PRINCIPES FONDAMENTAUX

J'adopterai en principe, dans ce Mémoire de géométrie, que si une figure quelconque jouit d'une de ces propriétés que nous avons appelées de position, quand les parties dont elle se compose ont une disposition particulière, cette figure jouil encore de la même propriété quelle que soit la manière générale dont on ait interverti l'ordre ou la disposition respective de ces parties.

Cette généralisation ou extension n'est autre que celle que l'analyse algébrique porte avec elle dans toutes les questions où i! ne s'agit que de propriétés de position. En effet, quand on met un problème (ou théorème) de cette nature en équation, on part d'une situation particulière de la figure, et les résultats auxquels on arrive sont vrais pour toutes les dispositions possibles qui remplissent la même condition, parce que les résultats auxquels on est parvenu ne laissent aucune trace de la situation particulière d'où l'on est parti ; les signes et les leftrps s'éiant disposés d'une manière générale et invariable. C'est celle grande extension de l'analyse, extension qu'on doit pouvoir donner dans les mêmes circonstances aux démonstrations géométriques, qui a justifié l'expression de puissance de Vanalyse. ... Il semble qu'on n'a pas assez prouvé cette puissance; on y croit: mais cela suffît-il? Peut-

DES CuVHlERS PRÉCÉDENTS. 375

èlre celle propriélé qui lui vienl de la coiiveiilion même élablie sur les signes algébriques, esl-elle très-difficile à démonirer en loule rigueur; aussi les premiers géomèlres qui s'en sont servis el Newton lui-même, ont-ils toujours eu soin de faire suivre chaque démonlration analytique d'une démonstration synihétique. Celle preuve répétée souvent donne toute la confiance imaginable; mais est-elle d'une certitude mathématique? Dans le cours d'un calcul, il arrive souvent, que certaines expressions qui y entrent implicitement sont nulles, imaginaires ou prennent loule autre forme : on continue le calcul sans s'en douter, et l'on arrive à une équation finale qui n'en laisse aucune trace; la suite des opérations, qui n'est qu'un raisonnement tacite, est donc appuyée sur des considérations d'infinis, d'imaginaires, etc., el cependant les conséquences sont vraies. Il n'en est pas de même de la géométrie, telle qu'on la considère ordinairement : comme tous les raisonnements, toutes les conséquences ne peuvent être appréciés par l'esprit qu'autant qu'ils se peignent à l'imagination par des objets sensibles, dès que ces objets manquent, le raisonnement s'arrête.

Ces réflexions sont naturellement nées du sujet qui nous occupe, et n'ont pas dû être passées sous silence, puisque toutes les conséquences que nous allons développer sont fondées sur la vérité des résultats de l'analyse; mais qu'il soit ou qu'il ne soit pas démontré, en toute rigueur, que ces résultats de l'analyse sont toujours vrais, peu nous importe, puisque cette vérité est tellement reconnue des géomètres qu'elle est mise au rang des axiomes. Il est donc prouvé d'après le raisonnement que nous avons fait plus haut, que toutes les fois qu'on aura démontré qu'une propriété existe pour une disposition générale des parties d'une figure, celte propriélé existera toujours quelle que soit la manière dont on intervertisse l'ordre ou la disposition de ces parties, pourvu toutefois que les éléments de la première figure ne soient pas liés par des conditions de grandeur déterminée.

Voici, à l'appui de ce qui précède, un exemple très-connu et qui fera voir et apprécier l'avantage de pouvoir étendre les démonstrations de la géométrie. Soit une droite et une surface du second degré qui ne se coupent pas; par la droite imagi-

376 Vir ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

nons deux plans tangents à la surface, ils toucheront chacun, la surface en un point ; imaginons en outre, un cône qui soit tangent à celte surface ei dont le sommet soit situé sur la droite en question, il déterminera, comme on sali, sur la surface une courbe de contact plane et cette courbe passera évidemment par les deux points déterminés d'abord; donc le plan de cette courbe passe par la corde qui joint ces deux points, et il en est de même du plan de contact de toute autre surface conique pareille.

Cela posé, imaginons que, par la droite donnée, non sécante, on mène un plan sécant dans la surface; ce plan coupera : cette surface suivant une section conique {C)yjig. i56; la corde des points de contact au point 0 ; chaque surface conique suivant un couple de tangentes/?/ ou p^t\ qui se couperont sur la droite donnée ML, et enfin les plans de contact de ces surfaces coni-

Hg. i56.

ques suivant des cordes de contact //, /'/'. De là donc cette propriété bien connue : Si des points d*une droite MF- située au dehors d'une section conique C, on mène deux à deux, des tangentes telles que/?/ et p^t\ les cordes de contact //,, /Y,, etc., passeront toutes par un même point O.

Tant que la droite ML est située au dehors de la courbe (C), celle proposition est une conséquence du raisonnement précédent; mais cela n'aura plus lieu quand elle traversera la courbe, car alors il sei^a impossible de mener par cette droite deux plans tangents à la surface en question. Devrait-on conclure de là que la propriété n'a plus lieu dans ce cas? Non sans doute, et l'analyse dont les résultats sont indépendants de la position relative de la courbe et de la droite, fournit la même conséquence dans un cas que dans l'autre.

Qu'on se donne, en effet, les équations de la droite et de la conique, il est clair que, quelle que soit leur position relative, les coefficients, quoiqueayant implicitement des valeurs diffé-^ rentes selon la position particulière que l'on choisit, y entrent malgré cela, de la même manière et sous la môme forme; en sorte que la question pour le cas où la droite rencontre la courbe, et celle pour le cas où elle ne la rencontre pas, ne peuvent pas être distinguées Tune de l'autre. Cela n'aurait plus lieu si la position de la droite était liée à celle de la courbe par une condition de grandeur : la forme des coefficients pourrait changer alors, et la conséquence que l'on en tirerait serait bien un cas particulier de la conséquence générale, mais ne la renfermerait pas. Ainsi, ayant trouvé dans ce cas, que les cordes /^ /'/' se rencontrent en un même point, on n'en pourrait pas conclure, avec certitude, que cela soit vrai en général.

Par la suite, des exemples réitérés éclairciront encore plus ce qui précède. Quant à présent, nous allons en déduire un moyen général do simplifier les' démonstrations des propriétés de position dont jouissent les figures.

Considérons une figure quelconque composée de points, de lignes droites et de sections coniques, et supposons toujours que ces différentes parties soient liées entre elles par une condition générale de position, indépendante d'aucune grandeur déterminée ; il est évident que, si on la projette sur un plan arbitraire, par de nouvelles lignes droites, des plans et des cônes partant tous d'un même point également arbitraire (qu'on peut nommer point de vue ou point projetant), il est évident, dis-je, que, sur ce nouveau plan de projection, unedroite sera projetée suivant une autre droite, une section conique suivant une autre section conique, etc., et que toute ligne droite ou section conique qui touchera une ou plusieurs autres courbes de cette espèce dans la première figure, étant mise en projection, touchera également la projection de ces courbes aux points qui correspondent, respectivement à ceux où elle les touchait d'abord.

Cela posé, il est permis de conclure, en général, que,- si la

figure donnée jouit d'une certaine propriété de position^ la projection de cette fîgure doit jouir de la même propriété; et réciproquement, s'il est démontré que cette projection jouit d'une propriété de cette espèce, on en peut conclure aussi que la figure d'où elle provient jouit de la même propriété.

Voici maintenant la conséquence que l'on peut tirer de cette remarque très-facile à faire :

(( Une figure étant donnée, si l'on veut rechercher quelles » sont les propriétés de position dont elle jouit, on examinera )) si elle peut être projetée suivant une figure plus simple; » si cela a lieu, on cessera de s'occuper de la première fîgure » et on recherchera seulement, sur sa projection plus simple, » les propriétés que l'on avait particulièrement en vue; car, » d'après ce qui précède, ces propriétés appartiendront aussi » à la figure considérée d'abord. »

Ceci cependant présente une difficulté; car les propriétés de la projection ne seront généralement applicables à la figure primitive qu'autant que celte projection sera elle-même. toujours possible, quel que soit l'arrangement général des parties dont elle se compose. Mais on peut résoudre facilement cette difficulté au moyen du principe invoqué à l'art. I.

En effet, supposons qu'une figure étant donnée, il soit démontré qu'elle puisse être projetée suivant une figure plus simple pour une certaine disposition générale des partiesquîla composent, et que, pour une autre disposition générale de ces mêmes parties, cette projection devienne impossible ou imaginaire : il est évident que, si la projection en question jouit d'une certaine propriété de position, la figure d'où elle provient en jouira aussi, pour toutes les dispositions des parties où cette projection sera possible et réelle (cela est une conséquence de la remarque précédente). Or nous avons démontré art. I, que s'il était prouvé qu'une figure jouit d'une propriété de position pour une certaine disposition générale de ses parties, elle jouira toujours de la même propriété quelle que soit la manière générale don^ on ail interverti l'ordre ou la disposition de ces mêmes parties.

Donc, quoique la projection d'une figure donnée puisse devenir imaginaire pour certaines dispositions de cette figure, il uvn est pas moins vrai do dire (jue, toute propriété de position

dont jouit sa projection quand elle est possible, est toujours une propriété de cette figure y même quand la projection devient imaginaire.

D'après ces différenles remarques, on senl combien, il sera souvent possible de simplifier les recherches qui auront pour objet les propriétés générales de position. Voici, en résumant, comment il faudra s'y prendre :

a Quand on se proposera de découvrir quelque propriété 0 générale de position d'une figure, on pourra imaginer que » cette figure soit projetée sur un nouveau plan ( d'après la » manière indiquée ci-après), de telle sorte qu'une ou plu- » sieurs parties de cette figure soient réduites à des circon- )) stances plus simples; on aura ainsi une nouvelle figure qui » pourra remplacer la première, sinon pour toutes les disposi- » tions possibles au moins en général ; on raisonnera sur cette » figure comme tenant lieu de la première d'où l'on est parti, j) et les propriétés, les conséquences générales qu'on en dé- » duira seront égalcnvent applicables à cette figure, quoiqu'il » arrive des cas où la projection soit imaginaire. »

On voit aussi, d'après cela, combien il serait avantageux de connaître à l'avance les différentes figures et propositions que l'on pourrait simplifier au moyen de la projection ; c'est ce que \ nous nous proposons maintenant de rechercher.

Pour y parvenir, commençons par remarquer : 1® que l'équation du plan inconnu de projection renfermant trois indéterminées ainsi que celles du point projetant, on pourra, en général, satisfaire à six conditions distinctes; mais qu'il faudra avoir soin de les choisir parmi celles qui sont compatibles entre elles ; 2" que certaines conditions peuvent en renfermer deux ou plusieurs autres explicitement ou implicitement, ce qu'il faudra bien examiner; 3° que si le système se trouvait déjà soit par sa nature, soit par une réduction partielle, remplir une ou plusieurs conditions, ce serait autant d'indéterminées de moins dont on pourrait disposer.

Nous commencerons ces recherches sur la réduction des figures, en faisant connaître d'abord celles de ces réductions qui

38o VU« ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

peuvent être établies par le secours seul de la géométrie, et dont la plupart même sont déjà tellement connues, que nous nous dispenserons d'en donner la démonstration ici. Nous ferons connaître ensuite les réductions qui, étant moins simples que les premières et n'étant point encore connues, exigent, par là, que Ton en donne une démonstration complète.

Comme les réductions dont il s'agit seront souvent employées et doivent former la base de ce Mémoire, nous leur donnerons le nom de Principes, Il faudra se rappeler que ce que nous appelons projection d'une figure ou système de figures, n'est autre chose que la perspective de cette figure prise d'un point nommé central ou point projetant.

1" Principe. — Un système de droites concourant au même point peut être considéré comme la projection d'un système de droites parallèles, et réciproquement un système de droites parallèles peut être considéré comme la projection d'un égal nombre de droites concourant en un même point.

11* Principe. — Deux ou plusieurs systèmes de droites concourant dans chaque système en un même point, peuvent être considérés, quand tous ces points de concours sont situés sur une même ligne droite, comme la projection d^un égal nombre de systèmes de droites parallèles, mais ayant une inclinaison distincte selon le système auquel elles appartiennent. Réciproquement, deux ou un plus grand nombre de systèmes de droites parallèles peuvent être regardés comme la projection d'un égal nombre de systèmes différents de droites concourant, dans chacun en particulier, en un même point et tous les points de concours ainsi obtenus, sont situés sur une seule ligne droite.

Ilh Principe. — Une courbe quelconque du second degré p(»ui toujours être considérée comme ayant pour projection centrale ou perspective, etc., une circonférence de cercle, et vice versa. Cependant le système de deux lignes droites quelconques qui se coupent sur un plan, quoique représentant une véritable section conique, ne devra pas être regardé f^énéralement comme pouvant être projeté suivant une circon-

férence de cercle, du moins quant à l'objet que nous nous proposons. La réciproque est également vraie et la raison en est très-évidente ; car toutes les parties de la Ogure, à l'exceplion des deux droites en question, se trouveraient être projetées suivant un point unique ou des lignes droites passant par ce point, puisque le plan de projection passerait nécessairement aussi par le centre projetant.

Néanmoins, le système de deux droites n'étant qu'un cas particulier de la section conique, toute propriété de position de celle-ci sera applicable à l'autre, modiOée d'une manière convenable : ainsi des propriétés générales de la courbe du deuxième degré on pourra bien déduire celles du système de deux lignes droites, mais l'inverse ne sera pas vrai.

IV* Principe. — Toute figure composée d'un cercle et d'une droite peut, en général, être regardée comme la projection d'une autre figure composée aussi d'un cercle et d'une droite située à l'infini; de sorte que (IP Princ), si la première figure renferme, entre autres, un système de lignes droites concourant en un même point situé sur la droite en question, ce système dans la projection, sera un système de lignes droites parallèles.

Ge principe a besoin d'être démontré, et c'est ce que nous allons faire en reprenant la chose d'un peu plus haut.

Un cône oblique dont la base est une section conique peut être coupé par un plan suivant un cercle, et il existe deux positions du plan, non parallèles, pour lesquelles cela a lieu : c'est ce qu'on appelle sections sous-contraires {*); cette propriété est générale pour les surfaces du second degré et se

(*) Autrement dites sections anti-parallèles. D'après l'antique définition des coniques par Apollonius , l'existence des sections circulaires obliques au cercle de base du cône, se démontre élémentairement par la géométrie, comme on Ta vu déjà aux p. 1 18 et suiv. du texte; cette démonstration est reproduite ici, à quelques différences près dues à la substitution des figures de cet endroit à celles du texte ci-dessus.

38a VIP ET DERNIER CAUIBR. - RÉSUMÉ

trouve démontrée dans la plupart des Éléments d'Analyse appliquée à la Géométrie.

Soit {c% Jig. i57, la base circulaire d'un cône oblique, s le sommet du cône, sp la perpendiculaire abaissée de ce sommet sur le plan de base. Par le centre du cercle (c) et par le pied p de la perpendiculaire sp^ soit menée une diamétrale ab ou

Fîg. 167.

droite indéfinie MN regardée ici comme ligne de terre; la base du cône étant prise pour plan horizontal de projection, le plawi élevé perpendiculairement sur cette base par la trace MN sera le plan verlical de projection qui passera évidemment par Te sommet s\ ce plan coupera la surface conique suivant les deux arêtes extrêmes sa et sb. Cela posé> je dis que la section sous-contraire à la section (c) est un plan perpendiculaire au plan vertical sab de projection, dont la trace mn sur ce plan fait, avec l'arête sb^ Tangle smn égal à Tangie sab.

En effet, pour qu'un plan tel que celui qui a mn et od pour traces sur les deux plans de projection, coupe la surface conique suivant une circonférence de cercle, il faut que l'ordonnée ody qui appartient à la fois à cette section et à la base (c), soit une moyenne proportionnelle entre les segments no et mo du diamètre mn de cette même section, en sorte qu'on doit avoir

do =noX om ;

mais l'ordonnée od appartenant aussi au cercle (c), on a en même temps,

do =aoy<ob;

<Jonc, pour que la section mn soit circulaire, il faut que

ou bien

no X om =zaoX ob, mo \ob\\ ao\no;

donc enfin, les deux triangles aon et bmoy ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels, sont semblables, et par conséquent Vangle sntUy supplément de omby doit être égal à Tangle sab, supplément de oan.

Toutes les sections parallèles à mn étant des cercles, les centres de ces cercles seront situés sur une ligne droite passant par le sommet s, ceux des sections parallèles au cercle (c) seront également situés sur une droite passant par le sommet s : ces deux droites ne sont pas les mêmes, elles ne se confondent que quand le cône est droit.

Tout ce que nous venons de dire est indispensable pour bien entendre la démonstration suivante.

Soit toujours m/i (^g*. i58), une section sous-contraire au cercle {c) dans la surface conique 5a6; par le sommet s soit mené un plan parallèle à cette section, il aura évidemment pour trace sur le plan vertical sab de projection, la droite sk parallèle

Fig. i58.

à mn, et sur le plan horizontal une droite kh parallèle à od et par conséquent perpendiculaire à MN ; soit, de plus menée, par l'extrémité a du diamètre ab, la parallèle aq à mn. Cela posé, les triangles abq et kbs étant semblables, on aura la proportion

aq : sk :: nb:kb;

pareillement, aq éiant parallèle à mn, le triangle saq se trouve être semblable au triangle sab, et par conséquent on aura en> core la proportion suivante

saïaq :: sb : ah.

Maintenant, si Ton observe que Tangle asle est égal à l'angle snm comme alternes-internes, et par conséquent égal aussi à l'angle abs^ on en conclura que les triangles sak et sab qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles sk X as et ab X bs des côtés qui comprennent ces angles. Mais ces triangles ayant même hauteur au-dessus de leurs bases ak et ab, on en conclura aussi qu'ils sont entre eux comme ces bases; donc, à cause du rapport commun , il en résultera cetie nouvelle proportion,

abxbs: sk Xas'.lab: ak, ou bien

bs:skXas::i: ak.

En multipliant par ordre les trois proportions que nous venons de trouver, et supprimant ensuite les facteurs qui se détruisent, il viendra le résultat suivant,