S IV
Recherche des lignes et des rayons de courbure de la surface
des flottaisons.
Avant de procéder à la recherche des lignes de courbure de la surface (4>) des flottaisons, nous allons indiquer une proposition très-simple.
ni«onmr préiimi- Considérons un premier plan tangent en F à la surface (♦),
et tous les pians qui, pareillement tangents à (4»)^ forment avec le premier un angle infiniment petit et constant. Parmi tous ces plans ^ le plus voisin de F appartient à la ligiie de plus grande courbure ; le plus éloigne appartient au con-
posiiion relative de trairo à la lîgnc de moindre courbure de la surface (^) {les talM^c^^cutife' deux lignes de courbure partant du point F } : cela est eVi-
dent (*).
Kijç ,/,. Actuellement, considérons un corps flottant quelconque ,
placé d'abord de manière qu'il ait aFA pour plan de flottaàson. Supposons que Ton incline successivement ce corps , en tous sens , et d'une quantité constante infiniment petite. Voyons , dans ces diverses positions , ce que devient Taire de la flottaison et le volume de la carène.
i'-. eau, où la iur- Nous savons quo le point Fou le plan de flottaison 3FA
lace eite'neure du * • ^ * ,
rorp. flotunt est loucho la surfacc (0) des flottaisons , est toujours le centre de
rjrliiidnque. ^ ^ ' ^ ^ •*
gravité de Taire terminée , sur ce plan , par la paroi extérieure du corps flottant. Si cette paroi extérieure était cylindrique^il suffirait de faire passer par F, centre de gravité de Taire de la
Fi;;. iS.
(*) Il suffit, en effet , d'un seul mol pour se convaincre de la vérité de cette assertion. Faisons tourner autour de la normale de (<I>), en F, les deux lignes de moindre et de plus grande courbure ; la première enveloppera toute la surface (*) , et la sfcoade sera constamment enveloppée par celle même surface.
flottaison primitive , un plan qui formât toujours le même i". mémoire. angle avec la première flottaison «FA. Alors la surface des flottaisons ne serait qu'un point : ce serait lé centre de gravite commun à toutes les aires des flottaisons.
Mais si nous supposons que les parois du flotteur forment Cas gëneVai , où u
j, , ,.^^, . 1 • 1^1 • ^ 1 • forme de cette sur-
dans leurs différents pomts , un angle variable suivant une loi face est queicon-
quelconque, avec la surface de niveau du fluide, et par consë- Fîg i4.
quent avec la verticale , le problême devient plus compliqué»
A chaque nouvelle inclinaison du plan de flottaison , le centre de gravité F de Faire de flottaison , se déplace d'une quantité différente.
Il y a plus : si nous menons le plan SFB par le centre de gravité F de la première flottaison, ce nouveau plan (même en le supposant infiniment voisin du premier) n'interceptera plus avec lui, dans le corps flottant , deux onglets nécessairement égaux en volume. Le nouveau plan 6FB n'est donc plus , par rapport au corps flottant, un plan de flottaison.
Il faut alors concevoir un plan S'F'B' qui lui soit parallèle , et qui ajoute à la partie la moins volumineuse aFs, la tranche sFF'ê' j tandis qu'il enlève à l'autre partie , la tranche BFF'B' : de telle sorte qu'enfin les deux segments aF'S' et AF'B' soient égaux en volume.
Il est évident, d'après cela, que la différence des onglets inégaux «Fg et AFB est égale au volume de la tranche entière co'B'B. Or , les aires des flottaisons représentées par les droites sFB et êT'B', diffèrent infiniment peu de l'aire aFA de la flottaison primitive. Donc le volume de la tranche 66'BB', est proportionnel à l'épaisseur FM de celte tranche : épaisseur évidemment égale à la distance FM du point F au nouveau plan de flottaison.
Mais tous les plans de flottaison sont , par hypothèse, tan-
i^ af ÉNoiRF. gents à la surface ($) enveloppe des flollaisons ; et tous ceux*
S'F'B' que nous considérons^ font avec le premier plan aFA, le même angle infiniinent petit. Dans ce cas aussi nous avons prouve que 9 parmi les plans tels que &F'B\ celui dout la distance au point de contact F, est un maximum ou un minimum, doit Htq tangent à la ligne de moindre ou de plus grande courbure de (*) : les deux lignes de courbure passant en F.
Donc , pour trouver en un point quelconque F ^ la direction des lignes de plus grande et de moindre courbure* de la surface des flottaisons , il suflit de déterminer le plan o'F'fi' pour lequel l'épaisseur FM, et par conséquent le volume de la tranche So'fi'B, et par conséquent aussi la différence des onglets aFS, AFB, est un minimum ou un maximum.
^'^'A • ^' D après ce que nous avons vu précédemment , nous savons que
si la surface extérieure du corps flottant était cylindrique, les parois de ce corps se trouvant alors représentées par les parallèles oy, AC, les deux segments solides représentés par «Fy, AFC , seraient égaux en volume (^).
Fi« 16 et 17. Par conséquent, pour que la différence des deux segments.
xVë , AFB , soit un maximum ou un minimum , il sulïït de rendre un maximum ou un minimum le volume total (**) des filets
{*) Observons bien ici que le plan de projection des figures i4> i5, 16 el 17, élant perpendiculaire au plan de flottaison aFA , nous représentons simplement par « ou A, un point quelconque du contour de la flottaison.
('*''*') 11 importe ici de faire une remarque sur la corrélation des triangles xCy, ABC. Les deux parois ao, AB prolongées , ren contreront la verticaleen dessous ou en dessus de la flottaison. Dans le premier cas , c*est celui de la figure 16, il est évident que aF7=: AF( ; donne AFR — «FÔ = ABC + «^v- Dans le second cas , figure 1^ , 011 lo parois a«, AB prolongées se rencontreraient au-dessous de la flottaison , on aurait xYy =r AFC. D'oii «¥9 — AFB = uÔy -]- ABC. On voit donc que pour passer du premier de CCS cas au second , ou réciproquement , il suflit de dire que l'aire de ABC, comme celle de aCy , a changé de signe ; alors la diflërence des deux onglets «FC, AFB,
t riangulaîres «êy , ABC , compris entre les plans de flottaison li". mémoire, infiniment voisins «FA et SFB , le cylindre vertical ayant pour base le contour de la flottaison «FA , et les parois «S, AB du corps flottant.
Déterminons le volume de ces filets triang^ulaires oui s eten- Première exi>ression
lin- ^ de ce filet trwu-
dent tout le long du contour de la flottaison y par exemple y guiairc. celui de aSy. L angle ayS différant extrêmement peu de Tangle
droit , appelions T le rapport - ; il exprimera ce qu on appelle , en trigonométrie , la tangente de Tangle êay. Comme la surface du triangle «Sy rectangle en y, a pour e]q)ression ^ ' ■ ^^
on voit qu'elle est égale à la tangente T multipliée par — .
En désignant par doù la tangente de Tangle infiniment petit que font entreux les deux plans aFA et gFB, nous aurons ay = Fa X don. Donc, enfin, le triangle «Sy a pour surface
Si nous multiplions ce produit par rfE , épaisseur infiniment petite d'une tranche du filet , comprise entre deux plans ver-
ticaux parallèles à un plan donné , nous aurons -^ — T.rfE
pour élément solide du filet. La somme de ces éléments sera le volume du filet même.
Pour donner à cette évaluation une forme qui convienne seironde «xpresMou. mieux à nos recherches, supposons le filet triangulaire divisé en tranches d'une épaisseur constante infiniment petite, par des plans normaux au contour de la flottaison. Le volume total du
sera toujours égale à la somme des filets triangulaires «Cy , ABC. En général , ou {irendra le sigue/7/i/f ou le signe moins y suivant que la paroi , au-dessus de la flottaison, formera un angle plus grand ou plus petit que l'angle droit avec le niveau du fluide.
]•'. MÉMOJRF. filet sera égal à la surface totale des tranches triangulaires formées dans le filet, multipliée par 1 épaisseur constante de ces tranches.
Soit, dans la position d'équilibre pour laquelle «FA représente la flottaison , soit, disons-nous , 6 la tangente de Fangle formé
par la verticale avec la paroi du corps flottant. Alors " ' ''
sera Faire de chaque tranche du filet. Si nous désignons par ds lelément du contour de la flottaison , la somme des élé-
</w* Fit* B
ments — '■ — '- x ds sera par conséquent le volume total du
lilet. D'oii résulte ce théorème remarquable : théorème Rcncrai. Si l'on applique à chaque point du contour de la flottaison ,
un poids proportionnel à la tangente 9 de Fangle que la verticale forme, en ce point, avec la surface du corps flottant, on
va déterminer une ligne pesante continue; or
Les axes principaux du plus grand et du plus petit moment d'inertie de cette ligne, seront respectii^ement parallèles aux lignes de moindre et de plus grande courbure de la surface (*) des flottaisons. 11 est évident, en effet , que Fon aura respectivement pour ces deux axes, représentés tour à tour
en projection par le point F, / -7-^. ds x la constante cfw^ = un
maximum ou un minimum.
De la grandeur des Maintenant que nous connaissons la direction des lignes de
rayons de cour- •■ ji ^ in..* «i
bure de la surface courhurc dc la surlacc des nottaisons , il nous reste, pour com-
des flottaisons. ^ r \ • i r • -r^ * i
pleler la connaissance de celte surlace, au point F, a déterminer la grandeur de ses deux rayons de courbure en ce point : c'est ce qu il est possible de faire en deux mots. r.g. i8. Soit, un infiniment petit du premier ordre FNR, lare du
cercle osculateur de la ligne de courbure que Ion considère; LN=FM sera la flèche de cet arc, et la tangente F'N=F'F,
STÀBIUTÉ DES CORPS FLOTTANTS. 4/ v
ne différera du quart de la corde FLK , que d'un infiniment i" mémoire. petit du second ordre. Donc , le rayon de ce cercle qui a pour
