I : A 5 : : I : ka x kb, d'où ks = ka xkb

c'est-à-dire que ks est une moyenne proportionnelle entre les segments ka et kb. Donc si par le point k on mène une tangente kt au cercle C, cette tangente sera égale à KS. Voici la conséquence qu'on peut tirer de là.

Supposons que la droite kl et le cercle (c) soient donnés, et qu'il s'agisse de trouver un plan de projection tel, que(C) soit projeté suivant un nouveau cercle, tandis que la droite kl soit projetée à l'inOni; on abaissera du centre (c) une perpendiculaire ck sur cette droite, du point k où elle la rencontre on mènera une tangente kt au cercle (c), puis on portera la distance kt de k en s sur une droite ks de direction arbitraire. Cela posé, si l'on considère le point s comme le sommet de la surface conique projetante du cercle (c) et qu'on prenne pour plan de projection un plan (|uelconque mod parallèle au

plan skly ce plan sera le plan demandé, c'est-à-(|ire que la droite /r/sera projetée à l'infini sur ce plan et que le cercle (c), y sera projeté suivant un autre cercle : cela est évident d'après ce qui précède.

On peut conclure de là, qu'il y a une infinité de points projetants qui jouissent de la même propriété que le point 5, puisque la direction de ks est arbitraire; et puisqu'il est démontré d ailleurs, que ce point projetant doit être à une distance constante k$ = kt du point /r, il s'ensuit que si du point k comme centre avec/r/ pour rayon, on décrit, dans le plan vertical mené par kc ou MN, perpendiculairement au plan donné de la section circulaire (e), une circonférence de cercle, les points de cette circonférence jouiront tous et seront les seuls qui jouiront de la propriété en question.

Avant de quitter ce sujet, nous ferons connaître une propriété qui mérite d'être remarquée en passant.

Soit s {fig. 159), un point projetant qui remplisse les conditions précédentes, mn une section sous-contraire, parallèle au plan skh. Le centre c' de cette section, sera situé au milieu de la droite m/i, et, si l'on mène la droite 5c', elle cou-

Fig. 159.

pera le plan horizontal au point i qui sera la projection du centre c', aussi bien que celle du centre c" de toute autre section parallèle, aq. Cela posé, je dis que le point / ne changera pas quand on prendra un autre sommet que 5, remplissant la même condition, et que ce point sera précisément celui qu'on obtiendrait en cherchant l'intersection du diamètre ab

du cercle de base avec la corde de contact tl' des tangentes issues du point /r.

En effet, les triangles semblables ac" i et ksi donnent la proportion

sh l-aq : : hi : ai ou : : /fi : ki — ka.

Multipliant cette proportion par ordre avec la suivante déjà

trouvée ci-dessus,

aq : sk :: ab: kb, il viendra

I : - : : «6 X ki : kb (ki — ka) , ou, ce qui revient au même,

-abx ki = kbx ki — kb X ka.

Mettant dans cette équation pour kb sa valeur kc-^-cA, on

en tirera kc X ki = ka X kb; d'où Ton peut conclure d'abord, que la distance ki est constante ; ensuite, si l'on observe que,

d après la figure, kb X ka=kt , ce qui donne kt = A-c X A"/, on conclura, en second lieu, que le point / se confond avec le pied de l'ordonnée abaissée du point de contact / de la tangente A*/, sur le diamètre ab; car, en appelant ce dernier point i\ le triangle rectangle ktc donnerait précisément

kt =kc>: ki'= kb X ka.

Revenons à l'objet de cet article, doiit je me suis écarté un instant.

Puisqu'il existe une infinité de points projetants s et, par suite, une infinité de plans mn de projection, qui remplissent la condition exigée, il s'ensuit qu'on pourrait assujettir ce point ou ce plan à une nouvelle condition, pourvu qu'elle fût compatible avec les premières.

D'autre part, la vérité du Principe qui vient d'être démontré n'étant relative qu'à une certaine disposition gêné*

raie de la droite donnée PL et du cercle de base (c), il en résulte qu'elle n'a pas une existence absolue. En effet, il est visible que la détermination précédente du point projetant s et du plan de projection mn^ ne sera possible que quand la droite PL ne rencontrera pas le cercle {c); car, dans le cas contraire, le point k se trouvant dans l'intérieur de ce cercle, il serait impossible de mener à celui-ci une tangente par ce point même.

Cependant la projection / du centre du cercle cherché n'a pas cessé d'exister, quoique ce cercle ou son rayon soit devenu imaginaire. La raison en est que le point i est lié au point k par une propriété générale de position, comme nous l'avons prouvé ci-dessus; or celte propriété ayant été démontrée pour le cas où la droite PL ne rencontre pas le cercle, elle doit être vraie aussi (n^ II) quand cette droite rencontre le même cercle.

Le Principe IV* que je viens de démontrer élémenlairement peut être considéré comme un cas particulier du suivant; j'ai préféré l'énoncer séparément, parce qu'il est, comme on le voit, susceptible d'être établi d'une manière assez simple par le secours seul de la géométrie, et qu'il peut d'ailleurs le remplacer dans tous les cas, à l'aide de ce raisonnement.

Soient sur un plan, une section conique et une ligne droite; il est évident, d'après le IIP Principe, que ce système peut être considéré comme la projection d'un autre formé d'une ligne droite et d'un cçrcle dont les propriétés de position seront applicables au premier. Lors donc qu'on voudra rechercher les propriétés de ce premier système, on pourra ne s'occuper que du dernier ; ce que l'on fera en le simplifiant encore au moyen du IV' Principe. Ainsi la première figure peut être immédiatement remplacée par un cercle et une droite située à l'infini, de sorte que tout système de lignes droites concourant en un point de la droite en question sur la première figure, devra être considéré comme un système de droites parallèles dans la nouvelle.

V* Principe. — Une conique et une droite étant données sur un plan, on peut généralement les considérer, la première comme la projection d'un cercle et la seconde comme celle

d'une droite située à rinfini, de sorte que tout système de lignes droites ayant un même point de concours sur la droite de la première figure, peut être considéré comme un système de parallèles dans la projection de cette figure.

Ce principe sera entièrement démontré par l'analyse, et comme nous aurons lieu de nous servir des formules générales de la transformation des coordonnées rectangles dans l'espace, il est à propos de commencer par faire la recherche de ces formules, par une voie que nous rendrons aussi courte que possible.

Soient kxj Aj et Az [fig. i6o) les axes primitifs des coordonnées; kx^y Ky' et Az' les nouveaux axes rectangulaires; enfin AB la trace du plan des x^y' sur le plan des xy] il est évident que la position de ces derniers axes sera déterminée

si Ton connaît : i** Tangle BAj==0 que forme la trace AB avec l'axe A^; a' l'angle ^ que forment entre eux les plans x'x' et xy\ 3* enfin l'angle ^ky'=-^ que forme la même trace AB avec Taxe Ky', Les trois données 0, ^ et ^ étant nécessaires et suffisantes pour déterminer la position relative des axes x\ y' et z', il s'agit de déterminer, par leur moyen, les valeurs des coordonnées anciennes x, y el z d'un point quelconque m de l'espace, fixe avec Ajt, Ky, Az, en fonction des nouvelles coordonnées x', y' et z'.

Voici comment on peut s'y prendre pour y parvenir avec quelque simplicité.

Supposons d*abord qu'on laisse Taxe des z fixe, et qu'on fasse tourner seulement autour de cet axe, les plans des coordonnées ji5 et xZf de manière que Taxe des j fasse un angle B avec A^- et se confonde par conséquent avec AB; il est évident que les nouvelles ordonnées z conserveront leur ancienne longueur, et que les ordonnées x e% y auront seules changé de valeurs. Soient donc x", y" et -s" ces nouvelles coordonnées, il résultera, des théorèmes connus, ces trois formules

y = cos ^y" — sin ^x"^ x = sin 0 j" 4- cos Bx"^ z = z^y

qui donneront les valeurs des coordonnées x^ /, z du point quelconque m au moyen des coordonnées x", y" et z** de ce môme point rapporté aux nouveaux axes.

Les axes x^ y ç^\.z étant changés en ceux des x"y y" et z", supposons de nouveau que, laissant Taxe ky" ou AB ?i\^ dans le second système, on fasse tourner les plans des x"y'* et des y'^z" autour de cet axe ou, si Ton veut, les axes x" et y" y de façon que le nouveau plan af^y'^ se confonde avec le plan des x'y* déterminé précédemment, et par conséquent que ce plan fasse un angle f avec le plan x"y'\ Alors il est évident que le nouvel axe des x*" formera le même angle f avec Taxe des x^ y de sorte que l'ordonnée ^'^ du point m rapporté aux nouveaux axes, restant égale à l'ancienne ordonnée y" y on aura pour déterminer les valeurs des coordonnées x"y y" et z" de ce point m resté immobile, les formules suivantes

x"'==^ cos f j:*' — sin ^ z*', y'^^iy^y z" =. sin ^x^-^ cos ^z'*'.

11 est très-clair, d'après ce qui précède, que les axes kx'^y A y'" et kz*' ont une position telle, que l'axe kz'^ se confond avec l'axe kz' dont il a été question d'abord, que l'axe ky'^ se trouve confondu avec la trace AB, et qu'enfin l'axe Ax^a une position perpendiculaire à cette trace dans le plan des x'y\

En conséquence, il sera bien facile de passer des axes x^, y'^ et z'" aux axes x', y' et z' du système que nous avions

d'abord en vue ; il suffira pour cela, de laisser Taxe Ajî'*' ou kz' fixe, ei de faire tourner les axes Xx^ et A/*' autour de l'origine A dans le plan x'x\ de façon que Taxe A j* ou AB se confonde avec A j', c'est-à-dire qu'il fasse un angle 4» avec son ancienne position. L'on aura donc pourdéterminer les valeurs des coordonnées x^, y*" ^^ ^*' ^^ point m au moyen des longueurs x', y' et z' des coordonnées de ce même point» les trois formules suivantes,

r"* = cos^/ j' — sin ^x', x'"=. sin + j'-h cos 4»^, >3*'= z'.

Maintenant supposons que les longueurs des coordonnées x\ y' et z' du point m soient données, il est évident qu'en les substituant dans les trois dernières formules trouvées, on obtiendra les longueurs des coordonnées x"'y y" et 2^ de ce point, prises relativement aux axes kx^^ ky'^ et kz". Pareillement, si l'on connaît, à priori, les valeurs de x'"y y*" et z*, et qu'on les substitue dans les trois avant dernières formules trouvées, on obtiendra la longueur des coordonnées x^y y" y z" du point m, prises par rapport aux axes kx",,,. Enfin, si l'on substitue ces valeurs de or^, y** et z" dans les premières formules, on obtiendra celles des coordonnées x, 7, z du point m par rapport au système kxy ky, kz.

Ainsi les neuf formules qui ont été précédemment obtenues, peuvent servir à déterminer les valeurs des coordonnées x, j, z de l'ancien système, au moyen des coordonnées x", y', V du nouveau ; donc si l'on exécute successivement les substitutions indiquées, sans supposer aucune valeur particulière à x\ y' et z'y on obtiendra, pour la transformation des coordonnées, les formules

a:= ( cos & cos ç cos 4^ — siuôsin^^):r'

-h (cosôcosy sin>I/-hsinGcos-^)j'— cosOsin^)^',

(1) / j = — (sinôcosycos^» -h cosôsinij')^'

— ( sin ô cos f sin 4» — cos ô cos+j 7' -h sin 0 sin 7 z\

z= sln«|/f'OS\|; jr'-hsinç sin4^ r'-H ('osy 5'. S'il ïî'agissail de repasser du système x'r'z' «iu système xyz.

DES CAHŒRS PRÉCÉDENTS. 391

on pourrait le faire en tirant, par réiimination, les valeurs de x% y* et z' des équations (i) que nous venons de trouver.

Par exemple, s'il s'agit d'avoir la valeur de z\ on multipliera la première de ces trois équations et successivement chacune des deux suivantes, par le coefficient de z' qui y entre, après quoi on ajoutera ces trois nouvelles équations entre elles, par ordre, c'est-à-dire terme à terme, membre à membre, et l'on en déduira une dernière dans laquelle les coefficients de x' et de y*' seront nuls et celui de z' égal à l'unité; équation

à laquelle on pourra donner cette forme

* z'= — eos 0 sin f x -h sin ô sin^ j-'H- eosf z.

On obtiendrait d'une manière tout à fait semblable, les valeurs de x' et de/'.

Si l'on se proposait de trouver l'équation du plan des x' y' rapportée aux axes x, y\ Zy cela serait très-facile. En effet, z' étant nul pour tous les points du plan x' y^ si l'on fait z'= o dans l'équation qui vient d'être obtenue en dernier lieu, celle qui en résultera exprimera la relation existant entre les coordonnées x^y ex z de tous les points pour lesquels z' est nul, c'est-à-dire de tous les points situés sur le plan éesx'y'i ])ar conséquent cette équation sera celle de ce plan même, qui devient ainsi, en la divisant par cos^,

z = tang • cos ôx — tang «p sin ^y.

Venons-en maintenant à la recherche qui fait l'objet de cet article, et commençons d'abord, afin de procéder avec ordre, par résoudre celte question générale : « un cône quelconque i> étant donné par sa base et son sommet, déterminer la direc- M tion du plan qui donne, dans ce cône, une section circu- ;) laire. »

Soit «j'H- bxy-\- cx^-^dy-\- eo: H- « = o l'équation de la base du cône dont il s'agit, située sur le plan des xy, et soient «, ^ et 7 les coordonnées arbitraires du sommet; l'équation de sa surface sera évidemment de la forme

a(pz — yyy-{-b{az — yx)(^z — 7j)-f-c(az — yxy '^d(f^Z'^yy){z — '^)-hei<iz — yx){z — y)'{'{z — iy^o,

ou, en ordonnant par rapport aux variables z, y ei x,

I — {2ap-hfra-hrf)77z — (2ca+6p-f-«)vj:z-f-fr7*J7--f-...=o.

Imaginons maintenant une section circulaire dans la surface conique, il est évident que tout plan qui lui sera parallèle coupera aussi la surface suivant un cercle; donc on peut assujettir le plan de la section circulaire cherchée à passer par " Torigine des coordonnées, sans que la généralité de la solution en soit diminuée. Imaginons, en outre, que Ton prenne ce plan inconnu pour nouveau plan des x'y, et qu'on rapporte la surface conique aux nouvelles coordonnées x', y' et -z', en conservant toutefois la même origine. Si Ton se sert dans ce but, des formules (i) trouvées ci-dessus, on aura pour la surface du cône une nouvelle équation en x\ y' et z\ de sorte que pour avoir celle de son intersection avec le plan des j:'/', il suffira d'}^ faire ^' = o.

D'après cela, il est évident que Ton obtiendra immédiatement cette dernière équation, en substituant dans l'équation (2) les valeurs (1) des coordonnées x^y ^\ z où l'on aura supposé z'=o; mais rien n'empêche d'y supposer en même temps ^{' = o, et les formules (i) deviennent alors

a: = cos ô cos (po;' -h sin ô/',

/= — sinOcos<j»j;'-|-cos0^'', z = sinf^c'.

Substituant ces valeurs dans l'équation (2), il viendra, après avoir ordonné jwr rapport à x' et y\

[sm'<p (a^*+ ^ap -h t-a'-hr/p -4- ea -f- i ) -h «v'sin'ÔCOS*^" 4- ry^cos^O cos'y H- sinô sino/ cosy ( -lap -h ^ a -f-^) 7 -- cosO sin^ cos*^^ { '2 r a 4- Z» fJ 4- ^)7 — ^'7*cosO sin 0 cos'f 4-j''(rt7*cos'ô-hc7'sin*0-f-/>7'sinGcosO)

, r 2(c — flJv'sinOcosôcosîp — cosôsin<f (•2«p-h^a-+-'^)7l * [— sinôsin^('2ra-hft^-hc)7-h67Vosy(cos'0 — gin'9) J

Telle est réquation de la section du cône par le plan arbitraire des x'r'. Maintenant si l'on veut déterminer les deux

arbitraires r et 0 qui fixent la position de ce plan, de manière que réquation précédente représente un cercle, il faut évidemment qu'elles satisfassent aux deux équations suivantes :

sin'f (ûp*-f- 6ap -f-ca*-f- rfp H- ea -h I ) -h ay'sin^Ocos'ç •4-C7*cos*9cos*<p-f-sinôsin<fCOSf (2ap-f-6a + rf)7

— cosOsinfCOSf{2ca-h6p-f-e)7 — 67*0,05 OsinOcos'f = a7*cos*0 + C7*sin'0-|-67*sinÔcos9,

2(c — a)7SindcosGcos7 — cosôsin^faap-hfta-hrf)

— sinôsinf (2ca-f-6p-l-e)-h67COS(ï>(cos'ô — sin'ô)=o.

Ces équations étant en même nombre que les inconnues 7 et Q, elles pourront servir à en déterminer les valeurs par Télimination.

Supposons, pour simplifier, que la base du cône située dans le plan des xy, soit rapportée à son centre et à ses axes ; alors son équation deviendra de la forme aj*-f- cx^-^- 1 = 0, et par conséquent les coefficients b, d ei e devront être nuls dans les deux équations de condition précédentes, qui prendront ainsi la forme plus simple,

sin*<p(aP'-hca'-hi)-4-û7'sin'Ocos*<p-f-C7'cos'0cos*f

(3) { +2aP7sinOsinfCOS(p — 2Ca7C0SÔsin(pC0S<p = a7'cos'ô-h C7'sin'0,

(4) yi^ — a)sinOcos0cos(p — apsin^cosO — casinôsîn<p = o. Représentant langO par *> et coty par x> on aura évidemment

sin y = -■ » COS<p =--===»

sinô = ~==^? cosO =

et substituant les valeurs de siny et cosf dans les équations précédentes (3) et (4), elles deviennent

ap*-f- ca'4- 1 — 7*(« cos' 0 -f- csin* B)

7* (c — a) (cos' 0 — sin* 0) x*-f- 27 («psin 0 — c-acos 0) x = »,

y{c — rt)sin0cos0x — apcos0— rasinO = 0.

On tire de la dernière de ces équations

«Bcosô-f- casinO

7(c — a)sinôcosô

Substituant celle valeur de x ^^ns la première el remplacâni ensuite sinô et cosô par leurs valeurs ci-dessus, elle prend cette autre forme

ap'-f-ca'-f-i — cy» — y^a — c]

( I — w^)(a Ô -h Caw)* 2 (a 6m — Ca) (a B -f- tf a»)

chassant enfin les dénominateurs de cette dernière équation

-h ( I — «*) (rt p -h Caw)'-h 2(a pw — ca) («p H- caw) (w -f- »') = o,

effectuant les calculs, il viendra, toutes réductions faites,

I — [c— a -h ac (p^— a»— 7') -4- a' (p'-h 7»)] 6»»a»p»= o.

Cette équation étant du 6" degré en », il semblerait qu'il y eût en général six positions du plan x'y pour lesquelles la surface conique serait coupée suivant une circonférence de cercle; on voit, en outre, que trois de ces positions sont symétriques aux trois autres; mais si Ton observe que les ordonnées a, p et 7 du sommet du cône n'entrent qu'au carré dans l'équation précédente, on verra facilement qu'il n'y a que trois des valeurs de 0 données par celle équation qui correspondent à la position actuelle du sommet du cône.

En effet, supposons ce sommet placé symétriquement par rapport au plan des jz, c'est-à-dire que a soit négatif; il est clair qu'alors le plan des x'y qui donnait une section circulaire dans le premier cône, aura pris une position symétrique par rapport au plan des jz comme Ta fait le cône lui-même, en sorte que sa trace sur le plan xj, qui faisait un angle 0 dans la première position avec l'axe des y, fait maintenant un angle — ô avec ce même axe. Or l'équation (5) restant la même, que a soit positif ou négatif, il est évident qu'elle doit donner on même temps, les valeurs de tango el — tangd, ou -hw et

— <a; ce qui arrive en effet, puisque langO ou w n'enlre qu'à des puissances paires dans cette équation.

Maintenant si l'on observe que le sommet du cône peut avoir huit positions symétriques par rapport aux trois plans coordonnés, et correspondantes à chacune des huit régions formées par les axes, ainsi qu'aux huit combinaisons de signes dont peuvent être affectées les ordonnées a, p, «, 7. Observant, de plus, que, pour ces huit positions, la trace du plan des x'y ne prend absolument que des positions parallèles aux deux premières 0 et — 0 précédemment considérées, (ce dont on se rendrait raison par des figures), on pourra en conclure que, s'il n'existait qu'une position possible de la irace du plan des x'y pour le cas où a, p et 7 sont positifs, il n'y en aurait que deux pour les huit positions symétriques du cône en question. Par conséquent, l'équation (5) qui doit donner à la fois les valeurs de 9 correspondantes à ces huit positions (puisqu'elle reste la même quels que soient les signes de a, p et 7), ne devrait être nécessairement (dans la supposition actuelle) que du second degré et symétrique en 0. Donc, puisque cette équation est au contraire du sixième degré et qu'elle est symétrique, il faut qu'il y ait nécessairement, pour une position donnée du sommet a, trois systèmes de plans des x*y\ différents entre eux et qui coupent la surface conique correspondante suivant une circonférence de cercle.

Concluons enfin de ce raisonnement, qu'il n'y a que trois racines de l'équation (5) qui résolvent la question dont il s'agit, ou plutôt qu'il n'y a que trois positions distinctes du plan des j/y qui puissent donner pour intersection, une courbe dont l'équation soit de la forme

A/' H- Ax''-h B/-h Car'4- D = o.

Sur quoi il faut remarquer que cette équation n'est pas nécessairement celle d'un cercle; car elle pourrait prendre cette forme plus particulière encore,

auquel cas elle ne représenterait qu'un point.

Pour en offrir un exemple particulier, supposons que a et p

396 Vir ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

soient nuls, Téqualion (5) donnera, pour déterminer », les relations suivantes très-simples,

«*^o, ft>*=— et »'= — î •

Or on peut s'assurer que les deux premières de ces équations correspondent à des sections circulaires; quant à la dernière» qui donne, en la substituant dans les équations (3) et (4) ci-dessus, cosy = o et par suite <p = 100", elle correspond à la position du plan des x*y dont Tintersection avec la surface du cône , a pour équation j" -#- (ar' — 7)^ = 0 ; c'est-à-dire qu'il coupe ce cône suivant un point en son sommet. Quoique cette troisième valeur de w semble appartenir à une solution singulière du problème dont il s'agit, elle ne peut cependant en être séparée généralement, en sorte que ce problème est réellement du sixième degré (*).

Cette conséquence nécessaire, peut paraître étonnante et même contradictoire au premier abord ; car on sait et nous l'avons même déjà démontré, qu'il n'existe, dans une surface conique, que deux sections qui puissent donner des circonférences de cercle : mais si Ton observe que trois des racines de l'équation (5) appartiennent à d'autres surfaces coniques qui sont nécessairement liées à celle que l'on considère à cause de la grande généralité de l'analyse algébrique, et que, parmi les trois autres, il peut y en avoir une imaginaire ou qui corresponde à une solution distincte, comme nous venons d'en ofTrir un exemple, on verra que ce qui nous paraissait d'abord contradictoire considéré géométriquement, ne l'est réellement pas considéré d'une manière algébrique.

Au reste, c'est celte généralité qui constitue l'essence de l'analyse et fait que ses résultats ne sont jamais contradictoires; car, si elle ne répondait qu'aux seules questions qu'on lui pose, il en résulterait souvent les plus grandes absurdités.

Supposons, en effet que, dans la recherche précédente, on fût tombé sur une équation du second degré, au lieu de l'équation (5), il en serait résulté qu'on eût pu construire géométri-

(*) ^'oy\y au sujet de ces divers passages , les observations contenues dans la note de la p. io5.

quement les deux sections sous-conlraires du cône en question; or ces deux sections une fois connues, on en eût conclu aussitôt, par une seconde construction géométrique, la position des trois plans principaux de ce cône, c'est-à-dire des trois plans qui, passant par son sommet, le divisent chacun en deux parties symétriques: ce qui est évidemment absurde; car la recherche de ces trois plans est une question qui dépend généralement d'une équation du troisième degré, et par conséquent insoluble d'une manière géométrique.

Tous les résultats de l'analyse algébrique sont ainsi susceptibles d'interprétation.

Nous avons supposé jusqu'à présent, que le cône fût connu par sa base et son sommet, et il s'agissait alors de déterminer la direction du plan qui couperait ce cône suivant un cercle; nous allons nous proposer maintenant de trouver la position du sommet d'un cône du second degré, dont la base serait donnée, ainsi que la trace du plan qui, passant par ce sommet (centre ou point projetant), serait parallèle à l'une quelconque de ses sections circulaires; cela procurera, comme on le voit, en même temps, la démonstration du cinquième des principes de projection qui font l'objet de cette 1" partie du Mémoire.

Soient donc, ainsi que ci-dessus, a, p et 7 les coordonnées inconnues du sommet du cône ;

ay*-hcx*-h 1 = 0

l'équation de la base donnée de ce cône, rapportée à soq centre et à ses axes; enOn soit

l'équation de la trace du plan qui, passant par le sommet a, doit être parallèle à l'une des sections circulaires du cône. D'après ce qui a été démontré au commencement de cet article, l'équation

z = tang y cos Bx — tang <p sin ô j

est celle du plan des x'y, et si nous supposons aux angles 0 et ç les valeurs trouvées précédemment, cotte équation repré-

sentera une section circulaire du cône dont le sommet inconnu est a; donc Féquation du plan qui, passant par le sommet a, est parallèle à cette section, sera de la forme

-S — 7 = tang ff cos B(x — a ) — tang 7 sin 0 ( j — p )

et, par conséquent, Téquation de sa trace sur le plan môme des a:y\ sera

— 7 = tang (p cos B{x — a) — tang 7 sin 0 (j^ — p), ou bien, remplaçant tang 0 par sa valeur &>,

X= w^-|- a — wp —

tang 7 cos 0

Cette trace devant se confondre avec la droite donnée X = Tj-h K, on a nécessairement les deux équations

^ tang «p COS 0

lesquelles pourront servir à déterminer les valeurs de 0,(p, a, etc.

La valeur de 6> étant, d'autre part, immédiatement donnée par celle de T, on pourrait la substituer directement dans les équations (4) et (5), ainsi que dans les dernières de celles que nous venons de trouver; mais, comme cela ferait changer la forme de ces équations, nous n'effectuons pas cette substitution. On ne devra pas oublier, d'ailleurs, dans la suite des calculs ci-après, que cette même quantité « est constante et égale à T.

On peut d'abord éliminer tang 7 entre la dernière équation de condition et l'équation (4) qui donne

7((7 — fl)sinO tang «p = ' ^ '

on obtiendra ainsi

a-«8 aP + c- ^K.

^ (o--a)sin0cosô

Telle est la relation qui doit exister entre les ordonnées inconnues a et p du sommet du cône. On voit, par là, que ce sommet est nécessairement situé dans un plan vertical perpendiculaire au plan des x)'\

Remplaçons dans celle équation, les indéterminées a et p

par les variables générales x eijr^ puis chassons le dénominateur, elle deviendra

x\{c — fl)sinO cos9 — c«] —y\{c — a)sin&cos0.fti-hfl]

(c — a)sin8ros0

Or nous avons, d'une part,

{c — a) sin 0 cos 0 — c«i = w [(c — a) cos* 9 — c\ = »[(c — a)cos*Ô — c(cos'ô-|-sin'0)] = — w(a-|-c«*)cos*0

et, d'une autre, par de simples réductions,

(c — a) sin 0 cos 0 . « -f- a =r (c — a) sin' 0 H- « (cos' 0 -H sin' 0) = (a-|-c«')cos»Ô;

donc, substituant, il viendra

(c — a)w d'où Ton tire immédiatement,

Cette équation prouve que le plan dans lequel est situé le sommet du cône a, esl perpendiculaire à la droite donnée a:r=T^-f-K ou j; = «j-f-K.

Supposons maintenant que &> ait la valeur constante T, dans l'équation (5) trouvée ci-dessus, on aura alors une équation de condition à laquelle devront naturellement satisfaire les coordonnées inconnues a, p et 7 du sommet du cône, et qui sera par conséquent, en a, p et 7 l'équation d'une surface sur laquelle ce sommet est nécessairement situé d'après les conditions du problème. En l'ordonnant par rapport aux indéterminées a, p et 7, elle devient

^ (a — c){a -h c«')w^7*-|-a(n- w')(fl-hc«*)p»

— c ( I -H »*) (tf -f- c«') «* a* -H (c — a) ( î -I- w*)»*= o,

ou, remplaçant les indéterminées particulières a, p et 7 du sommet du cône par les variables générales ^, y et z,

Î[a — c) [a -h c«*) «*z*-f- rt ( H- «') (<z -h c-»*)/»

4oo VIP ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Cette équation fait voir que le sommet du cône doit être sur une surface du second degré; et, comme nous avons déjà prouvé qu'il doit aussi être silué dans un plan (6) perpendiculaire à la droite donnée a: = wj-f- K, il s'ensuit que ce sommet doit se trouver sur la courbe, du second degré, intersection de ce plan et de cette surface. Mais, il y a plus encore, je dis que cette courbe du second degré est un cercle, ayant pour centre le point même d'intersection de Ja trace (6) et de la droite donnée x = Tj-i- K.

Il est d'abord évident que la surface (7) étant symétrique par rapport au plan des xy, tout plan qui sera perpendiculaire à ce dernier, la coupera suivant une courbe symétrique aussi par rapport au plan des :r/, courbe dont le centre sera par conséquent situé dans ce plan. De plus, on sait que toutes les sections parallèles à celle-là donneront, dans la même surface, des courbes semblables à la première, dont les centres seront distribués sur une même ligne droite située dans le plan des xy et passant par le centre de la surface ou par Torigine des coordonnées, puisque ce centre est en ce dernier point d'après l'équation (7). Donc, pour reconnaître la nature de la courbe déterminée par le plan (6) dans la surface, il suffira de cher^ cher l'intersection de cette surface par un autre plan qui, passant par l'origine des coordonnées, serait parallèle à celui-là

et dont l'équation par conséquent serait jr = y.

Cela posé, puisque la trace 07 = 7 de ce dernier plan

fait avec l'axe des/, un angle dont la tangente trigonométrique

est égale > le sinus à cosO et le cosinus à — sinô, c'esl-

à-dire un angle de 100" + 0, il est évident que si l'on veul rapporter Ja surface (7) à ce plan pour nouveau plan des yz^ le plan xy restant le même, il faudra mettre pour x et y dans l'équation (7) de cette surface, les valeurs fournies par les formules suivantes :

j = — cosôa;' — sinoy, a:=:cosÔr' — sinô^', z^=:z\

On peut vérifier à posteriori, l'exactitude de ces trois équations

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4oi

en supposant dans les formules générales (i), «p ei -^ nuls et remplaçant 0 par ioo'-|- 9.

Il s'agit donc de substituer pour x, y et z les valeurs cidessus dans réquation (7). Pour simplifier les calculs, je fais

{a — c)(a-|-c«')w'=A, fl(i-h«»)(a-hc'w*)=:B, — c(ï •+-«*)(« -h cw')»'=C, (c — fl){n- «»)»'= D,

et alors cette équation prendra la forme

Az^H- By*-\- Cx^-h D = o.

Faisant la substitution ci-dessus indiquée, elle devient

Aa"-h(Bsin»G-hCcos»0)j"-4-{Bcos«Ô-4-Csin»ô)a:'» -h2sinôcose(B — C)4:'/-l-D = o.

En posant :r'= o dans cette équation qui représente la surface

(7), rapportée au plan x =? — ^j comme plan desr'z', on aura*

évidemment Téquation de son intersection avec ce plan; ce qui donne ainsi

A z'^-h (Bsin»ô -h Ccos*e)/'-4- D = o,

ou, remettant pour A, B, G et D leurs valeurs et divisant par le produit {a — c) «%

Donc, ainsi que nous l'avions annoncé, le plan a? = — - r et,

par suite, le plan (6) qui lui est parallèle, coupe la surface (7) suivant une circonférence de cercle.

En second lieu, nous avons vu que les centres des sections circulaires parallèles à celle dont il s'agit, sont situés sur un diamètre de la surface ( 7 ), qui passe par l'origine des coordonnées, et se trouve situé dans le plan des xy; donc le centre de la section dont il s'agit doit se trouver à la rencontre du même diamètre et de la trace du plan de cette section, trace représentée par l'équation (6) ou

402 vu* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Soient {^)yfig' i6i, la trace de la surrace (7) sur le plan des xy\ NM celle du plan (6) qui coupe celte surface suivant un

cercle dont le centre est évidemment au milieu c de la corde ioy interceptée sur NM par la conique, point situé à Tintersection de la trace NM avec le diamètre A/, conjugué à la direction de celte trace et qui contient les centres de toutes les sections circulaires parallèles à celle en question.

Ce diamètre, lieu des centres c des cordes parallèles à io passe par le point t de la courbe (A) dont la tangente est parallèle à la trace NM. La question revient donc finalement à déterminer le point de contact /.

Si l'on fait z =0 dans l'équation (7), on aura pour l'équation de la trace (A) sur le plan des xy

(8) « (a -h Cû)^) j^ — c[a-\' c«*) »'^'-f- (r? — a) «•= o.

Or on sait que la tangente trigonométrique de l'angle qu'une tangente à une courbe fait avec l'axe des y est, en général, dxidy; donc, dans le cas actuel, cette tangente sera exprimée

par — ^ \ mais, par hypothèse, elle doit être égale à celle que

fait, avec ce même axe, la trace MN qui a pour équation

donc on doit avoir entre les coordonnées :r et j^ du point de contact/, l'équation de condition

ou bien ar-\-coiX=:o,

fw'X ta

DBS CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4o3

Si l'on combinait cette équation avec l'équation (8), de la courbe (A), on obtiendrait les valeurs des coordonnées du point /; or cette équation a^-4- c^nx = o, quand on y suppose x et r variables, représente une droite qui passe par le centre A de la courbe ; donc c'est l'équation même du diamètre kct : en la combinant avec l'équation x = r r de la trace MN,

on obtiendra pour les coordonnées du centre cherché #;,

aK Cb)K

Il est aisé de démontrer à posteriori, que ces valeurs satisfont aussi à l'équation a: = «r H- K de la droite donnée en premier lieu. Donc enfin le centre du cercle sur lequel est situé le sommet a du cône projetant, se trouve être précisément au point d'intersection de la droite donnée et du plan de ce cercle; comme il s'agissait de le démontrer.

Maintenant soit (B), Jig. 162, la base du cône en question dont a est le sommet, et qui a pour cqualion aj*-4- cx^-{- 1 = o; soit de plus KT, la droite donnée dont l'équation est j:=wj^-^K et qui renferme, comme nous venons de le voir, le centrée du cercle sur lequel est situé le sommet a; soient A* et ô les deux points où cette droite rencontre la courbe (B), je dis que le centre c divise la corde kB en deux parties égales.

En effet, cela revient évidemment à prouver que le diamètre Bt', qui divise les cordes parallèles à /rd en deux parties

Fîg. 162.

égales, se confond avec celui qui, dans la Jig. i6i| contenait

4o4 Vir ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

le centre du cercle vertical en question et dontréquation a été

trouvée de la forme

Pour déterminer ici le diamètre B/', menons une tangente à la courbe de base (B), parallèlement à la droite KT, il est évi-

dent que la tangente trigonométrique -t- = de l'angle

ay cy

formé par cette première tangente avec la direction de Taxe des j, devant être égale à celle w, qui correspond à la droite KT, on aura Téquation de condition

^=« OU bien arH-cw^ = o

ex ''

entre les coordonnées ^ et j du point t'\ équation qui est celle même du diamètre B/, divisant la corde /rO en deux parties égales. Donc ce diamètre se confond avec celui qui passe par le centre c du cercle qui contient le sommet du cône auxiliaire de projection, puisqu'il a la même équation; par conséquent ce centre se confond, en réalité, avec le point milieu de la corde /rô dont la direction est donnée à priori.

D'après ces considérations, la position du plan et du centre du cercle sur lequel doit être situé le sommet a du cône, se trouve entièrement déterminée, et l'on voit qu'elle pourra toujours l'être géométriquement; car, si la droite KT ou /rO est donnée ainsi que la courbe (B) qui sert de base à la surface conique, il faudra, résumant ce qui précède, commencer par déterminer la direction de B/' qui divise en parties égales toutes les cordes parallèles à /rO; le point c où ce diamètre rencontrera la droite A"© sera le centre du cercle en question : élevant ensuite, en c, une perpendiculaire à /r9, elle sera la trace du plan vertical qui doit renfermer ce cercle.

Voici enfin une dernière propriété qui servira à en déterminer la grandeur ou le rayon.

(( Le carré du diamètre du cercle sur lequel est situé dans » l'espace, le sommet a du cône de projection est égal au carré » de la corde /r 0 donnée (^g*. 162), mais pris avec un signe M contraire. »

Il est visible d'abord que le diamètre de ce cercle est égal à la corde oi (fig^ 161), formée dans la conique (A), dont (8) est

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. ^ 4o5

l'équation, par la trace MN du plan du cercle, laquelle a ellemême pour équation

il s'agit donc de calculer la longueur de celte corde et celle {Jig, 162) de ta corde /rO ou a: = w j -h K, formée dans la base du cône, que représente cette autre équation

a/' -h ex* H- I = o.

Nous ferons, pour ne pas répéter deux fois le même calcul, l'opération dans rhypothèse d'une droite et d'une section conique quelconques.

Soient j;=: mj-f- n et A/* -h Cx'+ D = o les équations de ces lignes; en les combinant entre elles, on obtiendra pour les coordonnées de leurs intersections

— /n/iC ±: ^m»/i»C*— {D-hC/i*)(AH-C/n») ^ A 4- Cm'

/iA±v/n'A*— (Dm^ + A/i^)(A-f-C/n*) ^^ A-l-C/n^

Donc le carré (jc' — «^i)^-f-(j' — yxf de la dislance entre ces deux points x'y et or,/, d'intersection sera, en l'appelant A%

Considérons d'abord la corde A* ô {fig. 162), son équation et celle de la base (B) du cône étant respectivement x = wj^'-h K, ajr^-^cx^-h- 1 = o, on aura, dans ce cas,

m = w, n=K, A = û, C = <', D = i, et, par conséquent.

Maintenant^ si l'on considère la conique (A) el la corde MN

4o6 Vil- ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

[fig- *^0 Q"* o"' (8) cl (7) pour équations respectives

on aura, en comparant ces équations avec les précédentes,

A = fl ( « 4- c«'), C = — c{n-h c-w' ) w', D = ( c — a) «S

substituant ces valeurs dans l'expression de A^» il viendra, en nommant R le rajfon du cercle, lieu des centres auxiliaires de projection,

0/ ou 4R'=4i ; — ^(i-h«M.

Donc, enfin, o« =:4R' = — A ô ; c'est-à-dire que le carré du diamètre du cercle dont il s'agit est égal au carré de la corde donnée frô, pris avec un signe contraire.

D'après cela, si la direction de /rô rencontre la courbe (B), fig. 162, le rayon R sera imaginaire; car alors le carré de la corde frO étant positif, celui de 2R, égal et de signe contraire d'après ce qui précède, sera négatif. Au contraire, si la direction de Ârô ne rencontre pas la courbe, la corde /rô étant imaginaire, le rayon R du cercle en question sera réel, et par conséquent» dans ce cas, le problème qui nous occupe sera susceptible de solution; c'est-à-dire qu'alors la conique (B) et la direction Ar8 étant données, il sera possible de trouver un sommet a, tel que le plan mené par ce sommet et parla droite Arô soit parallèle à une section circulaire du cône qui aurait la courbe (B) pour base ; de sorte que si l'on projetait cette droite et cette courbe du point a, comme centre, sur un plan quelconque parallèle au précédent, la projection de la droite aurait tous ses points situés à l'infîni et celle de la section conique (B) serait une circonférence de cercle.

Donc il est démontré d'une manière rigoureuse que le

Princ. V est vrai en général, quoiqu'il puisse cesser de l'être dans certaines positions de la droite et de la courbe données en particulier.

Pour compléter la solution géométrique du problème, il est# nécessaire d'indiquer comment on pourra déterminer la longueur du rayon de la circonférence de cercle, lieu des centres de projection a.

Soient (k),Jig. i63, la courbe, et KT la droite données non sécantes, on commencera par déterminer le centre c, du cercle

cherché, comme il a été dit ci-dessus, au moyen du diamètre A/ conjugué à la direction de KT; puis élevant au point c de leur rencontre mutuelle, la perpendiculaire ML sur KT, on aura la trace du plan vertical qui contient le cercle cherché; il ne s'agit donc plus que d'en déterminer le diamètre.

On a vu que le carré de ce diamètre est égal au carré de la corde interceptée sur la droite KT par la courbe (A), pris avec un signe contraire : la question revient donc déQnitivementâ déterminer ce dernier carré.

Imaginons par le centre A un second diamètre AB parallèle à KT; c'est-à-dire conjugue à la dlreclion de A/. Soit A / = a et AB = fc, l'équation de la conique (A), rapportée à ces directions sera, comme on sait, de la forme

Appelons x' l'abscisse connue Ac du point c, le carré de la corde interceptée sur KT sera le carré du double de l'ordonnée y' correspondante à Ac = x^. Or, en mettant a;' pour jr dans

4o8 VU* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

réquation ci-dessus, on en tire pour le carré de l'ordonnée en question

donc on conclura, de ce qui précède, en faisant abstraciion du signe inférieur pour simplifier,

d'où l'on tire

Pour obtenir celte quatrième proportionnelle, il faudra

d'abord construire ^x'* — a*, au moyen du triangle rectangle Am/, dans lequel l'hypoténuse Am est égale à x' ou Ac; on portera ensuite AB ou 6 de A en n, et par ce point on mènera la parallèle un à m/, qui coupera Am en a>, et la distance Au ainsi trouvée sera évidemment la longueur du rayon R cherché ; de sorte que si, du point c comme centre, avec Aw = R pour rayon, on décrit une circonférence de cercle dans le plan vertical de ML, tous les points de cette circonférence satisferont à la condition du problème.

Cette solution est beaucoup plus simple que je n'avais osé Tespérer d'abord.

VP Principe. — Le système de deux sections coniques quelconques, situées dans un même plan, peut être généralement considéré comme la projection du système de deux circonférences de cercles ayant une corde commune à l'infini.

Soient (A) et (B),yîg-. 164, les deux courbes données; nommons toujours a le point projetant ou sommet commun des deux cônes qui ont ces courbes pour bases, et supposons qu'il s'agisse de déterminer ce sommet de façon que les deux surfaces coniques correspondantes soient susceptibles d'être coupées par un même plan, chacune suivant une circonférence de cercle. Imaginons pour un moment, que le problème soit ré-

DES CAUIEBS PRËCËDENTS. 409

soluy si en effet il peut Tètre, et qu'on connaisse par conséquenty la position du sommet a et celle du plan qui doit couper

Fig. 164.

les deux cônes correspondants suivant des cercles. Imaginons, de plus, qu'on mène par le sommet en question, un plan parallèle au précédent : ce plan viendra couper celui des deux courbes (A) et (A') suivant une certaine droite, que j'appelle en général, P.

Cela posé, je dis : i® que cette droite se confondra avec l'uner des cordes kB communes aux deux courbes A et B; 2*» que le sommet commun a ou le point projetant, se trouvera situé dans un plan perpendiculaire sur le milieu de cette corde et sur une circonférence de cercle qui aurait ce milieu C pour centre, mais dont le carré du diamètre serait égal à celui de la corde kB pris avec un signe contraire.

En effet, d'après ce qui a été démontré dans l'article précédent, la trace P du plan mené par le sommet a parallèlement à la section circulaire du cône de base (A), est telle, qu'en la considérant comme corde de (A), et que si, par son milieu C on lui élève un plan perpendiculaire, ce plan passera par le sommet a; même chose a lieu à l'égard de cette trace P, considérée comme corde de la courbe (A'). Or, comme par le sommet a, on ne peut abaisser qu'un seul plan perpendiculaire à une droite, il s'ensuit que le milieu de la trace P, considérée comme corde de la courbe (A), et son milieu en la considérant comme corde de la courbe (A'), se confondent tous les deux en un seul et même point.

De plus, il a été démontré dans le même article, que si l'on joint ce point milieu avec le sommet a par une ligne droite, le quadruple du carré de cette droite que nous nommions raj^on

était égal au carré de la partie de la trace P comprise dans la conique (A), pris avec un signe contraire, et par la même raison égal au carré de la partie de cette même droite comprise dans la courbe (A'), pris aussi avec un signe contraire; donc ces deux dernières parties sont égales entre elles; ce qui ne peut avoir évidemment lieu, puisque ces deux parties sont divisées au même point en deux parties égales, à moins que la trace P dont il s'agit, ne soit une corde commune aux courbes (A) et (A'); premier point qu'il s'agissait de démontrer.

11 résulte aussi, de ce que nous venons de dire, que le sommet a doit se trouver dans un plan élevé perpendiculairement au mileu de la corde /rô ou P, sur une circonférence de cercle qui a pour centre le milieu C de cette corde et dont le carré du diamètre doit être égal à celui de /rO, pris avec un signe contraire. Second point qu'il s'agissait de démontrer.

Donc, puisque le sommet a et la trace P du plan qui passe par ce sommet parallèlement à la direction commune des sections circulaires de l'un et l'autre cône A et A^ doivent, d'après ce qui vient d'être démontré, satisfaire aux deux conditions énoncées ci-dessus, on pourra en conclure, relativement au problème qu'il s'agissait de résoudre, que :

Deux sections coniques étant données dans un plan, si Ton se propose de les projeter sur un autre plan, de manière qu'elles y deviennent des cercles et qu'il s'agisse de trouver le centre projetant et la direction du plan de projection, on commencera par déterminer Tune des cordes imaginaires communes à ces sections coniques, et alors la question sera ramenée à celle qui a été résolue tout au long dans l'article précédent.

On peut remarquer que deux sections coniques quelconques se coupant en général en quatre points, ces courbes peuvent avoir dans le même cas, six cordes communes; donc la quantité », qui détermine Tinclinaison de ces cordes, peut avoir aussi, en général, six valeurs différentes.

Nous donnerons par la suite, un moyen de construire graphiquement, dans de ceriains cas, les cordes communes à deux sections coniques lorsqu'on les suppose décrites. Quant à présent, nous nous bornerons à faire observer, d'après ce qui a été dit précédemment, que le problème en question ne sera

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4ii

soluble géométriquement, qu'autant que parmi les cordes communes aux deux sections coniques données, il y en ait qui ne rencontrent ni l'une ni l'autre de ces courbes; mais qu'il faut cependant qu'elles ne cessent pas d'exister, c'està-dire qu'elles soient de l'espèce de celles que nous avons appelées dans des Notes sur la Géométrie, du nom de cordes, de sécantes idéales; les distinguant ainsi de celles qui sont entièrement illusoires et impossibles à construire, même en direction.

Quoi qu'il en soit, il résulte de ce que nous venons de démontrer, qu'il est généralement possible de projeter deux sections coniques suivant le système' de deux cercles, quoi- ' qu'il y ait certaines positions relatives de ces courbes pour lesquelles la projection soit impossible, comme cela arriverait, par exemple, si ces courbes s'entrecoupaient en quatre points distincts ou confondus.

Nous venons de démontrer par des considnrations de géométrie, le sixième principe de ce Mémoire, en nous appuyant pour cela, sur la démonstration algébrique du cinquième principe. On pourrait désirer en connaître une démonstration directe et fondée sur la seule analyse algébrique. C'est ce que je me propose de faire actuellement, non afin de donner à la première démonstration une plus grande certitude dont elle n'a pas besoin, mais pour avoir occasion de démontrer une propriété nouvelle et assez intéressante des courbes du second degré. Cependant, au lieu de considérer en général, le système de deux sections coniques quelconques, nous supposerons, afin d'abréger les calculs, que l'une de ces courbes soit une circonférence de cercle, ce qui, évidemment, ne diminuera en rien la généralité de la solution.

Supposons donc pour simplifier, que

(g) û/*4- cjr'-h I = o

soit l'équation de la section conique, et

(lo) fl'j'-f-«'a7'-f-rf'.r-He'^ 4- i = o

celle du cercle dont il s'agit. Soient toujours a, pet 7 les coor-

4ia Vn* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

données inconnues du sommet commun aux deux cônes qui ont pour bases les deux courbes données (9) et (10); supposons, de plus, que 7 et 0 représentent les angles qui déterminent la position du nouveau plan des x^ y' y lequel doit couper ces surfaces coniques suivant des circonférences de cercles, comme dans la question précédente. Il s'agit donc de trouver les valeurs des cinq inconnues a, p, 7, ô et ç, de façon que les cônes et le plan des oify' remplissent la condition précédemment indiquée.

Puisque le plan des a^y doit couper le cône qui a pour base la courbe (9}, suivant une circonférence de cercle, on doit avoir évidemment les équations de condition (3) et (4) trouvées (p. 893, n* IV). Pour obtenir les équations de condition relatives à la seconde surface conique, il faut supposer

a=afy b=o, c=a'y d=:d' et e = e',

dans les équations générales de condition trouvées au même endroit, et relatives a la courbe du second degré qui a pour équation

«j*-h bxf'^' c^^-h rfy -f- cj? -h I = o;

cela donnera ainsi les deux équations suivantes, qu'il faudra joindre aux équations (3) et (4) :

sin'5> («' p*H- a'a'4- rf' p -h e'a-f- 1 ) -h a'v'cos'f -4-sinÔsin(pcoS(p(2a'p-f-rf')7 — cosôsin<pcoS(p(2a'a-f-«')7=a'7% — cos6sin(p(2a'p-f-rf')7 — sinOsin(p(2a'a-f-e')7 = o.

Supprimant les facteurs inutiles dans ces dernières équations comme répondant à des solutions particulières, savoir sin f dans la première, 7 et sin 7 dans la seconde; divisant la première par sin^), la seconde par cos9, remplaçant ensuite coty par X ©^ tango par «, comme on l'a fait {p.-393), elles deviendront (il) ! a'(P'-4-a'— 7')-Hrf'p-He'a-f-i

I •4-7sine(2a'p-|-rf');^ — 7cosô(2a'a-h€')x = o» (12) 2a'p-hrf'-h (aa'a +c')«i) = o.

On a ainsi quatre équations de condition (3), (4), (n)» ("3^)» pour déterminer les cinq inconnues ol, p, 7, x 6t ». Il semblerait

DES CAHIERS PRÉCÊDffîOS. 4i}

d'après cela qu'aucune de ces inconnues ne doit être constante ; mais cela n'est pas en réalité, comme nous allons le voir en cherchant à éliminer des quatre équations précédentes les inconnues p, 7 et x*

On peut d'abord commencer par éliminer x entre les équations (3) et (4); cette opération a déjà été exécutée (p. 3g4}, et a donné pour résultat final Téquation

Œ\ I — <?'a'«'-4-(^ — a-hacip* — or») — c*a»-h€(a — c)7*]»*

On peut ensuite éliminer la même quantité x entre l'équation (4) et l'équation (i i), ce qui donnera, en supprimant le facteur commun 7,

a'(P«-|- a* — 7*) -h rf'P -t- c'a -f- 1 __ «p -f- C«w ^ 2a'a-4-e' — «(aa'p-h-cf') (c — a)w '

chassant les dénominateurs de cette équation et observant que, d'après l'équation (12), on a

2a'p-+-rf'= — (aa'a-he')»,

il viendra, toutes réductions faites,

j a' {a — c)w7' = (2a'a-he')(H-w^)(ap-l-caw)

j — (c — a)[a'(p'-|-«')-|-rf'P4-e'a+i]6i.

On a maintenant les trois équations (12), (5) et (i3), qui ne renferment plus %, et qui remplacent les quatre trouvées d'abord. On peut immédiatement éliminer l'inconnue 7 entre ces nouvelles équations puisque l'équation (12) en est indépendante; il suffit de mettre dans l'équation (5) pour (a — 0)7' sa valeur tirée de l'équation (i3) : elle devient ainsi, réductions faites et sans ordonner,

[(a' — c) (c — a)w-4-2fl^'cP'w — afl'c'a*6i — c'rt'P'w — r(c — fl)(r/'p-f-<?'a)w [[{f—a) (c — «)w — 2^ïrt'ca'w-|-2fl'âr'p'w-f-rtVi'a^w~l

4i4 VU' ET DERNIER CAHIER. ~ RÉSUMÉ

Il ne reste plus maintenant qu'à éliminer p entre celte équation et réquation (12), qui donne

on obtiendra ainsi une équation fmale qui devra être gcnéralemeni en « et a. En substituant donc dans l'équation cidessus, pour p sa valeur, il viendra, après avoir ordonné et simplifié autant que possible, Téquation suivante

c»e'» r. ... . c^d" cae'n ^

4rt L 4" 2« J

L'inconnue a ayant disparu d'elle-même de celte équation, il s'ensuit que la valeur de a> est entièrement déterminée ; donc il n'y a en général que six positions du pian x^y qui puissent résoudre la question.

Supposons maintenant que l'on ait tiré Tune quelconque des six valeurs de &> fournies par l'équation (i4)> et qu'on l'ail substituée dans les trois équations (12), (5) et (i3), où n'entre plus X 6t qui sont telles que, en éliminant entre elles les inconnues p et 7, on trouve pour résultat l'équation (i4), il est évident que la substitution de ta faite, on obtiendra trois équations dont une sera la conséquence des deux autres. Or » étant considéré comme une constante déterminée, ces trois équations seront celles de trois surfaces sur lesquelles le sommet a est nécessairement situé; d'où l'on peut conclure d'après ce qui précède, que les deux surfaces (5) et (i3) du second degré se coupent suivant une courbe aussi du second degré et qui est situce dans un plan vertical représenté par l'équation (12).

En remplaçant dans cette même équation, les indéterminées a et p par les variables générales x et y, on pourra lui donner cette nouvelle forme

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. 4i5

Donc le plan vertical sur lequel le sommet du cône est situé d*après les conditions du problème, est perpendiculaire à la trace du plan x^y* sur le plan des xy. De plus, Téquation (5) de la surface sur laquelle ce sommet doit être aussi situé, étant absolument de même forme que l'équation (7) trouvée précédemment, quand on y remplace a, ^ et 7 par les variables Xy y et Zy et qu'on l'ordonne par rapport à ces variables, on pourra en conclure, d'après ce qui a été prouvé alors (ce qu'il est inutile de démontrer de nouveau ici), que la surface dont il s'agit est coupée suivant une circonférence de cercle par le plan (i5), et par conséquent que le sommet a est situé sur une pareille courbe.

On voit déjà les conséquences découvertes dans l'article précédent, se reproduire ici avec les mêmes circonstances; mais poursuivons.

L'équation du plan des x'y' étant, en général (p. 391), de la forme z=. — tangipsin 9/-+- tangçcos ^x, celle du plan qui lui serait mené parallèlement par le sommet a du cône sera

z — 7 = — tang(p sin ô ( j — p ) -f- tang(p cosô(a: — a),

et par conséquent, l'équation de la trace de ce plan sur celui

des xyy sera

^ tangf cosô

Mettant dans cette équation pour cotf ou x» ^ valeur tirée de

«,' . ,/ .> n. . , aflcosô-hcasînO

I équation (4. p. SgS). qui donne ^= ^^—-^-^-^—.^, et

et remplaçant tangd par la constante déterminée », elle devient

(c — â)sin6cos9

a[(g — g)sinOcosQ — C6>] — f[(c — rt)sinOcos0.6»-f-ff]

^ {c — rt)sinôcosO

Or nous avons déjà trouvé que

(c — a) sin ô cosO — c w =^— «(« -h cw' ) cos'ô, {c — a) sin 0 cosO.w -h « = (a -f- cw*)cos'0 ;

4i6 Vn* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

donc il viendra pour l'équation de la trace en question

(a+Cw2)(fi-fwa)

•^ (c — a)ùè

En mettant dans cette équation, pour p, sa valeur

rf'+a'w P = -"« ÏZ-

tirée de Téqualion (12), il viendra

(10) x = (ajr-{ 77 ^ •

' "^ 2a(c — a)ùà

Si nous posons, pour comparer cette équation avec l'équalion 4? = « j-h- K de la question précédente ( p. 897 ),

(aH-c«^)(rf'-|-^») ^ .. ,. rf'-f.a'« (c—a)K

77 ^ = 1^9 U ou -: = ■ r-1

réquation (i5) du plan qui renferme le lieu des sommets u,

prendra la forme

Cette équation ainsi queTéquation (16) étant absolument de la même forme que les équations (6) et j; = «j-f-K de la première démonstration (V, p. 399), on en tirerait absolument les mêmes conséquences.

Mais, au lieu de suivre cette marche, montrons directement que réquation (16) ou a; = wj4-K, représente Tune des six cordes communes au cercle et à la courbe donnés, et que si on y met successivement pour « les six valeurs fournies par réquation (i4)> elle donnera les équations mêmes des six cordes correspondantes.

Appelons x* et j' les coordonnées de Tun des quatre points communs aux deux courbes (9) et (lo) en question, ^" et j-" les coordonnées d'un autre quelconque de ces points; ces coordonnées devant satisfaire aux équations de ces courbes.

on aura évidemment les quatre équations de condition,

(a) ûy'^-hcx'^ -4-1 = 0, (c) a'j'^4-a'x'^^-rf'7'-+-e'a7'4-i=o, {b) «j^»-+-c^'-f-i = o, (d) a'x'"-+-a'x^'-hdy*''+-e'jf-hi=o.

Appelons «a. la tangente de l'angle que forme, avec l'a\e des X9 la corde qui joint les deux points x' ei x^, on aura

jgf x'

^» = ^ r> d'où X''^x'=^,{jr''-y)'

Il s'agit maintenant, pour obtenir la valeur de ui, d'éliminer ^9 y> ^ et y*' entre les cinq équations précédentes. Pour cela, retranchant d'abord l'équation (c) de (rf), il vient

Mettant pour xf — x^ sa valeur ^\(y" — 7') et divisant pai* y** — j', on aura l'équation

d[y'' '^f)'\'d fù.^x" -^ xf)'^d' -\-€^ f^^ = o^ qu'on peut mettre sous cette forme

Mettant de nouveau, pour x^ — x\ sa valeur «i( j" — y^) dans cette équation, on en tirera

^ti

Traitant de même les équations {a) et (6), on en déduira cetto autre expression

Égalant ces deux valeurs entre elles, on obtient

chassant les dénominateurs et réduisant, il vient enOn

(17) 2a'(<>— a)(x' — o»,/')», — (aH-c«î)(rf'-i-c'wi) = o. I. 27

4i8 VIP ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

On tire (Je là immédiatement

, 2r^{c — a)ùiix' — (rf'-|-e'»,)(a-|-Cftiî)

Substituant cette valeur de y' dans les équations (a) et (c), on aura

^[~ia'^C'^a)(d'-^e't^;){a-hcf^])t^^-^id*ri''(c-aY(ù\-\^ia''€'(c-ay^\]^

Il ne s'agit plus maintenant que d'éliminer x' entre ces deux équations pour avoir l'équation Hhale en u,. Pour cela, je multiplie la première par a'(i-h»J), la deuxième par a-|-c«î, et je retranche la deuxième de la première, le terme x'^ disparaît du résultat aussi bien que le terme en ^r'; on aura donc tout de suite Téquation finale

En simplifiant cette équation, el}e devient

développant et ordonnant, on obtient enfin

— c'6'^»; -h [4a'(a'— c}(c — a) ^- c^d'*— 2 acc'»]^; [4a'(a'— a){c—a) -h^acd'^^ a^e''] wj -h a^d'^=: o.

En comparant cette équation à Téquation (i4) qui donne la valeur de », on s'assure qu'elle lui devient identique quand on la divise par ^a'; donc i** 9^1 = ta, et par conséquent, l'équation d'une corde commune aux deux courbes en question est de la forme x = f»jr--{-L; mais, puisque cette corde doit passer par le point (x'jr')^ on doit avoir la relation x'= ««j'-H L, qui servira à déterminer la valeur de L : en corn-

binant celle équalîon avec Téquaiion (17) irouvée dans le cours du calcul, el observant que b>,=6> dans celte équation, y' disparaîtra, el Ton aura pour déterminer L, l'équation

ia\c — a)wL — (rf'-he'w)(fl-hcw') = o,

d'où l'on tire immédiatemenl

(a-f-cw=)({/'-+-e'w)

2a'(c — a)tù

Donc réquation de l'une quelconque des cordes communes aux courbes données (9) el (10), esi de la forme

£n la comparant avec l'équation (16) trouvée ci-dessus, et observant que » a la même valeur dans ces équations, on en conclura qu'elles représentent la même droite. Donc, si du sommet a commun aux deux cônes qui ont pour bases les courbes données (9) et (10), on mène un plan parallèle à celui des x'y' ( qui est supposé donner à la fois une section circulaire dans l'un et l'autre cône), la trace de ce plan sur celui des deux courbes sera nécessairement l'une des cordes qui leur sont communes.

Ainsi l'analyse nous a conduits, quoique par un chemin plus long, aux mêmes conséquences auxquelles nous étions parvenus dans l'article précédent. On voit combien il est avantageux en certains cas de faire venir la géométrie au secours de l'analyse, el combien par ce mélange de démonstrations, il devient facile d'éviter la longueur des calculs algébriques, trop souvent nécessitée par les éliminations. Je ne me ferai désormais, aucun scrupule d'employer ce genre mixte de raisonnement, qui a évidemment la même rigueur que les démonstrations purement géométriques ou exclusivement analytiques, d'autant qu'il existe telles propriétés, que nous ferons connaître dans le caurs de ce Mémoire, qu'il serait, sinon impossible, du moins extrêmement long et difficile, de démontrer de cette dernière manière.

D'après cette observation, on ne doit regarder que comme

420 VIP ET DERNIER CAHIER. ~ RËSUBfÉ

un objet de pure curiosité la démonstration analytique que nous venons de donner, en dernier lieu, du VI« Principe de ce Mémoire. Quoi qu'il en soit, voici une propriété assez remarquable que Ton peut déduire immédiatement des calculs précédemment établis.

Puisque l'équation (14)^ pour racines les valeur^ des tangentes trigonométriques &> des angles 9 formés par les cordes communes au cercle et à la conique donnés, avec Taxe ^ des coordonnées qui est Tun des axes rectangulaires de cette section conique, et, puisque cette équation ne renferme la quantité cj qu*à la deuxième puissance, on en peut conclure évidemment que, si une certaine corde fait un angle d avec Taxe des y y il en existe une autre qui lui est conjuguée et fait nécessairement un angle de 200"— 0 avec cet axe; de sorte que la direction de ce dernier divise en deux parties égales, Tangle formé par ces deux cordes.

Soient donc (C) et (A) un cercle et une courbe du second degré qui se coupent en quatre points a, 6, c et d\ il est aisé de reconnaître, en examinant le cas particulier où les centres C et A se confondent, que deux cordes telles que ac et hd qui se coupent ailleurs que sur les courbes données, en un point O,

sont Tune à l'égard de l'autre dans le cas dont il s'agit. Donc, d'après ce qui précède, si l'on divise l'angle aoh qu'elles forment en deux parties égales par la droite op^ cette droite sera parallèle à l'un des axes de la courbe (A), et par suite, si l'on divise aussi le supplément boc de cet angle en deux parties

égales par la droite op\ cette droite sera parallèle à l'autre axe de la conique. On voit, d'après cela, qu'une courbe (A) du second degré étant tracée, il est très-facile de déternniner la direction de ses axes rectangulaires.

On peut rennarquer que les deux autres cordes ab et erf, aussi bien que les cordes ad et bc, sont dans le même cas que les deux premières, et qu'aiifsi elles jouissent de la même propriété à regard des axes principaux.

Quand, au lieu d'un cercle et d'une section conique, on considère en général le système de deux courbes du second degré qui se coupent, la propriété que nous venons de démontrer n'a plus lieu alors; mais il existe pour ce système une propriété analogue dont la démonstration, qui ne serait pas à sa place ici, sera donnée dans la III* Partie de ce Mémoire (*).

VII® Principe. — Le système de plusieurs coniques ayant une corde commune sur un plan, peut être considéré, en général, comme la projection plane du système^i'un même nombre de cercles dans lequel la projection de la corde commune est passée à Tinfîni; de sorte que tout faisceau de droites qui concourent en un même point de la corde commune du premier système, a pour projection (Princ. III) un faisceau de droites parallèles dans le second.

Ce Principe est une conséquence immédiate de celui qui porte le n<^ VI. En effet, imaginons que, du milieu de la corde commune aux sections coniques dont il s'agit, on élève un plan perpendiculaire à cette corde; que l'on décrive ensuite, de ce milieu comme centre, une circonférence de cercle située dans ce plan et satisfaisant à la condition que le carré de son diamètre soit égal au carré de la longueur de la corde pris avec un signe contraire (p. 4^5, Jig. 162), il est évident que chacun des points de cette circonférence sera tel» que si on le considère comme le point-projetant de deux des sections coniques considérées, les surfaces coniques correspondantes seront

[*) Cette IIP Partie n'existe pas, mais on prendra, dans les Notes qui suivent ce volume, une idée des recherches analytiques que j'avais entreprises à ce sujet, et que mon brusque départ de SaratolT, en juin i8t4^ ne me permit pas de terminer et de rédiger complètement^

4a-2 VIF ET DERNIER CAHIER. - RÉSUBiÉ

susceptibles d'être coupées suivant des cercles par un plan quelconque mené parallèlement à celui qui passe par ce point et par la corde commune. Or, toutes les sections coniques données ayant, par hypothèse, une même corde commune, il est clair, quel que soit le couple de celles que l'on considère, que le cercle sur lequel le point projetant arbitraire doit se trouver situé, aura même position et même grandeur que le cercle d'abord mentionné. Donc, le point choisi précédemment sur ce cercle, a la propriété de projeter à la fois toutes les coniques, suivant des circonférences de cercles sur un plan quelconque, parallèle à celui qui passe par ce point et par la corde commune aux courbes données; par où Ton aperçoit, en même temps, que cette corde aura pour projection une droite située à l'infini.

D'après ce qui a été démontré (p. 4o5, Jig. 162), la construction précédente ne cessera d'avoir lieu que quand les courbes données auront en effet quatre points en commun. Dans tous les cas où une corde commune aux coniques sera de l'espèce de celles que nous avons nommées idéales, cette construction sera toujours possible, et l'on voit même qu'elle le sera d'une infinité de manières.

On ne doit pas conclure de ce que les cercles de projection ont une même corde commune située à l'infini, que ces cercles aient, pour cela, des positions particulières; car nous prouverons tout à l'heure, qu'un système de cercles situés d'une manière quelconque sur un même plan, a toujours une ligne droite située à l'infini qui peut être considérée comme la corde commune à ces cercles.

Il est nécessaire aussi de remarquer, à l'égard des trois derniers principes, qu'ils ne cessent pas d'être vrais même quand les sections coniques dont il est question, sont, en tout ou en partie, des circonférences de cercles.

VIII' Principe. — Un système de cercles quelconque sur un plan, peut toujours être projeté suivant un système de sections coniques qui ont une même corde commune, et ces cercles peuvent toujours être considérés comme ayant une autre corde commune située à l'infini.

Imaginez que, d'un point quelconque ot, on projette le sys-

DES CAHIERS PRÉCÉDENTS. i%:^

tème de cercles en question sur un plan arbitraire P, il est clair par définition que ce système aura pour projection un système de sections coniques situées dans le plan P.

Considérez maintenant deux quelconques de ces coniques. Puisque le point a a la propriété de les projeter suivant deux cercles sur Tancien plan, il est clair encore que , si par le point a on mène un plan parallèle à ce dernier, il coupera le plan P, des deux coniques, suivant une droite qui sera Tune des cordes communes à ces deux courbes (VI* Princ). Même chose aurait lieu si l'on considérait deux autres sections coniques; donc la droite dont il s'agit est une corde commune à toutes les courbes de projection, et par conséquent (VIP Princ.)) le système des cercles proposés peut être considéré comme ayant une même corde commune, mais entièrement située à l'infini.

IX* Principe. — Le système de plusieurs sections coniques assujetties à avoir quatre points en commun (géométriquement ou analytiquement parlant), peut être considéré dès lors comme ayant pour projection le système d'un pareil nombre de cercles, qui ont, outre leur corde commune idéale, située à l'infini, une autre corde commune à distance donnée, identique à celle que Ton considère ordinairement.

En effet, puisque les courbes dont il s'agit ont quatre points communs analytiquement parlant, elles peuvent être considérées comme ayant aussi, en général, six cordes communes; donc si l'on ne fait d'abord attention qu'à l'une de ces cordes, on conclura (Princ. Vil*) que les sections coniques données peuvent être projetées suivant le système d'un même nombre de cercles, dans lequel la corde en question aura pour projection une droite située à l'infini. De plus, si l'on considère la corde commune aux coniques données conjuguée à la première (art. V), en ce qu'elle ne la rencontre sur aucune de ces courbes, et, si l'on fait aiteniion que ces cordes sont tellement liées l'une à l'autre (n* IV ) que, si Tune a une existence géométrique, l'autre en a nécessairement une aussi, on en pourra conclure que la corde conjuguée aura pour projection sur le plan des cercles, une droite située à une distance finie, qui sera une corde commune à tous ces cercles.

4a4 VU- ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

D'après les remarques déjà faites, on voit que pour que la projection soit possible, il faut que la première des deux cordes ci-dessus soit de l'espèce de celles que j'ai appelées sécantes idéales; c'est-^à-dire qu'elle ne rencontre pas les courbes données quoiqu'elle ait une existence géométrique; quant à la seconde qui lui est conjuguée, elle poumr être indistinctemeni réelle ou idéale. Il est évident, d'après cela, que les quatre autres cordes seront, dans cette même circonstance, tout à fait impossibles à construire, et par conséquent illusoires ; car autrement, comme elles couperaient nécessairement la première, il s'ensuivrait que celle-ci aurait un ou deux points eu commun avec les courbes en question, ee qui est contraire à l'hypothèse.

Tout ceci deviendra très-clair par la suite, quand nous aurons fait connaître les propriétés dont jouissent les cordes communes à deux sections coniques; ce qui nous fournira le ipoyen de construire, dans certains cas, la corde ou sécante idéale commune à deux sections coniques dounées et la conjuguée à cette corde.

Remarque. — Un système quelconque de cercles sur un plan, devant toujours être censé avoir une corde commune à rinfini, si Ton suppose, de plus, que ces cercles en aleol une commune à distance finie, il est évident que ces deux cordes seront conjuguées entre elles, et que les autres cordes que ces cercles ont en commun, analytjquement parlant, sont toutes quatre illusoires ou imaginaires. Donc, d'après ce qui pré-r cède, le système de ces cercles peut être projeté suivant un. autre système composé d'un égal nombre de cercles ayant une corde commune à une distance donnée, projection de celle qui est située à l'inOni dans le premier système pour lequel la projection de la corde commune ordinaire est réciproqueipent située à une dislance ii^finie.

Avant de clore la première Partie de ce Mémoire, il est nécessaire de faire quelques remarques sur les Principes établis djans les airt. I, 1} et suivaQts. La démonstration de^

DES GÀHIEBS PRÉCÉDENTS. i%5

ces Principes étant entièrement fondée sur la nature propre de l'analyse algébrique, toutes les conséquences qu'on en pourra lirer relativement aux propriétés de position des figures, seront vraies, considérées d'une manière purement analytique; mais, considérées d'une manière géométrique, elles pourront n'être que d'une vérité conditionnelle (dépendante de la disposition des parties de la figure), lorsqu'elles porteront sur quelque grandeur déterminée susceptible de devenir imaginaire; car une grandeur qui peut devenir imaginaire a toujours une existence algébrique, mais elle cesse d'exister au point de vue purement géométrique.

Dans tous les autre cas, les conséquences géométriques qu'il sera possible de lirer de ces mêmes- principes relativement aux propriétés de position des figures, seront toujours vraies d'une manière géométrique et d'une manière analytique, et cela aurait lieu même quand elles porteraient sur quelque grandeur indéterminée; pourvu que celle grandeur ne dépende d'aucun radical qui puisse la rendre imaginaire.

Ces remarques nous conduisent à distinguer deux espèces de propositions, savoir : celles qui sont d'une vérité absolue ou géométrique, et celles qui sont d'une vérité conditionnelle, c'est-à-dire, vraies pour une certaine disposition des parties de la figure et cessant de l'être pour d'autres, quoique, dans tous les cas, ces propositions soient vraies d'une manière relative et analytique. Les Principes posés au commencement de ce Mémoire, seront toujours applicables aux propriétés de la première espèce, mais ils pourront ne l'être qu'avec restriction à celles de la seconde»

La première espèce comprend toutes les propriétés de po»sition qui ne tiennent explicitement à aucune grandeur déterminée ou indéterminée et celles qui, tenant à des grandeurs indéterminées, ne renfermant implicitement aucun radical dans leur expression algébrique, ne peuvent devenir imaginaires. Telles sont toutes les propriétés relatives aux points de concours des lignes droites, et celles dont jouissent les points ou droites mobiles relativement au degré de la courbe qu'elles engendrent dans leur mouvement, etc.

Pour en donner un exemple, supposons qu'il soit prouvé que, pour une certaine disposition générale d'une figure, trois.

lignes droites ou plus, concourent, en un même point; il est évident que celte propriété sera toujours vraie géométriquement; car rexpression de Tordonnée du point d'intersection de deux ou plusieurs droites est indépendante de tout radical, et par conséquent, ne pouvant jamais devenir imaginaire, elle correspondra toujours à un point réel et constructible géométriquemeni. 11 est de toute nécessité cependant que deux de ces droites soient elles-mêmes constructibles; car si elles étaient toutes imaginaires, Fordonnée du point en question pourrait Têlre aussi; mais ce cas ne fait nullement exception, si Ton admet qu'en géométrie, il n'y a pas lieu d'examiner les propriétés des figures qui ne peuvent être tracées effectivement. £n voici un exemple:

Soient (A) et (B), fig. i66, deux coniques données; imaginez que, d'un point m de la première, on mène des tangentes à la seconde et qu'on joigne les points de contact par une droite tt' \ supposez, de plus, que l'on fasse mouvoir le point m sur

Fig. iG6.

sa courbe, la droite //' roulera, comme nous le verrons plus tard, sur une troisième ligne du second degré. Or il semble évident que cette ligne cessera d'exister géométriquement, qua nd la corde tl' ne sera susceptible d'être construite pour aucune des positions du point m : c'est ce qui arrivera quand la conique (A) sera entièrement enveloppée par Fa conique (B); car il n'y a plus lieu alors d'examiner quel est le degré de la conique engendrée, etc. Mais, si la conique (A) n'était qu'en partie comprise dans la courbe (B), c'est-à-dire si elle la coupait, la courbe décrite par la corde tf^ aurait évidemment alors une existence géométrique, puisqu'une partie de ces cordes seraient susceptibles d'être construites, et qu'une

section conique est déterminée de position quand on connaît cinq droites auxquelles elle doit être tangente.

La seconde espèce de propriétés de position comprend toutes celles qui tiennent à des grandeurs indéterminées pouvant devenir imaginaires pour des dispositions générales de la figure mais qui sont réelles pour d'autres : Telles sont généralement les propriétés relatives à la position (et non au degré) de la ligne engendrée par le mouvement d'un point ou d'une droite mobile par rapport à certaines lignes fixes de la figure; telles sont encore, en général, les propriétés relatives à la manière dont la courbe décrite est liée aux parties fixes de la figure; par exemple, si elle touche une courbe ou droite fixe, si elle passe par les points communs à deux courbes, etc. (*)•

Toutes ces propriétés ne sont évidemment que d'une vérité conditionnelle; car l'expression de l'ordonnée des points de contact ou d'intersection de deux courbes renfermant des fonctions radicales, cette ordonnée et par conséquent le point correspondant pourront devenir imaginaires pour certaines dispositions générales de la figure, et partant cesser d'exister d'une manièire géométrique.

{*) Les lecteurs s'apercevront avec moi, sans doute, qu'il règne dans tout ce passage, à force de généralité, un vague et une obscurité qu'on s'explique difficilement après les études géométriques et algébriques approfondies des V et VI'' Cahiers de cet ouvrage ; notamment si Ton se reporte aux propositions réciproques des p. 253 à 260, où l'existence des courbes enveloppes et de leurs cordes génératrices est entièrement indépendante de la position même du sommet conjugué de fangle circonscrit. Cela prouve qu'à l'époque de 1810, où je quittai l'Ecole polytechnique, on était loin d'avoir des notions bien arrêtées sur la dépendance mutuelle de ce que l'on a nommé depuis, le paie et la polaire dans les courbes du deuxième degré ; c^r l'expression même de polaire, aujourd'hui si universellement adoptée, ne l'a été qu'à partir de 181 3 et 1814 où MM. Gcrgonne et Servois s'en servirent dans le t. III des Annales de Mattiématiques do Montpellier, M. Brianchon lui-môme, dans ses Mémoires de 1806 à 1810, n'avait point insislé sur la réalité de l'existence simultanée du pôle et de la polaire, et, si je ne me trompe, ce ne fut pas avant l'époque de 1817, où j'établis la réciprocité complète de ces éléments, pour deux sections coniques quelconques, que l'on acquit des notions un peu générales à cet égard.

Néanmoins je m'étais déjà occupé, lors de mon séjour à l'Ecole polytech-

4a8 Vn« ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Si donc, on avait trouvé, pour une position générale d'une figure susceptible d'une projection plus simple, qu'un certain point mobile dans cette projection, décrit une ligne concentrique à une courbe fixe, ou plus généralement, qui n'a aucun point en commun avec cette dernière, on pourrait bien en conclure que, pour la disposition actuelle où la projection est censée possible, le point mobile de la figure donnée décrit aussi une ligne qui n'a aucun point en commun avec la proposée; mais on ne saurait affirmer que cela eût lieu pour d'autres dispositions des parties de la figure; caries courbes considérées pourraient, dans certains cas, posséder des points communs et même être tangentes en ces points.

Dans des cas semblables, il serait absolument impossible de prononcer sur la manière dont les deux coniques sont en général liées entre elles, et il faut alors recourir à un examen tout particulier de la figure. Supposons donc que, au moyen de cet examen, on ait trouvé que ces coniques ont entre elles deux points de contact communs effectifs : on en pourra conclure qu'elles sont toujours liées l'une à l'autre (analytiquement parlant) de la même manière, que le contact soit imaginaire ou réel comme dans le premier cas. Ainsi toute propriété de position (n" I) dont le système de ces courbes jouit quand elles

nique à propos de l'épure relative è Tintersection des ellipsoïdes de révolution et des élégants théorèmes de Monge sur les points, les droites et plans d'intersections des cercles ou des sphères, des cas de possibîlilé ou d'impossibilité de ces intersections diverses, ainsi que des singulières difficultés d'interprétation géométrique qui résultent de la discontinuité dans le tracé par points du lieu des mêmes intersections. En particulier, je m'expliquais très-bien comment le lieu du centre des cordes interceptées dans un cercle par les sécantes issues d'un point ou pôle fixe donnée était réellement continu dans toutes ses parties, comme le montre l'analyse algébrique, quoique ce point milieu lui-même ne semble pas exister géométriquement pour les sécantes extérieures au cercle donné. Il suffisait pour cela, de remarquer que ce point se confondait avec le pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur les sécantes.

Ceci prouve, une fois de plus, la lenteur avec laquelle l'esprit parvient à s'ouvrir une route dans un champ d'idées nouvelles qui souvent contrarient des notions antérieurement admises. Mais il restait à interpréter le fait d'une manière générale, par la théorie géométrique des cordes et des sécantes idéales.

se touchent géométriquement, aura Heu même quand ces courbes viendront à ne plus se toucher réellement, pourvu que celle propriété soil de celles de la première espèce; dans la supposition contraire, elle cessera d'être vraie si ce n'est d'une manière analytique.

Il ne seraii pas difficile de multiplier les exemples propres à éclaircir ce que je viens de dire en dernier lieu, si je ne craignais d'anticiper par trop sur ce que je me propose de faire connaître dans la troisième partie de ce Mémoire, d'autant que celte troisième partie étant une application presque continuelle des principes ci-dessus, pourra servir elle-même, d'éclaircissement à ces principes.

Remarque générale. — Les neuf principes que nous venons de poser relativement à la projection des figures, ne sont pas les seuls que nous eussions pu démontrer. Il en existe encore quelques autres on ne peut plus faciles à démontrer, et qui sont des conséquences immédiates des précédents. C'est pourquoi nous n'en donnerons la démonstration que quand l'occasion s'en présentera, afîn de ne pas trop allonger cette première partie du Mémoire.

Au moyen de ces principes, d'ailleurs, et des observations déjà faites dans tout ce qui précède , on pourra très-souvent rendre la démonstration d'une propriété de position extrêmement simple et facile; mais il faudra avoir l'attention, quand la figure donnée sera susceptible d'être simplifiée de plusieurs manières différentes, de choisir celle de ces simplifications qui conviendra le mieux à la propriété qu'on se propose de démontrer en particulier.

Au reste, la méthode mixte que nous venons d'exposer pour amplifier la démonstration des figures sur un plan, pourrait être beaucoup étendue au moyen de la géométrie des figures dans l'espace, c'est-à-dire de la géométrie descriptive; nous en avons eu déjà un exemple à l'art. II. Cela consisterait, comme on voit, à regarder une figure plane comme la projection (perspective) ou comme l'intersection d'une figure dans l'espace, et à conclure des propriétés de cette dernière celles de la figure primitive, en se servant pour cela, des principes généraux de la géométrie de Monge.

43o VU' ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

Je ne me servirai pas de ce dernier moyen, parce qu'il ne s'applique, en général, qu'à très-peu de propositions; ce qui provient de ce qu'il esl encore plus difficile de découvrir les propriétés des figures de l'espace que celles des figures planes. Les principes précédents suffiront seuls, pour démontrer les propositions que nous avons en vue.