FI» • ' ^FF

expression ^, est également exprime par -pj^.

Telle est la valeur du rayon cherché. Pour la rendre explicite, Kg. .«. observons que </w étant (fig. i4 et i8) la tangente de l'angle formé par «A et 6B, on a </w =|^=-pp, en négligeant les

FF* I aFF» aFM

infiniment petits du second ordre. Donc |:^ = ^5 et ^^ ="^*

Mais la tranche F6'SBB' dont le volume est exprimé par l'aire A de la flottaison primitive, multipliée par l'épaisseur FM, égale en volume le filet triangulaire dont le volume est la

somme des éléments — fQ.Ya'ds.

Ainsi A X FM = —fB.Foi'.ds: d oii 1 on tire 3-7- = - — -. — • Donc, enfin, Texpression du rayon de courbure de la surface des flottaisons est / * V *

Mais fB.Ya.ds est le moment d'inertie du contour de la flottaison , en supposant chaque élément ds de ce contour chargé d'un poids 9 égal à la tangente de l'angle formé par la paroi du corps flottant , avec la verticale,

11 suit de là qu'en divisant par la superficie de la flottaison , le plus grand ou le plus petit moment d'inertie du contour de la flottaison chargé de poids proportionnels à la tangente , le quotient sera le rayon de moindre ou de plus grande courbure de la surface des flottaisons (multiplié par l'unité de poids).

Lorsque nous exposerons ce qui concerne la stabilité des utuitë dont peut

"* * ^ être 5a connals«an-

vaisseaux , on verra que ce n'est pas pour nous livrer à des re- «c. cherches de pure curiosité , que nous avons voulu déterminer les éléments de la courbure de la surface des flottaisons; car la

^^ MÉMoiiu:. connaissaDce de ces éléments peut être rendue d on usage intéressant dans la théorie de plusieurs opérations de rarcbîtecture navale.

Alors nous cherclierons à étendre davantage nos considérations sur la stabilité al)solue des corps flottants. Nous aurons égard, non-seulement à une flottaison unique, quelle que soit l'inclinaison des parois du flotteur. Mais, en faisant entrer cette inclinaison dans nos données, nous chercherons suivant quels cas elle est plus ou moins favorable à la stabilité. Maintenant , nous allons nous occuper des diverses positions d'équilibi'e qu on ^eut donner au corps flottant , sans que le centre de gravité , ni le poids de ce corps cessent d'être les mêmes.

Des diverses positions d équilibre que peut prendre un même

corps , enjlottant sur unjluîde.

Marche qu'on va sui. Dans Ics paragraphes précédents, pour parvenir à connaître

vre «lans cr par;!- i o i i -' i i

graphr. jçg Jqjs q^j déterminent la stabiUté ou l'instabilité d'un corps

ilottant, considéré dans ses diverses positions d'équilibre, nous avons supposé que le centre de gravité de ce flotteur se déplaçât successivement de quantités insensibles. Par ce moyen , nous avons atteint le but oii nous voulions parvenir.

Supposons , à présent , que le centre de gravité conserve toujours la même situation dans le corps flottant; afin d'exainiuer les diverses positions d'éc[uilibre qui peuvent convenir à celle situation constante du ceïitre de gravité.

Mais , avant tout , rappelons en peu de mots , les propriétés de la surface des centres de carène , démontrées pi^écédemment.

Nous avons nommé surface des centres de carène, l'ensemble de tous les centres de volume des carènes qni déplacent

STABIIJTÉ DES CORPS FI.OTTA]VTS. ^g

uoequanlitc de fluide égale en masse au poids dn corps flottant, i- milhoibr.

Kous avons fait voir, i". que, pour chaque position de ce Tiuorime iréiiini corps, le plan horizontal mené par le centre de carène correspondant à cette position , était nécessairement tangent , en ce point, à la surface des centres de carène; i°. qu'en conséquence, ta verticale menée par ce même point, s'y trouvait normale à la surface des centres de carène. •■

Mais, dans la position d'équilibre, le centre de gravité du corps flottant est , lui-même , sur la verticale menée par le centre de carène. C'est pourquoi dans une position d'équilibre quelconque , la verticale menée par le centre de gravité du corps flottant , est nécessairement normale à la surface des centres de carène. Enfin , cette normale a pour point d'application, sur cette surface , le centre de carène qui correspond à la jMîsilion d'équilibre que l'on considère.

J)e là résulte ce premier théorème : Le nombre total des positions déquilihre qu'un corps de forme invariable peut prendre, en flottant sur le même fluide , est égal au nombre des normales qu'on peut abaisser^ de son centre de gravité^ sur la surface des centres de carène.

Par conséquent, aussiiùl que !e centre de gravité seraconou, aussitôt que les diverses normales dont il est l'intersection seront déterminées, en rendant tour à tour chacune d'elles verticale, le corps sera dans une position d'équilibre.

Maintenant , en supposant toujours quelconque la figure du Du ««mbri: c flotteur, proposons- nous cette question générale : Combien, à "om7.unVq, partir, du centre de gravité du corps flottant., peut-on mener u^e«t^à de normales à la surface des centres de carène ? (""t.

Pour parvenir à la solution que nous cherchons, faisons Empioid'imei tourner le corps autour dun axe fixe quelconque, horizontal lutîÔDl'ipj ou noii, mais passant par le centre de gravité. A chaque posi- m»™i de' "i

■iliona (< r'iuilibi noriDjl-Edelai.

5r, APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

!•». MÉMOIRE, tion dé ce corps, nous trouverons qu'il correspond un ceirtre

particulier de carène. L'ensemble de tous ces centres va former une certaine courbe , fermée de toutes parts j puisque tous ses points sont évidemment dans l'intérieur du corps flottant.

Si , du centre de gravité du flotteur, nous abaissons toutes les normales possibles sur cette courbe ^ à chaque normale devra correspondre une position d'équilibre. Lorsque le flotteur aura pris une de ces positions , la tangente à la ligne lieu des centres de carène sera toujours horizontale. Mais il faut bien remarquer que la noiniiale à cette courbe , menée du centre de gravité du corps flottant, pourra n'être plus verticale^ C'est en cela ({ue le cas particulier dont nous nous occupons maintenant ^ diffère du cas général, oii le corps n'est retenu par aucun axe fixe.

11 faut comparer enlr elles les diverses positions de réqui-* libre d'un corps qui flotte en tournant librement autour d'un parçil axe^ Rappelons-nous , pour cela , le théorème que nous avpns. dénlontré dans le paragraphe précédent.

w L'équilibre est stable , quand la distance du centi^ de ^K grai^ité €hi flotteur au centre de carène ^ est un minimum*^ » cet équilibre est ' instable , quand la mente distance est un I» thaximum^ » Nous en tirons cette conséquence :

Fig. 19. Le nombre total des positions d'équilibre du corps flottant

. que nous considérons , est égal au nombre des normales qu'on

,. , . . . , . peut,, de. son centre de gravité, mener à la ligne gg'g"*»- Heu des

centres de carène; et les positions d'équilibre ( stables ou non stables) sont respectivement celles pour lesquelles la longueur des. normales , depuis la ligne gg'g"*** jusqu'au centre de gravité

;.' . 4U' flatteur ^ est un maximum ou un minimum.

Fis fi^. " ' Nous allons prouver que le nombre des normales qu'on

STABILITÉ DES CORPS FI.OTTANTS- />i

peut, dun point quelconque G, mènera la ligne ggg"**-i lieu !•'. mémoire. des centres de carène y est gënëralement un nombre pair.

Et d'abord, si Ton détermine en chaque point ;gf> g', g"..., les rayons de courbure de la ligne ggg""*^ je dis que les normales successivement maxima et minimal Gg^ ^g> ^g"*'*^ seront tour à tour plus petites et plus grandes que lé rayon de courbure qui correspond au point g , ou au point g', ou au point g^j etc. , dans le plan mené par le centre G, tangentiellement à la courbe gg'g^****

Pour le démontrer, concevons que du centre G du corps flottant, on ait mené des lignes droites aux différents points de la courbe ^^g^g^'g^"...^ lieu des centres de carène. Rectifions cette courbe^ de manière que les droites menées^. du point G, deviennent toutes perpendiculaires à la ligne rectifiée. Alors les points g^, gy gj g%..y devenant 7^, 7, y, 7"..., les longueurs G^^, Gg, Gg\ Gg\ seront respectivement r7^^ r7, r7', r7"....

Si deux points gi^^gj infiniment voisins l'un de l'autre, sont ])lacés sur la courbe gg^g"*** à égale distance du point G, les deux ordonnées 7, r, et 7r, dans le développement , seront pareillement égales, infiniment voisines, et de j)lus parallèles. Donc l'élément r,r de r.rr'r"..^ est , en T. ^.perpendiculaire à lordonnée 7r. D'où résulte ce principe:^ chaque point g Ummc. ail Gg est normale à la courbe gg'g"-» y correspond un point 7 pour lequel la dmite yV est. normale à la courbe IT'r"..., et réciproquement. : . ')

Mais lorsqu'une courbe rr'r",.. est rapportée à des coordonnées rectangulaires, si Von considère; sëulei;nent les ordonnées yj;, yT', yV.., qui sont normales à la courbe, elles sont alternativement plus grandes et plus petites que celles qui les avoisinent immédiatement : à moins; qu'il n'y ait un point d'inr flexion , cas particulier qye pous ei^^iiniueron!;. bientôt.

5» APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉŒANIQUE.

i". iiÉMoiBE. Donc, si Ton dëtenniDe la longueur de toutes les normales

Gg , Gg-'... qu'on peut mener, du point G, sur gg'g"-** ; et si l'on passe successivement de l'une à l'autre , en marchant sur le contour gg'g^***^ ces normales seront alternativement un maximum et un minimum , par rapport aux distances de G aux points intermédiaires du contour ^g^'g^"...

Mais, lorsqu'une suite de lignes qui partent d'un même point , sont tour à tour un maximum et un minimum , le nomhre des maximu est évidemment égal à celui des minima.

Donc, premièrement^ le nombre total de ces lignes est un nombre ;?a/r : donc aussi, dans toute courbe fermée gg'g"»** j le nombre des normales qu'on peut y mener, à partir d'un point quelconque , est généralement un nombre pair.

Nous avons fait voir, il n'y a qu'un moment, qu'à chaque normale qu'on peut mener à la ligne gg'g'**^ j considérée comme le lieu des centres de carène du corps flottant , lorsqu'il est mobile autour d'un axe fixe; qu'à chacune de ces normales , disons-nous , correspond une position d'équilibre de Premier théorème, cc corps.Z>o/ic, premièrement ^ le nombre total des positions

d équilibre dun corps flottant , et mobile autour dun axe fixe , est un nombre pair.

Mais, dans le paragraphe second, p. 25, nous avons démontré

que l'équilibre est stable ou non-stable , suivant que la distance

du centre de gravité du corps, au centre de la carène, est un

minimum ou un maximum.

Sfcond Uiéorème. Douc , iUms TéquiUbre dun; corps flottant défigure quel-^

conque , et mobile autour dun axe dont la direction est imni" riable, le nombre des positions d équilibre stable est égal au nombre des positions d équilibre non^stable. De manière quen tournant autour de taxe, on passera tour à tour, dune posi-

cei r«-

tien stable à une position non^stable , et de celle-ci h une \*r mÉiioirr. position stable.

M. Poisson est parvenu à la démonstration de ce principe ^^^^^^J^"^} par des considérations de pure mëchanique, mais auxquelles ^//,*[/* on pourrait faire quelques objections , ainsi qu'à la méthode que nous venons de suivre.

Nous avons supposé que les ordonnées yF, y'r', yV '^^'s '»

coupées à angle droit par la courbe ITT^, sont nécessairement des maxima ou des minirna. Cependant , peut-on dire , ^*« ^*'il est des cas oii l'ordonnée 7 IT', par exemple^ quoique normale à rr'r", n'est, par rapport aux ordonnées voisines, ni un maxinturn , ni un minimum. Les principes que nous avons établis , et les conséquences que nous en avons tirées , cesseraient donc d'être vrais dans ce cas.

n nous semble que la même objection peut être faite à la démonstration du savant analyste que nous venons de citer* Voici comment il s exprime:

K Tant que le corps flottant sera encore très-voisin de sa po- » sition primitive, il tendra à y revenir, puisque cette posi- » tion est supposée stable ; cette tendance diminuera graduel- » lement , et enfin le corps tendra à s'écarter de cette position ; X mais avant que celte tendance change, pour ainsi dire de n signe , il y aura une position dans laquelle elle sera nulle., et » où le corps ne tendra ni à revenir à sa position primitive, ni ji à s'en écarter d'avantage^ ce sera donc la seconde position 3» d'équilibre ; or , on voit qu'en deçà de cette position , le » corps tend à revenir à la première , par conséquent à s'é- • M carter de la seconde : au delà de cette même position , le « corps tend à s'écarter de la première , et en même temps » de la seconde ; donc la seconde position d'équilibre n'est pas M stable, puisque de part et d'autre de cette position le corps

j*'. MÈMpu;f. » tend à s'en écarter d avantage. Lorsqu'il a dépasse sa seconde

» position d'équilibre , sa tendance à s'en écarter diminue con- » tinuellement, elle devient nulle; puis le corps tend à revenir » à cette seconde position. La position où cette tendance est » nulle est une troisième position d'équilibre qui est évidem- » ment stable; car en deçà et au delà le corps tend à y revenir, » soit pour s'éloigner 9 soit pour se rapprocher de la seconde » position. Si la troisième position est stable , on prouvera par » notre même raisonnement que la quatrième ne Test pas ; et /) la quatrième ne l'étant pas , la cinquième le sera , et ainsi » de suite. »

Dm positions où ré- Saos doutc la tendance du corps à revenir vers sa première

ouilibre est indif- ....

fercnt. positiou d'équilibrc , diminue de plus en plus ; à mesure qu'on

s'éloigne de cette position. Avant de prendre une tendance eo sens opposé, il est une position inleiniçdiaire dans laquelle il ne tend pas plutôt à se porter d'un côté que de l'autre. Mais , de ce que cette tendance du corps flottant à revenir vers la première position, diminue jusqu'au point oii le corps atteint la seconde , s'ensuit-il qu'au delà de cette seconde position , la tendance doit toujours s'exercer en sens opposé? Voilà ce qu'on ne saurait affirmer.

11 nous semble qu'on peut trouver des corps pour lesquels le contraire a lieu; et, bientôt, nous ferons voir à quelles conditions géométriques il faut rapporter ce cas particulier. On conçoit qu'alors si la première position est stable, la seconde est instable , dès qu'on incline un peu le corps pour le rappeler à sa position primitive. Mais elle est stable dès qu'on l'incline en seiis opposé. Alors, le nombre des positions d'équilibre diminue d'une unité. Si celte position àéquilibre mixte est unique dans son (:;enre|le nombre total des positions d'équilibre est, par conséquent , impair.

Maintenant, observons bien que si nous regardions cette singulière position stable d'un côté, instable de lautre, comme la reunion de deux positions, Tune stable et Vautre instable, qui se seraient rapprochées, la loi générale de Taltemative des stabilités et des non-stabilités, comme celle du nombre pair des positions d'équilibre, ces deux lois, dis-je, ne cesseraient pas d'avoir lieu.

Un résultat également remarquable, c'est qu en supprimant par la pensée ces positions d'un équilibre mixte ( pour n'envisager que celles dont la stabilité ou l'instabilité est absolue) , les positions d'équilibre, restantes, sont encore alternativement stables et non stables : comme si le corps n'avait aucune position possible ^équilibre mixte.

La méthode que nous avons suivie démontre ce résultat avec une extrême simplicité. Car yr, par exemple, appartenant à une position de stabilité absolue, si la courbe rr'r" éprouve seulement une inflexion en r' où elle coupe l'ordonnée yT' à angle droit, il est évident que la première ordonnée y^r* coupée ensuite à angle droit par la courbe, ne peut pas être un minimum : elle corres- ])ond à une position d'équilibre non-stable. Donc, en supprimant la position mixte qui correspond à y'r', les deux positions yF, -/P^ devenues consécutives , sont l'une stable et l'autre non-stable.

Donc , en supprimant les positions d'équilibre mixte , le nombre total des positions d équilibre , soit stables , soit nonstables , est un nombre pair (*),• et le nombt^ des positions d'un genœ , est égal au nombre de positions de Vautre genre.

!•'. MÉWOJKE.

Oq peut les regarder rommc la réunion de deux position»

dVqutlibre , Tune stable et Faulre non-stable.

Soit qu'on les en visage ainsi, ou qi^oii les supprime par la pensée, les théo* rémes précédents ont lieu dans toute leur généralité.

Fi g. j^i.

{*) Il est facile de pronyer que , dans la position d'équilibre mixte , le centre de courbure de la ligne des centres de carëne , est au centre de gravité du corps flottant. L'équilibre est mixte ou stable, suivant que le cercle osculateur a un contact d'un ordre pair ou impair , avec cette ligne , lieu des centres dé carcne.

56 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQDE. !•»,. MÉMOIRE. Actuellement, nous sommes en ëlat de considërer toutes

Du nombre absolu ... /i • i

dwposiiipnf d'Ami, les positions d équilibre d'un corps flottant sur un fluide, sans

libre quuticorpsde * * '^

forme quelconque que cc coros soit Tctenu par aucun axe fixe.

peut prendre, en * •■ -l

flottant sur un flui- Déjà uous Sa VOUS , i*". quc Ic uombre total des positions d'équilibre du corps flottant , est égal au nombre des normales qn'oa peut , du centre de gravité de ce corps, mener à la surface des centres de carène ; o?., que l'une de ces normales étant supposée verticale, la position d'équilibre correspondante est stable, ou non-stable , suivant que la distance du centre de gravité aa point d'application de la normale , est un minimum ou un maximum.

Pour trouver ces normales , faisons tourner la surface des centres de carène, autour d un axe passant par le centre de gravité du corps flottant ; cet axe ayant d'ailleurs une direction quelconque. Considérons, ensuite^ la surface enveloppe de l'espace parcouru , dans ce mouvement , par la surface des centres de carène.

L'enveloppe et l'enveloppée se toucheront suivant une série de points qui formeront nécessairement une courbe /er/w^i^ de toutes parts. Pour chacun de ces points de cotitact , la normale à l'enveloppe et à Tenveloppée , passera par l'axe. Enfin , il est évident que la normale d'aucun autre point de l'enveloppée , ne pourra passer par cet axe.

Parmi toutes les normales communes aux deux surfaces , nous ne rechercherons que celles qui passent par le centre de gravité du corps flottant. Rappelons-nous toujours que Taxe de révolution est une droite menée par ce centre.

Supposons, maintenant, qu'on ait déterminé le méridien (*)

■ IB^ .^^— ^^^— ^^^X-^ I -■ ^« ■ I ■ ■ ■- - - ■ ~ ■■ Il ~ " "—

{*) Dans le cas gênerai , la rourbc méridienne géuéralrice n*est pas sjniëtrique ptr rapport à l*axe de rotation.

de lenveloppe ^ et que , du centre de gravité du corps flottant y i^. mémoire. on veuille abaisser sur ce méridien , autant de normales qu'il est possible de le faire.

Nous venons, il n'y aquun moment, de résoudre un problème de ce genre. Nous avons vu, i*". que le nombre des normales qu'on peut abaisser sur une courbe fermée queleonque, est toujours un nombre pair^' 2*". Que ces normales sont alternativement un maximum et un minimum , par rapport aux distances du centre de gravité aux points de la courbe trèsvoisins de cette normale.

Ici , nous regardons comme doubles les normales des positions mixtes j qui ne seraient ni des miixima ni des minimal.

Maintenant, les différentes normales que nous venons de trouver représenteront , absolument , toutes les normales qu'on peut, du centre de gravité du corps flottant, mener à la surface des centres de carène.

ËQ effet, puisque la surface de révolution qui eùveloppe cette surface , la touche dans les points où les normales doivent passer par l'axe de révolution , il faut compter pai*mi ces points tous ceux de l'enveloppée pour lesquels la normale passe par un point particulier de Taxe j par exemple , par le centre de gravité du corps flottant.

Mais , à chaque normale menée du centre de gravité du corps flottant , correspond une position d'équilibre de ce corps.

L'on voit donc , premièrement , que le nombre total des po- ^^^^\^Zée^ sitions (*) d équilibre dun corps quelconque flottant sans ÔJr^f ^^"* ^^ obstacle sur un fluide , est toujours un nombre pair. Seconde-

{^) En supposant doubles les positions de stabilité relatives. D'oii suit cet autre tbëorëme : Lt nombre total des posùwns de stabilité et d'instabilité absolues , est toujours un nombre pair.

i". MÉMOIRE, ment , que si Von marche sur la courbe du contact de tenvt-^

loppe et de V ens^eloppée ^ les normales passant par le centre de grai^ité seront alternatwement un minimum et un maxionam.

Donc y en marchant sur cette même courbe , les positions d équilibre du corps flottant seront alternativement stables et non-stables ; ou , plus simplement , en tournant autour de l'axe arbitraire de rotation^ les positions de stabilité seront alternativement stables et non-stables.

Poursuivons nos considérations. La stabilité absolue a liea seulement lorsque tout autour d'une même position d'équilibre, '^ le corps flottant revient de lui-même à cette position , quelle que soit la direction de l'inclinaison qu'on lui donne. Mais la stabilité n'est plus que relative, si, dans une seule direction, le flotteur tend à s'écarter de sa position primitive , par le moindre dérangement qu'il éprouve. U suit de la que le nombre des positions d'une stabilité absolue ne peut , au plus, qu'être égal au nombre total des positions de stabilité relative et d'instabilité absolue.

Mais nous pouvons prouver directement un théorème bien remarquable; c'est que , dans V équilibre des corps flottants ^ le nombre des positions d'équilibre^ douées d'une stabilité absolue , est toujours égal au nombre des positions d'équilibre douées j au contraire , d'une instabilité absolue.

Pour le démontrer , considérons une sphère variable de rayon , et dont le centre G soit constamment au centre de gravité du corps flottant. Si le rayon de cette sphère est égal à la plus courte distance du centre G , à la surface que l'on considère , la sphère sera nécessairement tangente à cette surface; et deyra, par conséquent , la toucher au moins eu un point.

Il est évident que la surface des centres de carène étant fermée de toutes parts, à cette sphère intérieure correspondra

Tlieon'me.

toujours une sphère extérieure qui^ pareillement, touchera la i*'. mémoire. surface des centres de carène , au moins en un point.

Mais , au premier point de contact, donne par la sphère intérieure, correspond d abord un équilibre de stabilité absolue^ tandis qu au point donné par la sphère extérieure , correspond un équilibre d'instabilité absolue. De là résulte ce théorème :

Lorsqu'un corps dejigure quelconque flotte sur un fluide j il peut prendre au moins une position d équilibre dont la stabilité est absolue , et une position d équilibre dont t instabilité est pareillement absolue.

Supposons que le rayon de la plus petite sphère augmente par degrés insensibles, jusqu'à devenir égal au rayon de la sphère extérieure.

Si le corps est susceptible de prendre quelque position d'équilibre entre les deux positions extrêmes , pour chaque position intermédiaire, la sphère variable de rayon redeviendra tangente à la surface des centres de carène. Alors , suivant qn a partir du point de contact , cette surface enveloppera complètement la sphère, ou sera complètement enveloppée par elle, ou enfin ne lenveloppera qu en partie , la position d'équilibre correspondante sera : dans le premier cas , d'une stabilité absolue ^ dans le second , d'une instabilité absolue ^ enfin , dans le troisième , d'une stabilité relative.

. Or , si une sphère intermédiaire embrasse complètement la surface des centres de carène (à partir du point de contact), je dis qu'entre cette sphère et la plus grande de toutes , il y eo aura nécessairement une autre qui sera complètement embrassée par la surface des centres de carène ; et pour laqadle la position d'équilibre correspondante sera, par conséquent , diine instabilité absolue.

K MÉMOIKE.

66 APPLICATIONS DE GÉOMÉTME ET DE MÉCHANÏQUE.

Pour le démontrer, faisons tourner cette surface autour dm axe quelconque mené par le centre commun de toutes les sphères , c'est-à-dire , par le centre de gravité du corps flottant. Traçons^ de nouveau , la courbe de contact de cette sur* face avec son enveloppe. Chaque normale que nous pourrons abaisser , du centre de gravite sur cette courbe , sera le rayos d'une des sphères que nous considérons. Mais ces normales soiit alternativement un maximum et un minimum. ^ par rapport à la distance du centre de gravité aux autres points de la courbe. Donc les sphères qui leur correspondent y doivent alternativement embrasser la courbe et en être embrassées.

Quelle que soit la direction de Taxe de révolution (et, par conséquent, la direction de la courbe de contact de Tenveloppe et de Tenveloppée), il faut donc qu'entre deux sphères qui embrassent la surface enveloppée, à partir du point de contact, il s'en trouve une qui soit complètement embrassée par la même surface.

On prouvera de même, qu'entre deux sphères complètement embrassées par la surface des centres de carène, se trouve toujours une sphère aussi tangente à cette surface, et qui l'embrasse complètement, à partir du point de contact.

Donc , enfin , les positions d'équilibre douées d'une stabilité EijurrbtoiÛe %t absolue, et les positions douées d'une instabilité absolue, se

d'instabilité abso- i i i - tx • « >

lue. succèdent alternativement. De manière qu en commençant par

une position stable, on doit finir par une position instable. Donc y le nombre total des positions d équilibre dune stabilité absolue , est toujours égal au nombre des positions dé^ quilibre dune instabilité pareillement absolue.

Nous avons supposé que chaque sphère ne touchait qu'en un seul point la surface , des centres de carène. Cependant Tune d elles pourrait la toucher en plusieurs points. Si c'était , par

Du nombre égal des >ositions ae sta-

Théorème^

STABIUTÉ DES CORPS FLOTTANTS. 6i

exemple , la plus grande des sphères , il semblerait qu alors il i»- mémoire. dût y avoir plus de positions d'équilihre instable , que de positions d équilibre stable. Mais il n'en est pas ainsi.

Pour le démontrer , soit, comme dans la fîg. ig, G le centre Fig. 19. de gravité du corps flottant, g'g'SSéSu ^^ méridien de la surface de révolution formée par la rotation de la surface des centres de carène autour d un axe quelconque. Pour plus de facilité nous supposons ici que le plan de projection soit perpendiculaire à cet axe«

Si la même sphère , embrassant toute la surface des centres de carène , touchait cette surface et son enveloppe en g et en g^; alors Gg' et Gg^^ étant les rayons de la plus grande sphère tangente à la surface des centres de carène, Gg' et Gg^^ seraient les plus grandes distances du centre G à la surface des centres de carène, et par conséquent au méridien gg'g^-

Dans ce cas, il est évident que sur lare g^g^g^^ il devrait se trouver un point intermédiaire g" plus près du centre G que tout autre point de cet arc. De même sur lare g'gg„^ il devrait se trouver un point g plus près du centre G que tout autre point de ce nouvel arc. Voilà donc deux nouveaux points correspondants à des positions d'équilibre absolument instables. Or , ces deux points g et g^'-sont la conséquence nécessaire de lexistence des deux positions d'équilibre stable, données par une même sphère ayant son centre au centre de gravité du flotteur : cette sphère embrassant de toutes parts la surface des centres de carène, et de plus la touchant en deux points g et g^.

On prouverait , avec une égale facilité , que si cette sphère touchait en trois, en quatre, en cinq points, la surface des centres de carène, elle donnerait trois, ou quatre, ou cinq positions de stabilité absolue , auxquelles correspondraient un égal nombre de positions d'instabilité absolue.

I". MÉMOIRE