RAPPROCHEMENTS DIVERS BNTRB LES PRINCIPALES MÉTHODES DE LA GÉOMÉTRIE
PURE ET CELLES DE l' ANALYSE ALGÉBRIQUE;
Par m. Moutard.
/. — Réflexions préliminaires sur les principes de projection centrale,
La découverte des principes de projection centrale marque incontestablement une époque importante dans Thistoire de la géométrie moderne. Les méthodes fondées sur ces principes, et dont les Applications d'Analyse et de Géométrie renferment une première ébauche, possèdent un caractère à la fois intuitif et systématique^ qui les rend également propres à découvrir de nouvelles propriétés des figures, et à rattacher tout un ensemble de propositions à une même vérité générale. Par là, elles n*ont pas seulement agrandi et simplifié la science de l'étendue, mais en donnant l'impulsion à Tétude des procédés généraux de transformation des figures, elles ont pour ainsi dire doté la géométrie d*une puissance nouvelle.
L'influence de la perspective sur le développement des autres méthodes de transformation n'a pas toujours été indirecte; les principes de Vliomologie tels qu'ils sont établis dans le Traité des Propriétés projectiles des figures, sont les principes mêmes de la perspective dégagés de considérations de géométrie dans l'espace, et devenus par là même susceptibles de s'appliquer indifféremment aux figures à deux et à trois dimensions; et certaines méthodes en apparence plus générales, dans lesquelles la transformation homologique semble d'abord rentrer comme cas particulier, reviennent au fond à l'application répétée de cette dernière, combinée avec un déplacement arbitraire de la figure transformée.
La Théorie des polaires réciproques s'est, de son côté, développée parallèlement à la théorie des propriétés projectiles, dans les mêmes écrits et sous l'impulsion des mêmes idées. Enfin l'une et l'autre, en éclairant le rôle géométrique de l'infini et des imaginaires, ont mis en pleine lumière le principe de continuité, et permis de débarrasser les méthodes plus complexes, telles que la transformation par rayons vecteurs réciproques, des restrictions auxquelles elles paraissent d'abord sujettes, lorsqu'on les fonde sur de pures constructions géométriques.
Mais là ne s'est point bornée l'efficacité des principes de projection centrale, et les notes qui vont suivre ont pour objet de faire ressortir les progrès que leur doivent l'analyse des coordonnées, et même certaines
5io SOUVENIRS,
branches de l'analyse pure. D'une part, en effet, la géométrie analytique, profitant surtout de la conception en vertu de laquelle tous les points (run plan situés à Vinfini peuvent être considérés comme en ligne droite, est parvenue, sous Tinfluence de ces principes, à rendre ses formules plus symétriques et plus générales, et par un perfectionnement graduel à créer un nouveau système de coordonnées, éminemment propre à Tétudc des propriétés projectives des figures. D'autre part, toute transformation géométrique , consistant à déduire , par une construction uniforme de chaque point d'une figure donnée, un point d'une figure nouvelle^ correspond nécessairement à une transformation analytique, par laquelle on substitue aux variables qui représentent les coordonnées du premier point, certaines fonctions de variables nouvelles. On comprend, d'après cela , combien des recherches de pure géométrie peuvent faciliter l'étude des questions d'analyse qui se rattachent à l'emploi de certaines substitutions. Cette remarque acquiert surtout de l'importance, lorsque les deux transformations qui se correspondent ont déjà manifesté leur utilité, chacune dans son domaine propre. Tel est précisément le cas qui se présente pour la perspective et la transformation correspondante par substitutions linéaires, laquelle, introduite dans Tétude des fonctions par Lagrange, est devenue aujourd'hui d'un si grand usage dans l'algèbre, le calcul intégral et la théorie des nombres.
L'idée que Ton vient d'indiquer a été formulée d'une manière très-précise par Jacobi, dans un Mémoire publié en iS^^,' Journal de Crelle, t. Vin. Dans ce travail, qui a pour objet la réduction d'une certaine intégrale double, l'illustre géomètre arrive à faire dépendre la question, de la réduction d'une intégrale simple, à savoir :
à la forme
V'L — M cos^ >î - N sin' ïj
Après avoir traité le problème par des considérations de pure analyse, il en indique dans les termes suivants l'identité avec l'une des questions de projection centrale résolues par M.Poncelet : « Exstat problema geome- » tricum, quod, analyticè tractatum, cum illo ità convcnit, ut, nullâ » omninô mutatione factâ, eadem analysis, eœdem formulas utrumque » absolvant, iidem incognitarum valores prodeant. Quod problema à perw spectivâ pclitum, hoc est : Datis in eodcm piano duabus scctinnibus co- » niris, determinare situm oculi (ccntri projectionis) et tnbulœ [pla/ii in » quofi pmjicitur), ut sectioncs cnnicœ projectœ fiant concentricœ atqur » insuper altéra circulus. » Puis il ajoute, parlant d'un autre problème :
NOTES ET ADDITIONS. Su
u Simili modo, alteri problemati de transformando integrali proposito in
/» ^^ — ■» respondet problema geometricum hoc : Datis v/IT— Mco&i
« in eodem piano diiabus sectionibiis conicis, determinare situni oculi et
» tabulœ^ ut utraque projecta fiât circulas. Quorum problematum solu-
» tionem geometricam apud Cl. Poncelet, virum mirificè in quaestionibus
« georaetricis versa tum, videre licet. »
Après avoir justifié rapidement ces remarques, Jacobi ajoute les réflexions suivantes :
a Neque consensus ille quaestionis geomelricae et analyticae tam sin- » gularis videri debetur. Nam cùm certis quibusdam configurationibus » certœ expressiones analyticae respondeant, ubi per projectionem sive » aliud quod libet instrumentum geometricum configurationem datam ad )' simpliciorem vel magis regularem revocas, simul expressiones analy ticas, » quibus configura tio continetur, per substitutiones idoneas, quœ instru- » menti geometrici locum tenent, in simpliciores transformatas babere de- » bes. E quâ observatione haud rarô ab démentis geometricis ad gra- » viores quœstiones analyticas traasitum petere licet. Ità universas de » projectione centrali quaestiones, quales Cl. Poncelet.in opère laudato » instituit, adhibere poteris ad transforma tionem fonctionum duarum va- » riabilium. »
Bien que les réflexions qui précèdent, conduisent aussi bien,à chercher dans la géométrie la solution de certaines questions d'analyse, qu'à déduire de transformations faites dans un but analytique la solution de problèmes de géométrie, Jacobi n'a, en général, suivi explicitement que la dernière voie. En conséquence, il ne sera peut-être pas sans intérêt de reprendre; pour ainsi dire en sens inverse, l'interprétation analytique de la transformation par voie de projection conique, et de quelques-unes des principales propositions qui s'y rattachent. Néanmoins, comme c«tte interprétation devient en général plus simple, à l'aide d'une conception auxiliaire dérivée elle-même de la perspective, nous nous bornerons à rattacher directement à la projection centrale l'un des problèmes énoncés ci-dessus, celui dont Jacobi s'est contenté d'indiquer la solution sans la développer, en réservant une autre question analogue pour les applications analytiques de la méthode des coordonnées symétriques,
