X:c = Xo + e^ = XH- T'x et

Xx = Xô -h ejc = X/ -h /'j:;

donc si l'on ajoute ces deux valeurs de Xa;, on aura

aXx = XT -h X / -h r jc -^ /'^ = 2T/,

donc aussi

Xa: = X'x'=:T/ = T'/':

premier point qu4I s*agissait de démontrer. On a évidemment aussi

\x'=Tt^J\ — tx' et T/ = X'^' = 0'G'-f-X'e'-f-^'O',

ou, puisque

X'0' = Xe = ÏX, ït = e'ô' -h ÏX -+- tx\

Substituant dans la première équation pour T/ sa valeur, on* aura enfm

X^' = 0'e'; et, par conséquent,

Corollaire, — On peut conclure de là que toutes les parties XT, X0, x' ty xy, etc., sont égales entre elles ; car, par exemple, on a

\Ôzi=X04-0G ol \lz=\x'^x't.

Donc, puisque eo = X^' et XO = X/, on a aussi

Proposition V.

Soient deux cercles quelconques (C) et (C) ; si par le point 0 déterminé comme ci-dessus, on tire une sécante 0/T, qui coupe {/ig* 8) ces cercles en quatre points, et qu'on mène aux deux points extérieurs deux tangentes Ta et ta, celles-ci se couperont en un point a, qui sera à égale distance des points T et t. Pareillement, si par les deux points intérieurs T' et /' on mène les tangentes T'a' et t'af se, coupant en a', les distances ol'V et a.' t' seront égales entre elles.

Si de même, par le second point O' (^g*. <^), on mène une autre sécante, et quon exécute les opérations correspondantes, les deux couples de tangentes menées par les points intérieursextérieurs se couperont en des points a et a! situés à égale distance des points de contact correspondants.

Fig. 8

En effet, il résulte du Coroll. I de la Proposition III, que Ton peut mener par les points T et / un cercle qui touche à la fois les deux cercles (C) et (C) ; donc les deux tangentes Ta et /a, qui appartiennent à ce cercle, sont égales entre elles. Pareille

1^ r Cahier. - lebimes

chose a lieu a l'égard des points intérieurs T' et /'; car on peut mener par ces deux points un cercle qui toucbe à la fois les cercles (C) et (C).

Fig. 9.

De même, si par le point 0' on mène une sécante quelconque O'T, qui coupe les deux cercles (C) et (C) en quatre points T, T', /, t\ il est clair (Coroll. II, Prop. III) que Ton peut mener par les deux points T et / un cercle tangent à la fois aux deux cercles (C) et (C), et qu'ainsi les deux Ungentes Ta et ta, qui appartiennent en même temps à ce cercle et aux cercles (C) et (C), seront égales. Pareille chose encore a lieu à l'égard des tangentes Va! ei t'a\

Scolie. — On peut remarquer (Jig. 8) que si Ton prolonge les quatre tangentes Ta et T'a', ta et Va', jusqu'à leurs rencontres respectives en p et p', la droite qui joint ces deux points passera par le point 0. En effet, il est visible que si l'on joint ces points respectivement aux centres C et C, les droites Cp et C'P' sont parallèles, et qu'ainsi les deux triangles CpT et C'p'/' ont leurs côtés homologues parallèles; d'où l'on peut conclure [Lemme général) que les trois droites pp', T/' et CC concourent en un même point 0.

On démontrerait pareillement que la droite pp' [Jig, 9) passe par le point 0'.

Proposition VI.

Le lieu de tous les points a, tels que les quatre tangentes aT^ 8tT', «/, at', menées par r un quelconque d'entre eux à deux

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTipUE. i3

cercles (C) ei (C), sont égales entre^elles, est une droite \M perpendiculaire à la ligne des centres CC, et qui est la corde corn-' mune à ces cercles quand ils se coupent [*),

En effet, si Ton joint le point a, considéré dans une de ses positions, aux centres C et C, par les droites Ca, C'a, il est clair qu'on aura

ci' == CT' 4- T^\ C^t' === ^ V c"/' et Ta=/a. ou, si l'on appelle le rayon CT, R, et le rayon C!t, r,

Ci'= R» -+- T^', C^'= r» -h ïi'.

Cela posé, si l'on abaisse du point a' sur CC^ la perpendiculaire aD, on aura évidemment dans le triangle CaC',

Ca = ce -h C'a — 2CC'XC'D.

Substituant pour Ca et C'a leurs valeurs dans cette dernière expression, il viendra

R'=r'H-CC' -2CC'xG'D.

(*) Cette proposition, en elle-même fort remarquable, a été rangée dans ces dernières années, gratuitement peut-être, au nombre des po^ rismes d'Euclidc, dont on tcouvera dans le second volume de cet écrit, quelques données traduites de divers ouvrages anciens et commentées, par l'auteur,' au milieu des loisirs que lui avait faits la paix do i8i5. Ici encore, en vue de généraliser, on aurait pu nommer la droite LM, a.ve rie simiiitiu/e des deux cercles, ûxc (Végales tan fientes y ou lu! appliquer

i4 I" GAfflER. - LEMMES

Toutes les longueurs qui entrent dans celle équation étant constantes, à Texception de CD qui est inconnue^on voit que cette ligne doit être aussi constante; ainsi, quel que soit le point a que Ton considère, ce point sera toujours situé sur ia perpendiculaire élevée au point D.

Il n'est pas difficile de voir que, quand les deux cercles se coupent, la perpendiculaire D a est la corde commune à ces cercles. Car, si par un de leurs points de rencontre on mène une tangente au cercle C et une tangente au cercle C, leur intersection se confondra avec le point commun de contact, ei par conséquent les distances «T et a/ seront égales en ce point, comme nulles toutes deux. Il en est de même pour le deuxième point d'intersection des cercles (C), (C); donc ces points appartiennent au lieu des points a.

Au reste, on peut le démontrer directement.

En effet, si Ton joint le point I d'intersection des deux cercles aux centres G et C par les droites CI et CI, et qu'on abaisse sur ce la perpendiculaire ID, qui sera la corde commune, on aura évidemment dans le triangle CIC

Cl =:CC' -H Cl — 2CCXCD

ou

R>=:r^-f-CC -îCCxCD.

telle autre dénomination, française, grecque ou latine, ayant ou non fait fortune plus lard. Mais, par les motifs déjà indiqués dans une précédente note, l'auteur, voulant dès lors admettre explicitement la loi, le principe de continuité, sauf à l'approfondir, le justifier ultérieurement, a dû s>.bstenir d'employer des épilhètes susceptibles de devenir complètement fausses ou illusoires pour les systèmes de sections coniques.

De géométrie synthétique. % is

Celle dernière équalion donnanl pour la dislance CD la même expression que celle oblenue précédemment pour un point quelconque a de tangenies égales, le lieu des points a passe par les points I et F, et se confond par suite, avec la corde commune aux deux cercles.

Corollaire, — Quand les cercles (C), (C) se coupent, la droite LM est très-facile à construire, puisqu'elle est leur corde commune; mais quand ils ne se coupent pas, la même construction n'est plus possible; cependant la droite LM existe toujours. Pour la construire, on se servira de la propriété générale dont elle jouit indépendamment de la position relative des deux cercles.

Fig. 12.

Pour cela, on élèvera aux deux points R et R', sur la ligne des centres ce, deux perpendiculaires RF et R'F', qui seront en même temps tangentes aux cercles respectifs (C) et(C');on prendra sur ces perpendiculaires des. distances égales RF et R'F', et des points C et C comme centres avec CF et C'F' pour rayons on décrira deux circonférences qui se couperont aux points L et M situés sur la droite cherchée; car, par exemple, il est évident que les tangentes LT et LT' partant du point L, sont respectivement égales aux tangentes R'F et RF', etpar conséquent égales entre elles.

Scolie /. — On peut regarder la droite LM comme la corde commune aux deux cercles C et C, même quand ils ne se coupent pas y car cette droite jouit , à V égard de ces cercles, des

i6 • I" CAHIER. - LËMMES

mêmes propriétés générales, soit que les deux cercles se cou^

pent ou qu'ils ne se coupent pas.

Scolie IL — D'après la Propos. V [Jig. 8 ei 9), les droites T/ et Vf passent dans toutes leurs positions par un même point 0; pareillement, les droites Tt' et T t passent aussi dans toutes leurs positions par un même point 0'. De tout cela on peut conclure la proposition suivante :

Proposition VIL

Soient (G) et (C) [fig* 8 et 9), deux cercles de position arbitraire; 0 et 0' les deux points déterminés comme ci-dessus ; OT une sécante quelconque menée par le point 0 et qui coupe les deux cercles (C) et (C) aux quatre points T, T', /, /'.• les tangentes menées aux cercles en ces points formeront par leurs intersections y le parallélogramme apa'p'. Cela posé , si Von fait tourner la sécante OT autour du point 0 [fig* 8), les deux points a et a parcourront dans leur mouvement, chacun en particulier, une même droite a a' ou LM perpendiculaire à CC, et qui pourra être considérée comme la corde commune à ces deux cercles, soit quils'se coupent ou ne se coupent pas.

Pareillement, si par le point 0' (Jig' 9) on mène une secante O'T qui coupe le système des deux cercles en quatre points T, T', t et t', et qu'on exécute à l'égard de ces points la même construction que précédemment, ce qui donnera un parallélogramme afa'p', les deux points a et ct^ parcourront encore cette unique droite LM quand on fera tourner la sécante O'T autour du point 0'.

Scolie I. — Ces deux propriétés fournissent le moyen de construire, dans tous les cas possibles, la droite LM au moyen des points 0 et O'.

Scolie II. — On se rappellera aussi (Scolies de la Proposition V) que les droites désignées par pp', dans les fig. 8 et 9, passent, dans toutes leurs positions, l'une par le point 0, l'autre par le point 0'.

Proposition VIU,

Soient trois cercles quelconques (C), (C) et (C), qui se cou-peut (Jlg. iZ)^ ou ne se coupent pas [fig* i4)> '^* ^rois cordes LM, L'M', h"W, communes à ces cercles considérés deux à deux, passent par un même point K (* ).

Fig. i3.

Considérons d'abord le cas oii les iroîs cercles se coupent, et faisons pour un moment abstraction du cercle ( C"), en conservant cependant la corde LM. Appelons K le point où cette corde rencontre la corde L"M", on aura évidemment [Jig^ ï3)

KMxKL = K]VrxKL'-

Si, par le même point K et par le point M'| on mène une sécante KM' dans le cercle (C), elle coupera ce cercle en un autre point que j'appelle L', et Ton aura évidemment, puisque les droites KM^ et KM' sont sécantes d'un même cercle (C),

donc