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DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 33y

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Sri CCS

338 VP CAHIER. - PROPUIÉÏÉS DESCRIPTIVES

on, en supprimant le facteur R' — aa commun au numérateur

<n au dénominateur,

Xz= : ;

ri, connue on a

cela donne finalement

a \ al

ia fr'»— r^^j

Telle est Téquation de la corde commune au cercle (5 ou 6, p. 336), et au cercle (C); or celte équation est précisément celle de la corde commune à ( C ), ( C ) et ( C" ).

Cette équation ne renfermant pas le rayon r', la corde commune au même cercle (C) et à celui que représente Téqualion (6) sera la même qui a été obtenue en dernier lieu; car elle doit s'en déduire en y changeant le signe seul de r'.

Donc enfin le cercle enveloppe des cordes ^x" X'^ et x'\x-^y a bien la même corde en commun avec les trois proposés.

La proposition énoncée en tête de cet art., p. 3^3, se trouve» ainsi complètement démontrée; et, quoique le raisonnement mis en usage soit appuyé sur une suite de calculs assez laborieux, il nae semble cependant que la marche ici adoptée est à Kl fois simple et rigoureuse, et qu'il serait peut-êlre difficile d'en suivre une plus directe et plus générale sans se jeter dans des complications de calcul plus grandes encore. La raison en esi

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 339 assez évidente; car l'état de la question implique en lui-même une complication très-grande, puisque, à un même point a du cercle (G) correspondent quatre cordes génératrices x'^Xt, sx" ,jr„ xx" x-^y x" iJTj distinctes les unes des autres, et dont il serait impossible de séparer les équations sans y introduire des facteurs étrangers à la question, indépendamment des facteurs naturels du deuxième degré qu'elles comportent.

Corollaires et remarques concernant des cas spéciaux.

Rapprochement entre les solutions des p. 819 et 336. — On doit considérer le théorème énoncé à la p. 3 1 5, comme une conséquence très-particulière des propositions générales que nous venons de démontrer en dernier lieu, d'une manière purement algébrique.

En effet, si Ton suppose dans les équations (5) et (6), «'= «, il est évident que, dans ce cas, les cercles (C) et (C") se confondront en un seul, et qu'ainsi les deux cordes x" x-^ et xx'^xXi se réduiront, chacune, à une tangente au cercle (C), et par conséquent engendreront l'une et l'autre, dans leur mouvement, ce même cercle, solution particulière du problème.

Pareillement les deux cordes x" xx^ et xx" x^ se seront confondues en une seule alors, représentée dans la ^g-. \^o ci-

dessus, par x'^x-i ou ,^"0:,; d'ailleurs le cercle représenté" par l'équation (6) sera dans ce cas, engendré par cette corde de la même manière que le cercle (G") l'était dans la y?g-. iSg, p. 35.3, par la corde x*' x^. Bien mieux, comme on va le voir, on

34o VI* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

peut trouver son équation en faisant a' = a dans l'équation (6). Mais auparavant nous allons introduire cette hypothèse dans réquation (5) qui doit représenter alors le cercle (C) lui-même, ainsi que nous l'avons déjà remarqué.

En supposant, en effet, a — a'=o dans cette équation (5), elle devient simplement

qui représente bien celle du cercle (C) donné à priori; mais, si Ton fait la même hypothèse a — a'=:o dans Téquation (6),

ses coefficients prennent la forme -5 ce qui provient évidemment de ce qu'ils renferment, au moins implicitement, le facteur a — a' à leur numérateur et à leur dénominateur : 011 le fera disparaître facilement dans le terme

qui représente en général l'abscisse du centre du cercle enveloppe ou sa distance au centre du cercle (C), en ayant recours à l'équation de condition souvent employée ci-dessus,

de laquelle, si l'on chasse les deux dénominateurs et qu'on réunisse dans un» ordre convenable, ses différents termes, on tire, en effet,

{K'—aa')ia—a')=r''a—r'a'=a(r'—ruÇ\(r^ ce qui donne, par conséquent, l'égalité ou identité

K'-rt«')(^/'-ry/^')

(R^ — aa')

DES SYSltMES DE CONIQOES, ETC., SUR UN PLAN. 34 1 Or, sous cette dernière forme, l'abscisse du centre de l'enveloppe circulaire des cordes génératrices, ne devient plus -; car en faisant a = a', et par suite r'= r, elle acquiert la valeur

déterminée 7— r- •

Quant au terme du second membre de l'équation (6), il est impossible d'y supprimer explicitement le facteur commun qui en complique le numérateur et le dénominateur ; mais on peut mettre ce facteur en complète évidence dans l'un et dans l'autre des deux termes de la fraction dont il se compose et qui représente le cercle enveloppe, en s'y prenant de la manière suivante, fondée sur les observations, déjà faites plus haut, et qui concernent les expressions radicales de la forme générale Y v^±T>/X.

L'on a identiquement pour le numérateur,

Mettant dans le second membre ainsi transformé, pour r'' sa valeur tirée de l'équation de condition

c'est-à-dire, faisant

ou {K^—aa'){a—c^) = r'^a—r'a\

,, r'a!^(Y{}—aa'){a — a')

ce second membre, que j'appelle I pour plus de commodité, deviendra successivement

I ou H(R»-«'M^-/-''-(R^-«'V = r'(R^-fl'^)»~ — (R^-«^)»--^l(R'-«û')(û-û')(R='-tfY

t^tf

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çr

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rt:!*

r=ie

en en

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Ou 4) -^^ 3

en JL

DES SYSTEMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. X\i taiil par le carre d'une nouvelle ronslaiile /•',

Celle expressioA esl le carré même du rayon du cercle engendré dans l'hypolhèse où les proposés (C')el (C") se confondraienl enlre eux.

Nous avons déjà trouvé que, dans ce cas parliculier, Tab-

scisse 9 du centre de ce cercle est égale à —.- -• Donr

réquatîon de ce dernier est simplement

On voit, par tout ce qui précède, qu'on aurait pu se passer de démontrera part le théorème de la p. 3i5; mais j'ai cru d(»voir en agir autrement, afin de le distinguer mieux de la proposition beaucoup plus générale, énoncée à la p. 3?.3, ei avoir ainsi occasion de faire connaître un mode de démonstration différent de celui employé en dernier lieu.

Examen d'un cas particulier digne d'attention. — Avanl d'abandonner ces considérations analytiques, je m'occuperai d'un cas assez intéressant du théorème général, pour lequel la position des deux cercles (C) el (C") [Jig. iScj), satisfait à la condition R* — aa!=o déjà mentionnée en passant, comme entiatnant de notables modifications.

Le cercle engendré par les cordes xx"Xi e\x" xX^ est alors une ligne droite perpendiculaire à l'axe des x, ce dont on peut s'assurer par l'équation (6) de ce cercle. En effet, si Ton appelle ^' l'abscisse du centre de ce cercle el R' son rayon, qu'on la développe ensuite, elle deviendra

Mellanl celle équation sous la forme

ou, ce qui est mieux encore, sous la forme

Rî y.2__^» R2^ç'a R'»

il devient facile de voir que la quantité ^t, est pré-

cisement égale a

En effet, si Ton retranche Téquation 7'-f-(^ — 9')»= R'* du

cercle dont il s'agit, de Téquation j:«-h/'=R' du cercle (C),

on aura pour celle de leur corde commune

2^'a: = R»-t-f'— R'^ ou x=^^^ , ^ ■

Donc, puisqu'il a été prouvé que cette dernière corde se confond avec la corde déjà commune aux trois cercles proposés (C), (C) et(C") (Jig. iSg, p. 323), corde dont Téquation

est X = , d'après ce qui se trouve établi à la

p. 328, on a, en réalité,

R'-h?"— R'* R»-ha^— r^ 2y' T.a '

et par conséquent l'équation (6) ou celle qui la remplace devient bien, comme on l'a avancé ci-dessus,

2f la

Maintenant si dans celte dernière équation, on veut avoir égard à l'hypothèse particulière R* — aa'=o, mentionnée au commencement de cet article, la quantité 9' devenant infinie, elle se réduira, ainsi que l'équation (6) à la forme très-simple

comme on Ta également avancé.

Donc enfln, le cercle engendré par les cordes xoc^x^ eta:",x„ se confond avec la corde même, commune aux trois cercles proposés (C), (C) et (C*').

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 345 En préparant l'équation (5) de cette dernière manière, elle prend la forme nouvelle et non moins simple,

dans laquelle on a posé, pour simplifier l'écriture,

(/^4-ry/^](R^-aa')

Cette expression peut être mise sous une autre forme au moyen de réquation de condition

ou, comme on Ta précédemment remarqué,

car on en tire immédiatement Téqualion transformée

R'—aaf

ce qui donne finalement l'expression réduite

Maintenant, si l'on suppose R^— aa^= o, l'équation de condition ci-dessus, donnera r^=ri/~, et par conséquent, il

viendra, à cause de «' = — »

M6 VP CAHIER. - PaOrRlÈTÈS DESCRIPTIVES

Donc aussi Téquation (5) ou celle qui la remplace, deviendra

<*'esi-à-dire, en définitive el plus explicilemenl,

x'^ r' ^ '11::. = AWa' r^—(\\'^^ n'—r^\{\V— n'Y-

= r^ (R'-h a^Y— (R-^+rt') (R'— «^r\ qui continue à représenter un cercle distinct.

Position relatiife des cercles dans ce cas, — La relation R* — aaf = o ci-dessus, sera satisfaite dans la circonstance indiquée par la^îg. i^i ci-après.

Supposons que les deux cercles (G) et ( C) soient donnés, el qu'il faille déterminer le troisième cercle (C"), de manière que Ton ait la relation R* — aa'=o.

On mènera aux cercles (C) et(C') les tangentes extérieures T/, T/'et les tangentes intérieures 00, e'O', coupant respecti-

veulent la ligne des centres en 0 et 0'; on tracera ensuite les deux cordes TT' et 00' : ces deux cordes seront tangentes au cercle (C") cherché; comme elles sont perpendiculaires à la droite CC, et que le centre C" du cercle cherché doit être sur cette droite, ce cercle se trouvera entièreixient déterminé.

On peut démontrer facilement et directement que la relation R' — aa^=zo existe effectivement entre les trois cercles (C), (C) el (C"). Pour cela, soient menés les rayons CT et Ce, on aurarévidemment, dans les triangles rectangles CTO etCeO', TK, 0K' étant des perpendiculaires à la ligne des centres CC,

ct = (:k xco, Cw-ch'x<:o'.

Or on sait, d'autre part, que

de plus, on a

Donc, substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on en conclura immédiatement,

de là on tire, par une simple addition,

= isC" z=z(i'= — ou U- — aa'=^o.

On tire encore des expressions géométriques de CK et CK'

. =:(/'K = /•'=: ou r^= ; —

On s'assure, de la même manière, que ces valeurs de a' et /•' satisfont à l'équation de condition

Donc enfin, les trois courbes (C),(C') et(C") ont une même corde commune, et satisfont à la condition R' — aaf= o. Par conséquent si, d'un point quelconque a du cercle (C), on mène des tangentes a^' et axi aux cercles (C) et (C") dans le sens indiqué par la figure, et qui, prolongées, rencontrent ce cercle aux deux nouveaux points x" ,^2, la corde :f" i^Tî qui joint ces deux points, sera perpendiculaire à la direction indéfinie de la droite des centres C et C.

Voici maintenant les principales conséquences des propositions énoncées aux pages 3i5, 323 et précédemment démontrées par la voie analytique.

fnÉORftMES GÉNÉRAUX SUR LES POLYGONES MOBILES INSCRITS À UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ ET CIRCONSCRITS À UNE OU PLUSIEURS AUTRES AYANT LES MÊMES CORDES COMMUNES SUR UN PLAN.

7. — Cas particulier des cercles^ où l'enveloppe du côté libre du polygone mobile se réduit à un autre cercle.

Exposé et démonstration, — « Soient (G), (C), (C") [Jig. 14^), » un nombre quelconque de circonférences de cercle ayant )) une même corde commune, réelle ou imaginaire, sur un h plan; soit ax^x". . . a' un polygone dont les divers côtés de-

» meurent perpétuellement tangents aux cercles respectifs )) dont il s'agit, à l'exception du dernier côté <za' que je suppose M rester libre, tandis que tous les sommets a^x', x'\ etc., sont » astreints à demeurer sur la circonférence du cercle (C); ima- » ginons que Ton vienne à déformer le polygone d'après ces » conditions, c'est-à-dire en assujettissant ses sommets à rester » sur (C), et ses côtés à rouler sur les cercles respectifs aux- » quels ils sont tangents; je dis que le côté libre aa' roulera » dans ce mouvement, sur une dernière circonférence, qui » aura même corde commune avec les proposés. »

En effet, les deux premiers côtés ax' eix'x", par exemple, étant assujettis à demeurer constamment tangents à deux des cercles donnés (C), (G"), la corde qui joint les sommets extrêmes a et x"*, roulera dans toutes ses positions, sur une cir-

conférence de cercle spéciale, ayant même corde commune avec les proposés (Proposit. de la p. 3i5).

Pareillement, puisque la corde auxiliaire ou diagonale olx" et le côté x" ocf" du polygone roulent sur deux circonférences de cercles qui ont même corde commune avec le cercle (C), la corde joignant les sommets, a et x'" roule sur une autre circonférence de cercle ayant aussi celte corde en commun avec les proposés (même Proposition).

Enûn on prouverait, par un raisonnement semblable, que la corde aa' ou côté libre du polygone olx' x" ^ . . .a', roule également sur une circonférence de cercle ayant même corde commune avec les cercles (C), (C), etc. Si les cercles donnés ainsi que les côtés du polygone étaient en plus grand nombre, on démontrerait, de même et de proche en proche, que le dernier côté «»' roulerait conslijmment sur un cercle ayant même corde commune avec les proposés : la démonstration précédente est donc générale.

On peut remarquer d'ailleurs que celle démonstration ne suppose aucun ordre ni disposition particulière des cercles donnés et des côtés du polygone inscrit au cercle (C); elle serait vraie, quand bien même Tun quelconque des cercles proposés serait louché simultanément par plusieurs des côtés de ce polygone; par exemple, dans le cas où les côtés ao;', x! x'\ elc, devraient toucher une circonférence de cercle unique, comme nous l'exposerons plus loin d'une manière spéciale.

Cas des cercles concentriques. — Toutes ces propriétés des cercles ayant une corde commune, sont analogues à celles dont jouit en parliculier un système de cercles concentriques quelconques, et l'on ne doit pas en être étonné, si l'on réfléchit que, dans un tel système, les cercles possèdent, analytiquement parlant, la propriété d'avoir une même corde commune située à l'infini sur leur plan.

En effet, si nous considérons sur un plan deux cercles quelconques de rayons R et r, nous avons vu que la corde qui leur était commune dans les hypothèses précédemment adoptées, avait pour équation

R'-ha'— r»

35o Vr CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Or cette valeur de la distance au centre de C, devient infinie quand l'intervalle a des centres est nul, c'est-à-dire quand les cercles R et r sont concentriques. D'ailleurs celte corde n'est située à Tinfini qu'autant que les rayons R et r diffèrent essentiellement l'un de l'autre; car lorsqu'ils sont égaux» l'équation ci-dessus devient

ce qui montre que quand a est nul, la corde commune passe par le centre commun aux deux cercles.

//. — Cas des courbes du second degré oit l'enveloppe du côté libre et des diagonales du polygone, sont d'autres coniques ayant mêmes cordes communes avec les proposées.

Exposé et démonstration, — Soient (C) et (C) [f^g' i43) deux lignes quelconques du second degré; a^'x". .. a', un polygone quelconque, inscrit dans la conique (C) et dont tous les cotés sont tangents ou circonscrits à la deuxième coni-

Fig. 143.

que donnée (C), à l'exception du côté ax', je dis que si l'on vient à déformer ce polygone en assujettissant ses sommets à parcourir la courbe (C) et ses côtés à rouler sur la courbe (C), à l'exception du côté ax' que je suppose rester libre, ce côté aa', roulera dans toutes ses positions, sur une troisième section conique qui passera par les mêmes intersections ou points communs aux deux premières.

En effet, d'après les principes établis au commencemeîit

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUH UN PLAN. :i5i de ces noies (*), deux courbes quelconques (G) et (C) du deuxième degré peuvent être considérées, en général, comme la projection centrale de deux circonférences de cercles, et loule propriété descriptive dont jouit ce dernier système est également vraie pour le premier. Il ne s'agit donc plus que de prouver que celte propriété est vraie pour le cas particulier de deux cercles d'ailleurs quelconques; or cela est extrêmement facile d'après ce qui précède.

Puisque les cordes x' ol et x' x" roulent sur le même cercle (C), la corde auxiliaire ou diagonale a^" roule pareillement (n** II, p. 3i4)sur une autre circonférence de cercle qui a menu* corde commune réelle ou imaginaire avec les deux premières. D'autre part, puisque la diagonale ax" et la corde x" x"' roulent, l'une et l'autre, sur des circonférences ayant même corde commune avec celle du cercle (C) parcourue par le sommet a:", la corde a^c"', qui joint les points a et x"' où les diagonales a:r", a.x"' coupent ce dernier cercle^ roule aussi sur une circonférence ayant même corde commune avec les premières. Par cette raison encore, la diagonale suivante a^'* et toutes leurs semblables, quel qu'en soit le nombre, roulent sur des circonférences de cercles qui ont une corde commune avec le système des proposés.

Donc enfin, puisque la dernière diagonale ou corde a:c'^ et le côté correspondant a'ar'^ du polygone, roulent chacun, sur une circonférence de cercle ayant même corde commune avec les cercles proposés (C), (C), etc., le côté olx' qui joint les sommets extrêmes du polygone "xx'x" ,,.oi' inscrit au premier de ces cercles, roule sur une dernière circonférence ayant, comme celles qui louchent ou enveloppent les diagonales a j;", ctx"'y etc., la même corde commune avec les proposées, et, par conséquent, passant par les intersections géométriques de ces deux cercles quand ils se coupent réellement. Ce qu'il s'agissait de démontrer.

On peut en outre conclure des démonstrations précédentes, que les diverses diagonales du polygone dont il s'agit, telles

(*) J'ai déjà expliqué (p. a83, note) comment cette première démonstration insuffisante a été reprise par une voie plus rigoureuse et reportée» à la fin du V Cahier.

35i VP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

que x'' x'^'y par exemple, jouissent de la propriété de rouler dans toutes leurs positions sur autant de circonférences de cercles ou, en général, de coniques ayant mêmes cordes communes avec les proposées (C) et (C), c'est-à-dire passant par les intersections, réelles ou imaginaires, de ces courbes.

De là aussi on déduit immédiatement et sans nouvelles discussions, les propositions suivantes.

///. — Dans le même cas (//), les sommets d'angles circonscrits ou conjugués aux côtés et diagonales du polygone inscrit sont autant de coniques distinctes ou confondues.

Exposé et démonstration. — Soient (C) et C) (Jig> i44) deux courbes quelconques du second degré, situées sur un même plan; <xx' x'\ . .afoL, un polygone quelconque inscrit à la conique (C) et dont tous les côtés, à l'exception de olol', soient

Fig. i/|4.

circonscrits à Tautre courbe (C). Soit, en outre, mno/?...X un polygone circonscrit à la première (C) et dont les points de contact des côtés respectifs soient situés aux sommets du premier polygone a^'jc". . ., inscrit à celle même courbe C; je dis que si Ton vient à déformer ces deux polygones en les assujetlissanl toujours aux conditions indiquées, le sommet X conjugué au côié libre aa', parcourra une section conique particulière, tandis que les autres sommets m, n, /?, 5,..., de ce polygone parcourront une seule et unique courbe du second degré, distincte de la première.

En effet, nous avons vu (V* Cahier, n" i, p. 253) que deux

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC. , SUR UN PLAN. 353 sections coniques étant données sur son plan , si Ton mène à Tune d'elles (C), une tangente telle que j/ a;*', rencontrant l'autre (C), aux deux points x^ et x" ^ puis qu'on mène, en ces points à la courbe (C), des tangentes x'n et x"/iqui se coupent au sommet n, la courbe engendrée par ce sommet quand on fait varier la corde ou tangente or'jc", est en général, du second degré. Donc les sommets m, /i, o, /?,..., ^ du polygone circonscrit à la conique (C) sont tous situés sur une même section conique, el ces divers sommets, le sommet X étant toujours excepté, parcourront isolément cette courbe quand on viendra à déformer, d'une manière quelconque, le polygone inscrit clx' x'' . .. a! et, par suite, le polygone circonscrit mnop,...y dont ils font partie.

A l'égard du point X, il résulte de la Prop. //ci-dessus, que le côté libre aa', non tangent au cercle (C), roule sur une courbe du second degré distincte; donc aussi le sommet libre X décrit dans son mouvement, une section conique différente de celle que parcourent les autres sommets m, n, etc.

Remarques diverses. — On peut remarquer en passant que, si Ton prolongeait deux côtés quelconques du polygone circonscrit mno,.,., tels que q\ et po par exemple, jusqu'à leur rencontre en Y, ce point Y décrirait aussi dans le mouvement général, une section conique distincte des premières. En efiet, nous avons vu (ibid.) qu'une diagonale quelconque, telle que a'x*" du polygone inscrit a^'^r". . . a', enveloppe dans toutes ses positions une courbe du second degré. Donc le point Y, concours des deux tangentes menées aux extrémités de cette diagonale ou corde oe.'x"', parcourra aussi dans son mouvement une courbe du deuxième degré.

On remarquera encore que, dans le cas particulier où (G) et (C) sont des cercles, la ligne décrite par les sommets m, /i, o,..., conjugués aux côtés respectifs du polygone oix'x",.,^ sauf dd!^ est également une section conique, dont Vun des foyers se trouve au centre même du cercle (C). Ajoutons enfin, que la conique distincte décrite par le sommet X, a pareillement pour l'un de ses foyers, le centre du cercle engendré par le côté libre dot! dont il vient d'être parlé.

ly, — Les intersections mutuelles des côtés et des diagonales du polygone décrivent d'autres lignes du second degré.

Exposé et démonstration. — Soient (C), (C), {Jig. i45)dcu\ courbes quelconques du deuxième degré, Xmnop un polygone d'ordre quelconque circonscrit à la seconde olx' x"a! que j'appelle (C), el dont les sommets soient tous situés sur la pre-

mièrè mop, que j'appelle (C), à Texception du dernier sommet X supposé libre; je dis que, si Ton vient à déformer ce polygone en assujettissant ses côtés et ses sommets à remplir les mêmes conditions, ce sommet X parcourra dans son mouvement, une courbe qui sera, ainsi que les données (G) et (C)» une section conique.

En effet, puisque les sommets w, /i,..., p du polygone dont il s'agit, sont assujettis à se mouvoir sur une courbe du second degré (C), les cordes de contact a'x'", ar^'^c",..,, x'(u^\\\ correspondent respectivement à ces sommets, envelopperont dans toutes leurs positions, une certaine courbe (C"), qui sera ainsi que les directrices (C) et (C), du second degré (n" II, IV" Cahier). Or, si l'on considère ces différentes cordes dans une position quelconque, et qu'on leur adjoigne la corde ««' conjuguée au sommet libre X, elles formeront un nouveau polygone <xx' x" , . .a', inscrit dans (C), et dont les côtés respectifs toucheront la courbe inconnue (C"), à l'exception toujours, du côté aa' correspondant au sommet X demeuré libre ainsi que ce côté. Donc, si l'on vient à déformer le polygone mn..,p\, comme cela a été dit, le polygone olx^x'\ , , a', inscrit aux points de contact du précédent, variera pareillement.

DES SYSTÈMES DE œNlQUES, ETC., SUR UN PLAN. 355 el, d'après les propriétés // el ///, le côlé aa' roulera sur une quatrième courbe du second degré, tandis que le sommet X décrira, par le même mouvement, une section conique distincte des précédentes. Ce qu'il fallait prouver.

D'après l'observation déjà faite à la fin de l'article précédent, si l'on prolongeait deux quelconques des côtés du polygone mno, . . X, tels que on et wX par exemple, jusqu'à leur rencontre en Y, ce point, dans le mouvement commun, décrirait, ainsi que le point X, une courbe du second degré.

PRINCIPALES CONSÉQUENCES ET REMARQUES RELATIVES A L* INSCRIPTION ET A LA CIRCONSCRIPTION SIMULTANÉES DES POLYGONES AU SYSTÈME DE DEUX CONIQUES QUELCONQUES SUR UN PLAN.

On conclut, de ce qui précède et des principes exposés au commencement duIIPCahier, une proposition assez singulière, analogue à celle que nous avons démontrée analytiquemenl et géométriquement (Sect. JI el III, Cah. IV, p. 208), pour les polygones de rang pair inscrits ou circonscrits, sous certaines conditions, à une simple conique.

Théorème relatif à Vinscription et à la circonscription indéfinies des polygones de rang pair, au système de deux coniques.

Énoncé et démonstration, — Il est impossible, généralement parlant, d'inscrire à une courbe donnée du deuxième degré un polygone qui soit en même temps circonscrit à une autre courbe de ce degré, et quand la disposition particulière de ces courbes sera telle que l'inscription el la circonscription simultanées soient possibles pour un seul polygone essayé à volonté, il y en aura, par là même, une infinité jouissant de celle propriélé à l'égard des coniques données.

Pour démontrer ce théorème directement, soient deux

lignes quelconques du second degré; d'après nos principes,

ces lignes pourront, en général, être projetées suivant deux

circonférences dje cercle, bien que, dans des cas particuliers,

cela puisse devenir illusoire.

jt3.

Soient (G) et (C), (fig. 146) les deux circonférences dont il s'agit; concevons un polygone quelconque ax' x" , , , a! inscrit dans le cercle (CJT'et dont tous les côtés ajc', x* x** y etc., soient tangents au. cercle (C), à l'exception d'un dernier côté

w»! y qui évidemment ne saurait, en général, devenir tangent à ce dernier cercle que pour des positions particulières du polygone dont il fait partie. Supposons qu'on déforme ce polygone de la manière indiquée au n'* //, il est évident qu'il pourra prendre toutes les positions imaginables autour du cercle (C), et que, s'il est possible d'inscrire à la circonférence (C) un certain polygone d'un égal nombre de côtés, qui soit en même temps circonscrit à l'autre (C), il y aura nécessairement une position du polygone ci-dessus olx* , . . a', telle que le côté aa' soit tangent au cercle (C); or je dis que c'est impossible si, pour cette position ou une position quelconque du polygone, la corde ojc^ n'est pas tangente à ce cercle.

En effet, nous avons vu au n"* // ci-dessus, que le côté aa' engendrQ, en général, par enveloppement une circonférence de cercle distincte de (C) et (C ), et ayant avec celles-ci une corde commune réelle ou imaginaire. Donc, quand les cercles (C) et (C) ont la position indiquée par la^îg. i46i celui qu'engendre généralement le côté aa' ne saurait visiblement avoir une tangente qui lui soit commune avec le cercle (C), et ainsi dans l'hypothèse où la corde aa' se trouverait toucher ce cercle pour la position actuelle de la figure, cette corde envelopperait dans son mouvement, le cercle (C) lui-même, et partant tous les polygones a^'x"... a' seraient à la fois inscrits dans le cercle (C) et circonscrits au cercle (C).

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., StJR UN PLAN. 35; Maintenant, de ce qu'il est prouvé que la proposition précédente est vraie pour une situation de la figure, indépendante de toute condition explicite et déterminée de grandeur, on peut conclure des principes posés au commencement du III*. Cahier, que la double proposition d'aboï-d énoncée est vraie quelle que soit la situation relative des deux cercles donnés (G) et (C), et la raison en est qu'elle ne concerne, en effet, que la direction indéfinie des parties de la iigure et non la grandeur de ces parties.

Autre démonstration du précédent théorème.

Pour rendre la conséquence ci-dessus encore plus claire, je vais employer un genre'de raisonnement analytique dont je me suis déjà servi dans plusieurs occasions.

Supposons que Ton cherche analytiquement l'équation du cercle engendré par la corde aa', en partant de celles des deux cercles (C) et (C); réquation cherchée dépendra évidemment des constantes qui entrent dans les équations données et du nombre même des côtés du polygone dx'x".... Un simple changement de signe de la dislance a qui sépare les deux centres C, C, constituera la seule modification que puisse subir l'équation du cercle enveloppé par aa', quand on viendra à faire varier la position respective des cercles donnés, puisque, par hypothèse, les autres constantes ne changent -de valeurs que d'une manière implicite.

Or, pour la position indiquée dans la précédente fig» i46» un polygone d'un nombre de côtés donné ne peut être à la fois inscrit et circonscrit aux cercles (C) et (C), à moins qu'il n'existe une certaine relation de condition entre les constantes qui entrent dans les équations de ces deux cercles. Quoique nous ne puissions à priori, découvrir cette relation, il est permis de la représenter par l'équation

où a désigne la distance CC, n le nombre des côtés du polygone, etc. ; il n'en est pas moins évident que si l'on en tirait la v^ileur de a notamment, et qu'on la substituât dans l'équation générale, supposée trouvée, de la circonférence qu'enve-

loppe, dans ses diverses positions, le côlé aa' du polygone variable a^'jc'^. . .a', cette équation, pour le cas de la Ogure cidessus, qui, par hypothèse, n'assigne aucune valeur particulière ou déierniince aux constantes R, r, a et n qui y entrent, celte équation, dis-je, devrait se confondre avec celle de la circonférence intérieure (C), ainsi que cela a été démontré précédemment.

D*ailhïurs, il est bien évident que quelles que soient les positions relatives des cercles (C) et (C), soit q u'ils se coupent ou ne se coupent pas, qu'ils soient ou ne soient pas renfermés Tun dans l'autre, réquation/(R, r, «, n) = o et celle du cercle inconnu décrit par aa', resteront de forme analytique parfaitement invariable.

Donc enfin, pour tous les cas possibles, cette dernière équation d'enveloppe deviendra, parla relation

rigoureusement identifiable avec celle du cercle (C), et par conséquent dans les mêmes circonstances, la corde aa' roulera sur la circonférence de ce cercle-enveloppe.

Ainsi, ce qui n'avait été démontré que pour le cas particulier de la figure précédente où le cercle (C) est entièrement intérieur à ((]), se trouve l'être pour* tous les cas possibles, et par conséquent, on peut conclure généralement et rigoureusement, que, quand un polygone quelconque à la fois inscrit dans un cercle donné et circonscrit à un autre cercle donné \lenl à être déformé dans les conditions prescrites, ce polygone restera, dans toutes les positions possibles, inscrit et circonscrit exactement aux deux mêmes cercles.

Discussion relative aux positions pour lesquelles le polygone à la fois inscrit et circonscrit aux deux cercles change de forme ou de nature.

Cas des polygones d'ordre impair, — On ne doit pas inférer de ce qui précède, que réciproquement, si deux circonférences de cercle quelconques étaient données, et qu'en inscrivant dans l'une d'elles un polygone dont tous les côtés, à l'exception d'un seul aa', touchassent l'autre, ce dernier côté aa' ne pourrail, dans aucune de ses positions, devenir tangent à ce même

DES SYSTÈMES l)K CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 'S^ cercle, quand on viendrait à déformer, dans les mêmes conditions, le polygone dont il fait partie.

En effet, soient (C) et (C), /g*. i47» deux cercles qui, sans se rencontrer, ne soient pas néanmoins renfermés Tun dans l'autre. Soit oia/x"x"'a' un pentagone non convexe, inscrit dans le cercle (G), et dont tous les côtés, à Tcxception du côté «a',

Fi{T. i',7

touchent Taulre cercle [iV], polygone qu'on peut obtenir eu menant d'un point quelconque a de (C) une tangente tax' au cercle (C), puis du point x' où celle tangente rencontre de nouveau (C) une seconde tangente x'x"t' à (C').et ainsi de suite; ce qui donnera un dernier point ou sommet a' qui différera, en général, du premier ou point de départ a, lequel joint à a' par une droite, formera le dernier côté aa' du polygone, et ne sera pas généralement tangent au cercle (C).

Cela posé, il s'agii de montrer que ce dernier côté aa! pourra néanmoins devenir tangent au cercle (C), dans certaines positions du polygone auquel il appartient.

Pour s'en convaincre, soit menée {fg- i48) une tangente rx"x' commune aux cercles (C) et (C), et dont Vêlement de

Fijr. |/,8.

contact x"x' représente le côté homologue du polygone de la

36o VI' CAHIEK. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

fig' '4?» "nais évanoui; par le point de conlaci double jr" a:', soil menée une autre tangente x"tt" au cercle (C); enfin du deuxième point x^ où celte tangente, confondue avec celle jr'a (fig* '47 )' rencontre le cercle (C), soit menée de nouveau une tangente f^x^'a' à (f/), la corde aa' sera une des positions du côté homologue de la même^îg^. i47, de sorte que le pentagone aLx'x"x"'(t! se trouvera, dans la nouvelle position, réduit aux deux côtés aa' etaj?' (fig, 148), du moins au point de vue purement géométrique; le côté x*x" étant alors nul, le côté a a;' confondu avec le côté x" x'" et x'"oi! avec «a'.

11 y a plus, le côté x' x" (fig, 147) pouvant devenir nul à son tour quand il touchera à la fois en dedans ou intérieurement les cercles (C) et (C), ce cas fournira une deuxième position de la corde aa' tangente au cercle (C) et dont le point de contact sur ce cercle sera, comme le point /"' [fig. i48), au-dessous de la ligne des centres C'C. Enfin on peut s'assurer pareillement que, pour deux positions distinctes, le côté x''x^ pouvant se réduire encore à zéro dans chacun des deux cas, le côté aa', indépendant de (C) en général, lui deviendra néanmoins tangent; les points de contact du côté x^ x^ avec ce cercle, étant tous les deux situés alors au-dessus de la ligne des centres CC.

Il suit de cette discussion que la corde ci-dessus ctody pourra prendre les quatre positions indiquées par la figure suivante;

Fig. 149.

positions dans lesquelles le pentagone correspondant se réduisant à deux côtés, comme l'indique la yîg. 148, cessera par conséquent d'être, à proprement parler, un véritable polygone au point de vue restreint de la géométrie ordinaire. Maintenanl, si Ton se rappelle que, d'après nos théorèmes, le

DES SYSTÈMES DE TONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 36i côté aa' doit» dans l'hypothèse générale du pentagone [Jig. i47)> parcourir une troisième circonférence de cercle, on en conclura qu'il prend les positions tangentielles aa', a, a',, aaf, a^d^ indiquées par \9ifig> 149» et, comme cette dernière circonférence ne peut avoir que quatre tangentes en commun avec le cercle (C), il est impossible également que le côté mobile oa' (fig, 149), de ce pentagone, devienne tangent au cercle (C), pour toute autre position que celles, au nombre de quatre, tracées sur la fig. 149-

Ce que nous venons de faire remarquer a lieu évidemment d'une manière analogue, pour tout polygone disposé comme le pentagone en question, et qui aurait un nombre impair de côtés; on peut s'en assurer en supposant alternativement nuls les deux côtés de ce polygone qui, ainsi que x' x'* et x'^x*", sont situés à un égal intervalle des extrêmes ax' et a'j?*' ou a'a:*"-", 2N-f- 1 étant le nombre impair des côtés.

Dans les quatre positions correspondantes du polygone ainsi dénaturé, ce polygone se réduit, comme dans le cas précédent, à plusieurs lignes droites contiguës, qui forment une portion de polygone non fermé à l'extrémité, et dont le nombre n des côtés est moindre que celui sn-H i des côtés du polygone considéré dans sa position générale.

Cas des polygones d'ordre pair. -^ L'examen que nous venons de faire du cas [Jig. 147) où le polygone aj/..., est d'ordre impair ou d'un nombre impair de côtés, nous porte naturellement à examiner aussi celui où Tordre est pair.

Soit donc aj;'. . .x'^a' [Jig. i5o) le polygone dont il s'agit, que nous supposerons, pour la clarté des démonstrations, un

hexagone. Dans cette hypothèse particulière, le côté indépen-

36a VI» CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

dam ou libre aa' ne saurait, comme précédemment, devenir tangent au cercle (C); mais il peut le devenir au cercle (C), c'ést-à-dire qu'il peut devenir nul ou s'évanouir en grandeur, sinon en direction.

A cet effet, menons la tangente commune i"x" (Jig. i5i) aux cercles (C) et (C) ; par les points x" et x'" confondus, où elle coupe le cercle (C), soit menée pareillement au cercle (C), la tangente x^t' coupant encore (C) en j/, puis x'ol touchant

Fig. i5i

(C) en / cl rencontrant (C) au second point «; le polygone dont a serait le sommet de départ, aura pour côté libre aa', c'est-à-dire l'élément tangenliel en ce point.

Ceci posé, il est clair que si, du point a, on mène une tangente toLx' au cercle (C), ce qui donnera le côté a:r', et, par son intersection, le second sommet x' de l'hexagone; que si de ce sommet x', on mène la tangente x' x" t' au cercle (C), on aura le troisième côté x' x" évanoui ou nul pour \^fig- i5i; que si l'on mène pareillement du troisième sommets", la tangente x"t" au même cercle (C), on aura le quatrième sommet x"' confondu avec le sommet x", et, en continuant ainsi jusqu'au dernier côté de la^i^. î5o, il est visible que le dei^ nier sommet a' tombera sur le premier a, ou, ce qui revient au même, que le côté aa' réduit à zéro, sera tangent au cercle (C) au point de départ a.

L'hexagone de la^g-. i5o, se trouve donc ainsi réduit aux côtés d'angle inscrit clx' et x* x'* ; les autres côtés, oLa!, x** x"*, s'étant évanouis tangentiellement à (C) ou confondus par deux [x'x", x"' x^^). Les cercles (C) et (C), dans la position supposée, ayant d'ailleurs quatre tangentes communes, il existera (jualro positions particulières do l'hexagone dont il s'agit

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 363 aa/df"...a' pour lesquelles les cordes aa' et xf' af", deviendront nulles, et auront par conséquent les positions indiquées sur X^fig. i52 ci-dessous, oii cet hexagone se trouve en effet réduit à deux seuls côtés.

Fig. 162.

Le côté aa' devant envelopper dans son mouvement, une même circonférence de cercle (G"), ce dernier cercle aura évidemment la position indiquée par la^g-. i52, où aa, a, a',, aa\ axd^ représentent les cotés évanouis du polygone, abstraction faite des groupes de côtés superposés entre eux et formant un égal nombre d'angles restés ouverts.

Si, au lieu d'un hexagone, on eût considéré un polygone d'un nombre quelconque pair de côtés î^n, on eût conclu également que le côté libre aa' ne saurait généralement loucher le cercle (C) en aucune position, mais que, pour quatre positions distinctes, ce même côté s'évanouissant devient tangent au cercle (C), comme le représente aussi la^g*. i52.

Hypothèses particulières et conclusion, — Si les deux cercles (C) et (C) se coupaient effectivement, il n'y aurait plus que deux tangentes qui leur fussent communes, et comme on peut s'en assurer directement, il n'y aurait plus aussi que deux positions différentes du polygone ci-dessus, pour lesquelles le côté oa' deviendrait tangent au cercle (C) ou au cercle (C). Dans tous les cas d'ailleurs, le nombre de côtés du polygone se réduirait nécessairement, et même en général, ce polygone resterait ouvert.

Enfin, si les cercles (C) et (C), sans se couper étaient renfermés l'un dans l'autre, le côté aa' ne pourrait plu§ dans aucune position, toucher ni l'un ni l'autre des cercles (C) ou (C), à moins de toucher ce dernier dans toutes ses positions.

Ces diverses remarques confirment parfaitement ce que

364 VP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVKS

nous avions conclu des théorèmes généraux (/// et suivants), au commencement de ce paragraphe, «avoir que « deux cer- » clés étant donnés sur un plan, il est impossible, en général, » d'inscrire dans Fun d'eux un polygone qui soit en même » temps circonscrit à l'autre, et quand, pour une situation » particulière de ces cercles, un tel polygone est possible, il » y en a une infmité d'aulres de même ordre qui jouissent de » cette singulière propriété (*). »

Extension des résultats et des considérations précédentes aux sections coniques en général, situées sur plan.

Revenons maintenant à la conséquence générale, relative aux coniques, qui fait l'objet principal de ce paragraphe et dont nous nous sommes écartés un instant.

D'après la remarque faite tout d'abord, les deux cercles (C) et (C) peuvent être considérés comme la projection de deux courbes quelconques du second degré, au moins en général ; car, pour des positions particulières de ces courbes, la projection peut devenir imaginaire, impossible géométriquement. Donc, d'après ce qui vient d'être établi sur le système parti-

(*) Cette facile conséquence d'une analyse en elle-même délicate et pénible par les développements qu'elle comporte, offre une analogie frappante avec colles qui, pour les polygones d^ordre pair, ont été l'objet 'déjà de diverses réflexions dans le III" Cahier (note de la p. 212). Ce n'est que bien tardivement encore que cette singulière proposition et ses annexes ont attiré l'attention des géomètres, malgré l'annonce que j'en a \'ais faite, dès 1817, dans les Annales de Matliématiques de Ntmes, et leur démonstration, en 1822, dans le Traité fies Propriétés projectiles desfigtires, où elles sont exposées par une voie improprement nommée synthétique, trèsrapide et rigoureuse, mais qui laisse peu entrevoir les difficultés inhérentes à leur démonstration algébrique par les procédés ordinaires de l'élimination. Ce n'est qu'en 1828 seulement, qu'un illustre et fécond géomètre, M. Jacobl, a fait, des théorèmes sur l'inscription et la circonscription simultanées d'un polygone au système de deux cercles, l'objet d'une étude approfondie où ces théorèmes sont rattachés à la doctrine des fonctions elliptiques, comme je le ferai mieux voir dans une Note spéciale, à la suite do ce volume, où on en lira avec intérêt, d'autres de M. Moutard et de M. Mannheim connu par de belles études de géométrie pure. La Note

culier de deux cercles, on est autorisé à conclure aussi d'une manière générale, que ;

a Si deux courbes du second degré sont telles, qu'on puisse B inscrire dans Tune, un polygone d'un certain nombre de » côtés, qui soit en même temps circonscrit à l'autre, il y » aura une infinité de polygones de ce nombre de côtés, qui » jouiront de la même propriété. »

De là encore on peut conclure, comme nous l'avons aussi annoncé, que, « deux courbes quelconques du second degré » étant données sur un plan, il est impossible, en général, » d'inscrire dans Tune quelconque d'entre elles, un polygone » qui soit en même temps circonscrit à l'autre. »

Au reste, on doit remarquer qu'il eût été possible de démontrer ces propriétés relatives aux coniques considérées au point de vue le plus général, absolument de la même manière que nous l'avons fait en dernier lieu, à l'égard du système simple de deux cercles, puisque deux lignes quelconques du deuxième degré n'ont, ainsi que deux cercles, pas plus de quatre tangentes communes. Cette démonstration eût été plus directe et plus générale à la fois : si je ne lui ai pas donné la préférence, c'est qu'elle ne s'est pas présentée

de ce dernier se rattache, par son caractère propre, plus particulièrement aux spéculations du 111* volume de cet ouvrage consacré aux Propriétés projecthes des figures, à l'égard duquel elle constitue une véritable anticipation dans Tordre historique et didactique des idées. J'ai cru cependant utile de la publier ici comme un nouvel exemple de l'extrême simplicité avec laquelle certaines propositions qui ont tant coûté d'efforts aux premiers inventeurs, peuvent être établies, démontrées, en mettant à profit la connaissance des doctrines et des notions mêmes dont ces efforts ont été, tout au moins, une cause de développements ultérieurs; je veux dire les doctrines, les notions relatives à la continuité, si mal accueillies à Torigîne, et dont l'inQuence se laisse apercevoir jusque dans les écrits algébriques de notre époque, surtout dans ceux qui appartiennent au domaine de la géométrie des formes et du mouvement. Là, en effet, on n'échappe aux difficultés inhérentes à la continuité qu*à l'aide de sous-entendus, de paralogismes, de cercles vicieux, de subterfuges même, dont les écrits de nos plus grands géomètres algébristes ne sont pas toujours exempts. — En présence des Sophistes et des Sceptiques, Euclide n'a pas tenté la démonstration de son célèbre Postnlatum sur les lignes parallèles.

d'abord à mon esprit, à cause de la difficulté des tracés géométriques.

La propriété ci-après, peut être regardée encore comme une conséquence immédiate de celles que je viens de démontrer.

Théorème relatif à r inscription et à la circonscription simultanées d'un polygone variable d'ordre quelconque, au système de deux coniques sur un plan.

Soient mn. > . p et ax. , . a' (Jig. i53) deux courbes quelconques du second degré, nino., . pX. un polygone également quelconque, circonscrit à la première que Je nomme (C), et dont tous les sommets soient situés sur l'autre courbe

Fig . 1 53 .

mn, . . p, ou (C), à l'exception du sommet X, qui ne saurait, en général, y être situé en même temps que les précédents; ce sommet X, demeuré libre, décrira, comme nous l'avons vu (art. IF)y une section conique; or je dis que cette courbe se confondra avec la conique mn,.,p ou (C), quand, pour une certaine position assignée, le polygone mno. . . X aura tous ses sommets situés sur cette courbe.

Celte proposition est assez évidente d'après tout ce qui précède, pour qu'il devienne inuiile de la démontrer directement. On peut cependant observer encore que si, pour une position donnée analogue à celle de la figure ci-dessus, le polygone mn. . . pX n'avait pas tous ses sommets placés sur la courbe (C), on ne devrait pas généralement en conclure que la courbe décrite par ce sommet, ne put avoir aucun point en commun avec la ronique (C).

En effet, nous avons vu précédemment, par le cas des cercles, que le côté aa'du polygone olx' af , ,, ol' inscrit à (C), et conjugué à celui mn. . . X en question, pouvait» en général, devenir tangent à la conique efghj enveloppe de ses divers autres côtés, pour quatre positions distinctes et tout à fait singulières, le polygone olx' x" ., . a', circonscrit en ses divers sommets, se réduisant alors lui-même à un nombre moindre de côtés, et restant entièrement ouvert.

Donc, dans ces mêmes circonstances, le polygone mobile /nno...X (fig. f53), complètement circonscrit à (C), mais non généralement inscrit à (C), aura son sommet libre X placé, à son tour, sur la conique extérieure (C). Or comme, par suite, ce polygone se sera entièrement déformé et réduit à deux de ses côtés, il aura réellement cessé d'exister au point de vue de la géométrie ordinaire.

APPENDICE. — DÉTERMINATION GEOMETRIQUE DES ÉLÉMENTS PRINCIPAUX ET DES INTERSECTIONS, PAR UNE DROITE, d'UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ DONNÉE PAR CINQ POINTS QUELCONQUES SUR UN PLAN.

Exposé. — Nous avons annoncé la solution de ce problème dans le IIP Cahier; il s'agissait alors, en effet, de trouver les intersections d'une droite et d*une section conique dont on a seulement cinq points, mais sans recourir au tracé de la courbe, toujours long et pénible ; question résolue {*) par M. Brianchon à Taide de considérations fondées sur la théorie des transversales. Je me propose ici de discuter, de déterminer explicitement la courbe par son centre et ses axes rectangulaires ou obli-

(*) yojr. t. I de la Correspondance sur V École polytechnique (i8o/| à 1808), p. 4 ^» où le problème est ramené, à celui de construire avec la règle et le cornpnSj l* intersection d'une droite donnée et d'une surface gauche du deuxième dfgre. Ici au contraire, il s'agissait, ci^général, de discuter la cuiirb.; et d'en déterminer, de la manière la plus simple possible, les principaux cléments pour en appliquer les résultats au problème de l'inscription des polygones aux courbes dit deuxième degré, etc., comme j'en ai déjà fait la remarque dans une note de la page i5o. Or le but de semblables rechercher n'est point aussi élémentaire qu'il parait Tétre, quand on se propose d'en réduire les solutions au plus petit nombre po89ible«de tracés ou de calculs: but non encore atteint à mon sens, d'une manière satisfaisante aujourd'hui (i8Gi), ni par la géométrie, ni par l'analyse algébrique, à cause du trop grand nombre d'opérations auxquelles, pratiquement, il entraine.

ques, ce qui permettra ensuite de résoudre, par les moyens ordinaires, les divers problèmes relatifs à cette courbe.

Soient A, B, C, D et E (y^. i54) les cinq points par lesquels on veut faire passer une section conique. ' On commencera par examiner si ces points appartiennent à une seule branche ou à deux branches distinctes de courbe, comme cela pourrait arriver si cette courbe devait être une hyperbole. A cet effet, on imaginera une droite passant par Tun des points donnés et laissant en dehors tous les autres. Supposons que A soit le point choisi en particulier; on imaginera que cette droite, laissant tous les autres points d'un même côté de sa direction , vienne à tourner autour de A comme pôle et dans un même sens, jusqu'à ce qu'elle atteigne un second, B, des points donnés, en laissant toujours les derniers au-dessus de sa direction.

Fig. 154.

On imaginera pareillement qu'une droite passant par le point B et laissant tous les autres en dessus de sa direction, vienne à pivoter, toujours dans le même sens et de la même manière, autour de ce point comme pôle jusqu'à rencontrer un nouveau point C; en continuant ainsi, on finira par former un pentagone ABCDË, dont les cinq points donnés seront les sommets respectifs.

Cela posé, si le pentagone ainsi obtenu est convexe , les points donnés appartiendront à une môme branche de coarbe; dans le cas contraire, ces points seront situés sur deux branches distinctes, et la conique cherchée sera par conséquent une hyperbole (*). Dans le cas actuel de la 7^^. i54, le pentagone est convexe: ainsi il est impossible de reconnaître à priori, l'espèce de la conique qui lui est circonscrite.

Reclierche dUtn sixième point quelconque de la conique, — Maintenant si l'on se rappelle (Art. r et Fil du III' Cah.) que, dans un hexagone quelconque inscrit à une courbe du second degré, les trois pointe où se ren-

(*) Vojr.y h la snîtc <lc ce ▼olume^ une Noti» analytique relative à ce suj<'t.

contrent les côtés respectivement opposés sont situés sur la ménie ligne droite, il sera facile de déterminer un sixième point d'une telle courbe au n^yen des cinq autres. Les cinq points de \9ijig. i54 étant donnés à priori, on considérera les quatre côlés AB, BC, CD, DE du penlagone déjà défini ci-dessus, comme les quatre premiers cùlés de riu*xagone inscrit à la courbe cherchée; ijour trouver les deux derniers, l'un adjacent à AB et Taulre à ED, on prolongera les côtés opposés AB et DE justju'd leur rencontre en I, et indéfiniment les deux autres côlés BC et CD; ensuite par le point I, on mènera une droite arbitraire KL, coupant les côtés BC et CD prolongés, aux points K et L; enfm, on joindra le point K au point A par la droite KAX aussi prolongée, et joignant de môme, L et E par la droite LEX qui rencontre la première au point X, on formera avec ces deux nouvelles droites, l'hexagone ABCDEX, dont les côtés opposés se couperont respectivement aux trois points K, I et L situés en ligne miroite, et qui par conséquent sera inscrit à la courbe cherchée. Donc le point X obtenu de cette manière, est un sixième point de cette courbe.

La construction précédente donnerait successivement autant de points qu'on voudrait de la conique qui contient les cinq points A, B, C, D et E; si donc on ne se proposait que de décrire cette courbe par points et d'en trouver les intersections par une droite donnée, le problème serait parfaitement résolu; mais s'il fallait préalablement en déterminer le centre et les axes, sans la décrire, voici comment on pourrait s'y prendre.

Recherclie du centre de la conique. — Observant que toute droite passant par le milieu de deux cordes parallèles de la courbe cherchée, est nécessairement un de ses diamètres et contient son centre, il suffira de déterminer deux semblables droites pour obtenir ce centre par leur mutuelle intersection ; or cela est très-facile.

En effet, si, au lieu de prendre la génératrice LEX arbitrairement, ainsi que nous l'avons fait ci-dessus , on la mène parallèlement à la corde BC l'un des côtés du pentagone ABCDE, la corde EX terminée aux points K et X de la conique étant parallèle ii BC, la droite indéfinie qui passe par les milieux respectifs de ces deux cordes sera l'un des diamètres cherchés. En considérant pareillement l'autre génératrice AX, dans la position où elle est parallèle à la corde CD, il en résultera une nouvelle corde AX de la conique, parallèle à cette dernière, et par conséquent la direction indéfinie d'un nouveau diamètre de la conique.

L'intersection des deux diamètres ainsi obtenus donnant le centre de cette courbe, sa position permettra de juger quelle en est l'espèce particulière : les cinq points donnés A, B, C, D et E suffisant en effet, pour faire connaître de quel côté est tournée la convexité ou la concavité de la conique qui y passe, on pourra affirmer à priori, que cette courbe est une ellipse si le centre obtenu est situé dans sa concavité, ou une hyperbole dans le cas contraire. Quant au cas de la parabole, il se reconnaîtra de I 24

370 VI'* CÂflïER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

suite, on ce que ce centre se trouvera situé à l'infini, c'est-à-dire que los diamètres déterminés ci-dessus, seront alors parallèles, etc. (k5t examen d'ailleurs n'est indispensable que pour le cas où les cinq points donaés s<» trouvent sur une môme branche de courbe; car, dans le cas contraire, ainsi que je Tai déjà fait remarquer, l'espèce de la courbe est complètement déterminée à priori.

Rec/ierc/te fl'i/n sjrstème de diamètres conjugués, ' — Connaissant ainsi l'espèce de la courbe et la position de son centre dansJes cas de l'ellipse ou de l'hyperbole, on pourra aisément obtenir un de ses systèmes de diamètres conjugués. On commencera par déterminer le diamètre qui pas.-e par le point E ou Â, en direction et en grandeur, en considérant la génératrice LEX dans la position où elle passe par le cenlre déjà trouvé; car le point T, ainsi obtenu sur la courbe, sera l'une des extrémités du diamètre correspondant, dont le point E est naturellement l'extrémité opposée. Le diamètre conjuguéau précédent étant parallèle à la tangente relative à l'extrémité E, on construira cette dernière tangente par le procédé du n° FII^ p. i38 (lll" Cahier); ce qui déterminera la direction de ce diamètre, et suffira pour en trouver la longueur.

A cet-eflet, on imaginera que la courbe soit rapportée aux diamètres conjugués ainsi obtenus , son équation étant

si c'est une ellipse , et

si c'est une hyperbole , les coordonnées x et y étant obliques et parallèles aux diamètres conjugués en question.

Cela posé, si l'on imagine que a représente le demi-diamètre connu, qui passe par E, et que ,r' et y' représentent les coordonnées également connues de l'un des quatre points donnés A, B, C et D, on aura respectivement, pour déterminer la grandeur b du demi-diamèlre conjugué au premier, d'après les équations ci-dessus.

b = • ou h =

Ces expressions peuvent se construire facilement au moyen d'une quatrième proportionnelle , telle que , par exemple ,

yja^ — r" : y \:n: b.

Les diamètres conjugués de la courbe inconnue étant ainsi déterminés en grandeur et en direction , ses axes rectangulaires le seront eux-mêmes d'après la construction donnée dans les Élém'ents. Ainsi la première par-

lie du problème proposé pourrait être censée résolue pour les cas de l'ellipse et de l'hyperbole ; de plus, je ferai remarquer en passant que, dans ce dernier cas, la connaissance des diamètres conjugués de la conique cherchée entraîne, par une construction très-simple, celle de ses asymptotes, de ses axes principaux, elc.

Cas fie la parabole, — (Junnd la courl>e»qui passe par les cinq points donnés A, B, C, D et E, est une parabole, il n'existe plus de centre ni de diamètres conjugués, mais il n'en résulte aucune difficulté.

On mènera, comme précédemment, par le point E de la courbe, une droite qui lui soit tangente, puis une autre droite diamétrale £0 [Jîg. i55), parallèle à celles construites d'abord. On considérera, de plus, la génératrice LEX [fig. i54) dans la position [Jîg, i55) où elle se trouve perpendiculaire à la direction de ces diamétrales; ce qui donnera un point X d'intersection de cette perpendiculaire avec la parabole.

Cela posé, soient MET la tangente dont il vient d'être parlé, EO la droite diamétrale correspondante; EX la corde perpendiculaire à £0,dont l'extrémité X est éi^alement censée déjà construite; cette corde EX étant, par hypothèse, perpendiculaire à Taxe de symétrie MN de la parabole, se

Fijr. i55.

trouve divisée en parties égales au point 1 par cet axe; donc si Ton mène par I une parallèle à EO , ce sera l'axe même dont il s'agit. Pour trouver le foyer F de la parabole sur la direction de l'axe MN, on mènera par le point E, la droite EF faisant avec la tangente MET un angle aigu MEF égal à l'angle OET ou O'EM, et cette droite viendra couper l'axe MN au foyer F, demandé. Pour obtenir la directrice PQ de la parabole, on portera le rayon vecteur EF de E en / sur EO' prolongement de OE, et, du point/, on abaissera la perpendiculaire indéfinie P/Q sur l'axe MN : ce qui donnera la directrice cherchée; la parabole se trouvera donc aussi parfaitement déterminée dans ses éléments principaux.

Recherche en général, des intersections de la conique, non décrite, avec une droite déjà tracée, etc, — Si, étant donnés cinq points d'une courbe

du second de<;ré, on se proposait soit d'en trouver les intersections avec une droite donnée, soit de lui mener une tangente par un point pris arbitrairement, il ne serait pas nécessaire, dans les cas de Tellipse et de Fhyperbole, d'en construire les axes rectangulaires; il suffirait, en vertu des considérations suivantes, très-simples, d'en déterminer, comme nous l'avons fait ci-dessus, deux diamètres conjugués.

Puisque l'équation d'une courbe du second degré, rapportée à son centre et à SCS diamètres conjugués obliques, est absolument de même forme que celle de celte courbe rapportée à son centre et à ses axes rectangulaires, il s'ensuit que si, laissant fixe l'un des deux diamètres conjugués auxquels elle est rapportée dans le premier cas, on redresse, perpendiculairement à ce diamètre, celui qui lui est conjugué ainsi que toutes les ordonnées qui lui sont parallèles, en leur conservant leurs grandeurs respectives, la courbe formée par les extrémités des ordonnées ainsi redressées, sera de même espèce que la première, aura pour Tun de ses axes rectangulaires le diamètre même resté fixe, et pour l'autre, celui qui lui est conjugué, redressé comme je l'ai dit. De plus, s'il se trouve sur le plan de la courbe primitive à ordonnées obliques, une droite tangente ou non à cette courbe, et si Ton en redresse de même les ordonnées obliques, parallèles aux précédentes comptées du diamètre fixe, leurs extrémités supérieures appartiendront à une autre droite tangente ou sécante de la nouvelle courbe, en des points correspondants aux points communs ù la conique et à la droite primitives, mais redressés toujours suivant la même loi.

D après ce système de transformation , il sera donc facile, une courbe du second degré étant donnée par ses diamètres conjugués, si l'on veut en trouver l'intersection avec une droite donnée, ou lui mener une tangente par un point donné, de ramener la question aux questions plus simples déjà résolues (Prob. XIV, Cah. I, Lenuncs de f;éométrie)y où les axes rectangulaires de la conique sont donnés en grandeur et de position. Pour y parvenir, il suffira, en effet, de redresser suivant le procédé ci-dessus, la droite ou le point donné ainsi que le diamètre oblique de la conique appartenant aux cinq points primitivement donnés, de manière que la nouvelle courbe étant rapportée à son centre et à ses axes, on en puisse facilement déterminer l'un des foyers, la directrice, etc.

Tout ceci me parait assez évident au premier aperçu, pour qu'il soit inutile d'en donner une plus ample explication en recourant au tracé tout élémentaire d'une troisième figure.