S VI

Des stabilités conjuguées.

Jusqu'ici , dans rezamen de la stabilité des corps flottants, on n'a guère considéré que les inclinaisons qui ^ pour nne position donnée d équilibre ^ correspondent aux directions de la plus grande et de la moindre stabilité. Cependant il peut, dans beaucoup de cas, être intéressant de connaître les stabilités intermédiaires.

Considérons un corps flottant quelconque , dans une de ses

positions d'équilibre*, plaçons-nous au centre de carène qui

correspond à cette position, et déterminons pour ce point

\ ellipse indicatrice (*) de la surface (r) des centres de carène.

DrfiDition des su- Nous appellerons stabilités conjuguées celles dont sera doué

conjuguées, j^ çQppg flottant , lorsqu'on l'inclinera , successivement , dans le

sens de deux diamètres conjugués de Y indicatrice.

Ces systèmes de diamètres conjugués de l'indicatrice, représentent^ comme on sait , autant de systèmes de tangentes conjuguées de la surface que l'on considère.

Or, les stabilités conjuguées ainsi définies, jouissent de cette propriété générale :

^acr^'ubiuS^"co*D- ^^ somme de ces stabilités , prises deux à deuxj est con-

juguees. stante ; elle est égale à la somme de la plus grande et de la

moindre stabilité du corps flottant. C'est , par conséquent , une équation du premier degré qui lie les stabilités intermédiaires aux stabilités principales.

(^} Nous avons donné la définition et démontré les propriétés des indicatrices de la courbnre des surfaces , dans les premiers mémoires de nos Déi^etoppcmcnU de géométrie .

Fig. 6.

Pour démontrer cette propriété , considérons , lig. 6 , un i^. mémoire. corps flottant ayant en G son centre de gravité.

Soit vie centre de carène qui correspond à la position naturelle d équilibre , position dans laiquelle la verticale yG est normale à la surface (r) des centres de carène.

Supposons qu on dérange un peu la position d'équilibre , sans changer le poids du corps : de manière que y' soit le centre de la nouvelle carène y et y'c la nouvelle verticale.

Alors nous aurons deux forces égales et dirigées en sens con-^ traires, savoir : le poid^ du corps agissant en G^ de haut en bas; et la répulsion du fluide y agissant suivant yc ^ de bas en haut. Ueflet de ces forces , pour faire tourner le corps autour du centre G, se mesurera parle poids F du corps flottant^ multiplié par la distance Gm du centre G à la nouvelle normale y'c.

Supposons 9 maintenant, que Fangle yc/ doive être constant ; appelons a cet angle , nous aurons Gm = Gc x sin. «. Par conséquent, le moment de P sera représenté par sin. a.P.Gc; produit dans lequel Gc seul pourra varier, suivant le sens de Tinclinaison du corps flottant.

Appelons D la distance du centre de gravité G du corps flottant , au point y; soit R le rayon de la courbe yy y"... Alors nous aurons Gc = R — D j et , par conséquent ,

sin. aJP.Gc = sin. «.P (R — D).

Maintenant, soient R', R" les rayons de courbure de deux sections normales conjuguées , faites par le point y , dans Findicatrice de la surface (r) des centres de carène.

La stabilité du corps flottant sera mesurée , dans le sens de la première section, par R' — D ; et , dans le sens de la seconde, par R" — D. Ainsi, la somme de ces stabilités conjuguées sera

I '.MÉMoiiuE. Or y la somme des rayons R', R'' de deux sections conjuguées, en un point y dune surface dont les deux courbures sont dans le même sens, est une somme constante , ^ale à la somme des rayons conjugués de plus grande et de moindre courbure (*).

Nous supposons d'ailleurs invariable la distance D du centre de carène y , au centre de gravité G du corps flottant.

Donc y si Ton prend la somme des stabilités du corps flottant, i"*. suivant la direction de chaque tangente , en y , à la surface des centres de carène ; s"*, suivant la direction de la tangente conjuguée à celle-là , toutes les sommes qu on formera de la sorte seront égales entr elles.

Et ces sommes seront égales à la somme de la plus grande et de la moindre stabilité du corps flottant.

Telles étaient , en effet , les propriétés que nous avions avaih cees.

(*) Vojct Défn^ppEMFirrs de géométue , premier mémoire , S IV , Théorie da tangentes conjuguées.

l»% % %»»M^ » *»%»*O f %»%»»**%%»*»^%»W<%^%M»<^^^<^—%<W<^»%%<»f %»<*»*<i^^»%»%%^»%^%<< >%% %»^ %%m% M tl^m tlM»%l>i%M %%» % %%»%%»»

I**. MÉMOIRE

NOTE PREMIÈRE

Comment la Gréométrie descriptive peut s'étendre à des masses de d^n»

sites différentes dans leurs diverses parties.

JNous allons faire voir de quelle manière on pourrait représenter gëomëtriquement un corps formé de parties dont la densité n'est pas constante.

Nous supposons que la densité varie d'un point à un autre , par une gradation continue , mais d'ailleurs suivant une loi quelconque : hypothèse que nous pouvons toujours admettre.

Car^ en isolant par la pensée ^ toutes les parties ou cette continuité cesserait d'avoir lieu^ nous décomposerions une seule masse en plusieurs autres dont les éléments auraient une ^ensité constante ; ou ^ du moins ^ une densité variable par degrés insensibles i en passant d'un point à un autre.

En vertu de cette même continuité , si Ton détermine dans le corps tous les points au delà desquels la densité dépasse un certain terme A^ et en deçà desquels la densité est au-dessous de ce terme , ces points formeront une surface pareillement continue.

En supposant que A prenne successivement toutes les valeurs ^ depuis la plus grande jusqu'à la moindre densité des parties du corps que Ton veut représenter ^ on va former un système de surfaces qui remplira complètement l'espace occupé par le corps.

En prolongeant ces surfaces autant que leur nature le permet ^

I». MÉMOIRE, elles s'étendront au delà du corps solide; et souvent n'auront ^ dans

leurs parties extrêmes y rien de commun ayec les parois de ce corps. Fig. ai. Maintenant! il est visible que si nous considérons la couche abcd,

comprise entre deux surfaces infiniment voisines , tous les points de cette couche auront une densité A plus grande que A' et plus petite que A^ ; or y les densités A' et A^ ^ appartenant à deux surfaces ac eibd itiiinimeut voisines , diffèrent infiniment peu Fune de l'autre. Donc la densité des diverses parties de la couche abcd ne peut varier que de quantités infiniment petites. Par conséquent , on doit regarder cette couche comme ayant une densité partout constante. Il en est de même des autres couches.

Il est visible , d'ailleurs, que le volume réel de la masse de chaque couche , est égal à son volume apparent multiplié par sa densité.

Si donc nous supposons l'épaisseur de ces couches réciproquement proportionnelle à leur densité, il est visible qu'alors leur volume réel ou leur masse sera constante. Nous regarderons chaque partie comme formant un corps ayant cette masse , ce volume réel, partout les mêmes. Comme , alors, nous n'aurons plus que des volumes ordinaires à considérer, tout rentrera dans le dooMiine de la géométrie pure à trois dimensions.

C'est ainsi, par exemple, que dans l'application des hauteurs barométriques h la détermination de la hauteur des montagnes, on regarde latmosphère comme étant composée de couches horizontales qui doivent avoir une densité constante , pour les divers points de chaque couche.

Si donc on suppose que les épaisseurs de ces couches soient eu raison inverse du poids total de la partie de l'atmosphère supportée par chacune d'elles, des superficies égales , prises pour bases de ces couches, correspondront à des parties de couches, toutes égales qu poids. ^'^ >2- En divisant l'horizontale indéfinie AL, par des ordonnées verticales

équidistantes la , 26 , 3y , etc. ; puis concevant les trapèzes infiniment l>etîts et d'égale surface ABSa, BC76, CDjy , etc.; l'aire d'une partie quelconque AMjxa, comprise entre Taxe AM el la courbe «pi, représentera le poids totid de la partie de l'atmosphère qui correspond à la hauteur AM. Il est facile de voir, d après la construction que nous

STABILITÉ DES œRPS FLOTTANTS. 67

venons de donner , que la courbe €f!^...ik n est autre cbose que celle in, iiémoike. qu'on désigne sous le nom de logarithmique , parce que les ordonnées y sont les logarithmes des abscisses. D'où Ton conclut immédiatement que les densités des différentes couches de l'atmosphère sont proportionnelles aux logarithmes des hauteurs^ etc.. Nous ne pousserons pas plus loin cette application.

De ces diverses considérations , il va naître un nouveam moyen de description des corps. La forme et le volume réel de la matière , seront complètement définis , non plus seulement par la surface extérieure ; mais par l'ensemble des couches d'égale densité , réduites au même volume et composant la masse que Ton considère.

Dans le dessin de la Géométrie descriptive , les couches les plus denses étant ainsi figurées par les lignes les plus rapprochées , ces nouvelles épures ofiriront très-sensiblement à nos yeux , l'effet que feraient ces corps supposés imparfaitement transparents.