a(«'+ f^'- ag«) - (R'- g^) (P'+g

(R^^fl») on, on lui donneil

Page 3 16.

DES SYSTÈMES DE œNlQUES, ETC., SUR UN PLAN. 317 Équations du point générateur de l'enveloppe. — Substituant dans l'équation (3) de la corde x^x^ les diverses valeurs trouvées ci-dessus, on aura en ordonnant

— j(R» — a^) p = [a(R>— a») -H a(R»+ a')]x -|-(R»— a«)»— a R»r»-h a(R*— a') a, ou bien, ce qui est la même chose,

Telle est finalement l'équation de la corde génératrice x'^Xi. En la différentiant par rapport à a, et y mettant pour -j^

u oc

sa valeur tirée de Téquation de condition (a), on obtiendra une nouvelle relation qui donnera, conjointement avec la précédente, les coordonnées variables x et y de l'un quelconque des points de la courbe oujBnveloppe cherchée.

A cet effet, ordonnons d'abord l'équation ci-dessus de la corde ^^ï par rapport à a et p; ce qui lui fait prendre la nouvelle forme

7(R^— «») p 4- [(R'H- rt') r -f- rt(R»— a^)]oL

-i- a (R'— rt^) jr -f- ( R»— a^— 9. R» r» = o.

Différentiant ensuite l'équation (a) par rapport à a, ce qui donne

rfp a — a

rfl"" p~"'

et substituant, comme on l'a expliqué, dans l'équation précédente également différentiée par rapport à a, on aura

— 7(R»— rt')(a — «)-h [{K'-h a')X'ha (R'— a')] p = o.

Multipliant la première de ces équations en ^ et / par p, la seconde par (a — a) et retranchant celle-ci de l'autre, il vient

p [a (R^— a') X -H (R*— «')*— 1 R'r»] «[( R'-f- fl>) ^ -h /z( R» — rt» ) J p = o,

ou, en observant toujours quep'-+-(a — a)^=R^ et réduisant, (4) /R^R'— a')+P(2aR'^ — a=R'-+-R*— 2R'r») = o.

3i8 VI* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Multipliant de nouveau Ja première des précédentes équations par a — a et la seconde par p> puis ajoutant au lieu de retrancher, il vient également

[{R«+ a») a: -h a (R^— a>)] [p»-h a»— aa] -H(a — a)[a(R«— fl»)i:-H(R'— a')»— 2R»r»] = o,

ou bien, en réduisant,

[(R»-h a^)x-^ a{W— a')][R«— a» -h aa]

ou enfin en ordonnant et simplifiant

(5) a(2aR»x— a'R'-hR*— 2RV)-*-R'(R»— a»)j:-|-2R»r»a=o.

Équation de Venveloppe, — Les équations (4) et (5) trouvées en dernier lieu remplacent parfaitement celles dont elles dérivent immédiatement; de sorte que si Ton se donnait arbitrairement une valeur de a, d'où résulterait, d'après l'équation de condition (a), une valeur correspondante pour p, ces deux équations (4) et (5) fourniraient conjointement, les valeurs des coordonnées du point correspondant à « de l'enveloppe cherchée. Eliminant donc a et p entre ces mêmes équations et l'équation (a), on aura entre ^ et / une relation qui sera l'équation même de la courbe enveloppe.

Pour effectuer cette élimination, on commencera par tirer les valeurs de a et de p des équations (4) et (5), ce qui donnera, d'une part,

^ "" aaR'x— a>R»4- R*— 2tt'r' "" D

en remplaçant momentanément le dénominateur par la lettre D, et, d'autre part,

— R»(R'— a»)ar— 2R»r»fl

Substituant donc ces valeurs dans (a) ou ?*-*-(« — tf)»=:R', on obtient l'équation

r* (R' — 0=»)»-+- [x (R' -f- a}) -f. a (R3— a})\ = (aaRor — rt'R-h R'— 2Rr*)*;

DES STSTËHBS DB GONIQIJES, ETC., SUR UN PLAN. Srg développant et ordonnant par rapport à j; et ^^ cela donne

= [R{R«— a»)— 2Rr»]>— a'(R>-a»)»,

ou finalement, ce qui revient au même,

i ^■•(R"— a')'-h^»(R*— a^— 2a[(R»— «»)»— 4R*r»].r ^ ^ ( =R'[R»— a*— ar»]»-"«'(R«— a^)».

Telle est l'équation de la courbe enveloppe, sur laquelle roule la corde mobile ou génératrice x'^x^.

Cette enveloppe est un cercle ayant même corde commune avec les proposées. — D'abord l'équation précédente est visiblement celle d'un cercle dont le centre C", est situé sur Taxe Cx, ainsi que nous l'avions avancé; il ne s'agit donc plus, pour rendre la démonstration complète, que de prouver que ce cercle a même corde commune avec les proposés (C) ei (G).

Pour obtenir l'équation de la corde qui lui est commune avec le cercle (C), dont l'équation est j"+x*= /^, il n'y a qu'à multiplier cette dernière équation par (R* — a^f et en retrancher l'équation (6), ce qui donne immédiatement

2aar[(R»— tf^)» — 4R»r»]

= (r»— R»)(R^— a')'— 4RV4-4R'r»(R«— a')+fl'(R'— «7,

ou, en simplifiant et rassemblant les facteurs de r* — R*,

2û:c[(R«--a»)'— 4R'rT = (r»— R»)[(R^-a7— 4R»r»]-htf[(R'— a?— 4»*^^];

divisant enfin par le facteur commun constant

(R»— a7— 4R»r% on obtient l'équation très-simple

2ar=r» — R"-Hû'.

320 W CAHffiR. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Cette équation est la même que celle de la corde commune aux cercles (C) et (C). Car, en retranchant l'équation /*-4- (x — a)'= R' du cercle (C) de Téqualion x^-{-y= r» du cercle (C), on obtiendra précisément pour celte dernière corde,

2ax — a}=zr* — II*,

équation identique à celle ci-dessus.

Corollaires et remarques relatives à des cas spéciaux.

Le cercle enveloppé par la corde mobile x^x^ (^g'.i36)peul dégénérer dans certains cas, en une ligne droite ou un point.

Cas oà l'enveloppe dégénère en une droite, — La première de ces circonstances aura lieu évidemment quand la circonférence (C) passera par le centre du cercle (C). Il est aisé en effelde voir qu'alors [Jig, iZ^) la corde LM commune aux cercles donnés (C) et (C) est Tune des cordes ^"^a, qui doivent toucher le cercle enveloppe (C") indiqué sur la Jig. i36.

Fifj. 137.

Or nous avons prouvé que ce dernier cercle ayant même corde commune avec (C) et (C), passe par leurs intersections L et M; donc aussi le cercle enveloppe (C") doit avoir les points I, L et M en commun avec la corde LM, et par conséquent, il doit se confondre tout entier avec elle.

Il suit de là que , dans les mêmes circonstances, si d'un point a du cercle (C), on mène au cercle (C) deux tangentes

DES SYSTÈMES DE œNIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3a i %x' et ttxyy lesquelles viendront couper le cercle (C) aux points respectifs a:" et j:,, qu'on joigne ensuite ces deux points parla ligne droite x" x^^ cette corde sera, dans toutes ses positions, parallèle à LM.

On peut aussi conclure de ce qui précède, que si Ton trace la tangente W commune aux cercles (C) et (C), et que, du point de contact /' sur (C), on mène au cercle (C) une autre tangente /'©', elle sera parallèle à la même droite ou corde commune LM.

Toutes ces circonslances sont fidèlement retracées par l'analyse algébrique.

En effet, on a, dans le cas particulier où le cercle (C) passe par le centre C,

a=±R, d'où R»— a' = o;

faisant cette hypothèse dans l'équation (6) du cercle (G"), elle devient

iax-=. r*;

ce qui est l'équation même de la corde commune aux cercles (C) et (C); comme on peut s'en assurer directement en écrivant R* — a^= o dans l'équation

'i.ax = r* — R'-h «',

trouvée ci-dessus pour cette corde. En faisant la même substitution dans l'équation générale de la corde x"Xi d'abord obtenue, elle devient

"xx = /•':

ce qui est l'équation d'une droite variable de position avec a, et perpendiculaire à l'axe CR des x, mais toujours parallèle à la corde LM, commune aux cercles (C) et(C') (*).

(* ) Toute cette partie du manuscrit, d'un extrême laconisme, aurait besoin d'explication, de commentaire même, à cause du paradoxe qui consiste à regarder, conformément aux résultats de l'analyse, la corde LM commune aux deux cercles proposés, comme la véritable enveloppe des cordes gé-

3j.2 VI" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

C(ts où, V enveloppe dégénère en un point. — Soient (C) ei (C) [Jig. i38) deux cercles tels que les tangentes ax' et r?^', menées à (C) par rexirémité a du diamètre aa! de (C), coupent ce dernier cercle aux points x*' et x-i, les mêmes que ceux où les tangentes menées au cercle (C) de Tautre extrémité a' de ce diamètre, rencontreraient (C), je dis que les cercles ((]) et (C) jouissent de la propriété suivante :

Fig. i38.

« Si, d'un point quelconque de la circonférence (C), on » mène au cercle (C) deux tangentes et que par les points où » elles rencontrent le cercle (C), on trace la corde corres- )) pondante» celle dernière passera dans toutes ses positions » par un même point C", situé à la rencontre du diamètre m/' » et de la corde x^'x^. »

Il est visible, en effet, que, dans le cas général, le cercl<» (C") a pour limites, d'une part la corde x^'x^ qui correspond à l'extrémité a du diamètre de (C), et de l'autre, une conl<» pareille correspondant à l'extrémité a'.

Donc, puisque, dans le cas actuel,* ces deux cordes se confondent, le cercle (C") se réduit effectivement à un point unique situé à la rencontre de cette double corde x'^Xi et du diamètre aa' confondu en direction avec la ligne des centres ce

nératrices, alors devenues parallèles, c'esl-à-dire convergentes à Finfini. Il va là évidemment quelque chose d'analo.^uc aux faits ou remarques <lunt on s'est occupé dans les Notes des p. iG5, 224, aSi, ainsi que dans «litîérents passages du texte; mais je ne crois pas nécessair»^ d'insister ici sur des particularités qui, dans la théorie de l'élimination, tiennent aux soltttinns singulières.

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3^3 On voit, d'après la^g^. i38, comment, élanl donnés le cercle

( C) et le point (C), on peut en conclure le cercle ( C ).

II serait facile de tirer les mêmes conséquences do l'ana-

Ivse ; mais comme cela entraînerait dans dos lonf(ueurs, nous

ne nous en occuperons pas.

Cas de plusieurs angles à sommet commun ^ inscrits à un même cercle et circonscrits à d*autres.

Données et équations, — C, C, C" [fig, 1 89), sont les centres en ligne droite, de trois cercles ayant même corde commune, réelle ou imîfginaire. D'un point a du cercle (C), pris d'une manière arbitraire, soient menées aux deux autres cercles (C) et (C"), quatre tangentes a^', a:r,, a, a:' et a.j:, lesquelles rencontreront respectivement le premier cercle (C) aux points .r'', x,, xx" et i^î; je dis que l'enveloppe de l'espace parcouru par les cordes x^'x^ et lOr^.^rj sera une circonférence de cercle unique qui aura même corde commune avec les trois cercles proposés, et pareillement, que l'enveloppe de l'espace décrit par les deux cordes x" ,^, et x^ yx" sera aussi une circonférence de cercle unique, distincte de la première et ayanl même corde commune avec les cercles donnés (C), (C) et (C").

Soit R le rayon du cercle (C), r le rayon du cercle (C) et r' celui du cercle (C"). Supposons que l'origine des coordonnées

soit placée au centre du cercle (C), et que l'axe des x ait pour direction celle des trois centres C, C et C ; les équations des

cercles (C), (C) cl (C) seront respeclivemeni de la forme

Le point mobile a restant constamment sur la circonférence de (C), il en résulte Téquation de condition

(a) a--hp' = IV.

L'équation générale d'une langente au cercle (C), menée par Tun quelconque x' des points de sa circonférence, étant de la forme

et cette langente devant, par hypothèse, passer par le point a, on aura aussi la relation suivante entre a et S :

(2) p/-h(a — rt)(^' — «)=r'.

Pour obtenir les coordonnées x' et j' du point de contact x\ il faut éliminer successivement chacune de ces quantités entre les équations de condition

dont la première exprime que la tangente ax' passe par 1<» point a, et Tautre que cette tangente appartient au cercle (C ). On tirera de là, sans aucune difficulté,

Équations des cordes tangentes. — Ce sont ces expressions qu'il faut substituer dans Véqualion de la tangente ax'; pour cela, il suffira de retrancher l'équation de condition (2) do l'équation générale (i) d'une tangente au cercle (C); ce qui donnera immédiatement

y'{r—^)-h{x'—a){x—oL) = o, ou x—ci=— p^^ix—^h

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 325 En y substituant pourj^-' ei x' — a les valeurs trouvées cidessus, on aura donc pour l'équation de la tangente ax* ou de sa conjuguée a ,j;'.

r(a— <i)=t Vf5'+ (a— aj'—r'

En changeant r en /•', a en a' dans cette équation, on aura celle de cix ou a ,^,, qui sera par conséquent

Dans ces deux équations les signes du radical se correspondent au numérateur et au dénominateur: ainsi chacune d'elles représente deux tangentes passant par le point a. Les signes supérieurs appartiennent aux tangentes ax' et axi et les signes inférieurs aux tangentes Qia/^ et a ,a:,.

Considérant d'abord les deux tangentes ax^ et a.r,, on aura

r{oL — a)-hP v'P' -h (a — «)'— r'

On peut remarquer avant d'aller plus loin, qu'en changeant à la fois les deux radicaux de signes, on obtiendra les valeurs de A* et /r' relatives aux deux tangentes a.j;' eta,.r,. Pareillement en changeant dans A' le signe de r', les valeurs de k et /r' qui s'ensuivront, correspondront aux deux tangentes ax' et a, or,. Enfin quand on changera à la fois les signes de deux radicaux de k et k' et celui de r', les valeurs de k et Ar' qui en résulteront correspondront aux deux tangentes aXi et a,^'. Il suit de là que, quand on aura obtenu l'équation de la corde x'^Xi qui répond aux tangentes ax' eta^r,, on pourra, par de simples changements de signes, obtenir celles des cordes •^ iXif \X {Xif etc*

Revenons maintenant aux équations indéfinies des deux tangentes ax' et aXi que nous avons vues être de la forme

/ ,x /-p — (a — ^/)v/p'-h(a — «r— r\ û, {ax} X — a =1^ i ' ^ ^ [y — p)

/•{a — a)-hpv/fi'H-(a— «)'— r'

(a JT, I X — a = î- ^ ' ^ ^ ^ ' ( r — Ô;

/•' (a — tt')-!- p \/p2+ (a — rt'p— r^

Pour avoir les coordonnées x" el /' du point où la première oix' de ces tangentes rencontre le cercle ((]), il faut combiner entre elles les trois équations

X''^^r"'= R», a>H- p^= \K\ x''—OL = -'k (/'— p),

et Ton obtiendra •

hiihx — 2B) y. — /{^îT + a/rp

En changeant ensuite h en A' dans ces expressions, elles donneront les valeurs des coordonnées x^ et r, relatives à la deuxième tangente a^r,, qui seront ainsi

2//a— 2p p/,'^— p4-2A'« //(!2//a--2p; g — A^'aH-2//p

Recherche de l'équation de la corde génératrice de Vernieloppe, — L'équation générale de cette corde x** x^ étant de la forme

,^. y - Vi x" y, — y^' Xi

il s'agit d'y substituer l(»s valeurs de x'\ y , etc., trouvées cidessus, c(î qui consiste à calculer celles de >•" — i», de or" — x^ et de x" y, — V x^.

DES SYSTÈMES DE CONIOUES, ETC., SLR UN PLAN. Si;

sî^.

«Jf>.

ÎS

ri r*

«ta

ÎS

•il.

« et

sTL.

o ce

(fi O

ÏS

if)

es >

km >

Je remarque en passant, que l'on aurait pu obtenir ces valeurs directement au moyen des expressions semblables déjà calculées dans le n*» III, ci-dessus; il eût suffi, pour cela, de faire dans ces expressions, « = o et L = A*'-

Calcul des éléments qui entrent dans l'équation de la corde génératrice. — Il s*agit de substituer explicitement dans ces diverses expressions les valeurs ci-dessus des fractions /r et A^, en fonction de a et p. Mais auparavant, nous donnerons au radical qui entre dans /r' une autre forme, en nous servant pour cela, de la condition que les trois cercles (G), (C) et (G") sont supposés remplir, à savoir : qu'ils ont une même sécante ou corde commune,

La corde commune aux cercles (G) et (G') a pour équation

H^-hV— r^

celle de la corde commune aux cercles (G) et (G") étant

R» -\- a'' — ;-'' xz= ,

et ces deux cordes devant se confondre, il faut qu'on ait

D'ailleurs, le radical \/p»H-(a — a')^— r'^ qui entre dans k' se réduisant à v^R' -+- a'* — r'* — 2 a' a , quand on y fait ou suppose a»-f-p*=R% et l'équation de condition (b) donnant

on aura

=r i/- (R»H- a*— r») — 2a'a = i/- v^R^ 4-a^— r»— 2aa. Pareillement, si l'on simplilie le radical de h v^p^-+-(a — a)' — r*.

au moyen de Téquation de condition a*+p'=RS ce qui donne ^

il viendra, en mettant ces deux nouveaux radicaux à la place des premiers dans les valeurs ci-dessus de k et /i',

r(a — rt) -h p v/H'-ha' — r^—iaoi

r' p — (a— rt') i /— v^R'-ha^— r"— aaa /r'= V^

ou, ce qui est plus simple et revient absolument au même

en posant, pour abréger l'écriture,

( Foy\ ta suite au tableau ci-après y p. 33o.)

Remarque sur le rôle des fonctions radicales. — D'après les observations déjà faites plus haut, en changeant le signe du radical ^ dans l'équation (4), on aura celle de la corde inférieure x^'xX^; en y changeant de même le signe du rayon r', on aura celle de la corde x'^x^y et enfin en y changeant à la fois le signe du radical -^ et du rayon r', on obtiendra l'équation de la corde ,^"^a. Nous continuerons à nous occuper de la corde x'^ Xi\ mais avant de poursuivre le calcul, il est nécessaire de faire sur la forme de l'équation (4) quelques observations qui nous faciliteront les moyens de parvenir à l'équation finale de la courbe enveloppe.

Je remarque d'abord qu'une fonction quelconque de a de la

forme ï v/X-+- Y v/Z ou — ï v/X-f- Y v/Z, (X, T, Y et Z élant

33o Vl« CAHIER. - PUOPUIÉTÈS DESCRIPTIVES

elles-mènies des fondions rationnelles de a), renferme tou-jf jours un ou plusieurs facteurs en a dont on peut déterminer l'expression particulière dans bien des cas, et dont, tout aui , , ^

moins, on peut prouver l'existence en général. {

En effet, si Ton représente celle expression par rinconiiuo|^__^ v. ç, ou qu'on pose !

'cceesive

±lVX-+.Yv/Z==(p, d'où (p-V^Z = ±TVX,

on aura, en élevant au carré,

r— s>7Yv^ = PX-Y'Z,

et Ton voit par celte équation du deuxième degré en f, qiu^ toute valeur de a qui rendra nul son second membre, rendra — en même temps nulle l'une de ses deux racines; car cette '^4. équation deviendrait alors

ei qu'ainsi l'une ou l'autre de ces expressions est le produit de deux ou de. plusieurs facteurs fondions de a; ce nombre croissant évidenunent avec le degré des fonctions rationnelles \, Y, Z et T.

Il ne faut pas cependant en induire que celte même expression de <p pourra se décomposer explicitement en ses deux ou multiples facteurs : il ne sera souvent possible de le faire (ju'au moven du développement explicite des fonctions qui v enlrenl.

ÉppUcation di* ces leniavqties à la question, — Elles nous

y* — 2<p Y \/Z = o, d'où 9 = 0 et ^ m 2 Y yZ. ■

Or, cette même équation ayant évidemment pour racin(»s les /£. deux fonctions d'abord considérées, on doit en conclure que a ^ l'une ou l'autre de ces expressions

peut en effet, toujours être satisfaite par une certaine valeur

(le a déterminée par l'écjuaiion de condition " '

cceesivement

.^.^^-r'(a-^)UaO^^-P(«-a')y/Ï^<'

>)«-f-^(tAZ-<-a

a')a(a-fl){a-rt')]r|. '?) [«»+p»a«']+ ^ i-f-L -;

')4-a(a— a)(a — «')]il« « n'j + oo'a]']»

:,|..;r'] + p(r'+ryhp(«-«')(r'-ry^) + j'

Page 33o.

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 33i conduisent naturellement à rechercher si le numérateur et le dénominateur de la fraction

rp — (a — a) v/R'' + a' — r^ — aga

r(a — rt) H- p v/H'-ha' — r^— 2 «a ou

, /'v/K^— a»— (a — «; v/H'-+- «=»— r^» — 2fla

r(a — rt) H- v(H'— a') (K'-h«'— /•'— 2aa)

obtenue d'abord, n'auraienl pas un facteur commun, puisque Tun et l'autre sont compris dans la forme générale

V >/Z ± T sl\.

Considérons en premier lieu le numérateur. En l'assimilant à l'expression Yy/Z — T^X, on aura

Y=r, T = a— «, Z=:K'— a^ X=- K'-hfl^— /•=— 2rta,

et Péquation de condition P X — Y' Z =::o deviendra

ou (IV + a^ — 2rtaj(a — «;^— /•2[(a — a)'-f- K- — 01?] —o, ou encore

( U'H- ^/' — a « a j [ (a — af — r'^ ] — o.

Cette équation étant du troisième degré, elle donnera naturellement trois valeurs de «, qui rendront nulle l'une ou l'autre des expressions

En essayant la valeur fournie par l'équation

U^ -h fl* — 2//a = o,

qui représente l'une des trois racines en question, on trouve qu'elle- annule en effet, la fonction où le second radical est affecté du signe — , c'est-à-dire le numérateur de h\

En agissant de même à l'égard du dénominateur de cette

332 Vp CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

fraction, on trouve que la même quantité R'+a» — 2«a est

facteur de Téqualion de condition

PX — PZ = o,

et, en essayant la valeur de a qui en résulte, le dénominateur de k devient nul à son tour.

Donc le numérateur et le dénominateur de k ont un facteur commun qui, égalé à zéro, donne

II est évident que, par la même raison, le numérateur et le dénominateur de l'autre fraction k ont un second facteur commun, lequel égalé à zéro donnera

En examinant la forme des expressions de -^^ — ^ etc., en k

et /»', on voit de suite que Tun et Tautre de ces facteurs devront y exister. Donc Téquation (3) de la corde x" x-, contiendra, du moins implicitement, ces mêmes facteurs, et Ton peut s'assurer en effet que celte équation est satisfaite quand on y fait

R'H-rt* R^-f-«'»

a = ou a = ;

Je dis de plus, que les facteurs qui répondent à ces valeurs ne peuvent être que de la forme

R^-f-a»— 2aa et R^H-a'^— 2a'a.

En effet, remontons au numérateur ci-dessus de k en a,

qui renferme le facteur correspondant à la valeur a = c'est-à-dire à la fonction

/• V/R'— a' — (a — a) v/R»-hrt'— r^^ — 2aa.

D'après ce que nous avons fait voir plus haut, la valeur de a

qui annule cette expression et peut être regardée comme Tune des racines de Téquation

ne saurait annuler simultanément l'expression

seconde racine de cette même équation» à moins qu'il n'en

arrive autant de la quantité Y ou ^Z. Or cela n'a pas lieu dans le cas présent.

Donc, si Ton multiplie entre elles ces deux expressions, ou racines de l'équation ci-dessus, le produit devra renfermer le facteur dont il s'agit sans nulle altération. Mais ce produit est évidemment égal à Y*Z — T'X, fonction, comme nous l'avons trouvé, qui a pour facteur R^-ha* — aaa; donc aussi le numérateur et le dénominateur de la fraction k renferment le facteur R*-f-a^ — 2aa, et, par conséquent, l'équation (4) ellemême contient ce facteur.

Par une raison semblable, cette équation renferme le facteur R'H-a'^ — 2a' a, ou au moins son équivalent; Je dis son équivalenty car, ainsi que nous l'avons vu, la forme explicite de la fraction A' a été changée dans le cours du calcul, au moyen de l'équation de condition

RM- a}—j^ W-^a"—r'' a a'

Complication nécessaire du résultat final des éliminations; moyen d'y échapper, — D'après ces remarques il n'est pas surprenant que l'équation (4) soit du deuxième degré entre les inconnus a et p. Je puis affirmer même, d'après un examen approfondi, qu'il est impossible, au moins en général, de supprimer d'une manière explicite les deux facteurs variables qui l'embarrassent. Dans des cas particuliers, cela pourrait avoir lieu néanmoins; par exemple, si l'on avait la relation R' — aa'= o, etc. Puis donc que l'équation de la corde x" x^ est compliquée de facteurs inutiles ou singuliers, dont il est impossible de la débarrassera priori, on ne saurait suivre la même marche que dans la démonstration précédente du n" IV : la différentiation

334 Vr CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

qu'on sérail obligé d'exécuter ne ferait en effet, que rendre la complication encore plus grande. La marche indirecte que jo vais suivre ne présente aucune difficulté, et n'exigera pas le secours du calcul différentiel.

Pour que la corde :r"j;aSoit, dans toutes ses positions, tangente à un môme cercle dont le centre soit sur Taxe des ar, il faut et suffit qu'il existe sur cet axe un point inconnu, mais fixe, tel que la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la corde x" Xi^ n'importe la position particulière de cette corde, soit une quantité invariable, par conséquent indépendante de l'indéterminée ou abscisse a.

Recherche de la distance d'un point quelconque de la ligne des centres à la corde génératrice de l'enveloppe, — Soit % Tabscisse d'un tel point,

l'équalion de la cordea:'':c„ l'équation de la perpendiculaire abaissée de ce point sur x" X2 sera évidemment

d'où l'on tirera pour les coordonnées inconnues du pied de cette perpendiculaire,

On aura donc, en appelant ^ la perpendiculaire dont il s'agit,

Si, pour simplifier l'équation (4), nous faisons

Y,^^aa!—[a^a')^=^K, \J^'Y~rr'^W

DES SYSTÈMES DE a)N10UES, ETi.., SUR UN PLAN. 335 elle prendra la forme suivante :

j(BD — EF^^)=a:(BE-hDF^)— R^AB'-f-C^);

rc qui donne

M = BD — EF^Î/, NzirBEH-DF^!;, P = — RM AB'^-C^^).

( for. In suite au tableau ci-après y p. 330. )

Donc enfin la valeur de ^* deviendra, en y mettant celles de \P-f-N' et de P-f-Nx que nous venons de trouver

{\V—(in'\^\ r'-^r

et la longueur de la perpendiculaire abaissée du point corres pondant à l'abscisse x sera par conséquent

(R'— «^')fr'-f-ri/^j

Equation finale des cercles enveloppes. — Cette distance étant indépendante des variables a et p, nous pouvons en conclure qu'il existe, en effet, sur l'axe des x ou ligne des centres des cercles proposés, un point dont l'abscisse

\\^{a — n')iv—r'\/-) ^ = / /Jt '

est telle que la perpendiculaire abaissée de ce point sur la cordt» variable x'* x-^y a une longueur constante 5, quelle que soit la position de la corde génératrice.

Donc celte corde, ainsi que nous l'avons annoncé, rouh* dans toutes ses positions sur une quatrième circonférence de cercle dont l'équation est par consé(|ucnt de» la forme relative-

ment simple,

(R^— flfrt')' z-'+r

Maintenant si, au lieu de Téquation (4) de la corde :r"jra, on eût considéré celle de la corde conjuguée ou inférieure 4-^ xX^xOCi^ qui se déduit de la première en y changeant le signe du

radical ^ ouv/R'+a^ — r^ — a^ra, il est évident que Ton serait parvenu à la même équation finale du cercle engendré. Car la valeur précédente de x faisant disparaître ce radical dans j~- Texpression de P-f-Nx, la valeur de ^ en est parfaitement indépendante, et par conséquent elle reste la même quel que ^^^

soit son signe. Donc les cercles engendrés par la corde x" x^ et sa conjuguée i^",a:a ayant même centre et même rayon, ces ~^

deux cordes engendrent la même circonférence de cercle, ;e

ainsi que nous l'avions d'abord annoncé.

En second lieu, les équations des cordes xxf' Xi et jr",^2 ne différant, ainsi que j'en ai fait la remarque, de celles des deux cordes x" x-^ et xx" xXi, qu'en ce que le rayon r' y a sim- ^

plement un signe contraire, il est évident que l'équation finale à laquelle nous fussions parvenu pour ces derniers cas, eût '^

été la même encore que l'équation (5), sauf le signe de r'. Donc, ainsi qu'il a été énoncé encore, les deux cordes yx'^ Xt et x" xXi engendrent dans leurs mouvements, une même circon- férencc de cercle distincte de la première et dont l'équation

( RM^-^^':)(^^+rY/^))' R>[r(R^-^-^)-r-y/g^(RV..^

ne diffère de la précédente (5) que par de simples changements do signes en r et /'.

aci\

p et par conséq \ etc., leurs

vali

— afl'a) de ces mêmes facteurs. Donc le dénomi-

ftr/a, OU —

fp-

ut à fait indépe

même radical -^ dans l'expression de P+N^; ce qui

nn'^(n-\-a')oL\^,

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(R*|w'— 2rta),