondu avec Tune M', des intersections des coniques considérées. Imaginons, en effet, que l'on mène par le point 0, une transversale qui passe précisément par M% il est clair qu'alors les points ci-dessus T et ^', se réuniraient en un seul avec M'; donc les tangentes correspondantes à ces deux points, s'entrecouperaient en ce même point M', lequel appartient ainsi à la droite IF, comme on l'a avancé.

On prouverait pareillement que l'intersection L' des conî-

ques appartient à IF ; donc la sécante indéfinie M'L' commune à ces courbes, n'est autre que la droite IKF {fig. lai), qui nous a précédemment occupés» et le point où elle rencontre la première corde commune ML, est précisément celui que nous avons dès lors désigné par la lettre K. Par suite encore, on aperçoit que les deux cordes de contact PP' et pp^ conjuguées au pôle commun 0, ou relatives aux tangentes communes issues de 0, passent également par ce même point caractéristique K.

Recherche des centres polaires C» G conjugués à 0 et à la corde commune LM. — Pour obtenir les points ou pôles C, G qui jouent ici, par rapport à O et LMK, le rôle des centres des cercles considérés dans la^g*. 121 ci>dessus, il faut en général, d'un point quelconque de la sécante commune ML, mener des tangentes aux courbes (A), (A') et tracer les cordes conjuguées correspondant au couple de points de contact relatif à chacune d'elles ; car ces cordes passeront, l'une par le centre polaire C, l'autre par le centre C, quel que soit d'ailleurs le point qu'on ait choisi sur ML, de sorte que deux nouvelles cordes, tracées de même, les couperont respectivement dans les points C et C dont il s'agit.

Si, en particulier, on choisit comme point de départ des tangentes, l'intersection L commune aux deux coniques tracées, il est clair que le couple de celles qui appartiennent à la conique (A') ou [Lp'pWj, se confondront en direction avec leur corde de contact, confondue de même avec la tangente LC à cette courbe au point L, tandis que celles qui répondent à la conique (A) ou (PMLP'), confondues avec la tangente LC en ce même point L, passeront par l'autre centre C.

Répétant cette construction pour M, les deux nouvelles tangentes MC et MC, contenant respectivement encore les points C et C, donneront ainsi, par leurs intersections avec les précédentes, ces deux mêmes points, pôles conjugués et respectifs, comme on voit, de la corde LM commune à (A) et (A'); ce qui, à certains égards, doit paraître évident à priori [*'),

[*) Celte dernière phrase et quelques autres purement explicatives ont été, pour plus de clarté et de précision, ajoutées au texte qui ici, comme presque partout; je le répète, manquait de titres ou subdivisions, fort inu-

Détermination du point de concours 0', des tangentes communes, opposé ou conjugué au précédent O. — D*après les lemmes ci-dessus (II), les points 0, G, C qui viennent d'être considérés, sont rangés sur une même ligne droite qui contient aussi le point de concours 0' des tangentes communes O'O", D'C^, opposé à 0 et tout aussi facile à construire directement; car, si Ton mène par le point a déjà mentionné, à l'arc PML de (A), une tangente aG' vers la gauche de LM, et qu'on joigne le point de contact ô' avec le point T' par une ligne droite prolongée, elle viendra passer, pour toutes les positions d'e a, par le point 0' demandé.

Pareillement, si par le même point a de LM, on eût mené, du côté de 0', une seconde tangente a9 (non tracée) à la courbe (A') ou l'arc LM'L', et qu'on eût joint son point de contact ô avec le point correspondant T par une ligne droite Tô, elle serait venue passer également dans toutes ses positions, par le point 0', ainsi parfaitement et doublement déterminé comme point inconnu à priori.

Or, lorsque cette dernière tangente a9, viendra se confondre avec la tangente aT, ce qui arrivera quand a sera en a, sur la tangente O'O'" commune aux deux courbes et opposée à celle 00'^ ou Pp, et qu'elles se confondront par conséquent toutes deux, en une seule avec cette même tangente, elles ne ces-

tiies à l'auteur plein de son sujet, mais indispensables aux lecteurs même déjà initiés de l'époque actuelle. Il en est ainsi encore des expressions, centre polaire , droite magistrale, employées transitoirement dans le texte imprimé r comme procédé mnémonique propre à rappeler la dépendance intime et toute linéaire, entre leurs propriétés et celles des centres et du lieu des tangentes infinies^ parallèles, des cercles dont les coniques proposées sont la projection centrale. Mais je me suis complètement abstenu d'aller au delà dans la correction de cette partie du texte manuscrit, où je n'avais point encore résolu le problème épineux de la projection des courbes du deuxième degré, suivant des circonférences de cercles; du moins dans toute la rigueur géométrique que réclame la preuve de l'identité de propriétés de la droite magistrale dont il s'agit, avec la corde ou sécante, commune aux deux courbes, qui lui est conjuguée et la rencontre au pôle K de la ligne des centres C etC; pôle jusqu'ici sans nom spécial, quoique jouant un rôle tout aussi remarquable que le point même de concours des tangentes corn mu nés aux coniques.

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 279

seront pas de passer par le point de concours 0', nécessairement situé aussi et par les mêmes motifs» sur la tangente commune O'O" opposée à 00"' ou P'/>'. Donc le point 0', ainsi construit directement au moyen de 0 et de la corde commune LM, esl^ en effet, le point de concours conjugué à ce dernier point, intersection des tangentes communes, respectivement opposées, elles-mêmes, à celles qui émanent de 0.

Remarques diverses, — On devait s'attendre à celle conséquence, car nous avons vu précédemment (p. 268) que les tangentes menées par un tel point (alors situé entre les deux courbes), à l'une quelconque d'entre elles, si elles sont possibles, étaient en même temps tangentes à l'autre; ce qui prouve d'ailleurs que le point 0' n'est pas nccessairemenl et toujours la rencontre de deux tangentes intérieures communias réelles (p. 27.3, ^g*. i23).

Si, au lieu de procéder du point 0 comme nous venons de le faire, on parlait directement de son opposé 0', et qu'on (ît, à l'égard de ce second point, les mêmes raisonnements que pour le premier, on verrait que la corde L'M' étant considérée comme correspondant à 0', l'autre corde LM deviendrait, à l'égard de ce point, la droite magistrale que nous avions appelée IF dans les lenmies préliminaires, et que, par conséquent, en menant pour chacune des deux courbes, des couples de tangentes aux extrémités L' et M', elles viendront se couper respectivement aux deux nouveaux centres polaires c, c', également situés sur la droite 00' cl parfaitement analogues aux deux points C et C d'abord considérés.

Des axes à points de concours multiples et de leurs pôles de convergence respectifs, conjugués,

1° Sjr'stème des deux axes sécants» — Considérons à part le quadrilatère LML'M'(^g". 124} Inscrit à la fois aux coniques (A) et (A'), je dis que le point K' où se coupent ses côtés opposés LM', ML' et le point K, où se coupent ses deux diagonales LL', MM', sont tous deux encore situés sur la droite 00'.

£n effet, en tant que ce quadrilatère est inscrit à la conique PP'M'L' ou (A), il résulte des théorèmes du 111" Cahier (p. 1 29), que, si l'on mène à cette courbe, les deux tangentes LC et MC

a8o V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

aux extrémités L et M des diagonales, leur point de rencontre ou centre polaire G, sera situé surla droite K'Ki des points de concours Ki et K' déjà définis; ce qui est vrai aussi du point d'intersection c des tangentes menées aux deux autres extrémités L' et W. Mais, en tant que ce quadrilatère est inscrit à la conique (A') ou pp'WUyXes centres polaires analogues et opposés C et c^ relatifs à ces mêmes extrémités de diagonales, sont aussi sur la droite KtK'; ce qui résulte également de ce que les quatre points c, c', C, C d'après les théorèmes déjà cités, appartiennent à une seule et même ligne droite. Donc les six points K% c\ c, K„ C, C sont tous rangés sur cette droite doublement conjuguée au point de convergence K, des cordes communes ML et L'M'; propriété assez remarquable, ce me semble.

Supposons, à présent, qu'au lieu de considérer les points 0 et 0' de concours des tangentes communes, et les cordes M'L'etML correspondantes, il s'agisse des points de concours O'^, 0"' également opposés entre eux et des cordes ML' et LM', il est évident que ces points et ces cordes jouiront des mêmes propriétés relatives que les premiers. Ainsi les points 0%0'^, K,,K et les quatre centres polaires, intersections des couples de tangentes menées aux extrémités respectives des cordes ML^LM'^ à chacune des deux coniques, sont, tous encore, situés sur une même ligne droite conjuguée au point de convergence K' de ces cordes communes, opposées entre elles dans le quadrilatère inscrit d'abord considéré.

a* Axe de concours extérieur aux deux coniques, — Supposons actuellement {Jîg. 126) qu'on prolonge les deux tangentes opposées iitt, p'P', communes aux deux coniques (A) et (A'), jusqu'à leur rencontre en 0^ il est clair que ce point 0^ devra jouir des mêmes propriétés que le point 0 de la précédente figure; de sorte que, s! de ce point 0% on dirigeait une sécante quelconque vers les deux courbes, et qu'aux points d'intersection correspondants on menât à celles-ci leurs tangentes respectives, le point où se couperaient les tangentes ci-dessus nommées extérieures, et celui où se couperaient les tangentes intérieures, seraient sur une dernière ou troisième droite fixe, qu'ils parcourraient dans toutes leurs posi-

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. a8i

lions quand on viendrait à faire varier la transversale commune autour du point invariable 0^.

D'après cela et en reprenant les mêmes raisonnements, il n'est pas difGcile de voir que la corde MM' diagonale du quadrilatère inscrit, est précisément la droite fixe dont il

Fig. 135.

IK

Ko

s'agit; car, lorsque la sécante passera par le point M, par exemple, les intersections les plus voisines s'y confondront, et, par conséquent aussi, leurs couples de tangentes se couperont en ce point.

Pareille chose a lieu évidemment à Tégard du point M', et de plus, l'autre corde ou diagonale conjuguée LL' représente

28a V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ici encore la droite magistrale précédemment nommée IF {fig. 121, 122 et 124), également parcourue par Tun et l'autre des deux points où s'entrecoupent les tangentes menées de chaque côté, aux deux coniques; car il est aisé de voir encore que, si la sécante passe par le point L', par exemple, les intersections voisines se confondant alors avec ce point, leurs tangentes respectives s'y couperont de même, etc.

Concluons de là, plus explicitement, que, si d'un point extérieur quelconque delà corde ou diagonale MM', on mène, aux courbes (A) et (A'), deux tangentes vers le dehors et deux vers le dedans, les droites qui en joignent les couples de points de contact viendront passer par le point 0^ défini cidessus; que, de même, si par ce point arbitraire on trace deux tangentes, l'une intérieure, l'autre extérieure, c'est-à-dire situées d'un même côté des deux coniques (A) et (A'), et qu'on joigQe les deux points de contact par une ligne droite, elle passera dans toutes ses positions par le point O'^, conjugué au point 0^; qu'enfin, chose facile à prouver directement, ce point est précisément celui où se coupent les deux autres tangentes communes, opposées entre elles, /?P, w'n'.

D'autre part, il résulte encore de ce qui précède, que si, par les extrémités M et M', on mène les deux tangentes MC'*, M'C'^àla conique /?/)'MM' ou (A), elles convergeront en un point C'^ situé sur la droite 0*^0% centre ou pôle conjugué à la direction de MM', c'est-à-dire servant de pivot aux cordes de contact des couples de tangentes menées des divers points de cette direction ou corde commune prolongée, à la conique (A) dont il s'agit.

Pareillement, le pôle des cordes de contact relatives à MM' et à l'autre conique PP'M' ou (A'), s'obtiendra en menant par les extrémités M et M' les tangentes MC^, M'C% et ce pôle sera situé comme C" sur la droite 0*^0% d'après les raisons généralement exposées à l'égard des centres polaires C et C (Jig. 121 et 124) ; ces mêmes pôles C^ etC'% correspondent d'ailleurs tous deux au point 0^

Si Ton exécute des constructions analogues pour le point de concours 0*^ des tangentes communes et la diagonale ou corde LU qui lui correspond, on obtiendra de nouveaux points C/» (H C% pôles de cette corde dans les courbes (A),

DES DOUBLES œNlQUES SUR UN PLAN. 283

(A')y et ces deux points seront, comme les premiers, situés sur la droite de concours O'^O*. De là et des théorèmes éublis dans la Secl. Il du III* Cahier, il résulte que si, considérant toujours le quadrilatère simple ML'M'L inscrit à la fois à ces deux courbes, les points K' et K où convergent ses côtés respectivement opposés» doivent appartenir également à la droite de concours 0»^0'.

Nous pouvons m.nintenant résumer toutes les propositions ou propriétés qui précèdent de la manière suivante (*).

Résumé des précédents théorèmes et propositions qui con-cernent le système de deux sections coniques quelconques s' entrecoupant sur un plan.

Soient (A) et (A') (^g*. 126), deux courbes quelconques du second degré ayant les quatre points M,M',L, L' en commun; soient joints ce» quatre points de toutes les manières possibles par des lignes droites, ce qui formera un quadrilatère complet avec ses deux diagonales; soient de plus, menées à ces deux lignes courbes, les quatre tangentes extérieures communes 00'',0"0',0'0"',0"'0, qu'on prolongera jusqu'à leurs rencontres respectives, ce qui formera un quadrilatère 00"0'0"' circonscrit aux mêmes courbes; supposons d'ailleurs que l'on complète ce quadrilatère en traçant ses deux diagonales simples 00', O'^O" prolongées indéfiniment. Cela posé, il arrivera :

i*» Que les quatre diagonales 00', 0"0^ MM', lAJ viendront se couper en un même point K, ;

(* ) Ce résumé était précédé dans le manuscrit, d'uae Note marginale relative au problème de l'inscription à un quadrilatère plan quelconque d'un couple de coniques passant par un point également quelconque de ce plan: cette solution d'un problème aujourd'hui connu, a été supprimée dans l'impression, parce qu'elle rompait inutilement le fil des idées. Il en est de même d'une remarque isolée et sans démonstration, quoique fort importante, consistant en ce que « les quatre points de concours des côtés » opposés des quadrilatères simultanément inscrits ou circonscrits à deux y* coniques situées sur un plan, forment sur leur droito ou direction com- » mune, quatre points de division harmonique. »

2* Que les points 0% 0'% K' et K de concours des côtés respeciivement opposés dans chaque quadrilatère, seront tous les quatre situés sur une même droite 0*K;

3"» Que la (Uagonale 00' du quadrilatère circonscrit renfermera à la fois le point de croisement Ki des diagonales et le

Fig. 126.

point K de concours des côtés opposés ML' et M'L du quadrilatère inscrit ML' M'L;

4" Que pareillement, la seconde diagonale 0''(y renfermant déjà comme la première, le point K, passera encore par le point K' de concours des deux autres côtés opposés ML et M'L' du quadrilatère inscrit;

DES DOUBLES œNlQUBS SUR UN PLAN. a85

S** Que, si Ton considère un côté quelconque ML du quadrilatère Inscrit et que, d'un point arbitraire a' de ce côté, on mène aux coniques quatre tangentes a'T, a!i\ a'tj afV, dont deux relatives à la courbe ( A ) el les deux autres à la courbe (A' ), ce qui donnera quatre points de contact T, t', /, T% les droites TT et //'joignant respectivement, sur des coniques distinctes les points de contact T, T' extérieurs el les points de contact /, t', opposés ou intérieurs, passeront dans toutes leurs positions, par le même point 0 sommet du quadrilatère circonscrit, quand on fera varier a' sur la direction de ML ; tandis que les deux autres droites Tty Vt joignant les points de contact extérieurs-intérieurs T et Z', et les deux points T', / situés de même, passeront, au contraire, dans toutes leurs positions, par le point invariable 0' conjugué à 0;

6*» Que si, après avoir exécuté les constructions précédentes relatives toujours à la corde LM, on joignait inversement, les points de contact T et / appartenant à la conique (A), par une ligne droite T/, elle passerait dans toutes ses positions par le point de concours C des tangentes en L et M, centre polaire de LM situé sur la droite 00', tandis que l'autre droite T'/' joignant les points de contact T' et /' situés sur l'autre courbe(A), passera dans toutes ses positions par le concours des tangentes en L et M à celte courbe ou centre polaire conjugué C placé, comme le premier, sur la droite 00' des points de tangentes communes dont il s'agit;

7** Qu'enfin, quelle que soit, des six droites composant le quadrilatère inscrit à deux diagonales, celle que l'on considère, elle jouira d'une manière analogue, de toutes les propriétés énoncées pour la droite ou corde commune ML que nous venons d'examiner en particulier.

Remarques concernant Vexistence et la détermination des cordes et des tangentes communes au système de deux coniques situées sur un plan.

On voit par ce qui précède, que, quand deux courbes du deuxième degré décrites sur un plan se rencontreront, il sera possible d'en déterminer géométriquement et linéairement les tangentes communes, lesquelles ne pourront jamais excéder

le nombre de quatre : ce nombre étant précisément égal à celui des points d'intersection réels des deux courbes^ excepté si elles sont entièrement extérieures l'une à l'autre.

Quand les mêmes courbes se toucheront en un ou deux points réels» les cordes relatives à ces points deviendront des tangentes communes qui ne cesseront pas» pourcela, de jouir des propriétés ci-dessus, ainsi que leur point de concours, leur corde de contact, etc.

Si les deux points M et L existaient seuls, la droite H' L% conjuguée à la corde commune LM, existerait encore ainsi que nousl'avonsvu (p. 273); maissans rencontrer ni Tune ni l'autre conique, elle jouirait cependant des mêmes propriétés que cidessus à l'égard des points 0 et 0', sauf qu'on ne pourrait plus, dans ce cas, mener des tangentes aux courbes par le point O' nécessairement intérieur, et qui n'en conserverait pas moins toutes ses autres propriétés.

Dans ce même cas, les quatre autres points 0'', O*^, 0'% 0' cessent naturellement d'exister.

EnQn, quand les deux coniques proposées n'ont aucun point d'intersection commune et sont néanmoins extérieures l'une

Fig. 127.

' /ii

/ Il

à l'autre, les six points de concours 0, 0', 0", 0*', 0", 0' <îxistent à la fois; mais il n'y a plus alors que les deux seules

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 287

sécantes communes ML et M'L' conjuguées entre elles, qui subsistent quant à la direction indéfinie, sans d'ailleurs rencontrer les courbes, sécantes ou cordes fictives auxquelles correspondent les points de concours 0, 0', également conjugués entre eux, des tangentes communes extérieures et intérieures.

On voit de plus, par la^g-. 127, que les points K, K' et K» existent tous les trois encore, et que les quatre droites ML, M'L', 0''0' et O'^O'" concourent toujours en un même point K. Enfin on saisit la raison pour laquelle les deux autres cordes conjuguées communes LM' et L' M, des figures précédentes, deviennent alors entièrement impossibles, imaginaires. Car si elles existaient en même temps que les premières ML et M'L', elles les couperaient en quatre points déterminés et réels, qui devraient être situés sur l'une et l'autre courbe; ce qui est absurde ou tout au moins contradictoire (*),

EECHERCHES GÉOMÉTRIQUES ET ANALYTIQUES SUR LA PROJECTION CENTRALE B'uN SYSTÈME DE COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ, SUI- VANT UN SYSTÈME DE CERCLES.

J'ai déjà mentionné, au commencement de ce Cahier, un premier essai de démonstration analytique de la possibilité de projeter, en général, le système de deux sections coniques données sur un plan, suivant un système pareil de deux circonférences de cercle, en promettant de donner par la suite une démonstration complète de cette proposition; c'est ici le

(*} Le manuscrit ne dit rien des propriétés linéaires des quatre points réels 0", C", 0*', 0' de concours des tangentes communes, propriétés qui, bien que relatives à des lignes et points de construction devenus en partie imaginaires, impossibles géométriquement, n'en subsistent pas moins au point de vue algébrique ou analytique. Encore moins mentionnei-il le cas tout à fait spécial , le plus occulte do tous en quelque sorte, où les deux coniques sont entièrement intérieures l'une à l'autre et conservent néanmoins, comme le montre le cas particulier des cercles, plusieurs de ces propriétés sous une forme réelle et géométrique.

lieu de nous en occuper en nous fondant sur les lemmes de géométrie analytique précédemment démontrés ( * }.

Exposé de la question et des conditions que doivent remplir le centre et le plan auxiliaires de projection, relativement au système des deux sections coniques.

Soient (A) et {k'),Jig. 128, les deux sections coniques de forme et de position arbitraires, données sur un plan; nommons 7 le centre de projection ou sommet commun des deux cônes

Fig. laS.

qui doivent jouir de la propriété de pouvoir être coupés suivant deux cercles par un même plan de projection. Supposons le problème résolu, et qu'on connaisse par conséquent, la position de ce sommet et la direction de ce plan; imaginons enfin que Ton mène à ce dernier, par le sommet 7, un plan qui lui soit parallèle; ce plan viendra couper celui des courbes ( A ) et ( A'), suivant une certaine droite, et je dis :

t*» Qu'elle se confondra avec la corde kB (ici purement figurative) commune aux deux coniques;

2° Que le sommet commun 7 ou point projetant se trouvera situé sur une circonférence de cercle dont le carré du diamètre sera égal au carré de la corde fcB, pris avec un signe contraire;

3" Que cette circonférence, tout entière, sera située dans un plan vertical perpendiculaire sur la corde /rO, en son mi-

(*) Ces lemmes ont été renvoyés à la fin du II* Cahier sous les n"* Ilf cl IV.

lieu C, toujours constructible géométriquement, et aura pour centre ce même point milieu il.

En effety d'après le n* IV du II*" Cahier, la trace sur le plan commun des coniques (A) et (AO» du plan mené par le sommet 7 parallèlement à celui qui coupe le cône de base (A) suivant un cercle, est telle. que, si on la considère comme une corde de cette base (A),iet que, par son milieu, on lui élève un plan perpendiculaire, ce plan passera par le sommet dont il s'agit. Pareille chose a lieu à l'égard de cette trace considérée comme corde de la conique (A^); et, comme par le sommet 7, on ne peut abaisser qu'un seul plan perpendiculaire à la droite ou tracé dont il s'agit, il s*ensuit que le milieu de cette droite considérée comme corde de la courbe (A), et son milieu en la considérant comme corde de la conique (A'), se confondent en un seul et même point.

D'autre part, il a été démontré que, si l'on joint le point milieu C, avec le sommet 7 par une droite, rayon du cercle vertical, le carré du double de ce-rayon pris avec le signe — est égal au carré de la partie de la trace interceptée dans la conique (A), et, par la même raison, égal au carré de la partie de cette même trace comprise dans la conique (A'), prise avec un signe contraire. Donc ces deux dernières parties sont égales entre elles; ce qui ne peut avoir lieu évidemment à moins que la trace dont il s'agit ne soit une corde commune à la fois aux deux courbes (A) et(A')« Premier point quil s'agissait de démontrer,

£n second lieu, il résulte aussi des lemmes déjà cités du II* Cahier (n" III et IV), que, en tant que le sommet 7 des cônes projetants doit appartenir à la conique (A) et à la corde A"0, I** il doit se trouver en un point quelconque de la circonférence du cercle dont le plan est perpendiculaire sur le milieu de la corde ArO, et dont le carré du diamètre est égal à celui de cette corde pris avec un signe contraire; a° aussi que, dans chacune de ses positions, le plan parallèle à celui qui passe par 7 et par la corde kB, coupe nécessairement et toujours le cône de projection dont 7 est le sommet, suivant une circonférence de cercle.

Pareille chose encore devant avoir lieu à l'égard de ce même I. ig

a9o V* CAHIER. — PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

point 7» en tant qu'il appartient comme sommet au c6ne de base (A'), il s'ensuit que, le cercle vertical relatif à la conique (A) et celui relatif à la conique (A') ayant même centre et même rayon, le sommet 7 doit, dans le cas où Ton considère les deux courbes de base à la fois, être situé en un point quelconque de ce cercle commun, et que le plan, parallèle à celui qu'on mènerait par cette position de 7 et par la corde commune /rO, devra nécessairement rencontrer l'une et l'autre des surfaces coniques de bases (A) et (A') suivant le système de deux cercles. Second point qu'il s'agissait également de démontrer.

On remarquera que deux sections coniques quelconques se coupant en général suivant quatre points, ces courbes peuvent avoir, dans le même cas, six cordes communes. Donc la quantit(^ angulaire qui déterminerait Tinclinaison de ces cordes par rapport aux axes coordonnés, doit avoir, en général aussi, six valeurs différentes; ce qui offre une analogie remarquable avec les indications de l'équation (7), art. IV du 11^ Cahier.

Interprétation géométrique de ces conditions et exemple d'application. — Puisque, d'après ce qui précède, le carré du diamètre du cercle vertical sur lequel le sommet 7 des cônes projetants doit être placé est égal à celui de la corde correspondante, pris avec un signe contraire ^ il s'ensuit qu'aûn que ce cercle soit possible, la direction de la corde commune aux sections coniques données ne doit rencontrer ni l'une ni l'autre de ces courbes; mais qu'il faut néanmoins que cette direction ne cesse pas d'exister, quoique la corde elle-même soit de l'espèce de celles que nous avons nommées imaginaireSy les distinguant ainsi des sécantes communes entièrement illusoires au point de vue géométrique.

Toutes ces notions, propositions ou défmitions s'accordent, comme on voit, avec celles des n®* IV et suivants du IV" Cahier, et l'on pourra s'en servir dans bien des circonstances, conjointement avec les précédentes, pour résoudre le problème de projection centrale dont il s'agit. En voici un exemple très-simple :

Nous avons vu aux n°* II et III ci-dessus, que, quand deux coniques (A) et (\')Jlg. 129, décrites dans un plan commun, se

DES DOUBLES œNIQUES SUR UK PLAN. 391

coupent en deux points, on peut déterminer graphiquement : la direction ML de la corde réelle Qk, commune aux courbes; le point O de concours de leurs tangentes extérieures communes, ainsi que la direction de la magistrale IF ou corde imaginaire conjuguée à ML. Tl ne s'agit donc plus que de trouver le

VÏQ. 129.

rayon et le cenire C, du cercle vertical qui renferme le sommet 7. Or, tout étant alors connu relativement à IF et cela d'une manière graphique, on connaîtra aussi les valeurs de T ou «> définies au n** IV du II*" Cahier, et Ton pourra, par suite, calculer les valeurs de K par la formule trouvée à la fin de ce numéro (*). Quant au centre C, il est facile à déterminer.

£n effet, menez à la courbe (A) une tangente parallèle à IF; par le point de contact et par le centre A de celte courbe, tracez une ligne droite; elle coupera la corde répondant à IF au point C demandé. Si l'on exécutait une semblable construction à regard de la conique (A'), on obtiendrait évidemment le même point milieu ou centre C.

Quand les coniques (A) et (A') ne se couperont nulle part, mais seront extérieures l'une à Tautre, on pourra résoudre encore le problème ci-dessus, puisqu'il sera possible de construire, à vue, les tangentes communes aux deux courbes, qui donneront le point de concours 0, et de là les cordes relatives à ML et IF. Dans ce cas, Tune ou Taulre de ces deux cordes résoudront le problème.

(*) On trouvera, dans la première partie du Vil* Cahier, une construction purement géométrique du rayon dont il s'agit.

Mj)i V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

La seule circonstance où ce même problème, quoiqu'il soit (le sa nature susceptible de solution, ne saurait être construit .graphiquement selon nos méthodes, est, comme on Ta déjà fait observer, celui où les courbes (A) et (A' ) seraient complètement renfermées Tune dans l'autre.

Démonstration analytique des mêmes conditions de projectibilité des courbes du second degré suivant des circonférences de cercles.

Toutes les propositions qui viennent d'être démontrées sur le système de deux courbes quelconques du second degré, en se servant, afin d'y parvenir, de celles déjà établies pour une seule conique et pour le cône correspondant, auraient pu l'être d'une manière laien plus directe et plus générale en n'employant que la seule analyse algébrique. Nous nous proposons d'exposer ici cette démonstration, non afin de donner à la première une plus grande certitude dont elle n'a pas besoin, mais pour indiquer la marche qu'on aurait pu suivre; cela nous fournira en même temps, l'occasion de démontrer une propriété nouvelle et assez intéressante dont jouissent en général les courbes du second degré. Cependant, au lieu de considérer en général, le système de deux courbes de ce degré, nous admettons, afin de simplifier le calcul, que l'une de ces courbes soit une circonférence de cercle.

Équations de condition fondamentales, — Supposons en continuant nos précédentes conventions (II* Cahier, n" IV), que

(il) «/*-h CX^ -h J = O,

représente toujours l'équation de la section conique, et

(12) «'^"^-H a'jF'-H d'y -h éx -h i = o

celle du cercle dont il s'agit; soient encore a, p et 7 les coordonnées du sommet commun aux deux cônes qui ont pour bases les courbes (11) et (12). Supposons enfin que ô et ^ représentent les angles qui déterminent la position du nouveau plan des x* f y comme dans la question de l'endroit cité, et qu'il s'agisse de déterminer les quantités angulaires <p et 0» de

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. agi

façon que ce plan coupe Tune et Tautre des deux surfaces coniques suivant un cercle.

Le plan des x^ y devant, en particulier, couper la surface conique quia pour base la courbe (ii) suivant un cercle, on doit avoir aussi les équations de condition (5) et (6) qui s'y rapportent. Quant aux deux équations relatives à la seconde des surfaces coniques, il faut> pour les obtenir, faire a = a\ A = o, c= a', rf = rf' et e = «' dans celles qui expriment les conditions relatives, en général, à la courbe du second degré

û^-f- bxy -f- cjc*-!- {// -h e^ -f- I := o ;

ce qui donne les deux nouvelles relations qu'il faudra joindre aux équations de condition (5) et (6] : d'une part,

sin2<p( «' P»-|- a'a'-l- rf' p M- e'a -h I ) -h a'7' cos'(p -hsîn9sin<ï»cos<p(2a'p-|-d')7— cos9sinçcos(p(2a'a-i-e')7 = a'7',

et, de l'autre,

— cosôsinf(2rt'p-|-- J')7 — sinôsin<p(2a'a-4-e')7 = o.

Supprimant les facteurs inutiles de ces deux équations, savoir sin'ç dans la première, 7 et sin^ dans la second», remplaçant ensuite cot^ par ^et langO paru, comme nous l'avons déjà fait à l'endroit précité, elles deviendront: la première,

' 7(2a'p-hrf')xsin0 — 7(2.a'a-he')xcosô = o;

la deuxième,

(i4) 2a'p-f-rf'-h(2a'a-+-e')w = o.

On a ainsi quatre équations de condition (5), (6), (i3), (i4) seulement, pour déterminer les cinq inconnues a, p, 7, x et«. Il semblerait, d'après cela, que les valeurs de chacune de ces inconnues pussent être arbitraires; mais cela n'est pas, comme nous allons le voir en cherchant à éliminer des quatre équations précédentes, les Inconnues p, 7 et x*

Élimination des inconnues principales de ces équations, — On peut d'abord éliminer l'indéterminée x entre les équa-

a94 V* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

lions (5) ei (6), cette opération a déjà été exécutée el a donné

pour équation finale (p. io3)

L c' «»«•-+- [c — a -\- ac{ fi' — a'-hv^j — c-'(a'-l-7^)]«* "^ 1 — [c— a-l-«t'(P"— a' — 7^)-f-ûV{J»-h7»)]w'— a»p'=o.

On peut ensuite éliminer la même quantité x entre l'équation (6) et réquation (12); ce qui donnera, en supprimantle facteur commun 7,

a'{ p'H- a» — 7^ ) -H rf'p H- é;'a -I- I « p -+- caw

Chassant les dénominateurs de cette équation, et ayant égard à Téquation (i4), elle deviendra

( a'{a — c)»7»=i(2a'a-He')(i-K»)(ap-{-caw) I— (c — tf)[«'(p»-h7')-hrf'p-f-^'a-|-i]«.

On a, d'après cela, les trois équations (i4)> (7) et (i5)qui ne renferment plus x 6t remplacent les quatre premières trouvées d'abord.

Maintenant on peut facilement éliminer l'inconnue 7 entre ces noffvelles équations, puisque l'équation (i4) en est indépendante : on mettra dans l'équation (7) pour (a — c)y* sa valeur tirée de l'équation (i5); ce qui donnera, réductions faites et sans ordonner,

11 ne reste plus désormais pour déterminer, sur le plan des deux coniques proposées, la direction commune aux plans de sections circulaires ou à leurs traces parallèles, qu'à éliminer P entre la précédente équation et l'équation (i4) ou

on oblîendra ainsi une équation finale qui, généralemenl eu w el a, servira à déterminer cette direction.

Substituant donc, dans l'équation écrite ci-dessus, pour p sa valeur, il viendra, après avoir ordonné et simplifié autant (|u*il est possible,

L ' ' 2rt' 4« J 4«

L'inconnue a ayant disparu d*elle-mônie de celle équation, il s'ensuit que la valeur de » est entièrement déterminée ; donc aussi il n'y a généralement que six positions de la trace du plan des x'y-^ qui puissent résoudre la question.

Recherche du lieu géométrique des centres auxiliaires de projection^ en nombre injîni, — Supposons, qu'on ait tiré Tune quelconque des valeurs de<ù de l'équation (16), et qu'on l'ait substituée dans les équations (i4) et (7) exprimant la relation qui doit exister entre w et les coordonnées inconnues a, p du centre ou sommet de cône projetant, on aura évidemment (w étant considérée comme constante), les équations d^ deux surfaces sur lesquelles ce sommet doit être situé.

En les ordonnant après y avoir remplacé les indéterminées a, p et 7 dont il s'agit, par les variables ou coordonnées gênél'aies x',x ^l ^9 elles deviendront respectivement,

{in)l

I — 6'( I -h w' ) ( ^/ H- C w' ) w^ j;' -f- (c — ^/) ( I -h w^ ) w' = o , r.ft\ ' d' + e'oi

Ka première de ces équations fait voir que ie sommet 7 appartient à une surface du deuxième degré, et la seconde qu'iV est en même temps, situé dans un plan vertical dont la trace, sur le plan des xy, est perpendiculaire à celle du plan des x' y qui contient les coniques à projeter.

Résultats et conséquences, — On voit déjà les conséquences

-àcfi V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

générales que nous avons découvertes pour ainsi dire géométriquement, se reproduire ici avec les mêmes circonstances ; car réquation ( 17 ) de la surface du deuxième degré trouvée en dernier lieu, est la même que celle numérotée (9), tandis que réquation (18) représente un plan parallèle à celui qui correspond à réquation (8).

Delà aussi on peut conclure en général, d'après ce qui a été prouvé alors et qu'il est fort inutile de démontrer à nouveau ici, que le sommet du cône doit se trouver sur une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la trace horizontale du plan des x'y' sur celui de xy.

Recherche du plan parallèle aux sections circulaires communes, passant par le sommet des cônes projetants. — Le plan des x'y ayant en général pour équation

z = laiig^sinO + tang<p cosO,

celle du plan qui lui serait mené parallèlement par le sommet'/ des deux cônes de projections*circulaires, sera

2 — y = — tang<psinO(r — P) -{- tangwcosô (^ — a),

et par conséquent, l'équation de la trace de ce plan sur celui des xy ou des coniques données, sera elle-même.

tangf cosô

Mettant dans cette équation, pour = y, sa valeur tirée

^ '^ tangf

de l'équation de condition (6), qui donne

aBcosô 4- casino

^ y(c — ajsindcosG et remplaçant comme ci-dessus, tang ô par », elle deviendra

. a^-^ctùoi

•^ ^ (c— ajsinOcosô "^

a.[(c — a) sin e cos 0 — c»] -- p [(c — a) sin Ocose.<» -f- a]

(c- — a)sinôcosd

Or lious avons déjà trouvé que

(c — a) sin ô cos 0 — c 0» == — «> (a H- c»' ) cos*» et que

{c — a) sin 0 cos ô. «-+-« = (a -f-c»') cos*0.

DonCy en substituant, on aura pour Téquation de la trace en

question

(flH-e»')(P4-^«).

^-^r (^zi^y;^ '

mettant encore dans cette équation pour p sa valeur

tirée de l'équation (i4)> elle deviendra finalement

(a-hc«»)(rf'-he'«)

(19) ar = »/-t-

Telle est Téquation de la trace sur le plan des xy du plan mené, par le sommet des cônes projetants, parallèlement à celui des ar'^.

Comparaison du résultat précédent avec ceux obtenus au n^IF du Cahier^ IL-- Si, pour comparer cette équation à celle a: = ft>j+A*, qui concerne la question relative à une seule conique, nous posons

, (a-f-c«»)(rf'-h^'w)

• 2flr«(c — a)

on en tirera

rf'-f-e'« (c--fl)A*

la tù a-+-c«*

et par conséquent, l'équation (18) du plan qui renferme le sommet 7 prend la forme particulière

oc —— — ■ •* V— - •

» "^ a H- c»' Cette équation, ainsi que x = <k>^+ A*, étant absolument de la

mêm^ forme que les équations (8) et ^ = wj^-f-^ de Tendroil précité, on en tirerait exactement les mêmes conséquences. Mais, au lieu de suivre cette marche, faisons voir directement que l'équation (19) représente l'une quelconque des six cordes communes au cercle et à la courbe à projeter, et que si l'on met pour «Aies six valeurs fournies par réquation (16), elle se changera dans l'équation même de chacune de ces cordes.

REGHERCHBB ANALYTIQUES RELATIVES A LA DIRECTION DES CORDES COMMUNES AU SYSTÈME DE DEUX SECTIONS CONIQUES QUELCONQUES DONNÉES SUR UN PLAN.

Équations préliminaires. — Soient a:' et y les coordonnés de l'un des quatre points communs aux deux courbes à projeter suivant des cercles; x" et y^^ celles d'un autre quelconque de ces points; ces coordonnées devant satisfaire séparément aux équations de ces courbes, on aura

(a) af'^cx'^-i- 1 = 0, (b) fl'/'4-«'x"-l-<r'-l-<?V-4-i =0, (c) fl/^+cx^^-i^o, (d) ay^-ha'x'^-hdy-he'j^-^i=o.

Appelons «, la tangente de l'angle que forme, avec l'axe des y\ la corde qui joint entre eux les points x' et x'\ on aura évidemment

ou a;"— jr'=a).(7"-/).

Il s'agit maintenant, afin d'obtenir la valeur de a>i, d'éliminer x\ y, x" ety entre les cinq équations précédentes. Pour cela, retranchant d'abord l'équation (6) de (d), il viendra

mettant ensuite pour x" — x' sa valeur w, [y — y) et divisant par y^' — y y il viendra en second lieu.

équation qu'on peut mettre sous celte autre forme

«/(-yv/ — y)j-a'»,(:c"— a:')-i-2a\r'-{-2a'«,a:'-Hrf'-l-^« = o;

substituant de nouveau dans celte dernière équation, pour a:" — xf sa valeur ci-dessus, on en tirera

Trailant de même les équations (a) et (c), on en déduirait cette autre valeur

yf' ^•' z=, 9

qui, égalée à la première, donnera Téquation suivante

EfTectuant les calculs, il viendra Onalement

fao) ?,a' (c — a) ( w.^'— «?/ ) — (r/'-f- e'w.) (a4- ^0)?) = 0;

de là on tire

afl^ (g — a) 0), j;''— (<f'-h g'^.) (g-h Cft>?)

valeur qui, substituée d'abord dans l'équation (a), donnera

puis, substituée également dans l'équation (6) les quantités a?' et «1 restant seules indéterminées.

3oa V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Équation qui donne l'inclinaison des cordes communes sur les axes coordonnés. — Il ne s'agit plus maintenant que d'éliminer a/ entre ces dernières équations, afin d'obtenir l'équation finale en &>,.

Pour cela faire, je multiplie la première par a'(H-MÎ) et la seconde par a: -|- cwj, puis retranchant la deuxième de la première, le terme en x'^ disparaîtra du résultat aussi bien que celui en x'. On arrive ainsi sans autres calculs, à l'équation qu'il s'agissait d'obtenir :

En simplifiant, elle devient

(rf'>'2^j)(a+c»;)>— 4a'(û— a')(c— û)«î— 4«'(c— a'){<?— «)*>î=o-

.Développant et ordonnant par rapport à w,, on obtient définiti- ,vement l'équation

c>e'2„j[(a'— c) (c— a) ^a'-hc'd''— iace'']fa\ — [ ^af{a' — a) (c— a) 4- ^acd''— a^e'^] «î — a'rf" = o,

pour calculer la valeur de cette tangente trigonométrique qui sert à déterminer l'inclinaison, sur l'axe des j, de la corde qui joint entre eux les points x' et x'' communs aux deux courbes.

Identité de cette équation avec celle numérotée (7) : équation des cordes communes. — Si l'on compare cette équation avec l'équation (7) de l'art. IV du Cahier II, qui donne la valeur de l'inconnue », on voit qu'elle lui devient identique quand on en divise tous les termes par le facteur /^a'; donc ces équations donnent les mêmes valeurs pour «, et pour «> ; on a donc w,=w, et l'équation d'une corde réelle ou imaginaire, à la fois commune aux deux courbeâ dont il s'agit, est bien de la forme j; = »j-|- L.

Mais, puisque cette corde est supposée passer par le point x^y, on doit avoir aussi la relation j;'=w,y-|-L. En la combinant donc avec l'équation de condition {20), trouvée dans le

DES DOUBLES œNIQUES SUR UN PLAN. 3oi

cours du calcul, y disparaîtra, et Ton aura pour déterminer l'expression algébrique de L, la relation

2a'(c — ajwiL — (rf'-|-e'w,)(a-i-c«J) = o,

qui donne très-simplement

où remplaçant w. par la quantité u qui lui est égale, on aura

(rf'-h(?'«)(a-l-cw»)

la' {c — a)w

On voit par celle valeur que Tindéterminée L est égale à l'expression même de A* trouvée ci-dessus. Donc l'équation de l'une quelconque des six cordes communes à nos deux courbes est précisément

Donc enfin, 51 fi^if sommet 7, commun aux deux cônes de pro* jection qui ont pour bcues respectives les courbes représentées paries équations (11) et (12) des endroits cités, on mène un pian parallèle à celui des x' y contenant les sections circulaires communes aux deux cônes, la trace de ce plan sur celui des courbes de base sera nécessairement une corde appartenant à la fois à ces courbes ( * )•

Ainsi l'analyse algébrique nous a conduits, quoique par

(*) Le principe de projection centrale qui vient d'être doublement démontré, est le cinquième et dernier de ceux que contiennent les cahiers manuscrits de Saratoff. J'en avais, dès 1 8 1 4, pressenti la portée comme germe fécond d'une vaste théorie relative à la transformation et à la démonstration des propriétés des figures dans l'espace ou dans un plan; théorie qui a été, de ma part, l'objet d'un Mémoire spécial sur les Propriétés projectives, présenté en mai i8ao à l'Institut de France, et qu'on trouvera reproduit textuellement dans le t. II de ces Applications d* Analyse et de Géométrie, Je crois pouvoir le déclarer ici sans crainte d'être taxé d'orgueil on de présomption, la démonstration que j'avais trouvée, en i8i3, de ce même principe, après les essais infructueux mentionnés dans une précédente Note, a été pour moi un adoucissement véritable, sinon une

3oa V« CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

un chemin fort différent, aux mêmes conséquences auxquelles nous étions parvenus dans l'article précédent. On voit aussi combien il est souvent utile d'éviter les longueurs de calcul, du moins si Ton en juge d'après ceux qui ont été développés en dernier lieu, et que nous avions évités d'abord. C'eût été bien pis encore, si nous eussions traité la question dans toute la généralité qu'elle comporte.

Quoi qu'il en soit, voici une conséquence assez remarquable de ces mêmes calculs, qui se déduit sur-le-champ, des résultats analytiques précédemment obtenus.

Corollaire spécial relatif à l'intersection mutuelle d'une section conique et d'un cercle tracés sur un plan.

Puisque l'équation (i6) donne pour racines les valeurs de la tangente numérique o>> des angles d'inclinaison, formés par les cordes communes au cercle et à la section conique donnée, avec l'axe y des coordonnées dont la direction est la même que celle des axes principaux de celte derniènî courbe; comme, d'autre part, cette équation ne renferme» qu'à des puissances paires, il s'ensuit évidemment que si une certaine de ces cordes fait un angle ô avec l'axe des ^, il en existe une autre qui lui est conjuguée et qui, faisant un angle de ?.oo° — 0, est nécessairement située d'une manière symétrique à l'égard de ce même axe et de la première corde. D'après cela(C) et (A),^g^. i3o, étant, par exemple, un cercle et une courbe quelconques du second degré, s'entrecoupant aux

l'ompensation entière, aux peines physiques et nnoraies de la captivité. Car je croyais, par là, avoir ouvert une nouvelle carrière de progrès à la géométrie pure ou rationnelle, jusque-là restreinte aux simples questions du second degré.

On me permettra encore de rappeler que ces principes de projection centrale constituent autant de théorèmes généraux sur les systèmes de cônes de même sommet, à sections circulaires communes ; que ces théorèmes ont été, depuis 1827, rocrasion de recherches géométriques intéressantes sur les cônes IwmocycUques ; qu'enfin ces mêmes principes révèlent, sans discussion , sur les systèmes de lignes du second degré, une infinité de conséquences générales ou pnrticulières, aujourd'hui bien connues des géomètres, quoique sous des noms et dos us{>€cts divers.

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. 3o3

quatre points disUncts a, b, c^ d^ il est clair que les deux cordes ac et bd noumment, qui se rencontrent au point 0, intérieurement et ailleurs que sur les courbes, sont, Tune à l'égard de l'autre, dans les conditions dont il s'agit. Par conséquent, si

Fig. i3o.

Ton divise l'angle aOb qu'elles forment en deux parties égales par la droite 0/?, cette droite sera parallèle à l'un des axes principaux de la conique (A), et de même, si l'on divise le supplément 60c de cet angle, en deux parties égales, par la ligne droite indéfmie 0/?', cette droite sera parallèle à l'autre de ces deux axes rectangulaires.

On voit, par là, qu'une courbe du second degré (A) étant tracée, il est très-facile de déterminer graphiquement et d'une inHnité de manières différentes, des directions ou droites parallèles à sfes axes principaux.

Si d'ailleurs, au lieu des cordes ac et bd, on eût considéra les

•couples de cordes conjuguées ab et cd ou ad et bc prolongées

jusqu*à leurs points de concours respectifs 0' et 0", on eût

précisément obtenu le même résultat quanta la direction iu-

défmie des deux axes principaux, etc.

Remarques à ce sujet. — La propriété précédente est l'extension de celle qu'on démontre dans les éléments de géométrie analytique. Soit C {Jig. i3i), le centre d'une courbe du second degré, AB un diamètre quelconque de cette courbe; si l'on décrit sur sa longueur comme diamètre, une circonférence de cercle qui la coupe aux points X et Y, les cordes AX et BX seront respectivement parallèles aux deux axes rectangulaires de la courbe. Il est visible, en effet, que ces axes

3o4 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

divisent en parties égales les angles formés par les diagonales AB et XY du recungle AXBY, etc.

On peut se demander ce qui arrive dans le cas général où Ton considère deux sections coniques quelconques s'entrecou-

Fig.

vU /*

^Ly

pant aux quatre points réels. En suivant la marche analytique précédente, on obtiendrait, en u, une équation générale, toujours possible, du sixième degré; ainsi on n*en saurait conclure que le théorème ci-dessus subsiste d'une manière identique. Cependant le système de deux sections coniques jouît d'une propriété analogue, non à l'égard des axes rectangulaires de ces courbes, mais relativement à un système particulier de diamètres conjugués [voir une Note à la fin du volume).

Recherche analytique relative aux inclinaisons mutuelles des cordes communes et des diamètres conjugués, parallèles de deux coniques quelconques.

Équations et données préliminaires. — Soient deux courbe^ quelconques du second degré; il n'est pas difficile de démontrer qu'il existe dans l'une et dans l'autre, un système de diamètres conjugués dont les directions sont respectivement parallèles. Ce système est même susceptible d'être construit d'une manière entièrement géométrique (*).

Nommons (C) et (C) les deux sections coniques dont il s'agit (**); CA et CE le système des demi-diamètres conjugués de'

(*) C'est-à-diro par le cercle et la ligne droite seuls. (**) Pour simplifier, on a supprimé à l'impression, deux figures trèssimples et très-faciles à suppléer.

DES DOUBLES CONIQUES SUR UN PLAN. 3jS

la courbe (C), censés parallèles et avoir pour direction celle des demi-diamètres conjugués C'A' et CE' de la courbe (C). Supposons que Ton rapporte Tune et l'autre de ces coniques, aux directions CA et CE comme axes obliques des y et des x, leurs équations seront respectivement de celte forme

fl^-'H- cx^ 4-1 = 0, a' y^-^- d x^ -I- d! y -+■ ^ x -h i = o.

Nommons » le rapport des sinus des angles que forme Tune des cordes communes aux deux courbes (C) et (C), avec les axes de coordonnées respectifs C/ et Cj:; appelons en outre, X* et j' les coordonnées de Tundes points d'intersection de ces courbes, par lequel passe la corde en question, et a:", y celles de l'autre point par lequel passe cette même corde, on aura la relation bien connue

et de plus, les équations de condition

a/' -h ex" -h I = o, a' /» H- c' x"^ -|- rf' / -h /?' a;' H- i = o, û/'»+ cx"'-f- 1 = o, a'/'^-h c' j:">-+- rf'/' 4- e' x' -h \ =0.

Ces cinq équations en donneront une dernière, mais seule de son espèce, pour déterminer w, si Ton élimine x\ j'y x'\ etc. entre elles.

Équation finale donnant le système des inclinaisons cherckées. — En s'y prenant, pour effectuer cette élimination, comme nous l'avons fait dans les recherches analytiques précédentes à l'égard des équations (a), (6), etc., qui sont absolument de la même forme, on arrivera sans difDculté à l'équation finale du sixième degré

(a4-cw»)'(rf'*— éî"w»)— 4(a — a'){a'c — «6'')«^

mais réductible encore à une du troisième.

La quantité angulaire » n'entrant qu'à la seconde puissance dans cette équation, on en conclut que, si l'on considère deux cordes communes atix courbes en question, accouplées ou I. 90

3o6 V CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

qui soient conjuguées entre elles, le rapport des sinus des angles que Tune de ces cordes forme avec les axes obliques des X et des y^ sera égal au rapport semblable qui correspond à Tautre de ces mêmes cordes.

Solution graphique. — Nous avons déjà fait observer précédemment que des cordes indépendantes, communes au système de deux coniques sur un plan {Jig. i32), comme ma et /n, Ip et op, par exemple, sont conjuguées entre elles. Quand les courbes (C) et (C) sont décrites et s'entrecoupent en quatre points distincts, ces cordes peuvent être tracées effectivement, et il y a lieu de rechercher géométriquement la direction commune aux axes conjugués parallèles dans ces courbes.

Par un point fixe quelconque i (Jig. i33), qu'on mène des parallèles aux quatre cordés en question, à savoir : 1 1 à p/,

Pig i3a.

12 à /»/, I 3 à mo, i4 à po. Soit ix la parallèle à l'axe des x cherchée, et (1.4) une parallèle quelconque à Taxe oblique des j, coupant les précédentes en i, 2, 3, 4 respectivement, il est aisé de voir que la distance marquée (1.2) doit être égale à celle de (3.4). La question revient donc à mener par un point arbitraire (4), une droite telle que (3.4) = (i-^)»

Soient ici i l'origine des coordonnées, 1*4 Taxe des x\ posons (i4)= x'j et admettons de plus, que/ = ar soit l'équation d® (i3), ^=60: celle de («2), j=car de (11) et j = a [x — x') celle de la doite cherchée (4*i)* En mettant pour (i. i ), (1.2), (ï.3) et (1.4)» leurs valeurs en a dans l'équation évidente

sin m • (i. I ) . (1.2) = sin n . (i.3) (i.4)»

qui exprime que le triangle /.1.2 = ï.3.4, on aura, toutes ré-

ductions et simplifications faites, l'équation remarquable

(a -h fc — c) a' — 2 a6 a H- abc = o,

qui donnera pour a la double valeur

ab± ^ab{a — c){b — c)

a-hb —

l'angle d'inclinaison a étant ainsi connu, celui de [ix*) le sera aussi, et l'on peut voir que la double valeur de a correspondra à l'une et à l'autre des directions cherchées de (1.4)» ^^c (*).

(*) Dans mes papiers rapportés de Russie en septembre i8i4i je n'ai rien trouvé qui complète la solution géométrique de cette question relative à la détermination des diamètres conjugués parallèles du système de deux coniques sur un plan , quoique je m'en sois occupé dès lors très-certai- « nemenl. Mais, peu de temps après mon retour en France, j'en ai fait l'objet d'une Note de géométrie analytique, que je renvoie k la fin de ce volume, à cause de son étendue et de 8a connexion intime avec les matières traitées dans le cours de ce V* Cahier.

Pour comprendre l'intérêt que, dès i8i3 ou 1814, j'attachais à de semblables questions, il suffit de considérer le cas particulier où les coniques proposées ont un centre commun où viennent nécessairement se couper deux cordes communes diamétrales; centre qui est pour chaque conique, le pôle de la droite à l'infini de leur plan, renfermant les points de concours respectifs des deux autres couples de cordes communes parallèles» et des diamètres conjugués alors coïncidents chacun à chacun. Or les points de concours triples dont il s'agit sont, à leur tour, les pôles respectifs de ces mêmes diamètres confondus en direction avec les diagonales du parallélogramme circonscrit à la fois aux deux courbes, etc. ; par quoi on reconnaît les propositions générales des n** II et suivants du présent Cahier, pour le cas particulier où la droite des points de concours K, K', 0'^, 0^, ^'^f ^ (fig- 12^)1 passe entièrement à l'infini sur le plan des deux coniques considérées dans une situation quelconque.