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Et' "" EC

Opérant avec cette relation, comme nous l'avons fait avec la relation (i), on trouve ( ^g. aa )

[b) AN X A'N' X A"N'' x A'"N'" == AM x A'M' x A^M'x A"'M'".

On peut, d'après cela, énoncer le théorème suivant :

IP Théorème général. — Le produit des normales AN, A'N', A*N', A'"N'" iimUées aux normales CN, C'N', CN", C^N'" rencontrées ^tccessivcment en parcourant le périmètre du polygone donné dans un sens, est égal au produit analogue des normales AM, A"' M'", A" M", A'M', obtenues en parcourant le périmètre du polygone donné en sens inverse.

Au moyen de la relation (^), on arrive très-facilement à la construction de la normale à la courbe décrite par le sommet libre d'un polygone que Ton déforme d'un mouvement continu; on est ramené, pour résoudre ce problème, à chercher une droite, issue du sommet libre, telle, que les segments, comptes sur cette ligne à partir de ce point et limités à deux droites connues, soient dans un rapport déterminé. Une construction inverse permet de' déterminer le point où l'un des côtés du polygone touche son enveloppe. Enfin, si Ton remarque que la construction linéaire, qui sert à déterminer la normale à la courbe décrite par un sommet libre, nous donne cette normale comme le côté d'un certain polygone qui lui-même se déforme pendant le mouvement continu de la figure donnée, on peut chercher, toujours par des constructions linéaires, le point où cette normale touche son enveloppe, c'est-à-dire le centre de courbure de la courbe décrite par le sommet libre du premier polygone. Ce que nous venons de (lire doit suffire pour faire comprendre les nombreuses applications que Ton peut faire des relations (2) et [b).

Reprenons la relation [a) dont les conséquences font l'objet principal de cette Note. Elle se compose de deux parties que nous avons séparées par des parenthèses ; examinons d'abord ce qui résulte de l'hypothèse

ABx.VB'xA"B"xA'"B^ AB*" X A'B'' X A"B' x A'B ~ ' '

Cette circonstance se présente évidemment, si l'on suppose que lej»

NOTES ET ADDITIONS. 5o3

sommets du polygone variable parcourent des droites convergentes en un point quelconque.

Considérons un polygone remplissant ces conditions; soient A, A', A", A'", A** [Jig, 23), les sommets; C, C, C, C", les pôles respectifs de quatre de ses côtés, c'est-à-dire les points autour desquels tournent ces côtés; proposons-nous de construire le point où le côté AA", demeuré libre, touche son enveloppe.

Désignons par C'' le point cherché. La relation [a) réduite en ayant égard à notre hypothèse devient

AC X k'C X AX" X A"C^ X A"C^" AC* X A'X"' X A^'C X A"C X A'C '

que Ton peut écrire :

A^CxA^'C^xA^X'^