P, = P(-P^+4PQ-8R

Q,= (P»-2Q)[-P.f.2(3PQ-4R)P^-8(PQ-Rn, R,=:[ — P«-4-2(3PQ~4R)P'-8(PO-R)'r, P3 = P*-4(PQ-R)[3P*»-4(3P0-4R)P'-l-i6(P'0'-3PQR4-3R»^J.

Lorsqu'on se propose seulement d'établir la relation à laquelle doivent satisfaire les coefficients des équations des deux coniques, pour qu'il soit possible de construire un polygone de n côtés, simultanément inscrit à la première et circonscrit à la seconde, il est permis, d'après la remarque fmale du paragraphe précédent, au moins pour le cas de n impair, de substituer dans l'équation A„=:o, aux lettres P, 0, R, les quantités P', 0', R' respectivement égales à la somme, à la somme des produits deux à deux, et au produit de bc, eu et ob. Dans le cas général, P', Q', R' no sont pas exprimables rationnellement en fonction des paramètres dont dépeiident la forme et la position des deux courbes, mais dans certaines applications particulières, on peut déduire effectivement de cette remarque^ une manière de décomposer l'équation en deux et même en quatre facteurs rationnels, dont chacun reproduit les autres par des changements de signes convenables. Dans tous les cas, pour des valeurs paires de n^ l'équation peut se décomposer en trois facteurs rationnels, comme cela

résulte immédiatement de la formule -~ = 'la^b^c^,

Ap '^ " '^

Examinons d'abord le cas particulier où les deux coniques étant concentriques, on connaît les longueurs A et B, A' et B' de leurs diamètres conjugués communs.

Pour appliquer les formules générales, il suffira d'y poser

ou, ee qui revient au même,

/;r = =h — , ea= do-^} ab=i,

On trouve ainsi les relations suivantes, dont chacune en représente

quatre, si le nombre des côtés du polygone est impair :

Pour le triangle,

pour le pentagone, 4A

AB

pour l'heptagone,

'BVA' B'\ /A' B' \fk' ^ W y