R— R':R'::CC':OC

par où Ton voit que la distance OC est constante.

Pareillement, si Ton joint les extrémités de deux rayons parallèles et dirigés en sens contraire CR et CR, par une droite RR. , cette droite passe toujours par un autre point 0' situé entre les deux centres sur la droite CC ; car les deux triangles semblables CRO' et C'R.O' donnent la proportion

R : R' :: CO' : CO', d où R h- R' : R :: CC : CO'.

Cette dernière proportion montre encore que la distance CO' est constante, et qu'ainsi le point 0' est fixe.

Corollaire. — On conclut de là tjue, quand il est possible de mener une tangente extérieure TT', commune à deux cercles (C) et (C), cette tangente passe nécessairement par le point O. En effet, les rayons CT et CT', étant alors perpendiculaires à une même droite ÏT', sont parallèles entre eux. Pareillement,

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. i

s'il est possible de mener une tangente intérieure //' commune aux deux cercles, elle passera nécessairement par le point 0', car les rayons C/et C/t', rorrespondanisaux deux points de ronlacl / et /', sont parallèles entre eux comme perpendiculaires à une même droite //', et dirigés en sens contraire. Par suite, les deux points 0 et 0' sont les points de concours respectifs des tangentes extérieures ou intérieures communes aux cercles (C) et (C), quand ces tangentes sont possibles.

Scolie. — On doit remarquer que les points 0 et 0' existent quelle que soit la position relative des deux cercles (C), (C), et que ces points seront toujours donnés par la construction indiquée ci-dessus (*).

LbMHE GfiNÉRAL.

Deux triangles ABC et abc à côtés respectivement parallèles sont tels, que si ton joint deux à deux les sommets homologues \ et a^ B et b, C et c par des lignes droites, ces droites se coupent toutes trois en un même point.

Fig. a.

Fig. 3.

En effet, les deux triangles ABC et abc, ayant leurs côtos homologues parallèles, sont semblables, et Ton a la proportion

\B:ab::BC:bc::\C: ac.

Mais la droite BC étant parallèle à bc, on a aussi

hO : bO :: BC: bc :: \B:ab,

{*) A Texemple d'Euler et de Monge, on aurait pu, dans ce Cahier, iippeler les points fixes 0 et 0' centres de sinnUtude des deux cercles, déDomination indépendante des conditions de réalité des tangentes corn-

d'où, par la théorie des proportions,

BO qz 60 : BO :: ABqiafc : AB ou B6 : BO :: AB qiafc : AB.

De plus, si l'on appelle 0' le point inconnu où la troisième droite Aa rencontre Bft, on aura également

BO':bO'::AB:ab,

et, par conséquent,

BO'ipfcO' : BO' :: ABqpûfc : AB ou

Bb'.BO' :: ABz^ab'.AB.

En comparant cette dernière proportion avec celle déjà obtenue, on en conclut que BO' = BO, et qu'ainsi les trois droites en question passent par le même point 0. Il est inutile sans doute de faire observer que le signe supérieur est relatif à la Jig, a, et le signe inférieur à \^fig> 3.

Proposition IL

Étant donnés sur un plan trois cercles (C), (C) et (C"); soient menées à ces cercles ^ en les considérant deux à deux, les tangentes extérieures et intérieures qui leur sont communes , elles détermineront par leurs rencontres respectives^ les six points 0, 0, , 0', 0',, O*', 0' : ou bien, ce qui est plus général y soient déterminés pour chaque couple de cercles en particulier , les deux points oà se coupent les droites menées aux extrémités de deux rayions parallèles quelconques ^ dirigés dans le même sens ou en sens contraire; on obtiendra de la sorte six points, qui sont les mêmes que les précédents, lorsque les tangentes communes sont possibles.

Cela posé, les trois points 0, 0', 0" seront situés sur une

munes à ces cercles ; mais une telle généralisation, ici sans motifs o|;»ligés, inconnue aux anciens et à leurs sévères et logiques imitateurs Viète, Pascal, Fermât, etc., n'entrait nullement dans les idées et les intentions de Tauteur, attendu qu'elle cesse d'être exacte pour le cas des sections coniques et de toute figure qui peut être considérée comme la projection centrale ou perspective, plane, d'un système de cercles quelconque.

même ligne droite; pareille chose aura lieu pour le système des trois points O, 0'. et 0*;, pour celui des points 0', 0, etOT^, et enfin pour celui des points 0'\ 0, et 0\ .

Fig. 4.

Considérons d'abord le système des points 0, 0' el 0". Si l'on mène les trois rayons parallèles CR, C'R' et CR", et qu'on joigne leurs extrémités deux à deux par des lignes droites, la droite R'R'' passera par le point 0, la droite R" R par le point 0', et la droite RR' par le point 0'^. Soit menée de plus, par le centre C^ la droite CX parallèle à CC, et par le point R" la droite R^X parallèle à RR'; ces deux droites se rencontreront en un certain point X.

Cela posé, puisque les triangles CRO^elCR'^X ont leurs côtés respectivement parallèles, les trois droites CC", RR'' et (yx, qui joignent deux à deux les sommets homologues, concourent en un point 0'. Pareillement, les deux triangles C'R'O" et C^'R^'X ayant leurs côtés respectivement parallèles, les trois droites C'C^, R'R" et 0"X convergeront en un même point O. Donc 0 et 0' sont à la fois situés sur la droite 0"X ; donc les trois points 0, 0' et 0" sont sur une même ligne droite; comme il s'agissait de le démontrer.

On peut prouver tout aussi facilement que les points 0, 0\

6 !•' CAHIER. — LEMMfiS

ei O*. sont en ligne droite. En effet, les rayons CR, C R', et CR' ayant été menés parallèlement, et leurs extrémités respectives ayant été jointes par les droites R'.R",, R^R et RR',, qui déterminent les points 0, 0', et 0' , si l'on mène par R", une parallèle à RR',, elle coupera la droite xC'X, menée par le centre G" parallèlement à CC, en un point Xy et le triangle CV^x aura ses côtés respectivement parallèles à ceux des triangles C'R'.O'; etCRO'..

De là on conclut : i°, que les trois droites R'jR", , C'G" et 0'^ passent par un même point O, et 2*, que les trois autres droites RR",, ce et 0' Xy dont la dernière passe déjà par 0, se coupent toutes trois en un même point 0',; donc la droite iy\x renfermant à la fois le point 0 et le point 0',, les trois points 0, C/, et 0' sont situés sur une même ligne droite.

On prouverait, de la même manière, que les trois points 0', 0, et 0\ sont situés en ligne droite, aussi bien que les trois points 0*', O, et 0', .

Scolie. — La proposition précédente subsiste quelle que soit la position relative des cercles (C), (C) et (G").

On peut remarquer, de plus, que les côtés opposés des deux triangles GG'G" et 0, 0', 0", se coupant respectivement en trois points 0, O' et 0" situés en ligne droite, les trois droites GOi , G'O', et G"0' qui joignent leurs sommets opposés passent par un même point I.

Gette proposition pourrait être directement établie, mais, comme elle est étrangère au sujet qui nous occupe ici, je n'en donnerai pas la démonstration.

Proposition III.

Étant donnés deux cercles (G) «?/ (C) et les deux points O et 0', déterminés comme ci-dessus :

I® Si par le point 0 [fi g' 5) on mène deux sécantes quel-^ conques OR et OR', lesquelles rencontrent en huit points les deux circonférences, les quatre points intérieurs R, R', r,, r[ seront situés sur un même cercle , et il en sera ainsi des quatre points extérieurs R, , R', , r, r*.

2" Si par le point 0' [fig» 6) on mène également deux se-

contes 0' R ei 0^K\ coupant en huit points les cercles donnés^ les quatre points R, R', ri ^ t^^, dont deux sont intérieurs et deux extérieurs^ seront sur un même cercle. Il en est de même des quatre autres points IXi y R',, r, r'.

Considérons d'abord le premier cas. Puisque le point 0 est celui où passent toutes les droites menées aux extrémités de deux rayons parallèles et dirigés dans le même sens, les rayons CR, CR', CRi , CR', sont respectivement parallèles aux rayons C'r, CV, CVi et C'r,, et par conséquent les arcs RR', RR,, interceptés par les premiers rayons sur la circonférence (C),

Fig. 5.

sont d*un même nombre de degrés que les arcs rr^, m, interceptés sur la circonférence (C) par les rayons parallèles aux premiers.

De là on peut conclure que les deux triangles Or, r\ et ORR' sont semblables; car ils ont d'abord un angle commun en 0; dé plus, Tangle en R', qui a pour mesure la moitié de Tare RR'R',, est égal à Tangle en r,, qui a pour mesure la moitié de Tare rr^r\. Par suite, en comparant les côtés homologues, on aura la proportion

d'où Ton lire

OR':OR::Or, :0r\;

OR'xOr, =ORxOr..

Donc si par les trois points r,, r',, R' on faisait passer une circonférence de cercle, elle passerait nécessairement aussi par le ' quatrième R.

Si, au lieu des deux triangles ORR' et Or.r', , on avait considéré les deux triangles 0R|R', et Orr', on eût démontré, de la même manière, que ces triangles sont semblables; d'où Ton aurait èonclu que OR, x Or = OR', X Or', et par conséquent

que les quatre points Ri, R',, r, r' sont comme les premiers^ sur une même circonférence de cercle.

Considérons maintenant le second cas, où il s'agit du point

Fig. G.

0'. On démontrerait, comme tout à Theure, que les arcs RR', RR,, etc., sont respectivement d'un même nombre de degrés que les arcs rr\ rr^^ etc.; de là on conclurait encore que les triangles O'RR' et O'r.r',, opposés par le sommet 0', sont semblables et qu'ainsi on a la proportion

0'R:0'R'::0'r', rC/.,

d'où l'on tire

0'RxO'r. = 0'R'xO'r;.

On voit par là que les quatre points R, R', n, et /, sont tous sur une même circonférence de cercle, et l'on démontrerait la même chose et de la même manière à l'égard des quatre autres points Ri, R',, r, r'.

Corollaire L — On conclut de ce qui précède, que tout cercle qui touche les cercles (C) et (C) à la fois intérieurement, ou à la fois extérieurement, a ses deux points de contact situés sur une même droite passant par le point 0 [fig. 5) ; car si l'on imagine que les deux sécantes OR et OR' se confondent, il est clair que le cercle qui passait par les points R, R', r,, r\ touche les cercles (C) et (C) aux doubles points RR' et et r, r\ .

Pareille chose a lieu encore par rapport au second cercle qui passe par les quatre points R,, R',, r, r'.

Corollaire IL — De même [fig. 6), tout cercle qui touche les deux cercles (C) et (C'), l'un intérieurement et l'autre

extérieurement, a ses deux points de contact situés sur une droite unique passant par le point 0'.

Scolie /. — On peut remarquer [fig. 5) que les cordes RiR', et r^r\y RR' et rr^ sont respectivement parallèles, et que pareillement [Jig. 6), les cordes RR' et rr', R.R', et r/, sont aussi parallèles Tune à Tautre.

Scolie IL — On peut remarquer encore que les tangentes en R et r, R, et r, de la^îgr. 5, sont parallèles chacune à chacune, aussi bien que les tangentes menées respectivement aux points R et r, R, et r, de la^îg. 6.

Scolie III, — Quand il sera possible de mener des tangentes communes 0/T extérieures aux deux cercles (C) et (C) {Jig. 5), on aura, pour une même sécante OR,

ORxOr. = OTxO/, OR.x Or=OTxO/,

et, par suite,

ORxOr, = ORjXOr.

Pareillement [Jig. 6), quand il sera possible de mener deux tangentes communes /O'T, intérieures aux deux cercles (C) et(C'), on aura

0'RXOV, = 0'TXO'/, 0'R.XO'r=0'TxO'/,

et, par suite,

0'RxO'r. = 0'R,xO'r.

Proposition IV.

Soient (C) et (C) deux cercles auxquels il est possible de mener les tangentes communes extérieures OtT et Ot'T', et

Fig. 7.

les deux tangentes communes intérieures eO'^ et e'O'ô':

10 r CAHIER. - LEMMES

les parties \x et \!x' interceptées sur les tcuigentes intérieures par les tangentes extérieures, seront égales aux parties Tt et T't\ comprises entre les points de contact extérieurs. Pareil-lementj les parties \x' et \! x, interceptées sur les tangentes extérieures par les deux tangentes intérieures, seront aussi égales entre elles et aux parties 0G, e'ô' comprises entre les points de contact intérieurs.

En effet, on a évidemment