DEUXIÈME PARTIE

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES ET LINÉAIRES LES PLUS SIMPLES DES FIGURES SITUÉES SUR UN PLAN.

Nous avons déjà dit que l'objet de cette seconde partie est d'appliquer les principes précédents à la démonstration des propriétés de position déjà connues. Nous aurions pu nous borner à quelques exemples choisis parnii les plus marquants; mais comme la plupart de ces propriétés sont dispersées dans plusieurs ouvrages différents, et que, par la suite, nous serons obligés d'y avoir recours, nous avons cru n'en devoir omettre aucune. On pourra s'apercevoir que ces propriétés sont, en grande partie, des conséquences les unes des autres, et c'est aussi la manière dont elles ont été démontrées d'abord ; mais, à l'aide des principes de projection, elles seront démontrées chacune isolément et immédiatement; ce qui est l'un des grands avantages offerts par ces principes.

Si deux triangles ABC et abc {fig. 167) sont tels, que les côtés respectifs AB et aé, BC et bc, AC et ac se coupent en

Fîg. 167.

trois points I, L, K situés en ligne droite, les droites Ce, A a et B&, joignant deux à deux les sommets opposés à ces côtés,

passent par un même point 0, quelle que soil d'ailleurs la disposition relative des deux triangles.

En elTety d'après le IP Principe, ta figure peut être considérée comme la projection de deux autres triangles dont les côtés, pris deux à deux, concourraient à l'infini ou seraient parallèles, tels que les triangles A'B'C, alVc\ Or il est visible, et il n'est pas nécessaire ici de démontrer, que ces derniers ' triangles sont tels, que les trois droites AV, B'fc' et Ce' vien- ^ nent se couper en un même point 0% quelle que soit la situation de ces triangles; donc (Art II, I" Partie) les deux triangles ABC ^Xabc d'abord considérés jouissent de la même propriété.

La proposition réciproque est également vraie et pourrait se démontrer d'une manière analogue, ce qu'il est inutile de faire puisqu'elle est une conséquence immédiate de la première. Ainsi donc, quand deux triangles ABC et ^z6c seront tels que les trois droites Ce, 66, Aa, qui joignent deux à deux leurs sommets respectifs, se couperont en un même point O, on pourra en conclure que les trois points I, K et L, où se coupent les côtés respectivement opposés à ces sommets, sont situés sur une seule et même ligne droite IL.

Soit KCIc {fig* i68) un quadrilatère quelconque; si, d'un point L de l'une de ses diagonales Kl, on mène, dans ce qua-

Fig. i6d.

drilatère, deux sécantes arbitraires, L« et LA, qui coupent ses côtés, non prolongés, aux points respectifs A, B, i& eta; que

432 Vn« ET DERNIER CAHIER. - RÉSUME

Ton joigne ensuile les points B, 6 et A, a par deux lignes droites B 6 et Aa ; ces deux droites, en quelque sorte réciproques des précédentes et conjuguées entre elles, se couperont en un point 0 situé sur la diagonale Ce, réciproque et conjuguée à l'égard de la première Kl, puisqu'elles s'engendrent Tune par Tautre, et qu'il existe une troisième droite YX, nommée aussi diagonale.

Cette propriété est une suite nécessaire de celle du n® I, Jig. 167, et n'en diffère que parce qu'elle est énoncée d'une autre manière. En effet, si l'on considère les deux triangles ABC et abc qui font partie de la fig, 168, il est clair, d'après l'énoncé (I), que leurs côtés respectifs se coupent deux à deux en trois points L, I, K situés en ligne droite ; or, suivant ce qui précède, les trois droites Ce, ka et B6, joignant les sommets opposés à ces côiés, se coupent bien en un seul et même point 0.

Si l'on réunissait les quatre intersections a, B, A, b par les droites aB et A 6, leur point de rencontre ne se trouverait ni sur l'une ni sur l'autre des diagonales Ce ou Kl. Hais si, au lieu de prendre le point L sur la diagonale Kl, on l'eût pris sur la troisfème diagonale YX, ce point d'intersection se serait trouvé sur la diagonale Ce, comme il est facile de s'en assurer. Ainsi ces trois diagonales jouissent des mêmes propriétés réciproques à l'égard les unes des autres.

Enfin on peut remarquer que si l'on prend les points L et O sur la troisième diagonale YX, les deux droites Ai et Ba se couperont au centre même 7, du quadrilatère proposé.

Soient AO et BO [Jig, 169) deux droites quelconques qui se coupent au point 0; I, K et L trois points donnés sur une autre ligne droite; par le point I soit menée, dans l'angle AOB, la sécante arbitraire 16, qui coupe les côtés de cet angle en deux points a et 6 ; soient menées ensuite les deux droites Ka et Lfr se coupant en un dernier point e; je dis que, si l'on vient à faire varier la sécante \ab autour du point I, comme pôle, et qu'on fasse pivoter en même temps, les droites Ka et L6, comme on l'a dit précédemment, autour des deux autres points

K et L, le point c décrira dans son mouvement, une droite GO qui passera par le sommet 0 de 1*angle donné AOB.

Cette propriété est une conséquence très-simple de la première. En effet, si l'on considère le point mobile c dans deux quelconques de ses positions c et C, il sera facile de voir, d'après la Propos. II, que les triang;les ab^j et ABd étant tels,

Fig. 169-

que leurs côtés homologues, pris deux à deux, se coupent en trois points I, K et L situés en ligne droite, les droites A a, Ce, B& qui joignent aussi, deux à deux, les sommets opposés à ces côtés, vont toutes passer par un même point 0, et que par conséquent, comme il en serait ainsi également du triangle abc avec un autre triangle quelconque A'B'C construit d'une pareille manière, tous les sommets C, C, etc., seront situés sur la même droite Oc.

Au reste, on aurait pu démontrer celte propriété directement ainsi que la première, à Taide du IP Principe, ce qui eût été tout aussi simple.

Béciproquement, si Ton assujettissait toujours les côtés ab et ac du triangle mobile abc à passer par les pôles I et K, et que Ton fît, de plus, parcourir une droite donnée Oc? contenant le point 0, au sommet c, qui était libre précédemment, le troisième côté bc de ce triangle passerait dans toutes ses positions par le point L, situé sur la même ligne droite que les pôles donnés I et K.

Cette dernière remarque peut servir à mener d'un point donné a, par exemple, une ligne droite aO qui aille concourir I. 28

434 VIP ET DBRNTER CAHIER. - RÉSUMÉ

avec deux droites données CO et BO dont le point de ren-^ contre 0, serait très-éloigné, et en ne se servant que du secours seul de la règle. Pour cela faire, on prendra arbitrairement deux points ou pôles I et K qu'on joindra chacun, avec le point a, ce qui donnera deux droites Ka et la, dont Tune coupera cOau point c, et l'autre 60 au point b; on tracera ensuite bc, qui donnera par sa rencontre avec la droite IK prolongée, le troisième pôle L. Ce pôle une fois trouvé, on construira un second triangle BCA, dont le sommet A appartiendra à la droite demandée ^zO.

Soient ao, eo (Jig. 170) deux droites quelconques se coupant au point o; si, d'un point s arbitraire on mène autant de sécantes «a, sb^ etc., que l'on voudra et qu'on joigne, deux à deux, leurs intersections avec les droites données ao et eo,

Fig. 170.

comme cela est indiqué sur la figure, c'est-à-dire le pointa avec le point /, le point b avec le point e, et ainsi de suite en prenant quatre à quatre les points donnés par chaque cou * pie de sécantes, les points 1, /r, /, etc., où se coupent respectivement les droites ou diagonales ainsi obtenues, seront tous situés sur une même ligne droite passant par le point de con*cours o des droites ao, eo.

En effet, on peut projeter la figure sur un nouveau plan, de façon que les points o ei s y soient situés à l'infini, et sur lequel par conséquent, les deux droites données ao et eo seront parallèles aussi bien que le système des sécantes qui passent par le point 5; donc dans cette nouvelle figure, les quadrilatères ahfe, bcgfi etc., seront des parallélogrammes. Or il

DBS CÂfflERS PRÉCÉDENTS. 435

est visible que» dans cette nouvelle figure, la droite qui divise à la fois tous les côtés parallèles oje^ bfy etc.» en deux parties égales» passe aussi par tous les points i, A*» /, etc.» de rencontre des diagonales, en même temps qu'elle est parallèle aux droites ao et eo^ c'est-à-dire qu'elle concourt à l'infini avec ces droites; donc aussi (n<* II» P* Partie) les points i» /r, /» etc.» de la figure primitive» sont tous situés sur une même ligne droite passant par le point 0.

Celle propriété peut être considérée comme une conséquence de la première; car on voit, d'après celle-ci {fig* 170), que les deux triangles aei, ckg étant tels que leurs côtés opposés pris deux à deux» se coupent en trois points s, fr, /situés en ligne droite» les droites ac» eg et ik qui en joignent les sommets opposés, concourent toutes trois en un même point o.

La propriété en question peut aussi servir à résoudre le problème dont nous avons parlé ci-dessus : Étant donnés un point I et deux droites ao et eo^ mener par ce point» en ne se servant que de la règle seule, une autre droite qui aille concourir en o avec les premières.

Soient LM et PQ {fig. 171) deux droites données» soient pris sur la direction de chacune de ces droites» trois points arbi-

Fig. 171.

traires tels que a» é» c et rf» «» /; je dis que, si l'on joint ces points deux à deux dans l'ordre indiqué par la figure» les trois points d'intersection 1» /r et /seront situés sur une seule et même ligne droite.

En effet» on peut projeter la figure de manière que la droite LM passe à l'infini» de sorte que» dans cette nouvelle figure»

436 Vn* ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

les droites qui avaient leur point de concours sur LM, seront des droites parallèles dans la projection ; ainsi db devient parallèle k/b, eakfa, de à ec. Cela posé, je dis que les trois nouveaux points /, k, l sont en ligne droite, ou, ce qui revient évidemment au même , les deux iriangles imk et knl sont semblables. Or ces deux triangles ayant déjà en m et n {Jig. de droite) un angle égal, il reste à démontrer que cet angle est compris entre côtés proportionnels dans chacun des deux triangles.

Pour cela faire, je remarque que les deux autres triangles inidy nfly ayant leurs côtés respectivement parallèles, sont semblables, et que Ton a immédiatement,

imidm :: nf: ni;

que pareillement, les triangles semblables dme et enf, donnent tout de suite,

dm : em = nk :: en=^ mk : nf.

Multipliant ces proportions par ordre, effaçant les facteurs qui se détruisent, il viendra

im :nk :: mk : ni.

Donc les deux triangles imk et knl ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels sont semblables, et par conséquent les trois points i, A*, / sont situés en ligne droite. Donc enfin \is points correspondants de la première figure sont également situés en ligne droite.

D'après l'observation du n" 1 (I~ Partie), la propriété dont il s'agit restera vraie quel que soit l'ordre que l'on établisse entre les six points donnés a, 6, c, rf, e, /; on doit seulement remarquer que de ces six points, trois quelconques étant situés sur l'une des droites LM ou PQ, les trois autres doivent l'être sur l'autre de ces droites.

Nous verrons, par la suite, que la propriété dont il s'agit n'est, comme la précédente, qu'un cas très-particulier d'une propriété générale des courbes du second degré.

Etant donné un parallélogramme ABCD {^g, 172) et une droite indéfinie LMI située sur son plan» mener d'un point quelconque o de ce plan, une droite parallèle à LM, en ne se servant que de la règle seule.

/''• Solution, — Ce problème peut se résoudre d'une manière très-simple en le ramenant à mener, par un point» une droite qui aille concourir avec deux droites données; problème déjà résolu de deux manières difTérentes, dans les n"* 111 et IV.

Fig. 17Q.

Pour y parvenir, il ne s'agit que de trouver une droite qui soit parallèle à LM, et dont le point de concours avec cette droite soit par conséquent situé à l'infini ; or cela est très-facile. En effet, prolongez les côtés AB et BC du parallélogramme jusqu'à leur rencontre en M et L avec la droite donnée; tracez la diagonale BD; joignez un point quelconque n de cette ligne avec les points M et L, par les droites nM., nL, qui viendront couper les deux autres côtés prolongés, du parallélogramme, aux points respectifs m et /, lesquels étant joints par une droite ml donneront la parallèle demandée. On peut le démontrer en observant que les trois droites BD, m M, / L qui joignent deux à deux les sommets respectifs des triangles mbl, MBL, passant, d'après la construction précédente, par un même point n, les côtés opposés à ces sommets dans

l'un et l'autre triangle, se coupent nécessairement (n** 1} en trois points situés sur une même ligne droite. Or les deux côtés opposés MB et mJ) se coupent à l'infini, ainsi que les côtés BL et D/; donc tous les points de la droite en question sont situés à l'infini , et par conséquent les deux autres côtés LM et Im, qui doivent concourir sur cette ligne droite, sont parallèles entre eux.

II' Solution.— Prolongez AB, BC et DC {/ig. 178) jusqu'à leurs rencontres en M, L et M' avec la droite donnée LM; tracez la diagonale BD jusqu'à LM en K; menez les droites oM et oM'; joignez le point £ où la dernière rencontre le côté

AD, avec le point K par la droite EK qui codpera la première droite oM. au point e; menez par ce point et par le point L la droite Le qui rencontrera le côté AD prolongé en /; enfin par ce point et par le point donné o, faites passer la droite ol qui, étant parallèle à LM, sera la droite demandée.

Pour prouver que la droite obtenue est effectivement parallèle à LM, il suffit, comme plus haut, de démontrer que les droites /L et mM se coupent en d sur la diagonale BD. Or» si l'on considère les deux triangles iied et M'ED, on verra, d'après la construction précédente, que les trois droites £«, ï>d et MM' qui joignent deux à deux les sommets de ces triangles, se coupent en un même point K. Donc (n""!) les points o, l et le point m où la droite menée par M et par </, rencontre CD prolongé, sont tous trois situés sur une même ligne droite, et, par suite, la droite qui passe par les points o et /, passant aussi par m, est parallèle à LM.

Cette construction est plus simple que la précédente, en ce

qu'elle exige moins de lignes à iracer; mais elle est moins facile à saisir et à retenir.

Fig. 174.

///• Solution. — Ayant tracé la diagonale BD [jig. 174), comme dans l'exemple précédent» menez oL, oM; par le point m où la première rencontre CD prolongée, et par le point M, menez la droite Mm qui coupera la diagonale fiD au point K ; joignez ce point avec le point £ où 0 L rencontre ÂO, cela donnera la droite EK qui, étant prolongée, coupera la droite Mo au point e\ par le point e et le point L menez eL qui donnera par sa rencontre avec BD le point d\, tracez Mrf et prolongez-la, ainsi que L^f, jusqu'à leurs rencontres respectives en n et / avec les côtés CD et AD ; joignez enfin /t et / par la droite n/, ce sera la droite demandée.

En efTet, d'après ce qui a été dit ci-dessus, cette droite est parallèle à LM ; je dis de plus, qu'elle passe par le point donné o. Car, en examinant les deux triangles E/nD et Mecf, on voit, par la construction précédente, que les trois droites £^, Mm et D^ ou BD, qui enjoignent deux à deux les sommets respectifs, passent par un même point K. Donc les points n, / el<; (n^ I), où se rencontrent les côtés opposés à ces sommets, sont tous trois situés sur une même ligne droite.

Soient LM et (A), fig. 175, une droite et une conique données; d'un point quelconque m de LM, soient menées deux tangentes md et m 0' à la courbe (A), ce qui déterminera une

44o YIP ET DËKNIER CAHIER. - KËSUVÉ

corde 60' passant par les points de contact, et que j'appellerai en général, corde de contact. Cela posé, imaginez que Ton fasse

Fig. 175.

varier le point m sur la droite LM, les cordes de contact varieront aussi, et je dis qu'elles passeront dans toutes leurs positions, par un même point 0. Réciproquement, si d'un point quelconque 0 on mène des sécantes Oô, OT, 0^ etc., dans la conique (A), et que Ton mène, deux à deux, des tangentes à celte courbe aux points d'intersection avec ces sécantes, les points m, m', etc., de leurs mutuelles intersections, seront situés sur une même ligne droite LM.

En effet, la courbe (A) et la droite LM peuvent être projetées ( V« Princ.) suivant une nouvelle figure dans laquelle (A) sera un cercle (0') et LM une ligne droite dont tous les points m, m', etc., seront passés à l'infini. Donc les tangentes mB et mô', m'T et m'T', etc., qui concouraient sur la droite LM dans Ta figure primitive, sont des parallèles sur la seconde, et par conséquent les nouvelles cordes de contact ôô', TT', tt\ etc., passent toutes, par le centre (Y du cercle de projection. Donc (n*» II), ces diverses cordes dans la figure primitive, passent aussi toutes par un même point 0, qui est, comme on le voit> la représentation du centre 0'.

La réciproque est évidemment une suite nécessaire de la propriété elle-même , et il n'est nullement besoin d'en développer ici les raisons.

On peut remarquer que, quand le point 0 est au dedans de h\ conique (A), la droite correspondante LM, est naturellement

située au dehors, en sorte qu'elle ne la rencontre pas, et réciproquement, que quand ce point [fig. 176) est situé au dehors

Fig . 1 76 .

de la courbe, la droite LM la pénètre alors et la rencontre en deux points T, T'. Il n'est pas difficile de voir que, dans ce dernier cas, les deux tangentes menées aux points T et T' à la conique (A), passent Tune et l'autre par le point donné 0; de sorte que la droite LM peut alors se déduire du point O par une construction géométrique directe. Donc, que le point donné 0, soit en dehors de la courbe (A) ou en dedans, auquel cas on ne saurait lui mener de tangentes par ce point, il sera toujours possible de déterminer graphiquement, la droite indéfinie LM qui appartient aux points de contact des tangentes en question, quoique ces points soient devenus impossibles ou imaginaires.

Nous verrons, plus loin, une manière très-simple de construire la droite LM quand le point 0 étant donné, la courbe (A) est décrite; ce qui fournira la solution du problème de mener par un point, deux tangentes à une conique.

La Proposition suivante, qui a rapport à la projection des figures, est une conséquence immédiate de celle qui vient d'être démontrée; elle pourra être considérée comme le X^ Principe de ce Mémoire. On aurait pu en donner la démonstration dans la 1^ Partie; mais, comme elle suppose nécessairement la connaissance de la Propriété Vll^, on eût été obligé d'anticiper et de déranger l'ordre d'abord établi.

Interrompu brosquement a Saratoff, eo Juin 1814, lor* de la Doiincatlon de la paix générale.

SOUVENffiS, NOTES ET ADDITIONS.

Je réunis ici, sous un même titre, les écrits et fragments divers qui, par la date autant que par la contexture ou rétendue, ne pouvaient entrer dans le corps de Touvrage; je les fais suivre de plusieurs Additions par MM. Moutard et Mannheim, savants professeurs ou répétiteurs des sciences mathématiques, qui ont bien voulu me prêter leur constant et obligeant concours pour la révision des figures et des épreuves d'imprimerie du manuscrit de SaratofT. Ces additions contenant des observations, des démonstrations , des solutions même, qui ont les relations les plus intimes avec les matières traitées dans le texte et les notes qui l'accompagnent, m'ont paru susceptibles d'intéresser les amateurs de la Géométrie pure et des applications de l'Analyse algébrique.