III

rlîcuebciies analytiques sur les polygones simultanément inscrits

et circonscrits a deux coniques;

Par m. Moutard.

Les Notes qui précèdent ont pour objet de faire concevoir Tefiicacité, en dehors de la géométrie même, des principes et des méthodes exposés dans les Applications t^ Analyse et de Géométrie, Mais à côté des principes et des méthodes, à côté des réflexions luminepses par lesquelles Fauteur éclaire l'emploi de l'analyse des coordonnées et assure la marche du calcul algébrique, en raccompagnant d'une interprétation en quelque sorte continue, cet ouvrage renferme aussi certaines théories élémentaires très-fécondes, qui^ restées ignorées jusqu'à la publication du Tmité des Propriétés projectiles, sont devenues depuis lors et peuvent devenir encore l'objet de nombreux travaux. Telle est particulièrement la théorie des polygones à la fois inscrits et circonscrits à des coniques, développée dans le VI* cahier. Un des corollaires de cette théorie (vo/r p. 3'i6) enseigne la manière de former algébriquement la relation qui lie entre eux les rayons et la distance des centres de deux circonférences, l'une inscrite et l'autre circonscrite à un même polygone. L!existence d'une pareille relation constitue à elle seule un fait géométrique remarquable, qui, avant la découverte du théorème de M. Ponc^let, n'avait été reconnu par Euler que pour le cas du triangle, et n'avait pu être que soupçonné par Fuss pour le cas général d'un polygone quelconque. On sait en elTet que Fuss n'avait considéré que le cas où les polygones simultanément inscrits et circonflcrits aux deux cercles sont symétriques par rapport à la ligne des centres.

Quant au problème fondamental de la théorie [voir l'énoncé, p. 348), il a fait l'objet d'un Mémoire de Jacobi [Journal de CrtUe^ t. Ill, année 1828), dans lequel l'illustre géomètre, après avoir rappelé la solution exposée dans le Traité des Propriétés projectivcsy en rattache l'interprétation analytique à certaines propriétés des fonctions elliptiques, et déduit (le la comparaison des deux méthodes une construction géométrique pour la multiplication et l'addition des sinus d'amplitude. Il convient d'ailleurs de remarquer que la forme donnée à la solution par Jacobi ne s'applique que dans l'hypothèse où les coniques données sont des cercles :

ce qui, grâce aux principes de projection centrale posés par M. Poncelet, ne nuit en rien à la généralité des conclusions géométriques, mais n'en laisse pas moins, lorsqu'on se place au point de vue de l'analyse des coordonnées, désirer une solution plus générale et plus complète.

En essayant d'aborder directement par la méthode des coordonnées symétriques, avant d'avoir eu connaissance du Mémoire précité, la solution de ce problème : Trouver la courbe enveloppe du côté libre fVun polygone de n côtés, dont les autres côtés iouc/teni une conique donnée, et dont les sommets décrivent une autre conique donnée, j'ai rencontré une loi de récurrence assez simple pour la fonnation des équations successives relatives aux cas de 3, 4) • • •t'^ côtés. L'étude de cette loi de récurrence se ramène à celle de certaines équations fonctionnelles, dont la solution fait retrouver directement, non pas les fonctions elliptiques elles-mêmes, mais les transcendantes 0 et H qui en forment les numérateurs et les dénominateurs. Plusieurs des propriétés de ces fonctions se trouvent ainsi rattachées au théorème de M. Poncelet par une voie entièrement différente de celle qui a été suivie par Jacobi.

Enoncé du problème, — Pour faciliter la mise en équation du problème, nous en modifierons l'énoncé et le présenterons sous la forme suivante : « Étant données deux coniques (-.l>,) et (i)l>) , soit pris sur [A>^) »> un point quelconque M,,; soit (DJ la polaire de M, par rapporta (ilS>), » et Mj, M', les points où (D,) rencontre {^^). La polaire de M^ par » rapport à (/Ub) rencontre [X^] en M^ et en un second point M,, de » même la polaire de M'i rencontre (Jl^J en M^ et en un second point M', ; n joignons M^M', et désignons par(D3) la droite ainsi obtenue. La polaire » de Mj rencontre (Xg) en M, et en un second point M3; de même la » polaire de M, rencontre (A^^ en M\ et en un second point M'3 ; .join gnons MjMj, et désignons par (D3) la droite obtenue. En continuant la » même suite de constructions, on obtient une double série de points » M4, Mj, ..., Mpj'M^, M's, ..., M' , et une série de droites (DJ, » (Dj), .. .,(Dp) joignant respectivement ces points deux à deux. Nous * nommerons les droites successives (DJ, (D,), . . .,(D^) les cordes déri- » vées d'ordre i, 2, ...,/? du point Mp, Cela posé, le problème que nous » nous proposons de résoudre consiste à trouver la courbe enveloppée » par la corde dérivée d'ordre p du point M, lorsque ce point décrit la » conique donnée iX^), Nous appellerons cett.e courbe l'enveloppe dérivée » d'ordre p de (JloJ par rapport à (i)b), et nous la désignerons par le » symbole (X^). »

La série de constructions que l'on vient d'énoncer donne lieu à plusieurs remarques.

!*• L'enveloppe [X^)^ dérivée du premier ordre de (JUJ par rapport à (ifl), n'est autre chose que la polaire réciproque de [X^ par rapport à (ni»); c'est donc une conique, et, la conique (^Ï-J étant donnée, on peut

généralement, choisir de quatre manières différentes la conique (i(l>), en sorte que (X^) devienne telle autre conique que Ton voudra.

a** La corde dérivée d*ordre p du point M^ est le côté libre d'un polygone de /7-4-1 côtés inscrit dans ('^e^), et dont les autres côtés touchent (f^o^). Lorsque // est pair, le polygone est d*un nombre impair de côtés, M^ est alors le sommet opposé au côté libre, et les autres sommets sont M, , M, , . . . , M^ , M', , M 4 , . . . , Mp. Lorsque p est impair, le polygone

a un nombre pair de côtés, le côté opposé au côté libre est la corde (D, ) dérivée du premier ordre de M^ , et les sommets du polygone sont aux points M, , M3, . . . , Mp , M' , M3 , . . . ,M' .

3° Le polygone de/? 4-1 côtés est à la fois inscrit à la conique (^^) et circonscrit à la conique (X,), soit lorsque la corde dérivée d'ordre p du point Mj est tangente à («i),), soit lorsque la corde dérivée d'ordre p-i-i de ce même point est tangente à (o^o).

4° Les cordes dérivées d'ordre 7 des deux points M^ et M^ rencontrent respectivement la conique aux points M^^^ , M^.^ et M^^^, M^^;

par suite les cordes dérivées du point M, d'ordre /? — 7 et d'ordre /?-h«y , à savoir (D^.J ou M^^ M^^ et (D^^) ou M^^ M;,^^ forment un

système de sécantes communes à la conique (JloJ ot au système des deux cordes dérivées d'ordre 7 des points M^ et M' . Ceci est vrai, lors même que 7>/?, pourvu que l'on regarde M„ comme désignant le môme point que M'^, M^^ le même point que M„, (D„) la môme droite que

(D^), et (DJ la tangente à (XJ en M,. Ainsi pour toutes les valeurs entières de p et de 7, les trois systèmes de deux droites, qu'on peut mener par les quatre points M^^, Mj,^, M' , M' , sont : i" le système

des deux cordes dérivées d'ordre 7 des points M^ et M' ; a° le système

des deux cordes dérivées d'ordre p des points M^ et M' et y^ en6n le

système formé par les deux cordes dérivées du point M^ , l'une d'ordre p — qei l'autre d'ordre p-^-q.

5® Les constructions qui servent à définir la corde dérivée d'ordre // de M,, ne peuvent plus s'exécuter géométriquement lorsque le point M^ est dans l'intérieur de (ijî,), mais la corde elle-même n'en conserve pas moins une existence géométrique. En appliquant certaines considérations fondées sur le principe de continuité , on peut modifier l'énoncé de ces constructions de telle manière qu'elles restent possibles pour toutes les dispositions de la figure. En premier lieu, concevons que du point Mp on mène deux droites quelconques conjuguées par rapport à («^, ), c'est-àdire telles que chacune d'elles contienne le pôle de l'autre; chacune de ces droites rencontre encore (Xo) en ^^ point, et le point de concours des tangentes menées à (XJ aux deux points ainsi obtenus décrit la corde nommée (DJ, c'est-à-dire le côté libre du triangle inscrit dans (Xg), dont l'un des sommets est en Mq et dont les côtés adjacents à M,,

touchent (X,). En second lieu, une fois deux cordes consécutives (D^,) et (D^) tracées, la corde suivante (Dp^,) peut s'obtenir aisément par une construction linéaire. Si Ton désigne en effet par I^ le pôle de D^ par rapport à (<0i»), et par (E^) la polaire de I^ par rapport à (X^), il n'est pas difficile de reconnaître que la corde inconnue (D^^i) est conjuguée harmonique à (D^,) par rapport à (E^), et à la droite qui joint le pôle I^ au point de concours de (D^,) et de (E^,).

Pour traduire algébriquement les constructions de l'énoncé et les remarques auxquelles elles donnent lieu, nous supposerons d'abord que l'on ait ramené les équations des deux coniques données à la forme réduite :

Nous désignerons par $, >], C les coordonnées du point Mp et généralement par (Çp,iîp, Çp), (Ç' , Vî' CM, les coordonnées respectives des points M^ et M' dérivés de M^.

Les droites que nous avons nommées (D^) et (D,) ont respectivement pour équations

(DJ ?a:-h»)r4-Ç2 = o, (D,) rtÇj: + ^ïi^-|-cU = o,

et je dis tout d abord que l'équation de la droite dérivée d'un ordre quelconque n peut se mettre sous la forme

en désignant par a^, ^,, c, des fonctions de a, by c indépendantes de la position du point M. sur la conique (X^). Il est clair que, ceci étant vrai pour /z r= o et /i = I , il suffît de faire voir qu'une fois la proposition admise pour n =/?, pour n = q et n =p~-q^ elle a nécessairement lieu pour n=p-\- q\ car en faisant ^ = i , et p successivement égal à i , a, 3,..., /ï, on trouve pour 7? -f- q successivement les valeurs 2, 3,..., /î-f- 1. Soient donc respectivement

(Dp) 'ïpÇ-r4-^j,>JJ-hCp^3 = o, (Dç) a^lx-hb^mx-^c^Kz — o,

les équations des trois cordes dérivées de M,, d'ordre y», y etf? — y; il nous est permis d'écrire également l'équation de la dérivée d'ordre p-\-Çi $ous la forme

pourvu que nous ne spécifiions rien sur la nature des trois coefficients^ ^'p+<i' ^p+^» ^i'+v» ®* ^^^^^ ^^1®^ ^^^ précisément de démontrer que ces coefficients ne dépendent que des g, coefficients a^,b^^, .., c^^ , et par suite seulement de a, b et c.

Considérons, dans ce but, les équations des trois systèmes de deux

NOTES ET ADDITIONS. SSg

droites que l'on peut conduire par les quatre points M^.^, ^p^y ^p g' M' .

1° Le système des deux droites (D^^) et (D^^^), c'est-à-dire M^^M' et M^^Mp^^, a pour équation

2** Les deux droites M„^M„ „ et M' M' étant les dérivées d'ordre a des deux points M^ et M' , on obtiendra Téquation de leur système en éliminant Ç^, n,, ^,, entre les trois équations :

dont les deux dernières servent à définir les points M^ et M' Le résultat de l'élimination s'obtient immédiatement sous la forme

ce que nous écrirons encore, en vue de conséquences ultérieures,

(2 Ois) \

3* Les deux droites M„^M' . et M„M' étant les dérivées d'ordre /^ des deux points M^ et M' l'équation de leur système peut s'écrire

ou bien

Cela posé, la conique ( X^) passant par les quatre points communs aux deux lieux du second degré représentés par les équations (i) et (a), oa sait à priori que la somme de leurs premiers membres multipliés par des. coefficients convenablement choisis, doit pouvoir être identifiée avec ^+^-+-2'. Cette dernière expression ne renfermant plus les rectangles des variables, il faut nécessairement que les coefficients de ces. rectangles soient proportionnels dans les équations (i) et (2), ce qui donne les relations

( 4 ) P-i^P-*-^ ~'~ ^P-1 P+1 ^'p-v^p-Hi ">" ^p-^^'p+1 . ^^p-7 l>-^g "^ "p-v^'p+9.

On voit par là que si Ip» neuf roeffi<'.ientt> c/^, b^, c^, . . . , <'^^ sonl indé-

54o SOUVENIRS,

pendants de Ç, »ï, Ç, tf^^, b^^^ c^^^, peuvent être choisis de manière à l'être également ; et par suite il est démontré que Téquation de la corde dérivée d'ordre n du point Mp peut toujours s'écrire

(DJ «,Ç^-h^„>îr 4-^,^3 = o,

a^ , b^i c^ représentant des constantes indépendantes de Ç, n, C.

La forme de cette équation permet d'obtenir rapidement l'équation de la courbe enveloppée par la corde dérivée d'ordre n du point M,, lorsque le point Mj parcourt la conique ( c^l> J. On a vu dans la Note relative aux coordonnées symétriques qu'en général l'équation de la polaire réciproque de la conique jc' 4- J* + z' = o, par rapport à la conique ax^ -+- by-\-cz^ = o, est donnée par a'^c'-f 6y -f-t*z^ = o. Or, la corde (D„) peut être, d'après la forme de son équation, considérée comme la polaire du point M^ par rapport à une certaine conique

la courbe cherchée est donc la polaire réciproque de (^\»^) |)ar rapport à la directrice (iII>«)î ce qui donne enfin, pour son équation,

et montre qu'elle consiste en une conique ayant même triangle polaire conjugué que les coniques données.

Considérons en outre les deux systèmes de droites M^,^M^^, M' M' , etM^M' ^, M- «M' : de ce que ces deux lieux du second

degré ont leurs quatre points d'intersection situés sur (<Jlo«), il résulte, comme ci-dessus, que la somme des premiers membres de leurs équations, multipliés par des facteurs convenables, doit pouvoir être identifiée à x' -|-j"-hz'. Or si Ton remarque que les équations (a bis) et (3 bis) renferment les rectangles des variables avec les mêmes coefficients, on déduit de là, en posant

les relations

d'où l'on tire enfin,

(5) b' c"" - cH^+v'' a'' — a'' r'' -\-aH' — b'ial ^ o.

Celte dernière équatiou montre que les premiers membres des trois

équations («AsJ, (<^p)) (oK>^) sont liés entre eux par une relation linéaire homogène, et par suite, que les courbes qu'elles représentant se coupent aux quatre mêmes points. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : I^s enveloppes dérivées de tous les ordres de f Jlo^) par rapport à (\Jî,)

sont des coniques circonscrites au même quadrilatère que les deux coniques données. Ce qui n'est autre chose que le théorème de M. Poncelet, relatif à deux coniques, énoncé sous une forme différente.

Les formes (2 bis) et (3 bis) données aux équations des systèmes de droites M^^M^, K-^n^P-n ^^ ^P^K^r^p-^K^n^ permettent dV percevoir une autre conséquence géométrique ; si Ton considère, en particulier, l'équation (2 bis)^ on voit qu'elle représente un lieu du second degré, tangent à la courbe (X,), en ses points d^ntersection avec la droite qui a pour équation

La droite (D^^) est donc la corde qui joint les points de contact des cordes dérivées d'ordre q des points M^ et M' , avec l'enveloppe dérivée

d'ordre <7 de (X,) par rapport à ( ilb ); mais l'équation ( 3 6i>) montre de la même manière que cette droite est aussi la corde do contact des dérivées d'ordre p des points M^ et M' avec l'enveloppe (Jl>^). Lorsque Ion suppose ;? et ^ de même parité, on tire de là le théorème suivant :

Étant donné un polygone inscrit dans une conique (XJ et ayant tous ses côtés, moins un, tangents à la conique (X^ ), on sait que les diagonales de même espèce (c'est-à-dire joignant des sommets séparés par le même nombre de sommets intermédiaires, dans le sens opposé à celui où l'on rencontre le côté libre) enveloppent toutes une même conique. Si l'on considère deux sommets quelconques, et les sommets correspondants (c'est-à-dire séparés des extrémités du côté libre par le même nombre de sommets intermédiaires), les deux diagonales qui joignent. Tune les deux premiers sommets, l'autre les seconds^ sont tangentes à une même conique; de même les deux droites qui joignent chacun des premiers sommets avec le second sommet non correspondant, sont tangentes à une même conique. Les quatre points de contact ainsi obtenus sont en ligne droite.

Les lignes telles que (D^^) jouissent do diverses propriétés, parmi lesquelles je me bornerai à énoncer la suivante, facile à vérifier : La ligne telle que (D^^), dérivée d'un point M^, enveloppe, lorsque M^ décrit la conique (X^), une autre conique inscrite au même quadrilatère que les deux coniques (-A.^) et (X^).

Etude spéciale de la loi de formation des coefficients a^^ b^^ c^, — En désignant, dans ce qui précède, par a^'E.v-\-b„Ytjr-^c^C,z = o l'équation de la corde dérivée d'ordre n du point (?, >;, i)^ nous n'avons en réalité

54a SOUVENIRS,

défini géométriquement que les rapports mutuels des coefficients /r, , ^, , r, ; et nous nous sommes bornés, en ce qui les concerne, à établir les relations (4) et (j), lesquelles ne dépendent que de leurs valeurs proportionnelles. Bien que, d'après la nature de la question qui nous occupe, les rapports mutuels de a^^à^^ c^ doivent seuls intervenir dans la solution, il est permis de préciser la signification de ces symboles, en leur attribuant des valeurs propres; c'est ce que nous ferons en spécifiant d'une certaine manière la loi de formation contenue dans les relations (4)* Conctwons donc que l'on considère les trois suites illimitées

définies par les deux groupes d'égalités

'V + S^^^p'S'' , cb A-bc -a^ r bc

i ^^ip-t ^^ "'^ip-i — * ^p-\ ^p-\ ^p'^p »

( 6 ) {^^p-^ ^'v == '■* ^P ^î^ ( 7 ) I ac,p-i -+■ ca^p., = i r^, fl^, r^a^ ,

«V -*- ^îp = a «p ^l , ' Kp-i + «^p-i = a «P-. Vi "p K »

jointes aux conditions initiales

La simple inspection des égalités (6) et (7) permet de reconnaître que pour toute valeur paire de /i, «„, b^^ c^ sont des fonctions entières de fl', ^', c% et que pour toute valeur impaire de «, a^y b^, c^ sont resi>ectivement égaux à ^, b, c, multipliés par des fonctions entières de //•, b^, c^. Dans l'un et l'autre cas, les fonctions «„, ^„, c^ sont, par rapport à a, /;, r, de degré rî^. En outre, l'hypothèse a = b entraîne nécessairement l'égalité a^ = b^ = fl"*.

Les quantités «„, ^,, c^ que nous venons de définir, satisferont évidemment aux conditions géométriques imposées aux coefficients de l'équation ( D„) ; on en conclut immédiatement qu'elles jouissent des propriétés exprimées par les relations (4) et (5). En outre, si l'on remarque que les trois rapports égaux qui entrent dans les relations (4), renferment au numérateur et au dénominateur des fonctions de a, b, c du même degré, à savoir du degré 2/7' -h 27^ et qu'ils prennent tous deux la valeur numérique i, lorsque l'on suppose a = b = c, il sera permis d'écrire ces relations sous ia forme plus précise

p fl

c -\- eu — -1 p+n*^ p-n p-^i

ar,c.

-q p+q ' p-q p-Hl

D'autre part, les quatre équations désignées précédemment par (i), (2) et (3), et (cAo.) ou x'-hf-\-z^ = o, représentant des lieux du second degré, qui passent par les quatre mêmes points, il existe nécessairement entre les premiers membres de trois quelconques d'entre elles une relation linéaire homogène, pourvu toutefois que Ç, >î, K satisfassent à la condition Ç*-h>î*-l-î'= o. En développant les calculs, on trouve successivement les égalités suivantes :

(9) ^ b^b^ - - clal + blul +bl c; = - clal^b^al +6» cj. ',-,'^^- "l *.' + 'l *.' + 'n "l = - "l K + '\ *; + ') "l .

d'où l'on déduit la formule

et ses analogues.

En combinant les formules (8) et (lo), on trouve aussi

et leurs analogues.

Ces formules expriment autant de propriétés des ««, ^„, <^,, dont chacune pourrait être regardée comme définissant ces fonctions avec certaines conditions initiales, par une loi de formation de proche en proche; mais toutes les lois de formation que l'on obtient ainsi, exigent le calcul simultané des termes des trois séries; nous nous proposons maintenant de faire voir que le calcul, sinon de a^, K, c„, du moins de leurs carrés, peut être ramené à dépendre de celui des termes d'une série unique.

Considérons pour cela l'équation

h'cl - iHl -^c-^al -a' cl +a'bl ~ IPa^^ = o,

laquelle n'est qu'un cas particulier de la relation (5), et exprime que l'enveloppe ( A„) passe par les points communs à ( X,) et (A>, ). Cette équation peut aussi s'écrire sous les formes suivantes :

b^^c^ cl — al

fi^b^^b'al

Désignant par G„ chacun des trois premiers rapports et par H^ chacun

des derniers, on tire de là

(12) al = G.a' + H„ *'=r..//' + H„, f.' = G.c'+H..

Il est d'ailleurs évident que les deux numérateurs «* — - b^, et a^b^ — Z>'^7*

fonctions entières do «', b^, c', s'annulent dans Thypothèse a^=b^, puisque régalilé a=b entraîne a^=b^; par suite G„ et H„ sont des fonctions entières et symétriques de a', b^, c^, dont les degrés en a, b, c sont pour la première 'ji(«^ — i), et pour la seconde 2//'. Remarquons en outre que Ton a

Go=o, H^=i, G,= i, H,=o.

Cela posé, si Ton multiplie membre à membre les équations (11), et que dans le résultat

y p-ç p~n) y p+Q p-i^q] ylp 1 1 p) on remplace b^^^ , <^^^,- • • 1 par leurs valeurs (12), il vient l'égalité

(13) G,.,G,,,= (G,H,-G,H,)', d'où l'on déduit

(.4) G^.G,,. = H;. et (.5) G^.= (G,H^-G,,,H,)».

On trouve d ailleurs directement

^ 16 ) Cr.^p = 4 ^^ b^ r* G^ , et en particulier G, = 4 à^b^c^^

On conclut aisément de ces dernières formules que la fonction G„ est le carré d'une fonction entière et symétrique de degré n^—i de «, 6, r. Soit donc fait G„= A^ , et pour mieux préciser la signification de la nouvelle fonction A^ ainsi introduite, convenons, ce qui est évidemment permis, que l'on prenne Aj=r +2fl^r, et que les signes se déterminent pour les valeurs suivantes de l'indice n par l'égalité

Étude de la fonction A^. — Si l'on remplace dans l'équation de l'enveloppe dérivée d'ordre n les coeflBcients a\^ ^*, c^ par leurs expressions en A , elle prend la forme très-simple

A^ [a'x^+b'f^c'^z') - A„,A„^,(^+j^+z^) = o, et le problème se trouve ainsi concentré dans Tétude de la fonction A^.

Lorsque Ton se propose en parliculier de trouver la condition à laquelle doivent satisfaire les paramètres des équations de deux coniques, pour qu'il soit possible de construire un polygone de n côtés simultanément inscrit à l'une d'elles et circonscrit à l'autre, il suffit de se rappeler les considérations développées dans le texte (p. 355 à 365) sur l'impossibilité absolue ou la possibilité indéfinie d'une pareille construction, et, d'autre part, la troisième des remarques dont nous avons fait suivre l'énoncé du problème. La condition cherchée équivaut à ce que l'enveloppe (Jlo„ ) se confonde avec (<A),), et que l'enveloppe (alij se confonde avec (Ju/), et par suite elle est exprimée par l'équation A^i^r o.

Comme corollaire spécial, nous indiquerons immédiatement le fait géométrique traduit par l'équation (i6), lequel consiste en ce que a lorsqu'un » polygone d'un nombre pair de côtés est à la fois insccit à une conique » et circonscrit à une autre conique , les diagonales qui joignent deux à » deux les sommets opposés concourent en un même point, confondu avec » l'un des sommets du triangle conjugué aux deux coniques. » Ce théorème est énoncé et démontré dans le Traité des Propriétés projectives (p. 364).

En se reportant à la définition deG„ et de H^, on reconnaît facilement que dans l'hypothèse a = b = c, G„ devient égal à /z*^/'^"^-'^ et H„ à (i — /2^)rt^^; d'autre part, dans les mêmes hypothèses, A„, «ne fois son signe précisé comme ci-dessus, devient égal à -\-nif "'. Cette remarque permet de déterminer quel est le signe que Ton doit prendre en extrayant les racines des deux membres de l'équation (i3 ), laquelle se présente alors sous la forme plus précise

(i3 to) A^, A^^ = \] A^. A^^, - a; A,, a

Cette équation renferme la loi de formation successive des A^. En y faisant tour à tour /> = ^ -h i et /?=-// + a , on en lire les formules

et

\^:in^ K « \ ^^7+î - K^x ^q-i Aç »

à l'aide desquelles on peut calculer de proche en proche tous les termes de la série des A , une fois A^ , A3 , A^ déterminés directement.

On a déjà trouvé ci-dessus A^— labc. Le calcul direct de A^ donne les formules suivantes :

A^z=z(bc-^ca-\-ab)(—bc-\-ca-\-ab)(bc — ca-\-ab)(bc-\-cn — ftb), A3=^c,-hc,fl,4-«,^,,

Il faut se rappeler que les valeurs de a, , b^^ r, el /r^ , 6, , c^ sont données par les équations

^3 =^ ft[ — f*<tf^~\-r^n^-k-aj}^), A, — h(b./\ — c^a^-^aj)^), c^ — c (/^^r^-t-r^/j.. — ^,6,). Enfin la valeur de A, est

Cela posé, on obtient hnmédiatement pour A^, A^j, . . ., les expressions suivan(e« :

A,-AijA^-A?,

A,= A,A3(A,~4«;^5<^Î), A, = A5A,-A,AJ,

A.= 2f7,6,r,A,=:A,[A5(A,-4^;^''^;)-An»

A<,= AjAg— AjAj.

Eu examinant la loi de formation des A„ , on reconnaît sans peine que pour toute valeur impaire de «, A, est susceptible d'être exprimé par une fonction entière et symétrique de a^, ^,, ^u ol même de b^c^^ ^a^,» a^b^\ en sorte que l'on peut écrire

en désignant par le symbole F(w, (>, w) une fonction entière rationnelle et symétrique de degré /? (/? -h i ) par rapport aux variables a, p, w. Des considérations géométriques permettent de découvrir une propriété singulière de cette fonction.

Soit en effet /(«, b^ c) l'expression de A,^^^ en fonction de «, A, c ; on sait que l'équation f[a^b^c) = o exprime la condition pour qu'il soit possible de construire un polygone de a/?4- 1 côtés, simultanément inscrit à (Ji^f) et circonscrit à (X,); imaginons que Ton construise un pareil polygone et que l'on joigne les sommets de deux en deux , on obtiendra un nouveau polygone simultanément inscrit à [^^) et circonscrit à («Jl»,), dont l'équation ne diffère de celle de ( Jl>,) qu'en ce que a*, ^*, c' sont remplacés par a\,b\^c\. Il résulte de là que r'équation/{/7, 6, c) = o ou F ( 6,c, , c,fl, , rtjéj ) = o entraîne l'équation /(«, , ^, , ^j ) = o.

En tenant compte de ce que les quantités a, b^ Cy a,, &,, r,, n'entrent dans les équations des courbes («^ ) et (Jl»,) que par leurs carrés, on conclut de là

et par suite la Tonction F jouit de la propriété caractérisée par la relation

= F {bc, ca, ab)F( — bc, ca^ ab)¥(bcy — t:a^ ab)¥(bc, ca,—ab). La fonction A3, formée ci-dessus, en fournit un exemple simple.

JppUcations, — Pour appliquer les résultats précédents, lorsque les équations des deux coniques (Jl>«) et («^, ) sont données en coordonnées de Descartes sous la forme générale,

Jt,^ = /jc* 4- /' j* H- /*-h 2 my -h 2 m'x -\- a /«"xj = o, X, = /,x'-|-/',j^-|-/';-|-9.//i,j-|-2/w;x-f-2///;j:j=o,

il suffit de remarquer que les quantités pommées ci-dessus a", 6% r' sont proportionnelles aux racines de l'équation

que nous écrirons ainsi :

AV — rV-Hr,X — A, = o,

en désignant par A, r, A,, r,, des invariants bien connus du système des fonctions JU, et X^. Nommant d'ailleurs respectivement P, Q, R la somme, la somme des produits deux à deux, et le produit de b^c^^ c^ry, , a^b^, on aura

p = 4rA,-i;, Q = r,[-r;-haA.rr,-2AAî], R = [-rî+2A,rr,-aAA;]%

et Von sait que pour toute valeur impaire de /i. A, est exprimable rationnellement en P, Q, R. On trouve ainsi

A3=P, A,= -F4-4PQ-4R, A,= -P«+4(PQ-R)(F-4RK

A, = PJP'-4(PQ-R)[3P'-4(3PQ— 4R)P'-M6(P'Q'-3PQR+3R»)]j.

D'autre part, une fois l'expression de A, en P, Q, R connue, il suffira d'y

remplacer P, Q, R par P,, Q,, R, pour obtenir celle de --^î par P3, O3,

R3 pour avoir celle de --p ? en posant

Aj