MM

MM, " p'

En supposant d'abord, pour fixer les idées, les points M, et M, dans l'intérieur du triangle de référence, et le point M entre les points M, et Mj, on trouve aisément pour x, y^ z les expressions

fxx^-hU^ jx^llt^ fxz,4-Xz^

La discussion de ces formules conduit par des considérations analo-^ gués à celles qui se présentent au début de l'analyse de Descartes, à préciser la notion des coordonnées symétriques en les affectant d'un signe, et à nommer, en général, coordonnées symétriques d'un point, les distances de ce point aux trois axes de référence, multipliées respectivement par trois nombres arbitraires fixes, et précédées du signe -h ou du signe —, suivant que le point est situé par rapport à l'axe correspondant, du même côté que le point de concours des deux autres axes ou d'un côté différent. On peut d'ailleurs remarquer que l'on arrive directement à la môme définition du signe, en partant, comme nous l'avons fait ci-dessus, de l'interpréta tion des formules de projection centrale.

En supposant, en second lieu, le point M non situé entre M, et M„ on trouve de même aisément les expressions

p — A fi — A p — A

qui se déduisent des préccdenles par le changement du signe de -•

Réciproquement, lorsque les coordonnées de trois points sont liées entre

53o SOUVENIRS,

elles i)ar les relations --r — = — :— ^ — , où u et ). sont

des nombres quelconques positifs ou négatifs, on voit par ce qui précède que le point M (jt, >% z) est situé sur la droite qui joint le point M, (.r,, j',, sj au point M, (.r,, y^, z^), que le rapport des distances Mi, et

MM, est égal à la valeur absolue du rapport -^ et enfin que le point M est

entre les points M, et M, ou sur le prolongement de M. M,, suivant que > et fx

ont le même signe ou des sia:nes différents. L'élimination de - entre ces deux

é(|uations donne celle de la droite M, M, sous la forme symétrique

Les formules qui précèdent permettent d'interpréter géométriquement plusieurs des éléments analytiques que Ton rencontre dans Tétude des fonctions homogènes. Concevons que dans une pareille fonction /(j:, j, z) on substitue à x, r, '2 les quantités p-r, + Xj:,, f*^',-!-^^,, fA3,H-Xz„ et que Ton développe le résultat par rapport aux puissances de X et de ^, les divers coefficients de cette expression représenteront certaines grandeurs géométriques faciles à définir, dépendant de la position relative des points (x„ j,, z,), (j:,, j,, z,), et de la courbe dont Téquation est /(jT, j, z) = 0. En combinant les divers coeflicients, on retrouve ainsi, par une discussion fort simple, le théorème de Carnot, les propriétés des polaires des divers ordres, et la plupart des résultats généraux de l'analyse des transversales. Mais ce n'est point ici le lieu de développer les conséquences de cette interprétation; rappelons toutefois, i^que l'équation •^;5^-f~.^;7""l"2-~=o représente Vaxc des moyennes harmoniques (Poncelet) du point (Ç, >ï, Ç) par rapporta la courbe/{x, /, z) =0, et que l'axe harmonique d'un point situé sur la courbe se confond avec la tangente en ce point; a** que l'expression ax-^-by-^-cz représente, à un facteur constant près, la distance du point (.r, y^ z) à la droite qui a pour équation ax-^by-k-cz = o.

Transformation des coordonnées, — Soient ax 4- by -}- rz = o, n'x -f- b*y -\- c'z — o, (fx -\- b'y -|- ^"2 = o,

les équations de trois droites qui ne concourent pas en un même point, ce qui exige que ab'c'-'ac'b'''^bc'a' — ba'c''-\-ca'b'' — cbW ne soit pas nul. Il résulte de ce qui précède que l'équation

f{ax + by -\- cz, n'x -h bW -h c'a, «"x H- b'y-{- c^z) = o

représente dans le système donné de référence la même courbe que celle qui serait représentée par/(x, >% z) = o, dans un nouveau système où

l'oD choisirait pour axes les trois droites, et pour paramètres les trois facr teurs Quménques par lesquels les trois expressions ox-f-^/^-cz doi- V nt être multipliées, pour fournir les distances respectives du point (x, /, js) à ces droites.

Cette remarque contient la solution du problème de la transformation des coordonnées symétriques, lequel consiste, étant donnée Téguation d'une courbe dans un certain système de référence, à découvrir la substitution propre à fournir l'équation de la même courbe dans un nouveau système. Nous déQnirons ce nouveau système en nous donnant les coordonnées des sommets o, o', o' du triangle formé par les nouveaux axes. Quant aux paramètres, nous les choisirons dans le courant du calcul, de manière à apporter la plus grande simplification possible dans les résultats.

Soient donc (Ç, >3, Ç), (!', r,\ ?;'), (g", yj", i;"), les coodonnées des trois points o, o', o"; les équations dos trois droites o'o", r/o, r^o' seront respectivement :

Les premiers membres de ces équations représentent, à des facteurs numériques près, les distances du point .r, /, z aux droites correspondantes ; si donc on prend pour paramètres de référence ces trois facteurs, et que Ton désigne les coordonnées nouvelles par X , Y, Z, on aura

d'où Ton déduit, en posant ^ = iWV-lVyr^rX,T-r,l%''^^l'ri«^XWl%

Aj.-i,X-hVY4->j"Z, Az ^J:X-f-^'Y-|->;''Z.

En résumé donc, si /(-^ïJ, 2) = o est l'équation d'une courbe dans un certain système de référence , l'équation de la même courbe par rapport à un nouveau système , où les points de concours des axes ont respectivement pour coordonnées (5, >î, Ç), (S', >3', Ç'), (Ç", jq", Ç"), pourra, en choisissant convenablement les paramètres, se mettre sous la forme

/(ÇX-j-Ç'Y-f-rZ, uX-hVY-f->3'Z, ^X + Ç'Y-^îI^Zj-o.

Du triangle polaire conjugué à deux coniques. — On a vu dans le y*' cahier (p. 270 et suiv.) que, lorsque deux coniques sont situées dans le même plan, il existe en général dans ce plan, un triangle unique dont

53a SOUVENIRS,

chaque sommet a pour polaire commune, par rapport à chacune des- coniques, le côté opposé. Ce théorème ne cesse d'avoir lieu que lorsque les deux coniques sont simplement tangentes; lorsque les coniques sont doublement tangentes, le triangle polaire conjugué com))orte une certaine indétermination.

Lorsque l'on prend pour axes de référence les côtés du triangle polaire conjugué à deux coniques, les équations de celles-ci se présentent sous une forme particulièrement simple, et qui facilite notablement la solution de divers problèmes relatifs à leur système.

Soit, en effet, /(-c,/, z)=,o l'équation d*une conique; les polaires des

points (^ = o, z = o ), (z = o,x = o), (.r = o, ^ = o) ont respectivement

pour équations

^/ df df

(Le ' dr ' dz '

pour que ces trois droites se confondent respectivement avec les trois axes, il faut nécessairement que l'on ait

D'où il résulte que les équations des deux coniques données pourront

s'écrire

ax^'\-b:y^-i-cz^=o, a'x^'hby'hc'z'^= o,

ou enGn, en choisissant convenablement les paramètres de référence, que rien d'ailleurs n'empêche de supposer imaginaires,

x^ -\-r^ -f- z' = o et ax^-{- by^ -\- c^ = o.

Lorsque les deux coniques données sont doublement tangentes, deux des coefdcients a, b^ c de la dernière équation sont égaux entre eux. Nous nous bornerons à indiquer sans démonstration une remarque dont nous aurons besoin plus loin, à savoir que la polaire réciproque de la première conique par rapport à la seconde a pour équation -

^. — Réduction simultanée de deux fonctions homogènes du second degn*

à des sommes de carrés.

Le problème de la réduction simultanée de deux formes quadratiques é'énonce de la manière suivante : Étant données deux fonctions homogènes du second degré à m variables^ déterminer les coefficients d^iuic substitution linéaire homogène propre à transformer simultanément les deux fonctions f cJmcune dcms la somme des carrés des nouvelles variables multipliés respectivement par des coefficients constants.

Pour préciser la question, nous ajouterons la condition que dans l'uno des deux transformées, les coefficients deviennent égaux à l'unité.

Lorsque les fonctions proposées ne renferment que trois variables, le problème se rattache géométriquement à la détermination du triangle polaire conjugué à deux coniques, expliquée dans le Y* Cahier; lorsqu'elles renferment quatre variables, il se rattache de même à la détermination du tétraèdre conjugué à deux surfaces du second ordre, expliquée dans le Traité (les Propriétés projectives, La solution à laquelle on est conduit, dans l'un ou l'autre cas, par les considérations de géométrie fondées sur les théorèmes de M. Poncelet , peut d'ailleurs âtre aisément dégagée de ces considérations, et Ton reconnaît alors qu'elle s'applique à un nombre quelconque de variables.

Soient

F, :- A,a:* + A', j'-hA'; 3'-+-2B,/2 4-aB', ir-haB^^/,

deux fonctions homogènes du second degré ; proposons-nous de calculer les coefficients d'une substitution

x = ÇX-+-5'Y-+-5''Z, ^ = r,XH-iî'Y-4->î*Z,

( z=ÇX-hCY-hÇ''Z,

assujettie à la condition de transformer simultanément F en X' + Y' -f-Z', et F, enrtX»-h^Y^+cZ\

Il suffit de rapprocher la question ainsi posée, de ce qui a été dit cidessus, relativement à la transformation des coordonnées et au triangle po* lairc conjugué à deux coniques, pour reconnaître que les trois groupes de coefficients (ï, m, Ç ),(?', ïj', Ç'), (Ç", yj", Ç") sont respectivement proportionnels aux coordonnées des trois points qui ont la même polaire par rapport aux deux courbes F = o, F, = o. Le problème se trouve donc ramené à la détermination de ces points. Or j^ si l'on désigne par x, j, z les coordonnées de l'un quelconque d'entre eux, elles satisfont aux relations

^F d¥, dF d¥, d¥ d¥, dx ' dx *' djr ' dy " dz ' dz ^

posant chacun de ces trois rapports égal à X , on obtient les équations

/ (AX-AJx-j-(B''À-B:)j-h(B'>-B',)z==o,

et l'élimination de x, j, z donne, pour déterminer À, l'équation du troisième degré

A)^-A, B'X-B'; B'X-B', Bn-B^ A'X-A', Ba-B.