X-'- (2K J) /2 (aKJ - K'- 1' )X 4-KM - KF r. o

ont les mômes racines, et par suite

2K--J ^ A-f-A- A", aKJ - K^- P= A'A''-B^4-A''A~ B''- (AA'-B"=);

on tire de là

P= - [(A'-.K)(A''-f-K)4-(A''-hK)(A-K) - (A-K)(A'- K)-B'- B'^-f-B"'].

En désignant par L et M, les deux racines autres que K de l'équation (2), on peut encore mettre les valeurs de I et J sous la forme

Nous nous bornerons à indiquer succinctement comment les résultats précédents permettent de réduire l'intégrale

J v'Acos^

(}> -h A' sin' (p + A" -h 2 B sin cp 4- a B' cos 'f -h 2 B* sin y cos <}» à la forme

Jv/P-hysin>3

par un substitution telle que

m 4- n tang - *î I ^ 2

tang-<y =

/>-h(/tang->î

Concevons que l'on choisisse pour a, b, c, «', b\ c\ «", b\ c", les valeurs calculées comme il a été dit ci-dessus; il sera, comme il est aisé de voir, possible de trouver pour toute valeur de ç une valeur de 10 telle, que l'on ait à la fois

/7C0SiQ-h/'sinri4-r . r/co8y}-l-^'sin»3-h<' .

^ ~ a" cos»ï -j- b" sin *î -Kc" ' ^ ~ a" cos n-\-b"s\nri-^ c" '

ces deux relations équivalent à une relation unique entre tang - 9 et

lang-r,, de la forme

m -h fi tang - /<

^ + ^ytang-/j

où l'on peut, par exemple, prendre

On vérifie, sans difficulté, que par cette substitution l'intégrale proposée se transforme en

\/K4-JH-2l6in>î ou bien, remplaçant I et J par leurs valeurs, en

Jsll

v/aK— L — M-f-2v^(K — Lj^K — iU).sin»î

En rapprochant ce résultat de la discussion relative à la nature réelle ou imaginaire des coefficients a, 6, ... , on arrive à cette conclusion.

La réduction proposée n'est jamais possible en quantités réelles, lorsque Texpression

A cos' ç -f- A' sin* ç 4- A" -h 2 B sin <j» -h a B' cos <p -h 2 B" sin <j> cos <]p

s'annule pour quatre valeurs distinctes de 7, comprises entre o et 27r. Elle est possible d'une seule manière distincte, lorsque l'expression ne s'annule que pour deux valeurs réelles de 7; Téquation (2) n'a alors qu'une seule racine réelle, et c'est elle qui donne la valeur de K. Enfin, lorsque l'expression ne s'annule pour aucune valeur réelle de 7, la réduction est possible pour deux substitutions distinctes ; l'équation (2) a dans ce cas ses trois racines réelles; mais l'une d'elles seulement rend (A — K)(A' — K) — B"^ négatif; et c'est elle qui fournit la valeur deK.

On peut remarquer que les deux coefficients 2K — L — M et

v/(K— L)(K — M) de l'intégrale réduite ne sont pas altérés lorsque l'on

remplace A par A — >, A' par A' — >., et A" par A* — )., ce qui ne change

pas

Aços'<p -h A'sin'<p -h A"+ 2Bsin? 4- 2B'cosy -h 2B"sin<pco8(ï>.

En effet, un pareil chan<;ement revient simplement à augmenter de \ toutes les racines de l'équation (2), et n'inQue par conséquent pas sur les valeurs des fonctions ci-dessus de ces racines. Les coefficients de la substitution ne subissent non plus aucune modification dans leurs valeurs; ce qui résulte d'ailleurs à priori, de ce fait évident que toute substitution satisfaisant aux conditions énoncées au commencement de cet article transforme nécessairement

(A-;).i=H-(A'-^)j'-4-A''4-À + 2Bj-h2B'x4-2B".r>en

ly. — Sur les coordonnées symétriques.

Les formules qui servent à trouver l'équation générale, en coordonnées de Descartes, des projections centrales d'une courbe donnée, sont susceptibles d'interprétations directes, entièrement indépendantes des considérations à l'aide desquelles on les a d'abord établies. On est ainsi conduit à les regarder comme exprimant en langage algébrique la définition d'un mode de transformation, que l'analogie permet d'étendre immédiatement aux figures à trois dimensions. Concevons en effet que x^ /, z, étant les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, on détermine, par une construction d'ailleurs susceptible d'énoncés géométriques divers, un nouveau point (x', x'i 2') ïïé au premier par les relations

ax'-^hy-\-cz'-\-d a'x'-\-b'y-\-c'z'-{-d'

a".z:'-\-ù"r+c''z'-hd"

mt

a"'x'-Jt-b"'y-^-c"'z'-^d

la figure formée par les points (x\ y\ z') pourra être considérée comme la transformée de la figure formée par les points (j:, j, z).

Bornée au cas des figures planes, l'étude directe d'un pareil mode de transformation ne saurait évidemment fournir aucune proposition qu'il ne soit possible d'établir d'une manière plus intuitive, par les principes de la projection centrale , et l'auteur de la T/iéorie des Propriétés projectives a montré lui-même, en créant la notion de Yhomologie^ qu'une analyse purement géométrique des méthodes de perspective suffit pour en dégager les résultats généraux, sous une forme qui n'exige plus que les constructions et les raisonnements de la géométrie plane. Mais les principes de l'homologie s'étendent à l'espace aussi bien que les formules [voir le Supplément du Traité des Propriétés projectives) ^ et bien que la transformation que celles-ci servent à déûnir, paraisse dans l'espace plus générale que la transformation homologique, elle lui est au fond réductible; il suffit pour cela de combiner la transformation homologique avec une opération spéciale, que l'on peut regarder comme l'un de ses cas particuliers, et qui consiste simplement à déduire d'une figure donnée, çapportée à un certain système de plans coordonnés, une figure nouvelle, où les coordonnées de chaque point ont, par rapport à un nouveau système de plans coordonnés formant un angle trièdre différent du premier, les mêmes valeurs que les coordonnées anciennes du point correspondant.

Quel que soit d'ailleurs l'intérêt qui s'attache, sous un point de vue philosophique, aux formes géométriques diverses que peut revêtir la méthode de transformation analytiquement définie ci-dessus, il est juste d'en rapporter les résultats essentiels à l'idée mère de la projection cen-

traie, donl elles sont historiquement et logiquement dérivées. Sous cet aspect, il parait permis de rattacher à la même origine, la conception de géométrie analytique, aujourd'hui bien répandue, qui constitue la méthode des coordonnées symétriques. C'est Tobjet que nous nous proposons ici de développer.

La forme sous laquelle nous avons jusqu'ici considéré la substitution correspondante à la transformation d'une figure par voie de projection centrale, devient plus symétrique lorsque, pour désigner les deux coordonnées de chaque point de la figure ou de sa projection, on emploie deux rapports ayant même dénominateur, M que l'on remplace, par

jc y jc y

exemple, x par - ï j par-? x' par — ? y par*^- Pai* l'introduction de ces

nouvelles lettres, les premiers membres des équations d'une courbe et de sa projection se présentent comme des fonctions homogènes à trois variables, F(a:, jr, 3), /(x',y, z'); et la substitution propre à transformer la première en la seconde, peut alors s'écrire sous une forme identique à celle que Ton emploie le plus communément dans l'algèbre et la théorie des nombres :

x = ax''^b/-\-cz\ y = a'x'-i-by-\-c'z\ z = a'^'-^b"/ -{-c''z'.

On conçoit aisément que dans ces notations les expressions algébriques qui répondent à des propriétés projectives, acquerront, en général, plus d'élégance et de symétrie; les travaux de Jacobi, de Plucker, d'Otto Hesse, sur la géométrie analytique, en offrent de beaux exemples; c'est ainsi encore que si. Ton désigne par /(.r, j, z) = 0 l'équation rendue

homogène d'une courbe d'ordre m , par p j -p > les coordonnées d'un point

de son plan, l'équation de la polaire d'ordre p du point par rapport à la courbe peut s'écrire sous l'une des deux formes symboliques

Mais il convient de remarquer que la symétrie obtenue de cette manière est plutôt apparente que réelle, plutôt algébrique que géométrique, car toutes les variables ne jouent pas le même rôle dans l'interprétation concrète, à moins toutefois qu'on ne la regarde t^omrae ayant pour objet de substituer l'étude des cônes à celle des courbes. Mais ce dernier point de vue ne s'étend pas aux figures à trois dimensions, et c'est à proprement parler dans la conception qui permet d'attribuer des significations géométriques similaires à toutes les variables d'une équation homogène à trois ou quatre lettres, que consiste le principe de la méthode des coordonnées symétriques. Cette conception dérive, d'une manière fort simple, de l'étude des formules de transformation par voie de projection centrale.

Considérons, en effet, la substitution

ax'-\-by-hc a'x'-hb'r'-hc'

^~ a'x'-}- by -h c" ' '^ ~ a" x' ■+- by -f- r" '

et imaginons que l'on trace dans le plan du tableau les trois droites (Â), (A'), (A"), qui ont respectivement pour équations :

(A) ax'-\-by^c = o, (A') a'x'-\-b'y-^c' = o,

On sait que les premiers membres de ces équations sont les expressions des distances du point (x\ y) aux trois droites correspondantes, à des facteurs constants près; de là résulte que, Téquation d'une courbe en coordonnées de Descartes étant donnée, il suffît, pour obtenir celle de l'une quelconque de ses projections centrales, de rendre d*abord Téquation homogène par Tintroduction d'une nouvelle variable z, et de considérer ensuite les trois lettres x, j, z comme désignant, à des facteurs constants près, les distances d'un point de la projection à trois droites arbitraires fixes situées dans son plan.

On est ainsi conduit à dé6nir en général la position d'un point dans un plan, en se donnant les produits respectifs des distances de ce point à trois droites arbitraires Gxes, par trois nombres arbitraires fixes. Nous nommerons les trois droites fixes, nxes de référence, les trois multiplicateurs fixes, paramètres de référence y et les trois produits coordonnées symétriques du point. Dans ce système de coordonnées, tout lieu géométrique peut être représenté par une relation homogène entre les trois coordonnées de chaque point ; et pour passer d'une courbe donnée à l'une quelconque de ses projections centrales, on peut à volonté eCTectuer une substitution linéaire dans l'équation symétrique de la courbe, en regardant le résultat comme relatif au même système de référence, ou bien conserver l'équation proposée elle-même, en changeant simplement le système de référence. Ce dernier point de vue, qui permet de confondre dans une représentation unique, tout le groupe des courbes qui peuvent se déduire les unes des autres, par voie de projection centrale, fait ressortir la profonde analogie du problème algébrique de la réduction d'une fonction homogène, avec la méthode si efficacement employée dans cet ouvrage, pour ramener l'étude des propriétés d'une figure à celle d'une figure plus simple.

A côté de l'origine logique, attribuée dans ce qui précède à la méthode des coordonnées symétriques, on peut en signaler une autre dans certaines notations abrégées que Bobillier a le premier employées d'une manière systématique ; mais il n'en est pas moins vrai que ce nouveau mode de représentation analytique des figures n'a le plus généralement un

avantage marqué sur Tanalyse de Descartes, que dans les questions relatives aux propriétés projectives, et qui n'impliquent aucune détermination métrique spéciale du système d(î référence. Ce n'est en effet qu'à la condition de laisser dans une complète indétermination, et la position des axes et les valeurs des paramètres de référence, qu'il sera permis do regarder Téquation d'une courbe, et tous les résultats qui s'y rapportent, comme s'appliquant sans modification à l'une quelconque de ses projections centrales.

Nous nous bornerons à exposer succinctement, parmi les formules relatives au calcul des coordonnées symétriques, celles dont l'emploi paraît le plus avantageux dans l'analyse des transversales.

La question fondamentale dans ce genre de recherches est la suivante : Étant données les coordonnées symétriques de deux points M„ (x^, Xti «1) et M,, (j:,, /„ r,), calculer les coordonnées (j™, r, z) du point M, situé sur la droite M, M, de manière que l'on ait