ADDITIONS DIVERSES PAR MM. MANNHEIM ET MOUTARD

sur les polygones plans lnscrits et circonscrits aux courbes et remarques concernant le tracé des tangentes ;

Par m. Mannheim.

Un polygone dont la forme est susceptible de varier d'un mouvement continu, peut remplir des conditions très-diverses» Nous définirons géométriquement la loi de la déformation d'un tel polygone en supposant connues les différentes courbes que touchent ses côtés et les trajectoires de ses sommets. Nous supposons toutes ces courbes continues liées entre elles de telle façon, que Tune est nécessairement déterminée lorsqu'on connaît toutes les autres.

Nous admettons que pour un mouvement infiniment petit des côtés du polygone toutes les enveloppes se réduisent à des points et les trajectoires à des éléments rectilignes. Si l'un de ces points, ou si la direction de Tun de ces éléments est supposée inconnue, le problème ayant pour but la détermination de ce point ou de cet élément n'admet qu'une solu^ tion. On est alors certain à l'avance que cette solution n'exigera qu'une construction linéaire ou, si Ton veut, ne dépendra que d'une relation du premier degré.

Nous nous proposons tout d'abord d'établir cetti) relation. *

Pour y arriver, empruntons à Newton (*) la solution du problème suivant :

Recta [fig^'^i) PB circa datum polum P revolvens secet alias duas positione datas rectas AB et AE, in B et E : quaeritur proportio fluxionum rectarum illarum AB et AE.

Newton trouve

B/; BPxBA ^^' Ee?"^EPxEA'

Supposons les droites AE et AB tangentes en Ë et B à dos courbes (E), (B), et PB tangente en P à une courbe (P); Ef, B^ peuvent être consi-

(') Introduction au Tractatus de quadraturâ eurvarum (Opusculum 111» p. 206).

5oo SOUVENIRS,

dérés comme des arcs infiniment petits de (B) etde (B) déterminés par deux positions infiniment voisines de PB : ie problème de Newton

Fig. 21.

conduit donc à Texpression du rapport des arcs infiniment petits déterminés sur deux courbes données par une droite que Ton déplace infiniment peu.

La relation (i) s*obtient très-simplement. Considérons le triangle ABB (y^. 21 ) et la transversale P6; on a

d*où

Xbx?BxEe = kexE9x Bb,

Bb Wxkb^ Ee^EPxAe'

lorsque P^ se confond avec PB, kb et ke deviennent alors AB et A£, et Ton a la relation de Newton

B^^BPxBA E<?~EPxEA'

Considérons actuellement un polygone ÂA' A' A"* (fig, 2a) dont les sommets parcourent les courbes (A), (A'), (A'), (A**), et dont les c6tés enveloppent les courbes (C), (C), (C), (C); menons par tous les sommets les tangentes à (A), (A'), (A"), (A'*), et désignons par ds^ ds\ d^, dy", les arcs infiniment petits déterminés sur ces courbes par les côtés du polygone donné, après une déformation infiniment petite de cette figure. En appliquant la relation (i), on a

ds AC X AB r/y~A'CxA'B'

ds' AX'xA'B' d^r A-CxA-B" ds' ~ k'C X A'B' ' /iv" ~ k^C X A*B*'

ds" k^C X k'"B"' ds - AC^'xAB'' '

NOTES ET ADDITIONS, multipliant membre k membre toutes ces égalités^ il vient

5oi

. . /ACxA^CxA''C'xA"C"'\ / AB x A^B^ x k'B" x A'B'^X ^^' V AC" X A^'Ç X A "C X A'C / ^ V AB'" x A'B' x A'B' x AB/ "~ * '

Telle est la relation cherchée.

On peut remarquer que les tangentes aux trajectoires (A), (A'), (A"),... des sommets du polygone donné forment un deuxième polygone.

Ces deux polygones donnent lieu au théorème suivant, qui est la traduction de la relation (a):

I" Thborèmb général. — Le produit des segments non consécutifs AB, A'B',. . . , divisé par le produit des autres segments BA^, B'A*,. . . , est Vinverse du rapport analogue pris dans Foutre poijrgoae.

On doit avoir soin de parcourir dans le même sens les périmètres des deux polygones pour déterminer Tordre de tous ces segments.

Les points de contact des côtés des deux polygones avec leurs enveloppes respectives peuvent se trouver sur les côtés mêmes ou sur leurs prolongements. Les nombres qui indiquent combien il y a de ces points appartenant à Tune ou à l'autre de ces catégories sont de même parité pour le polygone donné et pour le polygone circonscrit.

On peut donner à la relation (i) une forme très-simple. Élevons (fig. 21 ) aux points £ et B les perpendiculaires EC, BDaux droites AE, AB; ces^

5oa SOUVKNIRS,

lignes coupent en C et D la perpendiculaire PC, élevée en P perpendiculairement à PB. On a

Bb BPxBA BPxsin.AEB BP cos.PEC

Ee^ EPxEA EPxsin.EBA cos.PBD'^ EP

d où