B'X-B*. BX-B, X'I-A

Soient À^, \ , a, les trois racines de cette équation; soient encore l,ri^t les valeurs de x, y, z correspondantes à la valeur \ ; Ç', >j', K' celles qui répondent à \ ; T, ^"^ V celles qui répondent à >,. Il importe de remarquer que de cette manière les valeurs de Ç, etc., ne sont pas encore entièrement déterminées; ce qui est connu en réalité ^ ce sont les rapports mutuels des trois inconnues d'un même groupe , et il sera permis par conséquent de joindre une quatrième équation de condition aux équations (2). Quoi qu'il en soit, en prenant ces quantités pour les coefficients de la substitution ( i), on sait à priori, par la géométrie, que les deux fonctions F et F, se transformeront chacune en une somme de carrés ; la vérification analytique n'offre point de difficulté; les théorèmes d'analyse sur lesquels elle repose , bien que correspondant à autant de théorèmes de géométrie qui peuvent en faciliter la découverte, s'étendent d'ailleurs aux cas d'un nombre quelconque de variables.

Cette vérification, qu'il nous paraît inutile de développer, donne pour la transformée de F

F(?, >,, Ç)X^-hF(Ç', V, ^')Y^-hF(r, „', Ç'jZ»,

et pour celle de F,

F.(H, r., î:)X'-+-F,IH', r.\ wjY'-hF.d", 1,-, Ç•)Z^

Si donc, comme cela est permis, l'on joint aux équations ('2) l'équation F(x, j, z) = 1, pour déterminer entièrement les trois groupes de coefficients (5, u, Ç), (5', V, C), (i% «", V), et si l'on remarque d'autre part que

>-,F(Ç, r., ?)~F.(Ç, n, Ç):^o, /,F(Ç', V, C')-F,(Ç', V, Ç') = o, et

on obtiendra en définitive, pour les transformées de F et F, ,

X'-hV-i-Z' et A,X'-hA,Y'-hX,Z^

En généralisant les résultats obtenus, par l'extension à un nombre quelconque de variables, on retrouve donc ainsi la solution du problème de la réduction simultanée des fonctions quadratiques, telle qu'elle a été donnée par Jacobi. Cette solution échoue généralement lorsque l'équation en > a des racines égales, mais elle peut au contraire devenir indéterminée, lorsqu'il existe, en outre, certaines autres relations entre les coefficients des fonctions proposées. Ces cas singuliers correspondent géométriquement à l'exception que comporte le théorème relatif au triangle polaire conju}2;ué à deux coniques, lorsque celles-ci sont simplement tan- ^onli^s entre elles, et à l'indétermination relative bu double contact. Cette

reoiarque, surtout en y joign9nt les considérations analogues auxquelles donnent lieu les surfaces du second ordre, faciliterait sans doute Pétude analytique des cas d'exception.