SIXIÈME CAHIER

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES DES SYSTÈMES DE CO NIQUES, DE CERCLES, ANGLES ET FIGURES POLY GONALES, SITUÉS SUR UN MÊME PLAN.

DBS POLYGONES VARIABLES OU MOBILES, A LA FOIS INSCRITS ET CIRCONSCRITS A DES POLYGONES FIXES OU DONNÉS.

Recherche analytique concernant le lieu du sommet libre ou indépendant de toute directrice rectiligne.

Soil 3t:cV,...,j:,^,a (fig. i34) un polygone dont les sommels a',ar",elc., à rexception de a, sont situés respectivement sur autant de droites données mn,np,.,.,qr, rs, constituant ellesmêmes un certain polygone circonscrit.

Fig. 134.

Soil pris sur chacun des côtés respectifs du premier de ces polygones rectilignes un pôle ou point fixe, qui pourra être considéré, si Ton veut, comme sommet d'un troisième polygone, tel par exemple, que le point a sur le côté ax', le point a' sur le côté x':r", a" sur j:"a:'", . . ., a, sur x^Xt, a, sur aa:,; je dis que, si le polygone ax'x". . . x^Xia vient à être déformé de manière que chaque côté tourne autour de son pôle respectif, et que chaque sommet parcoure la droite ou directrice corres* pondante mn, np^. . ., rs sur laquelle il est situé, à l'exception

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3oj

du sommet a qui restera libre; « ce dernier sommet parcourra )) dans son mouvement une section conique, quel que soit le » nombre des côtés du polygone mobile en question, et quelle » que soit la position des p^es fixes donnés a, a% etc., et » des directrices également fixes mn, np, etc. »

En effet, si nous conservons aux différents points du système les dénominations indiquées par la figure, et que, par analogie, nous appelions a et 6 les coordonnées du pôle a, x' et y celles du sommet x', et ainsi des autres, l'équation du côté ax' qui passe par le pôle a, considéré en particulier, sera en général, de la forme

et devra être satisfaite par les coordonnées x' et y du point x' commun à ce côté et à la directrice mn; on aura donc réquation de condition

y—bz= ^Luî^sc' — a).

Cette équation doit avoir lieu en même temps .que celle de la droite donnée m/t, qu'on peut supposer de la forme

où m ex n sont des constantes. Par conséquent, elle servira conjointement avec cette dernière, à déterminer les valeurs de x* et de y en fonction des coordonnées variables a et p du sommet libre.

Pareillement, le côté x'x" donnera lieu aux deux équations

y—b'=^\~^[{x''''a') et y-m'x'''^n';

la première exprime que le côté x'x" passe par le point af, et la seconde que le point x*' est situé sur la directrice suivante np, dont les constantes m' et /»' fixent la position relative.

Ces deux équations serviront, conjointement encore, à donner la valeur des coordonnées x'* et y en fonction de x' et/', et, par suite, en fonction de a et de p.

En continuant ainsi jusqu'au dernier côté x^a, on aura la

3io VI* CAHIEB. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

double série des équations de condition :

•"— i'=^^ ^^{x''—a') /' = m'ji:"-h«',

(3) y"^b''=f^, — ll[x''—a'^) y^=m"x^-^-n%

(n) ri — *a=-^ — ~ {Xi — Ui) ri= m.a:, 4-/1..

•^ at — Xi *^

y\-^bi= !:(x,— a,).

rti — a

Soit N le nombre des sommets a, a/ 9 etc., du polygone variable, il est clair que les équations précédentes seront au nombre de 2N-1-1. Or le nombre des inconnues a et p, a/ ei ^', etc., est double de celui des sommets, ou égal à 2n; donc il y a une équation de plus que d'inconnues; et par conséquent, si l'on élimine entre toutes ces équations, les indéterminées X* et x'y oc" et j", etc., à Texceplion des deux inconnues a et p, on aura entre celles-ci une équation finale qui sera celle de la courbe parcourue par le sommet libre a, dans toutes ses positions.

Pour faire cette élimination avec ordre, on pourra tirer les valeurs de x^ et/' des deux équations ( 1 ) ; ces valeurs seront évidemment du premier degré en a et p; on tirera de même les valeurs de x^^ et j" des équations (2), et ces valeurs seront encore du premier degré en x' et/' : en continuant ainsi jusqu'aux deux équations (n), on aura la double suite de valeurs

,Aa4-Bp-hC ^ Ga4-Hp-f-K

^"~D«4-Ep4-F' ^ --Da4-Ep4-F'

„ A':c'-hBy-f-C' j, G'j:'4-H'/-hK' ^ — D'jr'-|-E'/-|-F'' ^ ~"D'j7'-hE'/-f-F''

^'■" D,a?,-+- E,/, -+- F/ ^'' " D,^,-hE,7,-h F," Maintenant, si Ton substitue les valeurs de â?' et/' dans

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3ii

celles de x'* elj", on obtiendra évidemment deux expressions de même dénominateur et du premier degré en a el p. En les substituant à leur tour dans les valeurs de x** et y, on en déduira deux nouvelles expressions de la même forme, et en continuant ainsi de proche en proche^ on obtiendra ûnalement pour X, et ji des expressions de la forme générale

-"^"'"^ R«-+*Sp-+-ï' -^"'"Ra-f-Sp-HT'

où M, N, P, R, S, T, X, Y, Z, etc., sont des constantes fonctions de a, by /n, n, a', h' y etc.

Donc, si Ton substitue ces valeurs dans la dernière des équations ci-dessus

on obtiendra entre a et p, une équation fînale évidemment du deuxième degré en a et p.

Donc enfin le lieu du sommet libre a ou indépendant, du polygone ax'x^ y. . .,x,a, est lui-même de ce degré; c'est Tune des trois sections coniques, comme on Ta d'abord avancé.

Cette proposition est due, je crois, à M. Brianchon, qui Ta démontrée par des considérations de pure géométrie j* ).

Sur le degré de V enveloppe du côté libre d'un polygone mobile dans les conditions déjà indiquées ci-dessus.

Soit ax'x^f. • . yXiXxOL [fig. i35), un polygone dont les sommets sont astreints à demeurer respectivement sur les droites données, pq^ pn, nm^, . .,r5, rq\ a, a',. . .,^3, ai, des points Hxes ou pôles pris sur la direction des côtés respectifs du même polygone, le côté x^x^ excepté, je dis que, « si Ton » déforme ce polygone en assujettissant tous ses sommets à » parcourir les droites ou directrices respectives m/i, /?/»,. ..,rj, » et chacun de ses côtés, sauf le dernier j?"x„à tourner dans

[*) 11 y a là encore une erreur ou confusion de souvenire qu'il importe de ne pas laisser subsister. Le théorème en qut^stion est dû à Tillustre Maclaurin, comme M. Brianchon, lui-même, Ta remarqué dans le Mémoire souvent cité du IX* cahier du Journal de r École Polytechnique (1810).

3i2 VI' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» toutes ses positions, autour de son pôle qui peut aussi être » considéré comme sommet d'un deuxième polygone donné.

j> il arrivera que le côté libre x"x-, roulera en l'enveloppant » dans ses diverses positions, sur une conique ou courbe du » deuxième degré. »

En effet, si Ton désigne les coordonnées des différents points du système, d'après les notations correspondantes à celles de la figure, l'équation de la directrice pq notamment, pouvant être supposée de la îorme y =- mx -^^ n, devra être satisfaite en y substituant les coordonnées a et p du point a; ce qui donne pour première condition

Au moyeYi de cette équation on pourra déterminer p quand a sera connu, et par suite aussi, on pourra trouver l'équation de la droite x^x^ côté libre ou générateur par enveloppement, en fonction de la seule variable a.

Les équations des côtés successifs ax\ x'x*\ . . ., x^Xi, et celles des directrices correspondantes étant de la forme

>^'- y= ^^-^, (:p"— fl')» y^= /w^^H- n^

i j, — fr,= -J C(j7,a,), j, = w, :r, -h «•

1 ttx — a

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3i3

on déterminera y de proche en proche, par ce double système d'équations, les valeurs des coordonnées des sommets successifs a:', x\ x'"y ...yXifXi, etc., en fonction de « et p.

D'après Tarticle précédent, ces valeurs seront toutes du premier degré en a et p, et, pour chaque sommet, l'abscisse et l'ordonnée auront même dénominateur. Les valeurs des coordonnées des deux derniers points x^ et Xt, ou plus généralement des points ^ et x^, seront donc de la forme

^ Aa + Bp-f-C Ga + Hp+K

^ ""Da-f-Ep-hF' "^^Da-hEp-hF'

A/oj-B^pj-C; G^a-4-H^p-f-K-

Si l'on y substitue pour p, sa valeur ci-dessus m a H- /», ces expressions resteront toujours du premier degré, et seront par conséquent de cette autre forme plus simple,

La + M Ra-hS

""^-Pa-hQ' ^-Pa + Q'

L^aJ-lVr R^a-f-y

En les substituant, à leur tour, dans l'équation du côté libre ou générateur de l'enveloppe

X^ Xn

OU, ce qui revient au même,

elle prendra évidemment cette autreforme générale

(3) a»(A7-+.B:cH-C)-+-2a(A>-f-B'* + C')-f-A^7-hB^a:-|-C"=o.

nt au même.

Dans cette équation de la génératrice d'enveloppe, dont il s'agit, les coefficients A, B, etc., sont des fonctions des constantes a, b, etc., différentes de celles que nous avons désignées par les mêmes lettres dans les expressions cidessus

3i4 Vl* CAHIER. -^ PRœ'RIÉTËS DESCRIPTIVES

On voit d'après cela, que la génératrice par contact varie en même temps que a, comme on devait s'y attendre. Si donc on difTérentie le résultat obtenu (3) par rapport à l'inconnue a, on en tirera une nouvelle équation appartenant au point où cette génératrice rencontre celle qui lui est inOnimenl voisine; ce point correspondra par conséquent à l'un de ceux de la courbe cherchée, enveloppe de l'espace parcouru par le côté libre du polygone mobile. En effectuant cette différentiationon trouve

Quand a sera connu, cette équation donnera, conjointement avec l'équation (3), les coordonnées ^ et j du point correspondant au contact de la génératrice et de l'enveloppe. Si donc on élimine a entre elles, on obtiendra pour représenter cette même courbe l'équation suivante

(A' j-h B'x-hC')»— 2 (A'j-i- B' jr -f- G')'

^-(AJ+B;r4-C)(A"J-hB'';c-f-C'') = o.

ou, en réduisant et changeant les signes,

Cette équation étant du second degré en x et j^ il s'ensuit que l'enveloppe de l'espace parcouru par la génératrice af a:,, ou plus généralement oi^ Xj^^ est une section conique, ainsi que nous l'avons avancé.

SUR l'enveloppe des cordes SOUSTENDANTBS DBS ANGLES INSCRITS À UN CERCLE ET CIRCONSCRITS A d'aUTRES SUR UN PLAN.

Ca$ d'un seul angle et d'un seul cercle inscrit.

Exposé préliminaire , données fondamentales, — G, C ifig' ï36) sont les centres de deux cercles quelconques; d'un point a de la circonférence (G'), on mène à la circonférence (C) deux tangentes ax'\ ax^ dont l'une coupe la première (C) au point x^' et l'autre au point x,, on mène enfin par ces deux

DES SYSTÈfiŒS D£ CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3i5 points, la corde x^ x^; Je dis que, a si l'on vient à faire par- » courir la circonférence (C), au sommet de l'angle a du » triangle inscrit ax" Xt, en assujettisant les côtés ax^ et D axt de cet angle à rester constamment tangents au cercle

Fig. i36.

» (C), le troisième côté ar*' a:, roulera dans toutes ses positions, » sur une autre circonférence de cercle (C), qui jouira de w la propriété d'avoir une même corde commune, réelle ou i) imaginaire, avec les deux premiers cercles (C) et(C'). »

Nommonsrie rayon du cercle (C),R celui du cercle (C); supposons de plus, l'origine des coordonnées a: et j au centre C, du premier cercle, et que l'axe des x ait la direction de la droite des centres C et C; alors les équations des cercles (C)et (Caseront, a représentant l'intervalle CC de ces centres.

ic)

J:>^-^ = r», {c') y^'h{x — ay='R\

Le point a appartenant à ce dernier cercle , on aura en outre l'équation de condition

Pareillement, les équations des tangentes ax* et axt menées du point a au cercle (C) seront respectivement (Cah. III, p- 147)

roL — p y^a'-h p» — r'

{r-P)=-nr-?h

3i6 VP CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

k et / représentant des tangentes trigonométriques, fonctions connues des variables a et p.

Il s'agit de combiner ces deux équations avec celle du cercle (C) pour obtenir les valeurs des coordonnées x" ety^, x^ et ja, des extrémités du côté libre qui, dans le triangle mobile oLXiX^ de \9Ljig. i36, représente le côté générateur de l'enveloppe cherchée.

Pour y parvenir, on commencera par retrancher l'équation de condition (a) de l'équation ((?'), ce qui donnera une nouvelle relation de forme très-simple,

Combinant cette dernière avec l'équation (i) de la tangente ax', on obtiendra, en opérant comme nous l'avons déjà fait à l'endroit cité, les valeurs des coordonnées x" et y ; d'où l'on tirera par un simple changement de lettres, celles du point x^; on trouve ainsi les quatre valeurs suivantes

y — ?-^ r+nf5 ■" I4-A"

iak

.>'»= P^- TifT/i = ;:^. '

__ /(2a/ — 2a/ — 2p) a — a/*-f-2fl/M-2p/

Recherche de Véquation de la corde génératrice. — Pour obtenir au moyen de ces valeurs, l'équation de la corde x^x^ tangente à l'enveloppe cherchée, on remarquera qu'elle est en général, de la forme

y — f = yl^l [X — X%

OU bien, ce qui revient au même,

(3) r = ylçZll:^^^"r^-f''^.

( Voy. la suite des oi}ératinns <m tableau ci-après, )

^s le tableau ci-i

a/— apA^»/'— a

4flP^/H-apX^'

«2/7 oc

/. — «?^V'H|f-4apx/- 4,ypx/

-s suivantes, d'un I — / /) j

lations (i) et (2)»JX- et de /, dis-je, donnant

5'-f-a' — «a) — rt

P(^'-Rn

— ûap^-4-RV