ET

PROBLiniBS RELATIFS AU CERCLE TANGENT A TROIS AUTRES SUR UN PLAN ET A LA SPHÈRE TANGENTE A QUATRE SPHÈRES DANS l'ESPACE (^].

a Le premier problème peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés^ en diminuant ou en augmentant le rayon du cercle cbercbé du rayon du plus petit des trois cercles,

( * ) Ces solotioot d'un eélèbre problème de géométrie ancienne, qui, pendant loDgtempt, a réeiité aox eflTorte de l'analyse algébrique, sont extraites du t. Il, p. 371, de la Corretponàance sur VÉeoU poix technique. L'auteur en avait remis, dès 1809, le manuscrit à M. Hachette, rédacteur de cette Correspondance, qui, lui-même, s'était exercé sur ce genre de problômos, et avait exigé le retraocbement de divers passages, jugés par lui inutiles ou étrangers k la question.

suivant qu'il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou à diminuer également les rayons des deux autres cercles d'après la nature de leur point de contact. »

« Je vais d'abord démontrer la proposition suivante, sur laquelle se fonde la solution du problème dont il est question : Si par le point 0 [fig i), où se

Fig. I.

;J..^»aM^>

coupent les tangentes extérieures commui^es aux cercles X et Y, et par le point A où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite ÂO; que Ton fasse passer ensuite, par le point 0, une sécante quelconque OT, qui vient couper les cercles X et Y intérieurement en T etT'; qu'enfin par ces deux points T etT' et par le point  on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera AO en un point B, qui sera le même quelle que soit la sécante OT. u « En effet, OB et OT étant les sécantes d*un même cercle ABT, on a

AOxOB=OTxOr.

» Mais, si l'on mène une nouvelle sécante Or, on a dxa&i[vojrez la p. ao du I" vol. de la Correspondance)

OTxOT'=0/xO/'; donc

(i) AOxOB = OrxOr'.

9 H est évident, d'après cette dernière équation (i)> que les quatre points /, /', A et B sont placés sur une même circonférence de cercle. 9

a II est démontré aussi, dans Tarticle cité, que tout cercle tangent aux cercles X et Y, a ses deux points de contact placés sur une droite qui passe par le point 0, dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circon-

férence, et où il renferme à la fois les deux cercles X et Y. Il sait de là et de ce que j'ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles X et Y, qui passe par le point A, passe aussi par le point B. Ainsi le problème dont il s'agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points A et B, mener un cercle qui touche le cercle X ou Y. »

a Gomme ce dernier problème est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point A, toucherait en les enveloppant les cercles X et Y. »

<c Pour le démontrer, il suffit de faire voir que tout cercle passant par le point A et par deux points /? et p\ où une sécante quelconque Or vient couper extérieurement les cercles X et Y, passera aussi par le même point B ; car alors le cercle qui passe par le point A, et qui touche extérieurement les cercles X et Y, ayant ses points de contact dans la direction du point 0, passera évidemment par les points A et B. Or on voit sans peine (*) que OTxOT'= O/^xO/?'; donc, d'après l'équation

(i) 0/>xO/7'=AOxOB.

» Cette équation prouve que les points A, B, p^ p\ sont placés sur la même circonférence de cercle. »

« Voici maintenant comment on achèvera la solution du problème : Ayant tracé le cercle ATT \ ainsi que je l'ai dit, on mènera la corde /T qui coupera AO en un point P. Par ce point on mènera les tangentes Vm^ Vm\ au cercle X; et les points m et m! de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l'un touche intérieurement et l'autre extérieurement le cercle X. En effet, on a

P^*= P/ X PT, or

P/xPT = PBxPA; donc

¥m= PB X PA.

j» Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui passerait par les trois points A, B et //t, serait touché par la droite P/n en m. On conclut aussi de la même équation. Put' étant égal à P/n, que le cercle AB/7t', touche le cercle X en //i'. »

« En considérant le point 0'; où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles X et Y, on obtiendrait, par une construction sem-

("*) « Il suffit de comparer chacun des produits OTxOT', OpxOp'y au produit qu*on obtiendrait pour la tangente commune aux cercles \ et V. »

blable , deux autres solutions du problème de mener par an point an cercle tangent à deux cercles donnés. On peut voir facilement, en examinant les différentes circonstances du contact, qne ce dernier problème est susceptible de quatre solutions, et que, par conséquent, il se trouve entièrement résolu par ce que j*ai dit. s

a Voici une proposition analogue à celle que j'ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du problème de mener une sphère tangente à quatre sphères données. »

a Si par la droite qui joint les sommets des trois cônes circonscrits deux à deux à trois sphères, et par un point donné, on mène un plan P ; qu'ensuite par la même droite, on mène un plan qui coupe les sphères; que par le cercle tangent aux cercles d'intersection et par le point donné on fasse passer la surface d'une sphère, cette surface coupera le plan P suivant un cercle qui restera le même, quelle que soit la section qu'on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné, et qui est tangente aux trois sphères dont il s'agit, devra passer aussi par ce cercle ; car cette sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan passant par la droite qui joint les trois sommets des cônes. »

Nota. — Ces solutions, relatives au cercle tangent à trois autres sur un plan et à la sphère tangente à quatre autres dans l'espace , étaient suivies, dans le tome II' do la Correspondance sur V École polytechnique^ de celle d*un dernier problème : « Par un point donné dans le plan d'un parallélogramme, mener avec la règle une parallèle à une droite située dans ce plan. Ce problème, proposé par M. Brianchon à la page 3io du tome I"^ de la même Correspondance^ se ramène directement par le tracé de quatre lignes droites, à la solution d'un autre problème aussi proposé puis résolu par M. Poinsol (Ibid,, p. 3o5), en se fondant sur un théorème de géométrie linéaire qui revient à l'un de ceux exposés à la p. i34 du ni' Cahier. Mais S' Gravesande, dans ses OEu»res pMlosopliiques (1774). Lambert, (Perspective affranchie y 1774), ayant donné antérieurement, du même problème, des solutions très-élégantes et plus directes, qui ressemblent beaucoup à celle des fig, 17a à 174, p. 437 et suiv. du VH*" Cahier, j'ai cm inutile de rapporter ici celle que j'avais indiquée, en 1809, pendant mon séjour à rÉcole polytechnique.

APt»LICATION DB UL METHODE DB &OBBRVAL AU TRACÉ 0B8 TAfiaBNTBS AUl COURBES DB CONTOUR APPARENT BT DB SÉPARATION D*OMBRB ET DE LUMIÈRE

DANS l'Épure de la vis a filstb triangulaires.

I^ Cas relatif à la courbe de contour apparent, — Je ne m'occuperai ici que de déterminer la tangente pour la projection horizontale de la courbe dont il s'agit, parce que la tangente à la projection verticale s'en déduit très-facilement, au moyen du plan tangent au point correspondant de la surface du filet de la vis. Commençons par rappeler la construction graphique de cette projection.

Soient AB et AP (Jlg, 2) deux droites indéfinies perpendiculaires entre elles ; P un point fixe situé sur AP, ou pôle autour duquel tourne la droite

Fig. a.

ou rayon vecteur PB, rencontrant Taxe AB en B; si Ton porte la distance variable AB, de P en X sur PB, le point X sera un point de la courbe à considérer.

On voit d'abord que le point générateur X de la courbe peut être censé simultanément animé de deux mouvements : l'un angulaire, autour du pôle P, et se mesurant sur la perpendiculaire en X, au rayon vecteur PB; l'autre de translation, en vertu duquel il s'avance, sur le rayon vecteur, vers le point extérieur B. D'après les principes exposés par Roberval, la résultante de ces deux mouvements aura précisément pour direction celle de la tangente à la courbe ^au même point X ; c'est donc à la détermination des vitesses composantes des mouvements ci-dessus que se réduit la solution du problème.

On aperçoit sans peine, en comparant le mouvement du point X à celui du point B qui chemine le long de la directrice AB :

i^ Que la vitesse de translation du premier X, le long du rayon vec-

teur PX, est précisément la même que celle du point B le long de ÂB ; car leurs accroissements sont sans cesse égaux entre eux; or ce que Ton appelle ici vitesse (ou fluxion)^ n'est autre chose que le rapport des accroissements infiniment petits et simultanés de deux quantités variables, e'est-à-dire le rapport de leurs différentielles. Prenant donc B6 pour représenter sur le prolongement de PB la vitesse de B, celle de X sera représentée sur celui de PX, par Xx, = BA.

2^ Que la vitesse angulaire du point X est aussi la même que celle du point B, car ces deux points se trouvent sur le même rayon vecteur PB; Ïps arcs de cercle infiniment petits que ces points parcourent seront donc proportionnels à leurs distances PX et PB au centre de rotation P. Donc il suffira de trouver la vitesse de rotation du point B pour en «conclure de suite celle de X.

Or, concevant la vitesse de translation totale B6 de B, suivant AB, décomposée en deux autres, Tune B^, dirigée suivant le prolongement de PB, l'autre suivant la perpendiculaire B6' élevée à l'extrémité du rayon vecteur PB, cette dernière sera évidemment la vitesse de rotation du point B autour de P. Formant donc le parallélogramme B6'6&, sur la diagonale B6, B V sera la vitesse en question, c'est-à-dire représentera l'espace élémentaire ou tangentiel décrit par B sur B6'.

On concevra ceci plus facilement peut*ètre, en considérant que, h étant censé infiniment voisin de B, hh* peut aussi être censé la direction parallèle au rayon vecteur PB, et B h' un arc de cercle infiniment petit décrit du centre P. Or évidemment, B6 représentant l'accroissement même AB, M' = B^( représente celui du rayon vecteur correspondant, et B6' Tare de cercle infiniment petit décrit par le point B, à une distance invariable de P, ou l'accroissement élémentaire de l'arc de cercle total BC, qui mesure l'angle APB. D'autre part, Tare circulaire décrit dans le même mouvement par X, devant être proportionnel à celui qui correspond à B^', il suffira, pour en obtenir la mesure dans les mêmes hypothèses géométriques, de tracer la droite P^' qui coupera la perpendiculaire Xx' élevée en X sur PB au point .r', et Xjt' représentera cet arc ou, si Ton veut, la vitesse de rotation du point X^ autour du pôle fixe P.

Ayant actuellement la vitesse de translation Xx, = B6 et celle de rotation Xjt' du point X, on aura la vitesse de son mouvement résultant ou effectif, en achevant le parallélogramme Xx, j?.r', dont la diagonale X.r représentera Télément de la courbe quMI décrit, et par conséquent la direction de la tangente à cette courbe en X.

On peut objecter contre ce qui précède, que les vitesses ou accroissements de chemin que l'on considère sont censés infiniment petits, tandis que la construction ne peut s'effectuer que sur des longueurs finies; on lève facilement cette difficulté en observant que, en réalité et au fond, on ne considère ici que les rapports des accroissements des diverses variables, et qu'alors on reste libre de représenter l'un quelconque d'entre

NOTES ET ADDITiœ^S. 44o

eux par telle longueur que l'on veut. U est visible, en eflét, que la longueur de Bb, par exemple, qui représente raccroîssement de AB, peut être choisie d'une façon entièrement arbitraire; car la direction de Xx ne dépendant gue du rapport de \a:' à Xx,, restera toujours la même; laccroissement représentatif, élémentaire ou tangenkiel de l'arc de la courbe suivant Xx, aura changé, il est vrai, de longueur, mais son rapport avec Taccroissement simultané Bb, sera demeuré invariable.

Je me suis arrêté quelque temps à la solution du problème qui précède, a6n de faire mieux sentir la nature et l'exactitude du principe proposé par Roberval, et de faire voir son analogie avec ceux du calcul différentiel ou des infiniment petits. On voit que la considération du mouvement et des vitesses qui en résultent n'est pas à la rigueur indispensable, le parallélogramme des vitesses ne sert ici, en effet, qu'à faire trouver en direction et grandeur proportionnelle l'accroissement infiniment petit de l'arc de la courbe, au moyen des accroissements pareils des coordonnées qui lui correspondent.

La construction géométrique ci-dessus suffit, à coup sûr, pour déterminer la tangente au point quelconque X de la courbe; mais elle peut se simplifier en remplaçant les auxiliaires B6, etc., par des longueurs dépendantes de la figure elle-même. Ainsi, par exemple, au lieu de prendre Bb arbitraire et dans le sens opposé à BA, on peut le supposer précisément égal à AB et dirigé de B vers A; puis tracer le parallélogramme rectangle AB'BB, (fig» 3), dont la diagonale, BA^ XP, représentera la vi-

Fig. 3.

tesse de l'extrémité B de PB, comme XP représente la vitesse même de X le long de son rayon vecteur, rétrogradant de PB vers PA. Quant à la vitesse de rotation XX', on l'obtiendra en tirant B'X'P et, achevant le parallélogramme rectangle PXX'x, Xx sera en direction la tangente demandée. La construction se simplifie encore en remarquant qu'on peut obtenir immédiatement le point K où le côté X'.r de cjb parallélogramme rencontre I. 29

45o SOUVENIRS.

la perpendiculaire PÀ à Afi : qu'on trace, en effet, la parallèle XK à AB par le point X, elle viendra couper ÂP en K, car les triangles ÂBB' et KXX' sont semblables, ayant leurs côtés homologues parallèles. Voici donc, en dernière analyse, à quoi se réduit la construction de la tangente cherchée au point générateur X.

Par le point donné X [fig. 4) de la courbe, auquel on veut mener une tangente, conduisez la parallèle XK à AB qui coupera PA en K; par ce

Fig. 4.

point tracez l'autre parallèle Kx à PX, elle viendra couper la perpendiculaire élevée en P sur le rayon vecteur PX, en un point x qui appartiendra à la tangente demandée ; joignant donc jr et X par une ligne droite, Xx sera cette tangente (*).

Cette construction fait voir tout de suite que la droite AB est une asymptote de la courbe, c'est-à-dire une tangente en un point situé à Tinfini; elle apprend encore que la courbe touche la droite AP en P.

//* CaSf relatif à ta courbe de séparation d^ombre et de lumière, — Commençons par rappeler la génération de la courbe dont il s'agit.

Autour du centre C [fig. 5) d'un cercle BDE, on fait tourner un angle droit BCD, dont le sommet est à ce centre; l'un des côtés CX de cet angle est prolongé indéfiniment, l'autre BC au contraire, terminé à la circonférence du cercle, est égal à son rayon ; une troisième droite PX indé-

(*) Cette dernière coDstruction conduit à la solTaute, encore plni ra« pide sinon plus simple: Sur AP {^fg. 4) comme diamètre, décriTCz une fois pour toutes la circonférence de cercle AQP ; par le point k menez la corde AQ , parallèle au rayon vecteur PX prolongé jusqu'à sa rencontre B avec la directrice indéfinie AB ; menez BQ vers rextréraité Q de la corde ci-dessus , et BQ sera une parallèle à la tangente Xjt en X. Cela paraîtra évident si Ton observe que, d'après la construction, la figure PQAB est semblable à celle P^rKX, et qu'ainsi leurs diagonales BQ, Xx sont respectivement parallèles.

NOTES ET ADDITIONS. 45i

finie est assujettie, pendant le mouvement de l'angle G, à pivoter autour d'un point donné P comme pôle, et à pasaer constamment par Textrémité

Fig. 5.

B du rayon mobile GB; le point X, où cette dernière droite rencontre le côté CD de l'angle droit, indéfiniment prolongé, engendre la courbe cherchée.

On aperçoit, à Tinstant, que le point générateur X est animé de deux mouvements relatifs, l'un de rotation autour du centre G, et l'autre de même nature autour du pôle P : il s'agit d'obtenir séparément les vitesses de ces deux mouvements.

Gomparons d'abord la vitesse circulaire ou de rotation du point X, autour de P, à celle de B autour du même point; ces deux vitesses sont respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs PX et PB ; mais le point B est animé, suivant la tangente B^ au cercle G, d'une vitesse absolue qui peut se décomposer en deux, l'une de translation suivant B^,, et l'autre circulaire ou de rotation autour de P, suivant la perpendiculaire B^' au rayon vecteur PB. Prenant donc arbitrairement B^ pour la vitesse efîective ou résultante de B, et formant le parallélogramme B^'Mp le côté Bb' représentera la vitesse de rotation du point B relativement au pôle P. On obtiendra la vitesse correspondante Xx* de rotation du point générateur X, en élevant Xx' perpendiculaire à PX et traçant Vb' rencontrant Xx' en x'.

Reste à trouver la vitesse de rotation de X autour du centre G : on pourra la déduire facilement de celle du point D, par la même méthode qu'il est inutile de rappeler. Or la vitesse circulaire ou de rotation du point D autour de G est précisément égale à celle de B autour du même point; cette dernière vitesse est représentée par Bb : portant donc sur la perpendiculaire à l'extrémité de GD la distance D^ = B^, ce sera la vitesse rotatoire de D; traçant ensuite la droite indéfinie Gr/, on en déduira, comme ci*dessus, la vitesse de rotation Xx, du point générateur X, autour du centre G.

45a SOUVENIRS,

Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de remarquer que les vitesses de rotation Xj:' et \x^ que nous venons de construire ne sont pas réellement les vitesses composantes de la vitesse absolue du point générateur X. En effet, si Ton considère la vitesse de rotation Xx', par exemple, il paraîtra évident que, en la combinant avec la vitesse de translation du point X suivant le rayon vecteur PX, on obtiendrait la vitesse absolue de ce point sur la courbe; cette vitesse Xjt' n'est donc autre chose qu'une des composantes de celle Xx par rapport aux directions particulières PX et Xx'. La même remarque est applicable évidemment à la vitesse de rotation Xx, ; donc la résultante totale de ces vitesses partielles ne donnera pas la vitesse effective du point X, et par conséquent le principe du parallélogramme n'est pas applicable au cas présent.

Cependant, comme la résultante Xx cherchée, si elle était connue, donnerait, par décomposition, l'une et l'autre des vitesses Xx' et Xx, , réciproquement, ces dernières pourront servir à la retrouver. Il est visible en effet, d'après ce qui précède, que, Xx étant connue, on obtiendrait Xx' et Xx, en abaissant de son extrémité x les perpendiculaires xxp xx' sur Xx' et Xx,. Donc enfin, et réciproquement, si l'on élève en x' et x, les perpendiculaires x'x et x,x sur Xx' et Xx, elles viendront se couper au point x de la résultante cherchée Xx; la droite Xx sera donc la tangente elle-même au point X de la courbe (*].

On se rendra facilement raison encore de ce qui précède, en considérant, comme nous l'avons déjà fait ci-dessus, que les vitesses Xx' et Xx, sont simplement des longueurs proportionnelles aux arcs circulaires infiniment petits que le point X tend à décrire simultanément autour des pôles respectifs P et G ; de sorte que les positions nouvelles et correspondantes des rayons vecteurs sont précisément représentées par les

{*) Ceci prouve que les graves reproches adressés, en 1819 et i83o, par de savants professeurs, à la manière erronée dont on avait interprété et appliquera célèbre méthode de Roberval pour le tracé des tangentes aux courbes continues, reproches en quelque sorte autorisés par un passage des leçons orales de Monge à l'ancienne École Normale sur la Géométrie descriptire, ne sont point applicables à tous les disciples de cet illustre professeur, et que, en tSio déjà, on savait parfaitement à quoi s'en tenir à cet égard, bien qu'on eût jugé inutile de recfiAer publiquement une faute échappée, sans aucun doute, à la rapidité de la diction.

J'insiste, parce que cette inadvertance, cette faute déjà anciennement commise par Montucla et d'autres, dans le tracé des coniques par rayons recteurs émanant des foyers, se retrouve dans la lithographie de mes Leçons de Uécani^i'je industrielle (1827 à i83o) aux ouvriers de la Tille de Metz; leçons en quelque sorte improvisées et recueillies par les soins de M. Gos^elin, dans l'intervalle fort court d'une séance à la suivante, mais dont les imperfections s'expliquent en* eore par la nécessité d'éviter de longues et délicates explications devant un auditoire mal préparé.

droites x'x et x,jr censées eltes-mèines infiniment voisines et parallèles aux premiers PX et CX, leur intersection commune au point x représentant aussi la nouvelle position du point X. Si les quantités X «t' et X x, étaient réellement infiniment petites, Xx serait un véritable élément de la courbe commun à la tangente en X ; mais ayant augmenté ces quantités proportionnellement, Xjt ne représente plus Télément même de la courbe, mais son prolongement, c'est-à-dire la tangente cherchée.

Comme la longueur de B^ est entièrement arbitraire, on peut, pour simplifier la construction, la prendre égale à la tangente même D// (fg, 6), terminée à Taxe fixe des pôles PC, prolongé convenablement. Alors, si Ton prolonge pareillement b'b^ parallèle à PB, jusqu'à sa ren-

Fig. 6.

contre en Q avec Tautre rayon vecteur CX, il arrivera que le quadrilatère CB^'Q aura ses côtés parallèles et proportionnels à ceux du quadrilatère ci-dessus x^lLx'x (fig. 5) dont la diagonale Xor représente en direction la tangente cherchée; de sorte que sa diagonale BQ sera aussi parallèle à cette tangente. La construction se réduira donc à cette autre beaucoup plus simple :

« .Tracez les deux tangentes D//, B6 aux extrémités des rayons CD et » Cfi, portez \}(l terminée au prolongement de PC, de B en 6 sur B6; par » le point b ainsi obtenu, menez la parallèle 6Q au rayon vecteur PBX, » elle viendra couper l'autre rayon vecteur en Q, BQ sera une parallèle » à la tangente au point X de la courbe; en menant donc par ce point » Xjt parallèle à BQ, on aura la tangente demandée. »

Comme d'autre part, B6 est parallèle à la direction de CDX, il s'ensuit que B6QXestun parallélogramme, et par conséquent que QX = Bà = Dr/.

On pourra donc, si Ton veut, se contenter de porter Dd sur GX prolongée de X en Q, ce qui est plus simple encore.

Enfin, on peut également se dispenser de construire la diagonale BQ parallèle à la tangente cherchée, en traçant (fig. 7) la tangente -

Fîg. 7.

au

cercle directeur en B, puis portant sur cette tangente, dans une direction contraire à CX, BQ'= QX = Drf; car le point Q' ainsi trouvé sera nécessairement un point de la tangente à la courbe en X. La discussion de celte courbe nous apprend d'ailleurs qu'elle a deux

branches infinies; en cherchant à déterminer les tangentes pour les

points de CM branches situés à rinfini, on trouvera par la méthode précédente, que ces tangentes ou asymptotes sont au nombre de deux seulement (Jîg. 8); qu'elles passent par le pôle fixe P des rayons vecteurs et louchent le cercle directeur G en des points T et T'. Celte méthode apprend aussi que la tangente au centre C^ qui appartient à la courbe, est perpendiculaire à GP, axe fixe des pôles ( ce qui est évident à cause de la symétrie) et que les tangentes au point double P de la courbe passent par les extrémités respectives B et B' du diamètre BB' du cercle directeur perpendiculaire à GP, etc.

Bemarque, •— Quand le point P est situé sur la circonférence du cercle directeur (C),y^. 9, la courbe dès lors ne conserve plus que la branche

Fîg

à point multiple P, l'autre s*étant confondue avec leur tangente commune relative au point C : cette branche a une seule asymptote FG, perpendiculaire à PC, parallèle à la tangente PT' au cercle directeur en P, et

Fîg. 10.

située à la distance PR = PC de cette tangente. La branche bouclée dont il s*agit jouit de cette autre propriété fort curieuse : si Ton mène GK

456 SOUVENffiS,

quelconque, coupant la tangente TT' en K, et la courbe en X et X%

on a

KX=KX' = KP;

ce qu'il est facile de démontrer.

Quand le point P passe à l'infini (^g. lo), la courbe a deux branches opposées comprises entre des asymptotes parallèles ; cette courbe se confond avec celle de la projection horizontale du contour apparent de la surface héliçoïde de la vis, dont je me suis déjà précédemment occupé.

Dans ces divers cas, la construction de la tangente reste toujours la même , et Ton peut s'assurer aisément que cette méthode, appliquée au contour apparent, donne en effet, pour tangente en chaque point, la droite à laquelle on est conduit en appliquant la méthode exposée plus haut pour ce cas particulier.

Enfin, quand le point P est dans l'intérieur du cercle (C), la courbe est fermée et affecte la forme indiquée (fig, 1 1). Ce cas a lieu toutes les

Fig. 1 1 .

fois que le rayon de lumière fait, avec l'axe de la vis, un angle moindre que celui de la génératrice avec ce même axe.

SUR LE TRACÉ KT LE MODE DE GÉNÉRATION DBS COURBES DE SÉPARATION d'ombre ET DE LUMIÈRE, ETC., DANS l'ÉPURE DE LA VIS A FILEÎS^ TRIANGULAIRES.

L'article qui précède est conforme à des feuilles manuscrites annexées au cahier d'épurés de seconde année d'études à l'École polytechnique (i 809-1810), laissées en France et conservées parmi mes autres livres ou papiers; les solutions qu'elles concernent sont relatives à des questions de géométrie descriptive dont on se préoccupait beaucoup à cette époque ;

j'en ai donné connaissance, dès 1819 ou i8ao, à mon ami M. Bardin, alors professeur à l'École régimentaire d'Artillerie de Metz, et nommé depuis chef des travaux graphiques à l'École polytechnique. Ce sont les mêmes feuilles qui ont été, de la part de feu Théodore Olivier, l'objet de citations et de remarques critiques ou historiques qu'il a consignées dans ses AppLica" tions de Géométrie descriptive ^ publiées en 1847 à Paris {^oy, les notes du bas des p. 96 et 99) (*). Quant à la détermination, au tracé même des courbes de contour apparent et de séparation d'ombre et de lumière sur la surlace héliçoïde de la vis, il ne m'est resté, de mon séjour à l'École polytechnique, qu'une Note fort écourtée, des indications sans texte pour ainsi dire, sur les éléments principaux de leur démonstration, dont je me propose ici de donner un aperçu rapide.

On peut voir, par la Note insérée p. i3 et suivantes du t.n (i8i3) de la Correspondance sur l'École polytechnique j combien les méthodes suivies par MM. Hachette et Girard, dans le Cours de Géométrie descriptive, étaient longues, compliquées et pénibles. Cela suffit pour expliquer comment les élèves de la petite salle n^ 6, dite des sous-officiers, parmi lesquels on remarquait MM. Bélanger, Coriolis et M. Guillebon, excellent ami, esprit droit et naïf sous une chétive enveloppe, avec lequel je piochais, pendant les heures de récréation, le Calcul des fonctions et la Mécanique analytique de Lagrange, etc., cela explique, dis-je, commentées élèves furent conduits, avant même l'apparition delà Note de M. Hachette et, à fortiori, avant celle du professeur Français, imprimée un an après (1810, p. 69, t. H de la Correspondance) y à refaire leurs épures de la vis d'après des procédés où M. Guillebon et moi avions cherché à proscrire la méthode des paraboloïdes tangentiels ou des paraboles multiples, indiquée par nos professeurs, pour leur en substituer d'autres qui, permettant d'exécuter l'épure de la vis en quelques heures, présentaient à cet égard, un très-grand avantage sur celle de Français.

La tardive apparition de cette dernière méthode, réduite à de vagues indications, ne m'aurait pas détourné du soin de rédiger sur cet intéressant sujet, un article pour le Recueil de M. Hachette, si le manque de loisirs à cette époque des études et la lente succession des Cahiers de la Correspondance ne m'en avaient tout à fait été la pensée, et réduit le résultat de cette étude à de simples communications verbales entre canul-

es) PoBlérieurement à la publicatiou de Touvrage de Th. Olivier, M. de la Goornerie, professeur de Géométrie descriptive à l'École polytechnique, a inséré dans le XXXIV Cahier du Journal de cette École (i85i), un Mémoire sur Us lignes d'ombre et de perspective des héliçoïdes gauches, d'une étendue fort considérable et principalement fondé, selon Vasage actuel, sur les données de l'analyse algébrique transcendante. Il est regrettable que cet habile professeur n'ait pas mis à profit sa position à notre mère École, pour élucider la partie historique de cette intéressante question.

rades d'une même promotion: communications qui servirent à reftire expéditivement les épures de la vis à ûlets triangulaires, et dont il n'est resté, je pense, d'autres Notes manuscrites que celles dès lors rédigées oo ébauchées par moi à TÉcole polytechnique.

En ce qui concerne, en particulier, la construction par points de la couii)e de séparation d'ombre et de lumière sur les filets hélicoïdaux triangulaires de la vis, je ferai remarquer que, au point de vue général et pure*ment géométrique, la question reste la même pour les nappes inférieures ou supérieures, lorsqu'on en supposa les génératrices indéfiniment prolongées de part et d'autre de l'axe vertical, aussi bien que les lignes de séparation d'ombre et de lumière : la différence des solutions graphiques ne pouvant provenir que de la différence môme d'inclinaison des génératrices sur cet axe, quelle que soit d'ailleurs la direction attribuée aux rayons de lumière.

Soient (fig, la), eu projection horizontale sur un plan perpendiculaire à l'axe vertical de la vis au point C ; Gr une génératrice rectiligne quelconque de sa surface supérieure ; p l'un des points de cette génératrice, décrivant à la distance horizontale G fA de cet axe, une hélice dont la projection est un cercle concentrique à G, et f^r, perpendiculaire à l'extrémité du rayon GfA, la projection horizontale de la tangente géométrique à l'hélice; la tangente d'inclinaison sur le plan de ce cercle est, comme on sait, mesurée par l'expression numérique,

aTT.Gf*'

H désignant le pas commun à toutes les hélices ainsi engendrées.

Soient, de plus, / et r les points respectifis où la tangente au point /a et la génératrice renC/Ontrent le plan horizontal de projection, supposé

Fîg . 12

abaissé de toute la hauteur H du pas, au-dessous du point de rencontre de la génératrice avec l'axe de la vis; /t sera, sur ce plan, la trace du plan

tangent en fA, à la surface hélicoïdale; de sorte que, si l'on imagine en ce point de Tespace, un rayon de lumière représenté par p^ en projection sur le même plan horizontal, ce rayon, tout entier, devra être compris dans le plan tangent représenté en ^tst^ si fi représente, sur la génératrice C/*, le point qui appartient à la ligne de séparation d*ombre et de lumière: chose toujours facile à vérifier géométriquement quand p sera donné à priori. Mais il s'agit ici de trouver la position même de ce point sur la direction de Cr.

A cet effet, continuant à substituer aux dénominations de Tespace celles de la projection horizontale, et supposant le plan tangent en ft prolongé jusqu'à Taxe de la vis en C, concevons que par ce point d'intersection, Ton mène la droite CX- parallèle k {it ei perpendiculaire à Gr, puis la parallèle Cp au rayon de lumière {is, il faudra encore que celle-ci tout entière, soit dans le plan tangent en ft, et que la trace rt de ce plan, qui coupe en X- la perpendiculaire GX* à Cr, comprenne aussi le point fixe p où le rayon de lumière Cp rencontre le plan horizontal choisi pour plan de projection, comme on l'a expliqué. Or, d'après nos conventions, et si Von nomme de plus a l'angle aigu d'inclinaison du rayon lumineux sur la verticale, on a évidemment

(0 CÏ'^âffCâ' ^P=^^^^^=^^^^^'y

ce qui donne entre autres, pour déterminer la position inconnue de fA sur la direction indéfinie du rayon Gr, constant ainsi que Cp^ la relation

(a) CX = airCfx, Ca=— ,

OÙ G^ est donné graphiquement par la position fixe de p et la position variable du point r sur le cercle, concentrique à G, dont le rayon est déterminé par cette autre relation

Cr = H taug b = const.7

b étant l'angle aigu d'inclinaison, sur l'axe de la vis, de la génératrice considérée.

Rien donc ne serait plus facile que de construire, graphiquement ou numériquement, la valeur inconnue de GfA. Mais, comme la variable Ck et l'inconnue GfA appartiennent à des directions rectangulaires distinctes, cela entraînerait à des opérations multiples qu'il faut éviter autant que faire se peut dans la construction des épures. C'est pourquoi, après diverses tentatives infructueuses que je me dispense de rapporter ici, nous nous sommes arrêtés au procédé qui suit: Imaginant qu'on porte Gf£ sur CA-, de G en p', par un arc de cercle, d'ailleurs inutile à construire, et

46o SOUVENIRS,

qu'on mène par i*.' une parallèle ^l'p' à Âp coupant Gr en s, on aura, par la théorie des lignes proportionnelles, d'une pari

Cp':Cii' = Cii.yXp:CA; ce qui donne, d après la relation (i] ou (2),

Cp' =Zii.'rr7= — = const. ,

et prouve quo p* est un pôle ou point fixe pour les rayons vecteurs p'r^ comme p lui-môme Test pour les sécantes pr. D'autre part,

Cz:Cfit'=CfA::Cr:C/;

d'où l'on tire, toujours d'après les relations (1) et (2),

Cz = CfAK7 = — ^ tang^ — ;

ce qui montre que tous les points s sont sur une circonférence de cercle concentrique à G, de rayon constant; de sorte que G/?' et Gz étant calculés ou construits une fois pour toutes, pour une épure donnée, il ne s'agirait, afin d'obtenir le point /x de la courbe de séparation d'ombre et de lumière, relatif à une direction donnée du rayon Gz ou Gr, que de prolonger la droite p'z jusqu'à sa rencontre en \i.\ avec la perpendiculaire indéfinie G^ en G, puis de ramener par l'arc de cercle auxiliaire dont il a été parlé, \>.' en /x sur la direction de G/*.

Mais, comme j'en ai prévenu à l'avance, cet arc de^cercle devient à son tour parfaitement inutile, si l'on suppose qu'on fasse tourner d'un quadrant, autour de G, la droite du pôle fixe, G/?', en entraînant avec elle la sécante p'z \t\ et l'équerre ou angle droit fx'Gz, sans que z quitte le cercle de

rayon tang^ — t auquel il appartient; car, par cette rotation, le point

\k\ venu en [l et obtenu par le même procédé, appliqué au pôle P remplaçant p\ ne sera autre que le point même de la courbe à tracer appartenant à la direction indéfinie de Gz, censée choisie arbitrairement.

Gette construction si simple et si rapide de la projection horizontale de la courbe de séparation d'ombre et de lumière dans la vis à filets triangulaires est, comme on voit, générale, rigoureuse et conforme à la définition qui sert de point de départ au second article de la Note précédente, sur le tracé des tangentes à cette courbe du quatrième degré, que nous avions baptisée> dans la salle n*^ 6, du nom de capricorne; courbe remarquable à plus d'un titre, par sa forme symétrique, élégante même, et douée de nombreuses propriétés géométriques jusqu'ici encore pen étu-

NOTES ET ADDITIONS. 46i

diées; mais qui, si je ne me trompe, mériteraient tout autant de Fétre que celles qui appartiennent aux: courbes méchaniques des anciens et à diverses autres plus modernes, cultivées avec une particulière ferveur par nos jeunes géomètres, parce que leurs propriétés se rattachent plus ou moins intimement, à certaines questions de physique mathématique ou d'analyse infinitésimale.

. Celte même construction et celle de la courbe de contour apparent qui en est un cas particulier, mais dont je crois inutile de rapporter ici la démonstration directe fort simple, ont été, dans ces derniers temps, vérifiées par des procédés divers d'analyse ou de géométrie, qui n'ont que fort peu de rapport avec les précédents, dont, comme je l'ai dit, la date remonte à la fin de Tannée 1809.

A l'égard de l'épure de la vis en elle-même, on sait qu'elle se rattachait alors au cours de machines, et servait d'exercices ou d'applications pour les leçons de géométrie descriptive, de dessin linéaire et de lavis. Cette épure fut continuée jusqu'en 1816, probablement avec la tradition de 1809 ou 1810; mais les troubles politiques de cette époque de licenciement, de destitution même des élèves, professeurs ou examinateurs ; !a tendance exagérée à Tapplication de l'analyse algébrique et des notions métaphysiques ou abstraites qui s'y rattachent, prédomina de plus en plus à l'École polytechnique, à dater de cette époque, contre l'opinion même de Laplace, de Poisson, d'Arago, etc., qui semblaient en pressentir les fâcheuses conséquences; toutes ces circonstances, dis-je, firent négliger les applications de la géométrie proprement dite, et l'épure de la vis à filets triangulaires fut supprimée avec beaucoup d'autres, malgré toute son importance et son utilité ^ans les arts mécaniques, dont elle est un principal et pour ainsi dire universel élément.

NOTES DIVERSES DE f AUTEUR. MENTIONNÉES DANS LE CORPS DE L'OUVRAGE.

DÉMONKTBATIOn CÉOHÉTRIQUB ÉLÉMEKTAIBE, DBS PRINUPALRS PROPHIÉTBâ

DE LA PAHAROLE (l'of. p. 53 61 suiv. du iBXle] {').

On nomme pnmbnle une courbe plane MBD {Jtg. i3), dont les différents points M sont à des distances égalée UF et UP, d'un point F nommé

foyer et d'une droite AB appelée Hirectrice. Cette court» est évidemment divisée en deux parties symétriques par la perpendiculaire JadéBnie AFNX,

(*) J'aurais pu ranger >u nombre do me* aouvenin àe l'Ecole polytecbDÏqne cille cuiirle Noie, cummnnlqiiëe, il j o bien des anaéet ilrJB. a mun ancien ami le brtie et eicel lent colonel du génie Servier i eilraite d'un écrit plu» conKÎdérable sur la géom^irir injiniiéiimirle, elle devait, dans mes internions, servir de point d'appui et de commentaire a l'eiplication géomélrique des princîpalus circonslances de la chute des graycs et du mouvement des )>rojeclile*, que j'ai été appelé a donner dans des lefODS de mécanique élémentaire, professéea à rhdlel de ville de Meta an 1817, et à la Sorbonne en |838.

Cette dcraonslralion, fondée sur les propriétés essentielles de la parabole •(

NOTES ET ÀimmONS. 463

du foyer F, sur la directrice ÂR, et qui la rencontre en un seul point B nommé sommet; cette perpendiculaire elle-même, s'appelle Vaxe de la parabole; enfin, les droites FM relatives aux différents points H de la courbe se nomment les rayons vecteurs, '

Considérant, sur cette courbe, un point M' infiniment près de M, ses distances M'F et M'P' au foyer F et à la directrice, seront aussi égales entre elles d'après ce qui précède, et par conséquent, si du point M on abaisse respectivement sur les directions FM' et MT', les perpendiculaires M /n, M /i; Pune prolongement de \ ordonnée BfL, elle-même perpendiculaire à l'axe ÂNX, l'autre considérée comme un arc de cercle infiniment petit concentrique à F, ces perpendiculaires retrancheront.de FM' et de M'P' les distances respectives m M', /?M', nécessairement égales et formant entre elles le quadrilatère VLmWn divisé en deux triangles rectangles égaux par la diagonale MM'. Or cette diagonale peut être considérée comme un élément rectiligne de la courbe, dont la direction indéfinie divisera ainsi en parties égales, l'angle FM'P' formé par les distances FM' et M'P' qui, à la limite de petitesse de MM', doivent être censées confondues, en grandeur et en direction, avec les droites FM et MP relatives au point M de la parabole.

De là on conclut , en premier Heu , que « la tangente MT en un point » quelconque M de la parabole divise en parties égales Tangle formé par » le rayon vecteur MF et la perpendiculaire MP à la directrice PQ, qui » correspondent à ce point, de sorte que cette tangente est perpendicu- » laire en I sur le milieu de la distance FP. »

Et comme, d'un autre côté, la série des points milieux I des droites

débarrassée de tout appareil algébrique, devait aussi servir de complément rationnel à la de3cription d'un appareil à cylindre tournant, destiné à l'observation directe et expérimentale de la chute verticale des corps dans Tair. J'en avais conçu l'idée dès mes premières leçons sur la mécanique, et je l'ai décrit en 1840, avec quelques détails, ainsi que beaucoup d'autres appareils à indications continues, dans celles de la Faculté des Sciences de Paris, auxquelles assistait M. Morin, mon ancien adjoint à l'École de Metz en 1829, qui avait bien voulu alors se charger de la publication de ces mêmes leçons; projet que, à mon grand regret, il a abandonné au second semestre de l'exercice scolaire de 1840, pour se livrer entièrement a ses propres leçons et publications.

A l'égard de l'instrument à rotation uniforme dont il vient d'être parlé, cet habile professeur en a tiré depuis un excellent parti quant à l'exécution matérielle, réalisée par l'ingénieux artiste M. Clair, de Paris.

Enfin, je crois utile de rappeler que, parmi les auditeurs des premières leçons de 1840, se trouvait aussi M. Saigey, savant écrivain et artiste en instruments de physique, qui s'était proposé dès lors, de réaliser ce même appareil pour les élèves des Cours de Physique expérimentale ; ce à quoi sans doute, il aura renoncé faute des encouragements indispensables à l'accomplissement d'un tel projet.

analogues à FP issues du foyer F sont rangés sur une droite BI parallèle à la directrice PQ, c'est-à-dire sur une perpendiculaire à Taxe AX qui contient le sommet B de la courbe, lui-même évidemment situé au milieu de la distance ÂF du foyer à la directrice, il en résulte en second lieu :

i** Que « les pieds I des perpendiculaires abaissées du foyer F de la » parabole sur ses différentes tangentes MT sont situés sur une ligne » droite, tangente elle-même au sommet B de la courbe. »

^^ Que « la parabole est aussi Tenveloppe commune des positions que » peut prendre Tun IM des côtés d'un angle droit MIF, dont l'autre côté » passe constamment par le foyer de la courbe, tandis que son sommet I » est assujetti à parcourir successivement tous les points de la tangente » au sommet de cette courbe. »

De là encore on conclurait sans peine et en troisième lieu, que a tout » cercle circonscrit à un triangle formé par les intersections mutuelles » de trois tangentes quelconques à une parabole , passe nécessairement » par le foyer de la courbe, etc., etc. »

Mais je ne m'arrêterai pas à la démonstration facile de ces corollaires qu'on trouvera, ainsi que beaucoup d'autres, dans la sect. IV du Traité des Propriétés pmjcctives des Jt.giires,

Prolongeons la perpendiculaire PM indéfiniment du côté de la courbe, suivant MS, qui prend le nom de diamètre de la courbe d'après des considérations qu'il est inutile d'exposer ici ; cette droite formera, avec le prolongement MU de la tangente en M, un angle SMU égal à son opposé au sommet PMI, lequel, d'après ce qui précède, sera aussi égal à l'angle TMF; proposition que l'on énonce ordinairement en disant que « la tan- » gente en un point donné M de la parabole , est également inclinée sur » le diamètre MS et le rayon vecteur MF correspondants à ce point. »

L'angle SMU étant d'ailleurs égal à MTN, à cause que MS est parallèle à l'axe TNX, il en résulte que le triangle TFM est isocèle, et que, par conséquent, a TF, qu'on peut nommer la sous-tangente du point M relative » au foyer F de la parabole, est égale au rayon vecteur FM de ce point, i»

D'un autre côté, il est clair aussi que la normale ou perpendiculaire MN au point M de la courbe, divise en deux parties égales l'angle SMF du diamètre et du rayon vecteur dont il vient d'être parlé, de sorte que le triangle FNM, dans lequel l'angle MNF == SMN = NMF, est pareillement isocèle ; donc « le côté FN, qu'on pourrait aussi nommer la sous-normale » de la parabole relative au foyer, est, comme la sous- tangente TL, égale » au rayon vecteur FM. »

Donc enfin, dans la parabole, la sous-tangente et la sous-normale, comptées sur raxe h partir du foyer, sont égales au rayon vecteur correspondant du point de la courbe, et si^ du foyer comme centre avec le rayon vecteur d'un point donné comme rayon , on décrit une circonfé' rence de cercle, elle coupera l'axe de In courbe aux pieds respectifs de la tangente et de la normale relatives a ce point.

Ces propriétés, qui n'avaient point, je crois, été jusqu'ici suffisamment remarquées, peuvent être très-utiles pour le tracé des tan<^ntes et d(*?> normales à la parabole (*).

On remarquera que TF, étant égal à FM, est aussi égal à MP, de sorte que la figure TEMPT est un losange dans leq^jel IT- IM, comme IF = IP. Et, puisque BI est parallèle à LM, le sommet fi de la parabole divise en deux parties égales BT et BL, la distance TL comprise entre le pied de Tordonnée ML et celui de la tangente MT, sur l'axe diamétral BX de la courbe.

Par le même motif, l'ordonnée LM est double de BI, et, à cause des triangles semblables MLN, IBF, LN = aBF = FA^ puisque, d'après ce qui précède, BF = BA. La distance LN, comprise sur l'axe entre le pied de l'ordonnée MN et la normale, étant nommée communément la sous- normale relative au point M de la courbe, il en résulte que, fions la parabole^ cette sous-normcde f constante pour tous les jmntSy est égale à la ilistance du forer à la directrice ^ nommée paramétre, autre propriété bien connue.

Enfin on a encore, dans le triangle TMN rectangle en M^

ML*= LN . LT =r AF. aBL = a AF. BL^ puisque nous venons de prouver <^iie