AD

Remplaçant dans cette relation la quantité entre parenthèses par .„^ ,

D' désignant le point de rencontre de DC' avec AA'^, on aura une nouvelle relation dont on pourra encore grouper les termes, comme nous venons de le faire. On arrive ainsi à la relation qui sert à déterminer le point C".

5o4 SOUVENIRS,

La diagonale AA.' touche son enveloppe au point D; ce point de codtact (levant loujourâ être sur la droite IX', il suit de là que l'enveloppe de cette diagonale se réduit au point D. Ainsi D est fixe, il en est de même de D' et de C".

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si t'iux /es sommets d'un polygone, mobile xiir un plan, sont assujettis il parcourir autant tic droites Jixcs concourant en un seid et même point ; que, de pbis, tous ses côtés, à rexeeptlon dan seul, se meuvent eortsiammeti autour de points fixes, le côté libre et les diverses diagnntdes du polygone pimleront également sur d'autres points Jîxes i^).

Le point de c^nverçence des droites ).iarcourues par les sommets du polygone variable est absolument quelconque, il peut être sur le plan de ce polygone ou en dehors; il n'en résulte pas moins que le cdlé demeuré libre pivote toujours autour d'un même point fixe. Nous mettrons bientôt à profil cette circonstance très-remarquable.

Continuons è nous occuper de la relation (a) réduite à la première parenthèse. La deuxième parenthèse est encore égale à l'unité, en vertu du théorème de Carnot, lorsque tous les sommets du polygone donné parcourent une même section conique.

Dans ce cas, en distinguant les polygones d'un nombre pair ou impair de cêtés, et tenant compte de la remarque faite k la suite do notre premier théorème général, on arrive aux deux énoncés suivants:

Lorsiifiio polygone d'un nombre pair de côtés est inscrit l'i une conique, rt que tous ses côtés, moins un, pivotent autour de pmnts fixes, le côté demeuré libre touche son enveloppe au point autour duquel pipoterait ce dernier dite, si 1rs sommets du polygone parcouraient des droites convergentes en un point quelconque.

Lorsqu'un polygone d'un nombre impair de côtés est inscrit à une ennique, cl que tous SCS ratés, moins un, pimlcnl autour de points fixes, le côte demeure libre touche son em-eloppe mi point conjugué harmoir rappn'i il ses extrémités, du point autour duquel il pivoterait imels lia polygone parcouraient des droites convergentes en un ^leonqtie.

irons encore un polygone inscrit è une conique, mais suppoilus que tous ses cêt^, moins un, soient tangents à une autre On peut dire que, pour un mouvement infiniment petit, tous tangents a cette conique tournent autour de leurs points de ;t appliquer alors ce qui précède pour la détermination du point ié libre louche son enveloppe. Nous allons faire voir que dans arrive à une construction extrêmement simple. t'A' A" [fig. -xi) un quadrilatère inscrit à une conique, dont troie

NOTES ET ADDITIONS. 5o5

côtés sont tangents à une autre conique ; on demande le point C où le quatrième côté touche son enveloppe.

D'après ce qui précède, on a, pour déterminer le point C*^ la relation

AC X A'C X A'C X A'^C" = AC" x A'^C x A^C x A'C.

Menons, du point A", la tangente A'^P à la conique inscrite aux trois côtés du quadrilatère, et prolongeons cette tangente jusqu'au point Q

Fig. 04.

où elle rencontre le côté AA'; nous formons ainsi le quadrilatère circonscrit QA'A''A''' : en appliquant le théorème de Camot, on a

QC X A'C X A'C* X A"'? = OP X A'^C x A'C x A'C ;

divisant membre à membre ces deux égalités, il vient

AC X A'^C AC\ OCxA"P ~ QP'

d'où Ton voit que les points C, C, P sont en ligne droite.

Ainsi il suffît de mener la tangente A'^P et de joindre son point de contact au point G, cette droite coupe le côté AA'^ au point cherché.

Cette construction est vraie quel que soit le nombre des côtés du polygone. Pour le triangle A' A" A*", par exemple, le point S, où A' A*" touche son enveloppe^ est sur CC"; ce point est aussi sur C'P : les droites ce et C'P se coupent donc sur A'A'".

Dans le quadrilatère circonscrit QA'A'A'", les droites CC" et CT sont tes lignes qui joignent les points de contact des côtés opposés et A' A" es.t

5o6 SOUVENIRS,

une diagonale. Ce qui est vrai pour une diagonale est vrai pour Tautre; on retrouve donc ainsi ce théorème :

Lorsqu'un quadriUuère est circonscrit à une conique^ les ligrtes qui joignent les points de contact des côtés opposes et les diagonales se coupent en un même point.

Nous allons montrer comment la construction du point où Â'Â'" touche son enveloppe conduit à la connaissance de cette enveloppe. Il est facile de voir que cette courbe est une conique; je dis de plus que cette conique est une circonférence, si les deux courbes données sont ellesmêmes des circonférences.

En effet, les droites Â'A'" et AÂ" enveloppent une. même courbe et touchent cette courbe aux points S et R obtenus en menant la droite CC". Dans les deux triangles ÂCR, A'^'CS les angles en A et A"' sont égaux, ainsi que les angles en G et G"; donc il en est de même des angles en R et S. Nous voyons donc que les tangentes TR et TS à la courbe enveloppe sont également inclinées sur la corde de contact RS. Ce que nous trouvons ici est vrai pour une infmité de positions de RS; cette droite peut du reste avoir une direction quelconque, la courbe enveloppe est donc une circonférence.

Cette circonférence passe toujours par les points d'intersection des deux circonférences données, car cela a évidemment lieu lorsque ces deux points sont réels.

Nous retrouvons ainsi le théorème suivant :

Un angle étant à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, si on vient à le faire mouvoir en P assujettissant toujours aux mêmes conditions, la corde, qui le sous-terul dans le premier de ces cercles, en enveloppera un troisième passant par les points d'intersection de ceux-là, nu ayant mêmes sécantes, soit réelles, soit idéales, communes avec eux ( * ).

Nous n'avons étudié encore que le cas où Ton suppose la deuxième parenthèse de la relation (a) égale à l'unité; on peut faire une hypothèse analogue sur la première.

En opérant ainsi, on trouve directement des constructions et des théorèmes qui ne sont autres que le résultat de la transformation par la théorie des polaires réciproques de toutes les constructions ou théorèmes trouvés jusqu'à présent.

" Parmi tous ces résultats, nous n'en énoncerons qu'un seul.

Considérons un polygone A A' A" A"' [Jig. a5) circonscrit à une conique, et supposons que tous ses sommets moins un soient sur une autre conique. Le sommet demeuré libre décrit une courbe dont la tangente s'obtient très-simplement de la manière suivante :

On prolonge le côté A" A'" jusqu'en E, où il rencontre la conique par-

(* ) Vojr. p. 3*i() du Traité da Propriétés projeclivcs des Jaurès, et p. 3i/| et 339 fin présent ouvrage.

courue par les sommets du polygone donné; en ce point, on mène une tangente à cette conique; cette droite coupe la tangente AP en un point P qui appartient à la tangente cherchée.

Dans le cas particulier où le polygone est à la fois inscrit et circonscrit, la tangente, au sommet supposé libre, se confond avec la tangerile

à la conique sur laquelle il se trouve. Ceci revient à dire que si un polygone est à la fois inscrit et circonscrit à deux coniques, il ne cessera pas de jouir de la même propriété après un mouvement infiniment petit. Ce premier mouvement effectué , on peut donner au polygone un autre mouvement infiniment petit , et ainsi de suite ; on formera ainsi une infinité de polygones ne cessant pas de jouir de la propriété d'être à la fois inscrits et circonscrits aux deux coniques données. Nous retrouvons ainsi ce beau théorème :

Quand un polygone quelconque est à la fois inscrit à une section conique et circonscrit à une autre, il en existe une infinité de semblables qui jouissent de la même propriété à t égard des deux courbes ( * ) .

Nous pouvons démontrer ce théorème sans chercher une construction de la tangente à la courbe décrite par le sommet supposé libre. En effet, la relation (f/), dans les conditions actuelles, se vérifie d'elle-même en vertu du théorème de Carnot; donc si un sommet est supposé libre, il décrira un élément de la courbe sur laquelle il se trouve. La démonstration s'achève comme précédemment.

Nous ne développerons pas davantage ici les conséquences de la relation (/i), qui conduit aussi très-simplement à des propriétés des polygonesinscrits à des courbes du troisième ordre et du quatrième ordre.

(*) yoj • p. 36i du Traité des Propriétés projectivns des JigureSt et p. 365 du présent ouvrage.

5o8 SOUVENffiS,

Construction des tangentes à la courbe d^ombre de la surface

de la vis à filets triangulaires.

La construction extrêmement simple de la tangente en un point de la projection de la courbe d'ombre de la surface de vis à filets triangulaires n'a été obtenue, comme on Ta vu à la page 454^ que par une suite de transformations de la construction résultant de l'application pure et simple de la méthode de Roberval. Des considérations élémentaires vont nous permettre d'arriver directement à cette même construction.

Un point lié à des éléments variables d'une figure décrit une courbe dont on demande la tangente ; il est bien évident que le résultat restera le même, si, modifiant convenablement les données, on assujettit le point à décrire, à partir do Tune quelconque de ses positions , non plus cette courbe, mais une courbe qui est tangente à celle-ci. Lorsque les modifications introduites dans les données font tracer au point décrivant une simple droite , cette ligne est la tangente cherchée.

Appliquons cette remarque. Substituons (fig, 7, p. 4^4) à la circonférence donnée la tangente BQ'; supposons la droite PX tangente en P à une section conique ayant pour foyer le point G et pour tangente la droite BQ' : le point X décrit alors une droite, en vertu d'un théorème connu des sections coniques [Propriétés projectives des figures, p. 267), et il suffit de construire cette droite. Pour cela , du point D comme centre, avec la corde 6G pour rayon, on décrit un arc de cercle qui détermine le point E; la ligne qui joint le point Ë au centre G coupe la tangente BQ' au point Q', et Q'X est la tangente demandée.

Au lieu de construire Tangle DGE égal à l'angle GGB, comme cela résulte immédiatement du théorème des sections coniques, on peut construire l'angle Q'GB égal au complément de (jGB, et pour cela il suffît de porter B'Q égal à D^; on retrouve ainsi la construction très-simple à laquelle M. Poncelet est arrivé.