TS = SU
propriété analogue à celle qui a lieu pour le grand axe et qui peut s'é« noncer en disant que : pour un diamètre quelatmiue de la parabole y le sommet S flivise en parties égaler l'inten^alle TU intercepté sur le diamètre entre la tangente MT et V ordonnée MU relatives à un point quelconque M de la courbe, cette ordonnée étant prise parallèlement à la tangente au sommet S.
Ces conséquences faciles de la défmition de la parabole sont très-importantes pour la démonstration des lois abstraites du mouvement parabolique des points pesants dans le vide ; elles conduiraient à un grand nombre d'autres propriétés de la courbe, mais, au lieu de m*y arrêter, je terminerai [>ar un dernier théorème relatif au rayon de courbure de cette courbe, théorème auquel j'étais parvenu il y a déjà bien des années (*), par une voie purement analytique et qui n'avait point encore été remarqué, quoiqu'il offre la plus grande analogie avec la propriété correspon-
C ) Pendant mon séjour à VÉcole polytechnique dans les années 1808, 1809 et 1810, sous nos vénérables professeurs philosophes, Lacroix, Ampère et Poinsot, j'eus Vidée de rechercher, comme exercice d'analyse, Tintégrale de l'équation difTérenlielle exprimant la condition que le rayon de courbure, relatif à chacun des points d'une courbe plane, soit, comme dans la cycloide, le double do la normale correspondante prise par rapport à un axe des abscisses quelconque ; je fus fort surpris d'obtenir l'équation de la parabole ordinaire, au lieu de cello de la cycloide, à laquelle naturellement je devais m'attendre; circonstance, on le comprend, qui tenait à ce que j'avais attribué le signe + à l'expression radicale du rayon de courbure. Ce résultat de l'influence du signe, dont j'eus alors assez de peine à me rendre compte, devint pour moi, par la suite, rocca&ion de rechercher la démonstration purement géométrique des remarquables propriétés de la parabole relatées ci-dessus.
NOTES BT ADDinONS. 469
dante de lacydoïde, autre courbe d'un usage fréquent en mécanique. Sa déinonslralion pourra fournir un nouvel exemple de la manière dont on doit se servir des notions de la géométrie infinitésimale.
Du rayon de courbure^ du centre de courbure et de la déveloj)jM*e
de la parabole,
La propriété mentionnée en dernier lieu consiste en ce que « le ray^on )) de courbure MG [Jtg- 13) de la parabole, déterminé par la rencontre C » de la normale en un point quelconque M de la courbe, avec la normale » relative au point infiniment voisin M', est le double de la portion MR » du prolongement de cette normale comprise entre la courbe et la di- » rectrice AR, de sorte qu'on a MC= altfR. »
Pour démontrer ce théorème , nous reprendrons nos considérations premières relatives à la^g^. i3, et nous supposerons qu'indépendamment des perpendiculaires MP et M'P' à la directrice AR de la parabole, de la tangente MQ relative au point M, etde la perpendiculaire FIP abaissée du foyer F sur cette tangente qu'elle coupe en 1, on trace la droite FP' et la tangente M'Q' relative à M' coupant FP' perpendiculairement en T. Nommant, en outre, Q et Q', R et R', les intersections respectives des tangentes et des normales en M et M' avec la directrice, on se rappellera que les points I et V situés sur la tangente au sommet B de la courbe,
sont les milieux des droites FP et FP', de sorte que, 11'= -PP'= -M/î;
M// étant l'intervalle du point M à MT', mesuré sur le prolongement de lordonnée perpendiculaire à Taxe EX de la courbe. Prolongeant de même, cette ordonnée jusqu'à sa rencontre en p avec la normale M'R', il en résultera le triangle />MG qui, ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle TIF, lui sera semblable, de sorte qu'on aura
pC Up Mp IFouPT",,, 1-^ ~^M/i"
H ou -M/i
Mais/^M et PI', étant dans te triangle M'Q'R',des lignes respectivement parallèles aux côtés Q'R' et M'R', on aura aussi, par la théorie des lignes proportionnelles,
M/î Q'P'~ P'I' ' donc
FT'^^TPT' ®^ A'C=2M'R', relation d'autant plus remarquable qu'elle a lieu pour un intervalle quel-
conque des points M et M'; mais, à la limite de rapprochement de ces points, />M devenant négligeable vis4-vis de M'C et H'R' qui doivent alors être censées respectivement égales à M€ et MR, il en résulte la démonstration du théorème énoncé, à savoir que MC = aMR.
Ce théorème d'ailleurs conduit à un tracé fort simple de la développée de la parabole, courbe très-remarquable, poinlitlée sur \9ijjg- i3 et qui présente un point de rebroussement en 0, situé sur Taxe AX, à une distance BO du sommet de là parabole, double des distances BF et BÂ de ce sommet au foyer et à la directrice, c'est-à-dire précisément égale au paramètre, lequel représente ainsi le rayon de courbure de la parabole en ce môme sommet.
On peut affranchir le tracé de la développée dont il s*agit et la détermination du centre de courbure C sur la normale quelconque MC de la parabole, de toute considération relative à la directrice AR, en remarquant que, si Ton élève au foyer F de cette courbe^ sur le rayon vecteur FM du point donné M, une perpendiculaire FK, elle rencontrera la normale correspondante en un point K tel, que le triangle rectangle MFK sera superposable au triangle MPR à cause de
MF = MP et angle FMK = angle PMR ;
on aura donc Thypoténuse
MK = MR=-MC,
et par conséquent, si l'on prolonge le rayou vecteur FM d'une quantité FG égale à sa propre longueur, puis qu'on lui élève en G la perpendiculaire GC, elle ira rencontrer la normale MC au centre de courbure C de la courbe, résultat auquel d'ailleurs on arrive directement en observant que, d'après les propriétés ci-dessus relatives au foyer et aux tangentes de la parabole, l'angle MFM' sous lequel on voit de F l'élément MM' de la courbe, est précisément le double de Tangle de contingence ou de l'angle MCM' formé par les normales aux extrémités de cet élément ; de sorte que, si l'on porte le rayon vecteur FM' sensiblement égal au rayon FM, de F en G sur le prolongement de celui-ci; que Ton achève le triangle isocèle GFM' en traçant GM', l'angle MGM' de ce triangle sera précisément égal à l'angle MCM', et le quadrilatère GMM'C, inscriptible à un cercle tangent suivant MM' à la parabole, et dont par conséquent MC sera un diamètre, GC une corde perpendiculaire à MG, etc.
Ces considérations conduisent à une autre conséquence non moins remarquable. En eSet, qous avons vu que, dans la parabole, la distance FN du foyer au pied N de la normale MC, sur l'axe AX de la courbe, était égale au rayon vecteur correspondant FM; on a donc, par construction,
FG =r FM =r FN.
et par conséquent le triangle GMN inscriptible à une demi-circonférence dont F est le centre, est rectangle en N, ce qui indique que, pour^ibtenir le centre de courbure relatif au point quelconque lA de la pambolCy il suffit d* élever du pied N de la normale MC relatif h Vaxe AX de la courbcy la perpendiculaire NG à cette normale^ puis, du point de rencontre G de celle-ci avec le prolongement du rayon vecteur correspondant MF, la nouvelle perpendiculaire GC à la direction de ce rayon, laquelle viendra rencontrer la normale au centre de courbure demandé (*).
Cette constniclion serait applicable identiquement aux deux autres sections coniques, l'ellipse et l'hyperbole, pourvu qu'on prît pour Taxe de symétrie AX, le grand axe, celui qui contient les deux foyers réels de ces courbes; mais je n'entamerai pas ici la démonstration de ce théorème, et si j'ai autant insisté sur la parabole, c'est, je le répète, parce que ses propriétés sont très-utiles pour la démonstration générale de certaines lois du mouvement.
HeCHERCHES ANALYTIQUES RELATIVES AU STSTÈME DES DIAMÈTRES CONJU- GUÉS PARALLÈLES DE DEUX LIGNES QUELCONQUES DU SECOND DEGRÉ SUR
UN PLAN [voy. la note au bas de la page 3o). (**)
Représentons, en coordonnées rectangulaires, par
( I ) ^>**-+- 'i- bxy 4- cx*-^ idy-^7. ex -\-f= o,
(a) a'y^-hiù'xy-\-c'x^-^^d'y-\-^e'x-^f' = o,
les équations données de ces deux courbes.
Soit A la tangente trigonométrique de l'angle inconnu que l'un des diamètres conjugués dont il s'agit fait avec Taxe arbitraire des abscisses x, on trouve
by -h rx -f- c
ny -i-ùx-^d
— — /', pour la première courbe,
-7 — --T7 — ; — 7, — — ^', pour la deuxième. a' y -i-b x-{-d '^
Ces relations donneraient, conjointement avec les équations respec-
{*) Cette solution a été indiquée sana démonstration, par un auteur anglais dont| jusqu'ici, il m'a été impossible de retrouver le nom et Touvrage.
{Note ancienne).
( ^*) Cette Note et les deui suivantes ont précédé ou suivi de trée-près mon retour de Russie en i8i4-
47at SOUVENIRS,
tives ci-dessus, les coordonnées x et j des couples de points de Tune et lautre courbe, pour lesquels les tangentes géométriques sont parallèles; donc ce sont les équations mêmes des diamètres respectivement conjugués à la direction des tangentes parallèles. Pour que ces diamètres soient parallèles entre eux, il faut, en observant que leurs équations peuvent être écrites ainsi
((ue Ton ait la relation de condition très-simple
ÙÂ -h c b'/c-hc^ ak'Jrb~ n'k-^b*''
d'où l'on tire pour /- la double valeur
__ a'c^ac' ^ J [a'c — ftc'f bc' — cb' ~ i[ba'- ab') ~ V 4 (^^''- ^^')* "*" ba'-^ab''
\aleurs qui ne seront réelles qu'autant que la quantité sous le radical sera positive.
Afm de simplifier la question, on peut supposer que la seconde des deux courbes données soit rapportée à son sommet et à ses axes, et, de plus, qu'on ait divisé son équation par la constante n\ de sorte qu'on puisse y faire «'= i, ^'= o, r/'r» o, /'= o. On pourra également, dans l'équation (i), supposer n= i sans diminuer la généralité de la question, ce qui donne simplement
expression dont le radical sera réel toutes les fois que c' sera positif, et démontre que toutes les fois que l'une des coniques proposées sera une ellipse ou une parabole, la solution du problème sera possible géométriquement.
En effet, si l'on place l'origine des coordonnées au sommet de cette courbe et leurs axes parallèlement aux siens, l'équation (2), en y supposant b'=Of n'=ï, etc., pourra être censée la représenter. Or cette courbe étant alors une ellipse quand c' est positifs et une pandfole quand c est nul , on voit que dans ces deux cas la valeur de k est réelle ; donc If^ problème proposé est résoluble géométriquement.
Quand les deux courbes seront des hyperboles , c' sera nécessairement négatif; pour qu'il existe alors un système de diamètres parallèles, il
feudra que - — ' soit > — r' : on peut conclure de là et de ce que j'ai
prouvé dans mes Cahiers de Russie (p. 3o6), que quand deux hyper* boles s'entrecoupent en quatre points, sommets d'un quadrilatère convexe, auquel cas on peut faire passer par ces quatre points une infinité d'ellipses, les deux hyperboles auront un système de diamètres conjugués parallèles, et que tout système de deux coniques passant par ces points jouira de la même propriété.
Dans le cas où ces mêmes quatre points appartiennent à un quadrilatère non convexe, les hyperboles ne peuvent avoir de diamètres conjugués parallèles ; car, si elles en avaient, les cordes ou côtés conjugués du quadrilatère formeraient, avec Tun de ces diamètres, des angles dont les sinus seraient respectivement proportionnels, ce qui est impossible, comme on
va le voir. Donc la condition ^ — 773 — > — c' exprime réellement quo
le quadrilatère inscrit simultanément aux deux coniques est convexe.
Cas particulitr oit les coniques ilégénèrent en des droites.
Soient/,, /„, x,, x„ (fig. i5), quatre points situés arbitrairement sur un même plan ; en les joignant deux à deux de toutes les manières possi-
Fig. i5.
sr, Xm
bles, vous formerez le quadrilatère simple y,y„ x,x„ avec ses deux diagonales. Soit proposé de trouver le système de deux axes obliques pour lequel les équations des cotés opposés y,jr^ x^ x^ soient de cette forme
y==ax-\-b, y= — ax-\^b'j
c'est-à-dire tel que ces côtés fassent avec les axes respectifs des angles dont les sinus soient proportionnels, et qu'il en soit de même pour les deux autres côtés r, x, et r„ x„.
Prolongeons les côtés opposés r,f,r J^,-"'» jusqu'à leur rencontre en »,
prenons les droites ox et oy pour axes obliques primitifs des x et des jy et o pour Torigine; faisons
ox^^x^, ox„=x^, (r)r,=x, et 07,= j^,;
les équations des six lignes droites qui entrent dans la fi^. i5 seront évidemment
pour oor, X=Oy pour 07-, jr = o,
pour^,x„ jr=^Ljc-^j,, pourj.x,, jr= --^^-^^^y
pourr,x„, jr^^Lx-\-jr^, pourj^x,, ^=:-i?x-^^,.
Soient ox' et oy' les axes inconnus, 7, 1 les angles que Taxe des x' fait avec les anciens axes o.r, r?/, et 7', s' les angles pareils relatifs à l'axe des y. On a les formules suivantes, qui serviront à passer dtt premier système de coordonnées au deuxième,
J^^sine-hj^^sins^ j7^sin7H-j'8in7^ ^
'~ sinô ' ^~ smô '
0 représentant l'angle des axes primitifs ox et oj, on a évidemment,
7 = 0 — s et y' = ei— s'..
Substituant ces valeurs de x et de 7 dans le$ équations ci-dessus, elles deviendront
, sîn 7 , , sin e ,
pour oxy X = — ~ — -,x'\, pour or, y = — t^ 5
^ ' "^ sm 7' ' ^ ► ' ^ sin t' '
, y, sin s -h ar, sin 7 , ,
pour Y.x,, y'= —'^-^—. — —, — —T—^fX-^.,, ,
, r„ sin s -4- .r„ sin 7 , .
pour Kx„, r'= — '^^^—. — rr — " . \j:'4- . . .;
^nQn. on aura,
, r, sine 4-^,, sin 7 ,
pour Y, .r„, 7'= — =^-!—. — ■ " . ; x'-i- . . . ,
pour x„ X,
7„sms + .r,sin7 x^ sin7 -f-j„ sms'
Les trois dernières équations s'obtiennent de celle de (y, x,), en y mettant respectivement, savoir : x„ et y„ à la place de x, et jr,, J^, à la place d© X,, et enBn jr,^à la place de y,»
Maintenant, par les conditions du problème, il faut que dans les équations de y, x, et x„ jc,, les coefficients de x* soient égaux et de signes contraires, et pareille chose devant avoir lieu pour les droites y, x^ et y„ x.
NOTES ET ADOmONS. 4?^
il en résulte les deux nouveltes équations
X sin « -f- .g, sin Y j^^sini-f--y, siny j, 8ine'4-J:;Sin7' j,, sins'+x^sinv' ~ '
j^sintH-J^ff siny /^ sin » + j:, sin 7 j, sint'-hJT^siny' /, 8ins'-|-xjsin7' ~~ '
qui se déduisent l'une de Tautre, en y échangeant entre elles respectivement, x^ et x^ en x^ et .r^.
Développant la première d'entre elles et opérant ensuite cette permutation, il viendra
. . I îij,r»8infsinf'-haJ?,J^„sin78in7'
I 4- (^; 7„H-/; r J [sin 7 sin ft'-h sin E sin 7'] = o,
. ( 27, j„sin«sini'4-a^,^„sin7sin7'
r -4- (^, /;-4- ^„ /,) [sin 7 sin i ' -h sin t sin 7'J = o.
Retranchant ces équations Tune de l'autre, on obtient, après la suppression du facteur x^y^-^-y^x^^x^y^—y^x^ qui, par hypothèse, n'est pas
nul,
sin 7 sin c
sin 7 sin «'-f- sine sin 7' = 0 ou
sin 7 sm <
Donc les axes cherchés jouissent, en même temps, de la propriété dont il s'agit, par rapport aux côtés opposés ox et oy^ puisque cette dernière égalité exprime que les coefficients de x* dans les équations de ces deux droites sont égaux et de signes contraires. En supposant
sin 7 sin «'4- sine sin 7'= o
dans l'équation (i), elle devient
y, y„ sin i sin 9!-\-x, x^ sin 7 sin 7' = o,
et l'équation (2) donnerait absolument le môme résultat; on aura donc, pour déterminer 7, 7', etc., les seules équations
(3) X/7'Msinssin8'4-j:',J^„sin7sin7'= o,
(4) sin7sin8'-hsin7'sin« = o,
auxquelles il faudra joindre celles-ci
(5) 0 = 74-e, (6) O^y-hs'.
Substituant dans l'équation (3) la valeur de^7' tirée de l'équation (4), il viendra
(7) ^,.r„sin^« — x,x„sin*7=o.
Posant, en outre, langv = t, langs = u^ d'où
un* e — . . atn* m —
8in'Ê=:-- — 5, 8in'7= — — ,
cela donne
j, ^Tijrp - -p, ^-^ , ^ ,, - o.
Or, en posant de nouveau tang 0 = &>, ce qui donne également
» /û x tan{3;Ô — tang7 w — /
u = tang s = tang ( ô — 7 ) = — — ï^ ,,, ' = >
^ ^'^ '' I -h tang Ô tang 7 i-^tùt
celte dernière équation se changera dans la suivante,
OU, en supprimant le facteur 1+/' qui ne saurait être nul, et ordonnant équation de laquelle on tire finalement
On voit, par cette valeur de /, qu'il sera possible de trouver deux axes obliques qui jouissent de la propriété en question, toutes les fois que le
produit J^,J^„x,X» sera positif : le contraire aura lieu quand ce produit sera négatif. Or il est facile de s'assurer que cela arrivera si les quatre points donnés j:„ j?,, j, et/„ (fig. i5) correspondent à un quadrilatère non convexe x,j,^^ x^ [Jîg, 16), et que, au contraire, le produit ci-dessus sera positif quand ces mêmes points formeront un quadrilatère convexe, r, x^ ^^ ^tf» étant d'ailleurs les diagonales de ce quadrilatère, c. q. f. d.
Nota. — On aurait pu s'arrêter à l'équation (7) qui démontre la même
propriété; mais nous avons jugé convenable de calculer explicitement l'expression de /.
Eemarques diverses, — SI l'on eût cherché la valeur de 7' en éliminant
7 des équations (3) et (4), on eût obtenu à la place de l'équation (7),
celle-ci :
j,j„sin£"-j:,jr„8in7'* = o,
d'où l'on aurait tiré les mêmes valeurs pour tang7' que pour tang7; or cela provient évidemment de ce que les équations (3) et (4)» (5) et (6) sont symétriques. Donc la double valeur de t correspond bien à l'un et l'autre des axes ou diamètres conjugués qui remplissent les conditions du problème. Donc enfin il n'existe qu'un seul système de pareils axes ou diamètres.
Ainsi, toutes les fois que deux hyperboles se pénètrent en quatre points j:,, j,, x^ et j,, appartenant exclusivement, comme sommets, à des quadrilatères non convexes x^y^x^jr^^ ces hyperboles n'auront aucun système de diamètres conjugués parallèles, et réciproquement.
En particulier, si les intersections y, et y^ se confondaient, c'est-à-dire si les deux courbes se touchaient suivant la direction de r,7„, on aurait,
Fig 17.
d'après les équations ci-dessus j,=7„, etc., il faudrait que x, et x^ fussent de mêmes signes, c'est-à-dire que la tangente y,x„^ étant prolongée jusqu'à sa rencontre en o avec la droite x,x^ qui joint les deux autres points d'intersection x, et x„, il faudrait que o ne se trouvât pas entre x, et X,.
Si, en outre, on avait x,= x,, , c'est-à-dire si les deux courbes se touchaient en deux points x' et y (fig, 18), / devenant
47B SOUVENraS,
sa valeur serait nécessairement réelle, et par conséquent deux semblables hyperboles auraient nécessairement aussi un système de diamètres con-
Fig. i8.
jugués parallèles, dont les directions seraient données par les formules précédentes, etc., etc.
Autre manière de procéder, — On peut trouver les deui axes conjugués dont il a été précédemment question, d'une manière très-simple, ainsi qu'il suit :
Désignons les angles comme dans la y^. 19, et supposons que p^r un point quelconque 0, on ait mené des parallèles respectives aux côtés
Fig. 19.
et aux diagonales du quadrilatère donné ÂBDC. Soit af une transversale parallèle à Taxe cherché et qui les coupe aux points marqués «ur la figure, la droite Oj: passant par 0 et par le milieu i de cd^ sera la conjuguée de cette transversale ou de cet axe, et il faut évidemment que
té = eff bc = (le^ etc. Gela posé, désignons par a, b^ c, etc., les longueurs Oa, 06, etc., ei observons que les triangles 0^6, O^/, etc., de même hauteur et de bases égaies, sont équivalents, on en déduira les quatre équations
( I ) /lA sin 7 = <?/sin j, (3) ^/si n /t = ^/r si n M,
(a) cffsin/ii = Ar/sin/, (4) /i5esin/> = Acsinr,
auxquelles il convient d'ajouter les deux suivantes :
(A) 6^sin(r-f-'w) = 6csinr-f-<:^8in//i = ^/îffsin/^-l-r/îftsin/,
(B) /ï/sin [q-^t -h/> 4-.^) = ftbikn q 4- ^Ain (t+p 4- *) = <?/sin * 4-0^ sin (y 4- * 4-/^).
Ces équations ont lieu simultanément, puisque, d'après ce qui précède, la droite efe&i possible. Multipliant d'abord les quatre premières par ordre entre elles, on aura
sin m sin n sin p sin 7 = sin r sin 5 sin / sin u ;
on trouvera de même, en les multipliant membre à membre et deux par deux, à savoir :
(i) par (3) dans Tordre direct, (i) par (3) dans Tordre inverse, (2) par (4) dans l'ordre direct, (2) par (4) dans Tordre inverse,
(5) 4* sin «sin 7 = ^' sin «sin 5*,
(6) a'sin</siutf =/'sin/isin5-,
(7) /?'8in/«8in/j = ^sin/sinr,
(8) r'sin/7isinr = W'sin/78in/.
La première (C) des équations ci-dessus, a lieu pour tous les quadrilatères et peut se démontrer directement. En effet, les quatre triangles BHD, DHC, CHA et AHB donnent
HC
sin m HA
sin n __ HB sin/j HD sin 7 HU
^^■^~HD' sin7~HC' imli^HÂ' Wr~HB'
smj
d'où Ton tire, en multipliant ces équations membre à membre,
sin n sin p sin 7 sin /n = sin ^ sin / sin n sin r.
Pour passer de la considération du quadrilatère convexe ABDC au quadrilatère non convexe ABD'C, il faut changer les signes de mp et sin^ qui ont changé de sens. La dernière de ces équations reste invariable; mais il en est autrement des équations (5) et (6), (7) et (8). L'équation (6) en particulier, donnant immédiatement / quand on connaît a, la direction de /?/* sera connue ainsi que celle de Ox.
48o SOUVENIRS,
Si Ton voulait prouver que cette droite existe réellement , la démonstration précédente ne suffirait pas; car les points a, &, c, d^ e et /pourraient n'être pas sur une même droite et remplir cependant les conditions (i), (2), (3), (4); il faudrait encore y joindre les systèmes des équations (A) et (B). Les équations (5), (6)^ (7), (8) donneraient /, e et //en fonction de a, 6, e respectivement, et substituant dans les équations (A) et (B), on obtiendrait, entre les angles, une équation de condition qui doit être remplie pour que la droite af soit possible géométriquement.
NOTE HISTORIQUE, CRITIQUE ET PHILOSOPHIQUE A PROPOS DES THÉORÈMES SUR l'inscription ET LA CIRCONSCRIPTION SIMULTANÉE DES POLYGONES AUX CONIQUES, ETC.
Dans un remarquable Mémoire publié en 1828, au t. III du Journal mathématique de Crelle^ p. 376, M. Jacobi, de Kœnigsberg, a bien voulu citer avec éloge mon ouvrage de i8aa, à propos des propriétés projectives des polygones dont il s'agit; propriétés qui s'y trouvent établies, je dois le redire, par une voie en apparence exclusivement géométrique, quoique simple et rapide, et d'où ce grand géomètre, qui n'était pas seulement algébriste comme tant d'autres, a déduit une élégante construction pour Paddition et la multiplication des intégrales elliptiques de première espèce. Cette construction a reçu, de M. Legendre, de justes éloges qui n'ont pas peu contribué à établir la réputation de son jeune auteur; mais, en l'exposant à sa manière dans le Supplément au t. III de la Tfiéorie des fonctions elUptiqtu\s^ Tillustre et vénérable fondateur de cette nouvelle branche du calcul intégral, soucieux, avant tout, des progrès de la science qu'il cultivait avec une prédilection toute particulière, ne jugea pas à propos de mentionner la faible part de mérite qui pouvait revenir aux théories géométriques du IVaité des Propriétés projectives des figures^ ce qu'avait fait si loyalement, dans le Mémoire précité, M. Jacobi, qui ignorait d'ailleurs l'origine analytique de ces mêmes théories exposées dans le VP Cahier de ce volume. Or, si d'autres savants moins autorisés, ont imité le silence de M. Legendre, ils n'auraient pas dû dédaigner autant qu'ils l'ont fait, les précieuses ressources, l'utile enseignement dont, à dater de i^in et même de 181 7, ont été pour eux les spéculations de la géométrie pure.
En examinant d'un peu près et d'un œil non prévenu la cause de cet apparent dédain, de cet oubli plus ou moins volontaire, on reconnaît sans peine, qu'elle provient originairement de la façon obscure et détournée dont Jacobi, dans le Mémoire précité, a prétendu faire dériver à posteriori, de la théorie purement algébrique des fonctions elliptiques., les théorèmes relatifs aux polygones simultanément inscrits et circonscrits
au système de circonférences de cercles tracés sur un plan d*après des conditions données; car il semblait en résulter que Tintervenlion des lumières de cette géométrie^ nommée si mal à propos, géométt'ie éiémentaircy méritait assez peu Vattention des mathématiciens qui s'intitulent par excellence géomètres; mathématiciens que le Rév. Georges Salmon a mieux caractérisés, ce me semble, par Tépithète de géomètres algé' bristes dans son récent ouvrage intitulé : Lessons intmduttnry io ihe modem higher algebra,
D*autre part, au lieu d*abordef directement et franchement le cas général, si simple, de la question qui nous occupe, Tauteur du Mémoire inséré au t. III du Journal de Mathématitjues de Crelle ( p^ 3^6 à ^85 ) se préoccupa d'abord exclusivement, d'un problème de géométrie, soi-disant encore élémentaire, qui, déjà anciennement et après Euler, avait attiré l'attention de Nicolas Fuss, le célèbre secrétaire perpétuel de TAcadétnie des Sciences de Saint-Pétersbourg^ Ce problème concerne la relation algébrique qui lie entre eux les rayons et la distance des centres de deux circonférences de cercle données, Tune inscrite, Vautre circonscrite à un polygone d'un nombre quelconque de côtés ^ de forme irrégulière il est vrai, mais considéré dans des conditions de symétrie tout à fait particulières par rapport à la ligne des centres. Or Fuss avait vainement recherché pour le quadrilatère, la relation algébrique relative aux polygones considérés dans une dispositioti plus générale, et ne s'était même pas douté qu'elle fût indépendante des conditions restrictives dont il vient d'être question, ni de la position attribuée à l'origine ou premier sommet du polygone; toutes choses, selon le très-loyal Jacobî, devenues évidentes d'après les théories géométriques de mon ouvrage, et qui sont prises pour point d'appui et pour base de la savante application que cet éminent géomètre fait de la théorie des fonctions elliptiques, à la recherche de la relation dont il s'agit; relation variable dans son expression algébrique, avec le nombre des côtés du polygone, mais dont M. Steiner, devenu de* puis notre ami commun, avait, dans le Journal de Crelle (t. II, 1827, p. ^289], énoncé pour les polygones de trois, quatre, cinq^ six et huit côtés, les équations rationnelles, en admettant a priori, la possibilité de tels polygones et de leur couple de cercles.
D'après ce qu'a bien voulu me faire savoir plus tard M. Steiner^ esprit original et inventif, s'il en fut, dans le domaine de la géométrie pure, et dont on connaît l'immense collection de théorèmes, de problèmes, de corollaires, il est vrai sans lien apparent et dont malheureusement il a trop souvent laissé à d'habiles disciples le soin de prouver la réalité ou la non-existence , ce serait par ses encouragements propres, ses avis éclairés que Jacobi, ayant pris connaissance du Traité des Propriétés projectivesj aurait été conduit à appliquer la théorie des fonctions elliptiques à la démonstration des théorèmes (p» Saa et suiv» de cet ouvrage) sur les polygones simultanément inscrits et circonscrits à plusieurs cercles. Ùr, je tiens I. 3i
48a SOUVENIRS,
particulièrement à faire remarquer que cette application , si elle conduit à la construction géométrique de la somme des fonctions dont il s*agit, ne peut que difficilement servir à trouver la relation purement algébrique qui, pour le polygone d'ordre quelconque, lie entre eux les rayons de ces cercles et la distance de leurs centres respectifs; les fonctions elliptiques n'ayant qu'une valeur de forme purement implicite ou algorithmique, qui fait dépendre, contrairement à Tordre logique et rationnel, le simple du composé ou du transcendant. A cet égard donc, le problème envisagé dans ses conditions générales, quoiqu'il appartienne, selon Jacobi même, à la géométrie élémentaire, reste tout entier à résoudre pour les polygones d'ordre supérieur ou d'un rang indéterminé.
En effet, M. Richelot, jeune étudiant à Kœnigsberg en Prusse, élève et naturellement continua teih* de Jacobi, n'a fait qu'étendre au système de deux petits cercles de la sphère les démonstrations de ce professeur, en s'appuyant également sur les propriétés connues des fonctions elliptiques, qui lui permettent d'établir pour ce cas, par des considérations plus explicites et plus simples, le théorème sur la simultanéité de l'inscription et de la circonscription des polygones sphériques; conséquence d'ailleurs immédiate du théorème analogue relatif à deux coniques sur un plan, d'après les doctrines mêmes du Traité des Propriétés projectiles. Par des transformations trigonométriques élégantes, M. Richelot établit ensuite les relations qui, pour les petits cercles de la sphère, sont les correspondantes de celles que MM. Steiuer, Fuss et Jacobi avaient partiellement énoncées ou démontrées pour les cercles sur un plan ; relations dont les plus simples encore, relatives au triangle et au quadrilatère sphériques, avaient aussi été indiquées par M. Steiner dans le t* H (1826) du Journal matiiématique de C relie»
Ces relations algébriques, d'autant plus remarquables qu'elles n'offrent entre elles aucun lien de continuité apparent, laissent en dehors le cas de Vlieptagone, et ne dépassent pas le polygone dehuitcêtés; mais il est juste d'ajouter que M. Richelot, en s'appuyant sur un primitif et célèbre théorème de Legendre, pour la duplication des ^rcs elliptiques (p. a5 des Exercices) f présente dès le début de son Mémoire et relativement au cas du plan, des formules algébriques rationnelles on ne peut plus élégantes et symétriques, pour passer d'un polygone de n côtés à un polygone d'un nombre de côtés double 2/1; ce qui lui permet d'arriver directement à la relation algébrique, aussi rationnelle, qui lie entre eux les rayons et la' distance des centres de deux cercles, l'un inscrit, l'autre circonscrit à un polygone de seize côtés, en laissant toujours en dehors ceux de sept, de neuf et de quatorze côtés.
Quel que soit le mérite d'un pareil rapprochement et quoiqu'on sache par les plus anciens travaux d'Êuler, de Legendre, de Jacobi et d'Abel que les intégrales nommées elliptiques ont entre elles des relations purement algébriques ou géométriques, il n'en paraît pas moins peu naturel
NCyrËâ ET ADDITIONS. 483
et encore moins philosophique, de tirer directement de la conAailssance de ces travaux, bien qu'ils soient devenus dans ces derniiers temps familiers à beaucoup de lecteurs, la démonstration, à posteriori, de théorêihes gé* néraux aussi simples de la géométrie.
Sous ce rapport, on doit savoir beaucoup de gré à M. Mention d'avoir abordé directement et géométriquement, la question dans Tun des BuHctins de l'j^cadémie împéHale des Sciences de Saint-Pétenbàurg (t. I, 1859, p. i5, 33 et 507), sous le titre modeste di' Essais sur ie problème de N. Fussy quoique ses recherches, fort remarquables d'ailleurs et qui concernent la relation algébrique relative à deux cercles mentionnée ci^ dessus, n'aient point complètement abouti pour le cas général, et se soient arrêtées, du moins explicitement, aux polygones de neuf, dix et onze côtés; car si ces recherches ont mis en évidence l'échelle de relation qui lie entre eux les polygones de /?, /7 — t et » — 2 côtés, par une double équation, cependant MM. Mention et Tchébychef ont vainement tenté de la résoudre par les procédés de l'analyse algébrique.
C'est d'ailleurs une question de savoir si le problème, si mal irésblu pal* Fuss en l'j^^y Ta été mieux depuis par d'autres^ notamment en Angleterre par M. Gayiey, qui, ignorant sans doute mes publications de 181 7 et 182I citées plus haut, a attribué gratuitement à cet ancien et estimable géomètre, sous le nom de porisme^ le théorème de la p. 364 sur les cercles; Parmi les nombreux Mémoires de M. Cayley, écrits dans une langue mathématique pour moi doublement étrangère, j'entrevois bien, en effet, de belles méthodes algébriques pour passer d'un terme à un autre de la série des polygones, mais non pour franchir, sans calculs intermédiaires, l'intervalle qui sépare entre eux deux termes de rang quelconque; Ainsi, par exemple, dans son dernier Mémoire résumé, de mars 1861, il n'arrive à la formule de l'ennéagone, obtenue par M. Mention et relative au cas simple de deux cercles^ qu'après avoir laborieusement calculé toutes celles qui appartiennent aux polygones d'ordre inférieur^
A cet égard, il me semble que les équations et les résultats des n*" II, ni, IV et VI du VI* Cahier, qu'il eût été très-fatile de tirer des énoncés géométriques de la sect. IV, chap. II du Traité des Ph>priétés pmjffctives^ ilme semble que ces équations, Ces résultats, joints aux divers théorèmes sur l'enveloppe du côté libre et des diagonales des polygones indéBniment inscrits et circonscrits aux cercles ou aux sections coniques, auraient facilement conduit à des conséquences, relations ou porismes algébriques analogues à ceux qu'ont cherché avec tant de persévérance sinon de succès^ MM. FusS) Steiner^ Jac^bi, Aichelot, Mention et Cayley.
Ainsi par exemple, si l'on imagine qu'un polygone de 2/^ côtés étant à la fois et indéfiniment circonscriptible au cercle (C) de rayoh r et inscriptible aukcercle (C) de rayon R (p. Zi^^fig. i36]^ on en trace un deuxième d'un nombre n de côtés joignant deux à deux consécutivement les sommets de rang pair du premier polygone, qui sera, par conséquent
indé&niment inscriptible au cercle (C) de rayon R et circonscriplible à un troisième cercle (C) de rayon inconnu p, on aura, en nommant r/, a les distances respectives des centres C et C" au centre G, conformément aux résultats des p. 819 et 343 (équations 6 et 9],
, R«[ar'(R'+fl')-(R^~fl=')']» 4RV'g
pour calculer directement le rayon du nouveau cercle (C) et la distance de son centre à celui du cercle de rayon R, circonscrit à la fois aux deux polygones d'un nombre /i et 2 /t de côtés.
Je n'essayerai pas de comparer ces dernières formules très-simples à celles que M. Richelot a lui-même tirées (p. 260 à 262 du t. V de Crelle) du théorème de Legendre, pour passer immédiatement de la relation algébrique relative au polygone de n côtés à celle du polygone d'un nombre de côtés double %n; je me bornerai à faire observer que Ton arriverait à des résultats analogues pour les polygones de 3/z, An, 5/2,... côtés, par une réduction convenable du rang de ces polygones au moyen de diagonales joignant de 3 en 3, de 4 en 4)- • leurs sommets dans Tordre progressif, et en s'appuyant sur les propositions des p. 336, 35^ et suiv. (Yl'Cah.); ce qui correspond à la multiplication des fonctions elliptiques.
Quant aux polygones d'un nombre premier n' de côtés, c'est-à-dire indécomposable autrement que par addition ou soustraction, en allant par exemple, de n'—ik n', ou de n' à /z'+i, etc., il doit arriver à peu près ce qui s'observe dans la théorie des nombres entiers, où, tout en découvrant de fort belles propriétés des nombres premiers de cette espèce, on n'a pas su néanmoins, jusqu'ici, les exprimer par des formules algébriques explicites, limitées ou nettement définies.
Je n'ai point l'intention d'insister davantage ici sur les rapprochements possibles entre la théorie des polygones indéfiniment inscriptibles et circonscriptibles au système de deux cercles et celle des fonctions elliptiques de première espèce, dont mon savant confrère à l'Académie des Sciences, M. Chasles, dans son classique, synthétique et dogmatique Traité de Géométrie supérieure^ écrit à la manière des anciens et publié en i852 (p. 58o, chap. XXXV), a offert d'intéressants exemples relatifs à l'addition, à la multiplication de deux arcs d'ellipse dont il fonde la démonstration, à posteriori, sur la considération du cas singulier d'une corde mobile à la fois inscrite et circonscrite à deux circonférences do cercle sur un plan. Mais, sans prétendre insister dans cette rapide Note, je crois pourtant devoir ajouter quelques mots historiques touchant la liaison intime qui existe entre les propriétés des fonctions elliptiques et celles des polygones mobiles démontrées géométriquement^i l'endroit déjà cité (Sect. IV, Chap. II) de mon Traité de 1822, sur les Propriétés pro* jectives des figures .
Pendant l'un des trop courts séjours de Jacobi à Paris, en iS'29, le premier si je ne me trompe, celui qui a suivi d'assez près la publication du Mémoire sur Vjipplication des transcendantes elliptiques à un problème connu de la géométrie élémentairey ce géomètre, dont je m'honorerai toujours d'avoir possédé Testime et Tamitié, a bien voulu, dans une conversation familière en partie échappée à mes souvenirs, m'initier à la manière simple et toute naturelle dont il avait primitivement entrevu la relation si intime, si remarquable, existant entre les théorîes algébriques et géométriques qui nous préoccupent ici. Je ne connaissais alors que les Exercices de Legendre sur les intégrales elliptiqkes, dont, en 1825, j'avais eu occasion de faire l'application à des recherches sur le frottement de la vis à filets triangulaires, dans mon Cours de Mécanique à rÊcole d'application de Metz. Je savais encore qu'Abel et Jacobi s'étaient déjà illustrés dans ce genre de spéculations inauguré par Euler et Lagrange; qu'Abel, venu en 18^26, de Christiania à Paris, ce rendez-vous des réputations bien ou mal'acquises, était mort à la peine, en 1829, âgé de vingt-sept ans, après avoir vainement attendu, pendant un séjour de dix mois en France, un acte d'intérêt et de justice de la part des Commissaires chargés, par notre Académie des Sciences, de l'examen de son premier Mémoire sur une propriété générale des fonctions transcendantes; Mémoire qui n'a été imprimé que quinze ans plus tard, dans le t. VU des Savants étrangers (1841); c'esi-à-dire douze ans après la mort de ce célèbre et infortuné géomètre, auquel la même Académie accorda un prix posthume; tardive réparation des amères déceptions qu'il avait éprouvées pendant une aussi courte vie.
M. Jacobi donc, dans les entretiens dont j'ai précédemment parlé, reportant mes idées sur la théorie des polygones indéfiniment inscriptibles et circonscriptibles au système des cercles et des coniques, m'apprit qu'au début de ses études sur ce sujet, il avait aussi imaginé de faire varier un tel polygone, d'une quantité infiniment petite, de manière que les arcs élémentaires décrits respectivement par les extrémités de l'un quelconque de ses côtés, divisés par la longueur des segments correspondants formés bur sa direction, à partir du point de contact avec le cercle auquel il est tangent, représentaient autant de différentielles elliptiques de la première espèce, et fournissaient ainsi, par leur comparaison relative à chacun des côtés, autant d'équations distinctes, les mêmes qu 'Euler, Lagrange et I^egendre avaient primitivement intégrées sous une forme rationnelle, dans leurs admirables recherches sur la matière.
Soient (C) et (c), ^g, 20, les centres de deux cercles de rayons quelconques R et r, situés sur un même plan ; r? =Cc la distance de ces centres, P le point où Ccr prolongé, coupe le cercle (C); nommons .r, en général, l'arc PA du cercle (C), compté vers la droite à partir du point P pris pour l'origine des arcs ; enfin (p l'angle au centre, correspondant à AP : de sorte que Afi = R sin? et BC = H cosf, sont le sinus et le cosinus n^tu-
m SOUVENIRS,
relsde ÂP= Rjt. Soit, de plus, AA' une corde de (C), touchant (c) en /, dont Ti^ne <Jles extréçaités A est un point quelconque du cercle extérieur,
Of A'
et l'autre A' un second pohit de ce cercle, auquel correspond Tangle au centre fCA' = y' ou Tare PAA^= a' = R^' relatif au même cercle.
Cela posé, admettons que la corde AA' subisse un déplacement infiniment petit aa autour du cercle intérieur (c) ou du point de contact primitif t. sur ce cercle, de sorte que
ka = fis = Ykdfif, X'a' = cls' = Rr/(j.',
on aura évidemment, par les triangles Aat, A'a'/, dont les angles opposés au sommet en t sont égaux entre eux,^ et en posant d'ailleurs les segments A/ = S^ A'/ = ^',
fjs
fis' ^''? Rr/<p/
équations dans lesquelles R est constant, 9 et $' sont des fonctions^ inconnues des sinus et cosinus de s et s*- ou de ^ et ^ '. Par conséquent on aura, selon les notations du calcul intégral,
r^fùf (^''ds' .. . ^ ^ r?dy r?'d^'
X '^^i "^ <>"' ^ d*^»s««t par R, J^ -5- = J^ -^.
Or il est bon de remarquer, ayaat d'aller plus loin, que la première de ces équations,, en y substituant aux éléments d'arcs ds et ds'\ leurs pro-r 4uits par les sinus des angles qu'ils forment départ et d'autre avec la corde tangente à (c), appartient tout aussi bien à deux sections coniques quelconques qu'aux cercles considérés en particulier, et que^ de plus, elle exprime l'une des propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, puisn que 9 ou ê' ne sauraient être ici que des expressions radicales du second <îegré entre l.es ai;iscisseft et oi^donn^ dçs extrémités A ou A', c'^l-é^-dir^
entre les sinus et cosinus mêmes des arcs ou des angles qui leur appartiennent respectivement.
Toutefois je ne saurais affirmer que, lors de notre entretien à Paris, M. iacobi ait eu déjà en vue le cas général de sections coniques quelconques simplement mentionné à la fin du Mémoire précité de ce géomèlref cas dont M. Moutard s*est occupé dans Tuno des Additions ciaprès; mais, ce qu'il y a de bien certain d'après mes souvenirs, c'est que les considérations ci-dessus pouvant être immédiatement étendues à une portion de polygone A A' A''..., d*un nombre quelconque de cordes ou côtés, à la fois inscrits à la circonférence de (C) et circonscrits à celle de (c), conduisent forcément à des rapprochements très-remarquables entre les théorèmes de mon Traité de 1822 et l'addition des fonctions elliptiques, sans recourir à aucune des transformations analytiques mises en usage postérieurement, par Jacobi et Legendre.
D*une part, l'intégrale relative à chaque sommet, est la même pour les deux côtés qui y aboutissent; de l'autre, on a directement par la figure, en prenant pour exemple le côté tangent A A', et observant que le segment A/ est moyen proportionnel entre ceux qui sont formés par le point A sur la sécante diamétrale du cercle [c), qui aboutit à l'extrémité A,
Â7' ou ^=(kc-\-r)(kc — r)=Tx^r^\
et, comme par le triangle ACc, dont le côté AC=:R, le côté Cr=:a, l'angle ACc = (p, d'après nos notations qui sont aussi celles de Jacobi, à cela près qu'il ne prend pour <p que la moitié de l'angle ACc par un motif qu'on devinera ci-après, on a aussi
Ac = R' 4- «* — aRrtrcos<}>, et, par conséquent,
^' = R»-|-/i='-2Racos?~r'=(R-«)'--r»— 4Rrtsin*i<p, il en résulte nécessairement
rdi r M?
•^ / W'(R fl)^/J~4Rflsin'i?
""""^'"vv/*
— X'sin'- ?
en posant comme module de la fonction elliptique représentée pac Tiintégrale, la constante
ce qui montre^ tout au moins, coipmeot Jacobi a pu être conduit à ra|v plication de la théorie des fonctions elliptiques aux diverses questions traitées dans son Mémoire de 1828. Or, ces mêmes questions auraient été abordées plus franchement, plus nettement encore, par les considérations tout à fait géométriques et élénpentaires, que je viens d'exposer, c*esi-à-dir& sans recourir aux données de Tanalyse transcendante ; mais je me dispenserai de le montrer dans cette Note, de peur de m'écarler par trop du but très-simple, que je me proposais d'y remplir.
Au surplus, c'est sur des considérations à peu pfès semblables que M. Ricbolot, élève de Jacobi, s'appuie dans le Mémoire déjà cité, et que Jacobi lui-même, dans une lettre du 6 août i845 (Creile, t. XXXQ, p. 176), adressée à notre honorable confrère M. Hermite, fonde l'application de la méthode géométrique ci-dessus, à la démonstration du théorème de Landen et de quelques-uns de ceux qu'Abel avait trouvés pour la transformation, l'addition des intégrales elliptiques ou aàé/iennes^
Qu'il me suS\3e de faire remarquer, en terminant, que, au lieu de re* courir à la considération du triangle ÂCr pour obtenir l'expression radicale^ de S„ on aurait pu faire usage du triangle rectangle même ABC, déterminé par l'ordonnée AB ou sinus de l'arc AP = s^ considérée comme sécante indéfinie du cercle (r), en rattachant, au besoin, Texpression algébrique des segments de tangente A^, X'c aux sécantes communes à ce cercle et à (C). Cela suggère aussi naturellement l'idée d'étendre cette considération au c^s des sections coniques quelconques, et même aux courbes géométriques planes en général, en essayant d'exprimer les éléments du polygone inscrit à Tune et circonscrit à l'autre, par les relations, les théorèmes connus qui les lient à l'ensemble ou faisceau de lignes ayant les mêmes intersections communes.
Ces théorèmes, ces relations géométriques d'une simplicité et d'une élégance remarquables, se rattachent, comme on sait, à la théorie algébrique des constantes numérique^ arbitraires, par lesquelles multipliant les équations de deux courbes ou surfaces de même degré et les ajoutant par ordre, on obtient l'équation d'une nouvelle courbe ou surface de ce degré, représentant le faisceau de toutes celles qui renferment les intersections communes au système des deux premières. Ce serait bien à tort d'ailleurs, q,ue l'on confondrait cette méthode avec le procédé purement algébrique des multiplicateurs indéterminés, employé par Qezout, Lagrange et d'autres anciens géomètres, pour opérer l'élimination entre des équations de degrés quelconques; élimination dont les résultats constituent en réalité, le but primitif et principal de ce qu'on nomme aujourd'hui, mal à propos ci je ne me trompe, la théorie algébrique des déterminants,.
La doctrine ties midttplicateurs arbitraires oti des fahcetiux de courbes et de surfaces dont j*ai parlé en terminant le précédent article, cette doctrine, car c'en est une véritable, a son point de départ , je crois , dans une heureuse inspiration de M. Ch. Dupin, l'un des plus fervents disciples de Monge, qui, dans un Mémoire daté d^Aivers 1804, l'applique à la recherche de l'équation unique d'une infinité de surfaces du second degré passant par les intersections communes au système de deux surfaces particulières de ce degré ( XIII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique^ p. 81). L'auteur, il est vrai, n'a point indiqué l'étendue ou la portée do principe, mieux saisie par un autre illustre disciple de Monge, M. G. Lamé, qui, sorti fraîchement de l'École polytechnique, en a fait des applications multiples et élégantes à la recherche de V expression analytique de la communauté d'intersection des lieux géométriques, dans un ouvrage publié en 1818 [Examen des différentes métïwdes, etc.)i et rédigé dans ua style dogmatique , qui malheureusement , ne laisse pas assez apercevoii l'origine géométrique de la méthode et sa différence essentielle avec les procédés ordinaires de l'élimination.
Cet écrit original, dont M. Lamé avait publié, dès décembre 1817, u» extrait dans les Annales Mathématiques de Montpellier, a été rois à profit sans citations, en 1826 et les années suivantes, d'abord par le rédacteur même de ce Recueil, puis par ses habiles collaborateurs.
Qu'on lise attentivement le petit Jivre de M. Lamé, si oublié en apparence dans ces Annales comme aussi dans tous les Traités sur la matière où domine la science algébrique dont l'auteur a fait depuis un si bel usage,, on y reconnaîtra la trace patente des idées qui ont servi postérieurement de base à l'emploi de l'analyse pour la démonstration des théories nouvelles de la géométrie pure. Mais, ce qui paraîtra bien difficile à expliquer, c'est qu'il se soit écoulé près de dix ans (1817 à i8ti6 ou 18^27) avant que MM. Gergonne, Bobillier, Sturm, Plucker, etc., aient songé à faire cette application en apparence si naturelle, si simple et que, sans aucun doute, M. Lamé n'eût point négligée, dans ce long intervalle, s'il avait été mieux accueilli, plus encouragé dans son goût inné pour les spéculations d'une science depuis si singulièrement appréciée, combattue même par lui, dans ses savantes leçons de ^869, sur les coordonnées curvilignes (*).
(*) Je suis peu surpris de la préférence ou prééminence que Tauteur de cet ouvrage accorde (p. i4 et i5) à l'analyse algébrique sur la géométrie pure; mais je ne saurais admettre sans protester, qu'il dépouille cette dernière science {vojr, p. iSa, 176, etc.} de toute iuitiatÎTe, en dehors de son domaine propre» dans la découverte de certains principes, dans Temploi même de certaines déGnitions ou notions fondamentales de la dynamique des mouvements absolus ou relatifs, notamment dans l'introduction en mécanique pratique, des notionb de travail résultant ou composant^ à* accélération totale ou résultante, d'accès (ération tangentielle et normale ou centrifuge ; notions qui ont i:épandu tant de
D'une part, il fallait que la considération de Vinjini, des imagimdresy du pnncif)€ de continuité, envisagés géométriquement dans les théories de \2i projection centrale et de Vàoniologie des figures, de la communauté d'intersections des systèmes de lignes et de surfaces du second degré, confocales ou non ; dans la théorie des polygones mobiles suivant certaines
jour, de simp1ieit<^, sur les théories et les applications de la science aux machines et à la cinématique, sur la notion usuelle même des forces vives et d'inertie. Toutes ces dénominations qu'on ne s'attendrait guère d'ailleurs à reocontrer dans un livre consacré aux coordonnées curvilignes, ne peuvent être considérées, ce me semble, comme étrangères aux utiles et saines doctrines de la géométrie rationnelle, pas plus que no Ta été la découverte par Kepler, Galilée, etc., des lois constitutives du mouvement et des forces naturelles; découverte dont on est aujourd'hui trop enclin à faire bon marché. Mais je m'arrête ici* car il conviendrait peu d'entrer, avec l'auteur, dans des détails et des explicitions qui m'éloigneratent du but que j'ai cherché à atteindre dans ces Notes.
Que les doctrines géométriques relatives à la continuiié, à la théorie des projections centrales, à celles des polaires réciproques, des moyennes harmoniques, etc., inspirent peu d'intérêt aux admirateurs passionnés des méthodes algébriques, cela se conçoit de reste; mais qu'en faisant un éloge mérité de la transformation par rayons vecteurs réciproques, M. Lamé qui l'emploie en lui attribuant (p. 248) dans les applications, beaucoup plus de portée et de puissance qu'elle n'en comporte réellement, semblé ignorer l'origine tout k fait géométrique, de cette très-ancienne méthode anamorphique, réalisée pour le plan par le miroir en cône des cabinets de physique, voilà ce qui n^ se conçoit guère. En elTet, l'intime liaison de cette méthode avec les admirables propriétés de la /»roportion harmonique {medirias harmonica du divin Platon, oorame le dit Pappus), on avec la théorie des pôles et polaires réciproques, considérée spécialement pour le cercle et la sphère, mais qu'au point de vue géométrique, il est facile d'étendre au cas général des courbes et des surfaces du second degré (Traité des Propriét,éi projectiles), cette liaison si remarquable, disons-nous, est parfaite- 9idt>t manifiaste. De plus, elle explique à priori les belles propriétés analytiques pu géométriques de la transformation par rayons vecteurs réciproques, d'abord signalée par MM. Stubbs et William Thomson, puis étendue et notablement développée dans aes conséquences, par M. Liouville {Journal de Mathématiques, \. X, XI et XII, 1845 à 1847), qui, en donnant à cette même transformation le i^om qu'elle porte actuellement, en a fait aussi l'objet de très-remarquables i;éflexions ou applications.
Ces applications, dont on a depuis considérablement étendu encore le cercle, <jtëmontrent toute la fécondité de la méthode, qui par son heureuse simplicité même, offre les. avantages inhérent*i, en général, aux meilleurs procédés de transformation (et non, comme cela s'est dit quelquefois improprement, prin^ cipes de déformation ). La recherche, la découverte de ces procédés, dans l'anal^yse algébrique comme dans la géométrie pure, no doivent pas être atlribnées au simple hasard, puisqu'ils supposent une prévision intuitive et ua choix motivé parmi la multitude des transformations arbitraires qu'il est possible de faire subir en général, aux relation^, aux formes algébriques ou géométriques.
iois^ inscrits et circonscrits à d'autres polygones, à des coniques^ à des courbes g^métriques d'ordre quelconque ; dans celle des /jolaines réciproques et du principe de réciprocité géométrique qui en découlei abusivement déguisé sous le nom ambitieux de dualité; dans celle encore des centres de moyennes luirmonique.\\ etc.; il fallait, dis-je, que ces divers points de doctrine fussent, au préalable, établis, rigoureusement démontrés comme ils l'ont été par moi, à partir de 1817, dans des Mémoires insérés aux Jnnales de Mathématiques déjà citées, ou présentés, en i8m> et i8a4» à rAcadémie des Sciences de l'Institut de France, etc.
D'autre part, il fallait encore que ces mêmes doctrines, ces proposition» diverses fussent traduites et élucidées dans la langue familière aux difl^rents esprits, aux aptiludes diverses de ceux qui écrivent ou s'exercent sur la matière; en un mot il fallait qu'on se créât des méthodes d'exposition, de démonstration en quelque sorte personnelles, fondées sur de nouvelles notations, conventions ou dénominations, sur de nouveaux artifices même de calcul algébrique ou de langage géométrique, mais plus partieuli^èi^ment sur des systèmes de coordonnées linéaires, distinctes de celles de Bbscartes, et qu'on a vu apparaître successivement, à partir de 18^7, dans les Annales ci-dessus indiquées, dans le Journal de Creile ou dans de^ ouvrages postérieurs.^
A ce dernier point de vue, on doit partager en deux classes, souyei»! étrangères par le langage et dès lors rivales, hostiles l'une à l'autre, les sa-, vants qui s'y sont livrés avec le plus d'ardeur et de succès, soit en imagir nant de nouveaux principes généraux de démonstration» soit en ayant directement recours à de nouveaux modes de transforno^tion des iigures,. mais conduisant en définitive, il faut bien le remarquer, aux résultats^ déjà fournis par ceux que je viens d'énumérer.
Dans la première classe, qui se rattache plus spécialen>ent à la géométrie^, pure, se placent à un rang très-élevé, M. Chastes en France, M. Steiner en Allemagne; tous deux célèbres, à justes titres, non pas seulement par la multiplicité des théorèmes qu'ils ont découverts ou développés dans leurs conséquences diverses, mais aussi par la marche, en quelque sorte exclusivement géométrique, qu'ils ont suivie dans leurs ouvrages didactiques : l'un, en Allemagne (i832), dans un livre dédié à l'illustre Alexandre de Humboldt ( ^ ), et dont malheureusenient la V Partie seule a paru ; l'autre
(**) Détfelop/fenteni sj stémaiique de la dépendance des formes géométriques iouvrage écrit en allemand, où, en conservant religieusement les noms français 4ee théories et des méthodes nouvelles do la géométrie, on hésite, on craint de ae prononcer sur les droits respeclifs des vrais auteurs, injustement attribués à d'autres; ce qui explique, en partie, sans les justifier explicitement ni complètement, les graves reproches que M. Plucker a adressés, vers la même époque, à M. Steiner. (Kar> plus particulièremçiit le Jqiurnal de Creile^ 1. 1, p. 96 et iGi; \, m, p. Ifio,)
ign SOUVENIRS,
en France (1837), dans son aperçu historique, elc. (*), Rédigés en vue d'initier les élèves aux nouvelles doctrines, ces ouvrages, à mon sens, ne laissent pas assez apercevoir les sources originales où ont été puisés les principaux éléments des démonstrations, des points de théorie qui y entrent et offrent entre eux, il faut bien le dire, une concordance qu'explique, à^ la rigueur^ la similitude même du but.
Dans l'ouvrage allemand de i83a, en effet, M. Steiner fonde tout son enseignement sur la considération des systèmes simples ou doubles des faisceaux de droites quMl nomme ffiisceaax projeciifs, parce que le point de départ s'en trouve dans l'emploi du rapport composé entre les segments formés par chacun de ces faisceaux sur une transversale arbitraire, ou entre les sinus mêmes des angles formés autour du point de convergence des droites de chaque faisceau; ces rapports étant tous deux susceptibles d'être projetés perspectivement, sans subir aucune altération, sur un autre plan également arbitraire, et même sur une surface sphérique ayant pour centre le sommet commun des faisceaux; conformément au principe général établi à la p. 6, 11° 8 et suiv. du Traité des Propriétés
C^) Ce savant et volumineux ouvrage, sur VOrigine e<#b Développement des Méthodes en géométrie, imprimé sous format grand in -4°, de 85 1 pages, est extrait des Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Bruxelles, laquelle, après en avoir provoqué la production, lui a accordé ses encouragements. Devenu, en 1839, Tobjet d'un article de critique historique publié dans le Journal des Savants, par un autre érudit géomètre, ce grand ouvrage se compose de deux parties très-distinctes, dont Tune contient Thistoire de la Géométrie ancienne ou moderne, et l'autre un Mémoire fort étendu sur les Principes de dualité et d^homographie, dont je ne veux dire que peu de mots ici.
Je me contenterai de faire remarquer que l'ouvrage en général, est Tun des livres de géométrie qui m'a le plus coûté à lire, à cause des appréciations qu'il renferme et des fausses interprétations auxquelles il a pu donner lieu sur mes propres et très-antérieurs travaux, cités, il est vrai, autant de fois que ceux de Pascal et de Desargues, dans des passages que j'aurais désirés moins nombreux et plus exacts. Malheureusement quelques-unes de ces erreurs, que je ne pois relèvera propos de ce premier volume écrit en i8i3 et 181 4, se trouvent en partie reproduites dans le Traité de Géométrie supérieure de M, Chasles (i852), notamment dans la préface et le discours d'inauguration du Cours de la Sorboone, où, malgré de flatteurs éloges, on lit des appréciations aussi étranges que celle-ci : • I^ théorie des transversales est le principal fondement du grand Traité des Pron priétés projectives des figures, etc. ï»
Je ne saisis pas davantage pourquoi M. Chasles, confondant le principe de continuité, tel que je l'ai défini dans mon Mémoire de 1820 à TAcadémie des Sciences, tantôt avec la continuité infinitésimale de Leibnitz, tantôt avec la (X>rrélation des figures de Carnot, préfère y substituer ce qu'il nomme vaguement le Principe des relations contingentes des figures^ Il faut que M. Chasles ne m'ait pas bien compris, surtout quand on le voit renoncer complètement dans son dernier ouvrage, à tout principe ou méthode de transformation, et se borner à des
projectiles des figures y qui s'étend d'ailleurs à toutes les relations de la théorie des transversales et à une infinité d'autres.
Dans les ouvrages de M. Ghasles, on part des mêmes faisceaux, des mêmes rapports composés désignés sous le nom peu harmonieux, bien qu'aujourd'hui en faveur, de rapports anharmoniquesy quand ils diffèrent de l'unité abstraite. L'utilité de ces rapports pour démontrer élémentairement et sans recourir aux principes de projection, les propriétés projeclives des figures qui comprennent celles des faisceaux de coniques et de surfaces du second degré, est en elle-même incontestable, et avait déjà été entrevue par M. Brianchon, dans un Mémoire imprimé en 1 8 17, mais non entièrement terminé , au grand regret des amateurs de la belle et sévère géométrie des anciens.
Dans la seconde classe de mathématiciens dont je prétends parler, se placent, au premier rang, MM. Oergonne et Bobillier en France, MM. WSbins et Plucker en Allemagne, tous algébristes distingués, qui se sont particulièrement complus à appliquer le calcul à la démonstration et à la recherche des propriétés générales des figures de géométrie, mais dont je ne citerai les travaux datant de 1827, que pour faire observer : i** que M. Bobillier, esprit véritablement original et fécond, à qui l'on doit une
démonstrations synthétiques à posteriori, tout en empruntant au calcul barjcentrique du professeur allemand Mobius, et cela en vue de généraliser les énoncés et les résultats, une règle empirique toute conventionnelle des signes, dont je démontrerai dans le t. Il de cet ouvrage, sinon la fausseté absolue, du moina le désaccord flagrant avec les principes mômes de l'algèbre et de la continuité, tels que je les ai toujours entendus.
A l'égard des Principes de dualité et d'homographie, dont mon savant confrèro s'interdit Tusage dans son Traité de i85a, je crois devoir rappeler, dès à présent, que le premier est une douteuse émanation de la théorie des polaires réciproques appliqué, dans V Aperçu historique^ môme à des objets naturels ou d'arts étrangers à la pure géométrie, et que le second {Principe tle collinéation de Mohius, etc. ), n'est autre que Vhomologie (projection) des figures avec déplacement du centre et du plan d'homologie; ce qui n'ajoute rien d'essentiel à la corrélation linéaire (collinéation, etc«), ni aux propriétés de la transformation homologique, à cela près du déplacement relatif même des deux figures, plus ou moins analogue à celui de deux systèmes égaux ou semblables considérés dans des positions distinctes, et dont les propriétés communes soigneusement étudiées par M. Chaslcsy constituent Tun des plus solides titres de Tauteur À l'estime du monde savant. D'ailleurs, il est bon d'observer, à cette occasion, que, dans ses derniers écrits {Comptes rendus de l'Académie, t. LU, 1861}, M. Chasles semble confondre & tort, l'objet de cette généralisation avec ce que, précédemment, on a» par une eitension permise des idées de Carnot et d'Ampère^ nommé Cinématique; puisque la considération explicite et ici essentielle du temps, n'entre point dans les conceptions anciennes de ce géomètre, et constitue un élément dont l'absence rompt, sinon toute idée de continuité, du moins toute notion dynamique de mouvement : en un mot, c'est là une conception de pure géométrie.
riche mine de théorèmes et d*aperçus ingénieux sur lesquels je reviendrai dans un autre volume, a imaginé de représenter symboliquement les coniques circonscrites à un triangle et les surfaces du second degré circonscrites à un tétraèdre quelconque, par des équations composées de sommes de produits de fonctions linéaires multipliées respectivement par des constantes arbitraires; ix*" que cette méthode est en réalité distincte du système de notations dont M. M6bius se sert dans son Calcul barycentrique (1827), où elle est nommée ColUncations vcrwandscfiaft et appliquée aux relations de la théorie des transversales, etc.; 3"* enfin que M. Plucker a ajouté à cette méthode le système de représentation algébrique appelé depuis, tfilinéaire (*)» attendu quelle a lieu entre les expressions des perpendiculaires abaissées de chaque point d'une figure sur les côtés d'un triangle ou de trois droites fixes.
Or c'est surtout à l'aide de ce dernier système de coordonnées et d'équations rendues homogènes et symétriques par l'introduction d'une nouvelle variable, joint à la méthode des multiplicateurs arbitraires, telle qu'elle a été entendue et mise en usage par MM. Du pin et Lamé, que M. Plucker a pu traduire en langage algébrique et justifier en quelque sorte à posteriori, les doctrines du Tfxtfté des Propriéiês projectii*rsj notamment celle des polaires réciproques, dont des illustrations mathéma-
(*) L'ingénieux et féeond système de coordonnées imaginé par M. Plucker, comme celui de Robiliter, a été laidement et utilement mis à profit par ]es ("«ométres algébristes de notre époque : expoeé pour la première fois, dans le t. V (i83o) du Joarnai de Crettf, (p. i) il s'y trouve accompagné de réflexions préUminaires philosophiques, qui méritent d'autant plus d'être remarquéesi qu'elles portent sur Phisioire comparée des méthodes de Tanalyse algébrique et de le géométrie intuitive.
On y lit (p. 3) : •« La méthode analytique et celle de M. l^'oneelet reposent» i> au fond, sur des idées (lisez : méthodes de démonstration) entièrement dia-
• tinctes et s'accordent néanmoins, dans les résultais, à tel point que la première
• pourrait vraiment élre considérée comme une périphrase^ un plagiai de la ae> » conde, etc. »
J'apprécie, comme elle doit l'être, la franchise de cette tardive réflexion de la part d'un savant qui, par prosélytisme, avait consenti à laisser revêtir ses premiers travaux (18-17), ^® ^^ forme à double colonne, jadis admise par les partisans de la daaiitè ; ce à quoi un autre savant de la trempe de M» Sturm, n'a |>oint consenti, au risque de voir s**s belles études sur }eê polaires réciproques, eie.f Ironquées dans le Journal Mathématique, de Montpellier. Mais je dois ici faire «observer que M. Plucker exagère en employant les mois périphrase et plagiat i SI aurait pu dire^ avec plus de justesse, reproduction, translation d'une langue dans une autre, des mêmes idées géométriques. Or» traduire, démontrer^ cojmmenter même, ne donnent qu'un droit relatif d'auteur ou de possession, et à cet égard j'éprouve quelque peine, je l'avoue, à voir un écrivain aussi judicieux que le D** Salmon, trop souvent mal renseigné, oublier en faveur de l'analyse «Igébrique, les droits de priorité de la géométrie pure ou intuitive.
tiques incrédules, datant du siècle dernier, avaient dit plaisamment, dans Tune des séances de Tlnstitut (12 avril 1824), qu'elles constituaient une géométrie romantùjuCy à quatre dimensions : ces paroles prises à la lettre et dans leur mauvais sens, par quelques auditeurs qui aimaient mieux cri« tiquer, à priori, que d'examiner et de comprendre, ont pu contribuer à encourager d'autres personnes mieux avisées, à s'approprier le fond même de la doctrine en la traduisant dans un autre langage.
Je pourrais terminer ici cette Note historique et critique en apparence fort longue, bien qu*en réalité beaucoup trop courte pour ce qu'il y aurait à dire, mais ce serait laisser échapper l'à-propos de quelques réflexions qui intéressent au plus haut point la philosophie des sciences mathématiques.
En effet, si aux divers procédés algébriques de démonstration des modernes acquisitions géométriques dont il vient d'être parlé, on réunit ' les méthodes d'élimination abréviatives et symboliques, fournies par la théorie des déterminants^ grandetnent étendue et perfectionnée depuis le commencement de notre siècle, et qui constitue le moyen de démonstration et d'exposition spécialement employé par quelques savants étrangers, on. formera une troisième classe de mathématiciens dans laquelle nous rencontrons lesOtlo Hesse, les Sylvester, lesCayley, les Salmon, les Brioschi, etc., qui, trop peu soucieux de la simplicité rigoureuse et de la clarté des anciens, se sont exclusivement livrés aux inspirations abstraites de l'analyse algébrique, en laquelle ils témoignent une confiance qui rappelle un peu celle de feu Hoëné Wronski, le trop célèbre disciple de Kant, auteur connu d'un livre sur la Technie de VAlgorithmie, Grâce aux spirituelles critiques de feu Servois, ce livre est aujourd'hui dédaigné des mathématiciens rationnalistes ou positivistes, dont les doctrines sont assez répandues parmi les savants et les professeurs les plus distingués de nos Écoles; mais, malheureusement pour l'enseignement pratique, quelques-uns de ces derniers se livrent à des exercices de calcul ou de raisonnement épineux , parfois sophistiques , aussi étrangers au génie de la langue géométrique et analytique fondée par Descartes, Pascal, MongOj etc., que les doctrines algébrico-synthétiques anglaises ou allemandes ci-dessus, le sont elles-mêmes à la patrie des Newton et des Maclaurin ou à celle des Leibnitz, des Euler^ etc.
Cela prouve, une fois de plus, qu'ici encore comme on tant d'autres choses, il arrive presque toujours, par une pente naturelle aux meilleurs esprits, que a les extrêmes se touchent, et que le mieux est très-souvent l'ennemi du bien » : sages proverbes ou préceptes que je n'oserais me permettre de rappeler si j^avais à craindre de blesser lamour-propre des
honorables savants que j*ai précédemment mentionnés, parce qu'ils m'ont' pani un peu trop oublier que l'algèbre en elle-même, n*est qu'un admirable outil, subordonné comme le raisonnement géométrique, à Tinteiligence et au génie de celui qui prétend s'en servir.
Pour en revenir maintenant aux théorèmes relatifs à l'inscription et circonscription indéfinies des polygones aux cercles ou coniques sur un plan, qui font le principal objet de cette longue Note, je terminerai par une remarque sur l'insuffisance , au point de vue de la géométrie ancienne et rigoureuse, des démonstrations récentes qui ont été données de ces théorèmes et du porisme qui s'y rattache, par les admirateurs passionnés de la méthode des déterminants; démonstrations où le néologisme le plus étrange, les nébulosités de langage, la dissimulation des sources originales, et jusqu'à l'altération des énoncés géométriques, ont pris des proportionsqui répugnent à tous les esprits sérieux, même en Allemagne (*); pays où cependant la métaphysique et le néologisme ne sont point, à beaucoup près, aussi universellement repoussés qu'en France, grâce à la timidité et à la logique naturelles à notre langue, si pauvre, prétend-on, ^ parce qu'on oublie que les mots n'ont de valeur qu'autant qu'ils sont compris et adoptés par le grand nombre.
Que penser, en effet, de ces rapides et séduisantes démonstrations des théorèmes sur les polygones dont il vient d'être parlé, et qu'on rencontre dans quelques ouvrages anglais et italiens (**)y où l'on saute, comme à pieds joints, par-dessus les difficultés de la question, en admettant à priori, du moins implicitement, ce qu'il s'agirait de prouver analytiquement et logiquement; à savoir : que la courbe enveloppe du côté libre d'un polygone mobile, à la fois inscrit et circonscrit à deux coniques sur un plan, dont par exemple, V = o et U =o sont les équations, appartient véritablement au système ou faisceau des coniques, en nombre infini, qui contiennent les intersections des deux premières ; système représenté par
C^) Vcjr. la préface du consciencieux ouvrage du D' Richard Baltier, inli* tnlé : Théorie et applications des déterminants; traduit de rallcmand par M. Hoûel, «iocteur es sciences (Paris, 1861, chez Mollet-Bachelier).
{**) Cette remarque a trait particulièrement à celles de ces démonstrations dont le succès pourrait être exclusivement attribué, par des esprits inattentlfs» ù la méthode des déterminants, qui, par le fait, n'y entre que pour une très^peitte pMTt, comme on peut s^en ass.urer en lisant un article publié à la p. 4^' des IVouvelles Annales des Uathimatiques^ t. XVI (1867) et traduit des Annales à^ Tortolini (même année).
Le spirituel et très-érudit rédacteur des Nouvelles Annales, dont j'aurai k entretenir mes lecteurs plus au long dans le t. II de cet ouvrage, M. Terquem, dans une note des p. 3i et 3? du t. 1^^ do la nouvelle série (janvier 1861), me reproche, ainsi qu'a mon savant ami et confrère à TAcadémie des Sciences, M. Liouville, de repousser l'algorithme des déterminants. C'est là, du moins pour ma part, et sans doute aussi pour celle du célèbre rédacteur du Journal
réquation unique V — ^ U = o, d'après Tingénieuse idée de IMM. Dupin et Lamé. On se sert, en outre, des systèmes de coordonnées et d'expressions symboliques dérivés des notations de MM. Bobillier et Plucker, comme d'une patente et exclusive acquisition des théories de VAlf^èbre moderne, à en juger du moins par le singulier mutisme des textes que j'ai pu consulter, et où, en fin de compte, je n'aperçois qu'un emploi plus ou moins justifié de ce qu'on nomme un discriminant, résultat mnémonique de l'élimination entre les dérivées par rapport aux trois coordonnées variables de l'équation ci-dessus V — ^U — o, ramenée préalablement à la forme homogène et symétrique, lesquelles dérivées se rattachent à des théorèmes bien connus sur les pôles et polaires conjugues des systèmes de coniques.
Or celle manière de raisonner n'est pas seulement une erreur de fait et un déni de justice, comme je l'ai établi plus haut, elle constitue encore par elle-même, non la solution réelle et directe du problème à résoudre, mais une sorte de synthèse algébrique, une divination telle, qu'il n'est guère permis d'en admettre dans cette branche des mathématiques à laquelle dès lors on ne saurait appliquer le nom d'anafyse.
C'est, au surplus, ce dont les auteurs de semblables démonstrations pourraient s'apercevoir immédiatement s'ils recherchaient, par exemple, à priori, la nature de la courbe enveloppée par le côté libre, d'un triangle mobile qui, inscrit à une conique donnée, aurait ses premiers côtés tangents à deux autres coniques quelconques, également données sur le plan des proposées. Ils s'en apercevraient plus facilement et plus directement encore, en réfléchissant au peu de jour que, dans le cas trèssimple d'abord considéré, la théorie des déterminants jette sur la naiure des relations algébriques, qui lient, en général, les constantes ou para* mètres de la courbe cherchée à ceux des sections coniques données. C'est enfin ce dont on a pu se convaincre précédemment par les tentatives diverses de géomètres algébristes aussi distingués que MM. Jacobi et Cayley;
de Mathématiques pures et appliquées, un reproche peu mérité. Car, si je n'ap**. prouve pas complétemeot les applications qui ont été faites, dans ces dernières années, de cette havante théorie aux questions de la géométrie pure, je suis au contraire, très-admirateur des beaux théorèmes d'algèbre synthétique et combinatoire qui datent des travaux de Cramer, de Bezout, de Vandernionde, de Lagrange, etc., couronnés par ceux de MM. Jacobi, Hcrniite, Otto Hoskc, Hor. chardt, Sylvester, Cayley et autres géomètres algébribtes distingues. Longtemps avant l'apparition de ces derniers travaux, comme on le verra dans le second volume de cet ouvrage, je croyais, d'après mes laborieuses tentatives de i8i3 et de i8i4 «n Russie, et celles de beaucoup d'aulrcs, postérieures^ le calcul algébrique peu susceptible d'aborder directement et facilement les questions de géométrie générale , du genre de celles que je cherchais à faire prévaloir dès 1817, dans les anciennes Annales de Mathématiques, t. VII. Or je Tavoue, ii quel-* ques exceptions près, mes convictions sont restées les mêmes à cet égard.
tentatives dont j'ai assez entretenu le lecteur dans la présente Note, pour n'être plus obligé d'y revenir.
Sous ces divers rapports et plusieurs autres qu'il serait inutile d*énumérer ici, on regrettera que le docte professeur Salmon, si clair, si désireux d'être juste comme le prouve la dernière édition de son Traité des coniques (i855), à laquelle j'ai déjà accordé des éloges (note de la p. aia du texte), on regrettera, dis-je, que l'honorable M. Salraon, dans ses Leçons introductives à l^ Algèbre supérieure mmlerne (iSSg), ait attribué, au point de vue géométrique, une aussi grande importance à la partie moderne de cette Algèbre, précisément celle qui, dans ses méthodes d'investigation ou de démonstration, s'étaye sur le singulier, mais peu philosophique néologisme, dont j'ai déjà parlé et que je repousse quand bien même on le réduirait aux modestes proportions que l'auteur lui accorde dans ce nouvel ouvrage. Pour tout dire enfin, je ne saurais admettre, avec quelques auteurs anglais enthousiastes (*), que le système des coordonnées trilinéaires ou autres puisse remplacer, en tout et partout, les notations de l'admirable Géométrie de Descartes, fondée sur l'idée si simple, si puissante dans sa simplicité même, de la projection linéaire des points sur des droites fixes dans un plan ou dans l'espace, bien moins encore anéantir le fruit de deux siècles d'efforts persévérants, tentés par les plus grands génies mathématiques de la savante Europe.
(*) Voy. \e Traité élémentaire sur les coordonnées trilinéaires, la méthode des polaires réciproques et la théorie des projections; par le Rëv. Ferrera, de 11Jni~ verailé de Cambrige.
