SECOND MÉMOIRE

PRÉSENTÉ A LA PREMIÈRE CLASSE DE L'INSTlTtlT DE FRANCE,

LE LUNDI aS SEPTEMBRE i8i5.

INTRODUCTION

On ne peut guère parcourir de pays très-montueux , sans que Tesprit se porte de lui-même, sur la manière plus ou moins avantageuse dont les routes sont adaptées aux formes du terrain. C'est en faisant de semblables voyages, que j'ai trouvé les principes qui forment Tobjet de ces recherches, et rédigé le mémoire pour lequel j'ose réclamer l'indulgence de la Classe. Les applications s'offraient d'eUes-mômes , dans les diverses opérations dont j'étais le témoin et l'observateur. Ainsi, je pouvais rapprocher sans cesse les conceptions de la théorie et les faits de la pratique. Un tel rapprochement donnera , peut-être , quelque prix à naon travail.

Il faut montrer , d'abord . que les questions qui tiennent à Qn* i« théont du

. ^ ^ ^>«i ^^^^ ^* routes est

la théorie des routes , ont pour caractère général , d'être indé- indépendante de la

'I o 7 considération des

pendantes de toute considération relative , soit à l'accélération , ▼»*«»«• soit à la retardation ( instantanées) de la vitesse des moteurs et des mobiles qui parcourent ces routes.

II*. MÉMoiBE. Dans les transports que nous eflectuons au moyen des forces

dont nous pouvons disposer^ nous n'avons pas seulement à vaincre Tinerlie des corps que nous transportons. Les frottements des machines que nous mettons en usage , les obstacles que produisent l'irrëgularitë ^ la ténacité , la viscosité du terrain^ el la résistance delair , et l'action du vent ^ et beaucoup d'autres causes ^ se réunissent pour consommer , à chaque instant y la force accélératrice communiquée par les animaux qu'on emploie. Ainsi^quoiqu à chaque instant une nouvelle force motrice vienne ajouter son impulsion à celle dont l'action est précédemment imprimée , le transport^ au lieu de prendre un mouvement toujours accéléré, comme il devrait Tétre sans les obstacles qui renaissent perpétuellement, le transport ^ disonsnous, ne reçoit néanmoins qu un mouvement uniforme, sur un terrain horizontal ; et, même sur un terrain d'une pente descendante assez sensible.

Aussi , dains les transports que nous avons à considérer ^ faut-il une force totale incomparablement plus grande , pour faire parcourir un certain espace à un corps donné, -que la quantité d'action nécessaire pour lui faire parcourir cet espace, dans le même temps, s'il n'était retardé par aucun obstacle. «^ L'expérience justifie ces considérations. On observe que l'homme et les animaux employés aux transports y soit qu'ils marchent sur un terrain parfaitement horizontal , soit qu'ils cheminent sur une pente plus ou moins prononcée , ne prennent pas une vitesse variable à chaque instant^ comme semblerait devoir l'indiquer le renouvellement continu de leurs efforts. Lors même qu'ils n'ont rien à porter , ni à traîner, leur marche ne peut acquérir qu'une certaine vitesse. Eniin , le développement le plus avanlageux de leurs forces ] fait resserrer les variations de cette vitesse, entre des bornes très-rapprochées.

DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. j;

Pour ces raisons, et quoiqu'il soit vrai de dire que, dans les ii*. mémoiive, pentes assez fortes , Thomme et les animaux accélèrent ou rallentissent naturellement leur marche , suivant qu ils montent ou qu ils descendent , il est vrai de dire aussi que leur vitesse n'est guère différente, lorsqu'ils cheminent sur une route parfaitement horizontale , ou sur une route dont la pente est très-^pen considérable.

L'accélération dans les descentes , est encore moins sensible que la retardation dans les montées « Lorsqu'on a des voitures à conduire, on est forcé d'empêcher l'accélération qu'elles pourraient prendre , dès qu'on arrive à des pentes trop rapides. On y parvient , par exemple , en arrêtant le mouvement d'une des roues : c'est ce qu'on appelle enrayer. Lorsque des hommes ou des animaux cheminent librement , ou portent des fardeaux au lieu de les tramer , ils conservent d'eux-mêmes à leur marche , une régularité dont ils ne peuvent que momentanément s'écarter d'une quantité considérable : à moins d'épuiser toutes leurs forces , et de s'exposer à des chutes fort dangereuses. 'Les recherches qui tiennent à l'accélération , à la retardation instantanées des vitesses, et qui font proprement l'objet àxj la méchanique transcendante , doivent donc être écartées des questions relatives à la théorie du tracé des routes. Examinons les principaux éléments qu'il faut prendre en considé-* ration (*).

Toutes choses égales d'ailleurs, la route la plus avanta^reuse ^'«^«««t» <iui pcu-

*^ A ô vent influer sur 1«

est, suivant les cas, celle qui demande le moins de temps ou le ^*^^***» ">"^moins de forces, ou la moindre dépense.

Lorsque le temps doit être un mininmm, et lorsque les routes ''• ^ ^"np« m» i sont destinées , soit à des hommes , soit à des animaux qui mar-

{^) Voyez les notes première et seconde y à la fin du Mémoire.

II* MÉMomE chent d'un pas constant^ il est ëvident que la route la plus courte

€ntre deux points donnés , est toujours la plus avantageuse. Observons bien , cependant ^ que Thomme et les animaux ne peuvent marcher d'un pas constant , en portant ou traînant un fardeau détermine , que quand la route ne dépasse pas une certaine limite dont nous parlerons bientôt avec détail, a-. La force em- Si l'ou veut quc la quantité totale de forces ^ au lieu du

lurcourir. tcmps , soit uu minimum ^ le problème devient plus compliqué.

Il faut connaître , pour chaque espèce de transport y la quantité de forces qu'il est nécessaire d'employer en parcourant une unité d'espace , avec une masse donnée ; depuis la descente k plus rapide, jusqu'à la montée la plus rude. En partant de cette évaluation primitive , on peut se demander ensuite, quelle est, entre deux points choisis sur un terrain quelconque , la route qui nécessite la moindre quantité de forces , pour le transport d'un fardeau déterminé.

Nous démontrerons d'abord^ que si l'on chemine sur uu plan^ la route qui demande la moindre quantité de forces , est nécessairement la ligne droite. Nous ferons voir, ensuite , que si l'on chemine sur une surface courbe dont toutes les pentes sont assez peu considérables, la ligne la plus courte est celle qui demande le moins de force totale, pour aller d'un point à un autre., {f^ojez le Supplément à la suite du troisième mémoire de cet ouvra se).

3».uprixdestrans Passons à la demièrc hypothèse, à celle qu'il importe sur-

ports effectues »ur ^ *> l ^ ^ r

lei routes. ^^^^j ^|g cousidérer dans la pratique : supposons que le prix du

transport doive être un minimum.

Dans tous les travaux de Taix^hitecture civile ou militaire , dans les transports opérés sur terre , on par le roulage , ou par la poste, etc., le prix du transport est proportionnel à la distance parcourue. 11 est beaucoup de cas oii ce prix est augmenté d'une

somme proportionnelle à la hautem* des montées 5 et quelquefois ii«. mémoire. rëduit proportionnellement à l'amplitude verticale des descentes. Si donc on parvient , par des considérations quelconques , à déterminer la position des points culminants(^) et des points les plus bas d une route , il est évident que 1 élévation totale de chaque montée , ainsi que rabaissement total de chaque descente , sont déterminés pour ces points. Alors les hauteurs ne varient pas , quels que soient le développement et la forme de la route. Il ne reste donc plus de variable, que le prix proportionnel à la longueur de cette route, or, un tel prix est évidemment un minimum j lorsque la route est la plus courte possible. Tel est le point de vue sous lequel nous allons envisager la théorie du tracé des routes.

Le cas le plus simple que puisse offrir cette théorie, est la ^ro^tî^ïa^ius aï^ recherche de la direction de la route la plus avantageuse pour d'fn'pomt" i^'^im aUer d'un point à un autre. îaT quTcon^r '

Ce premier cas renferme ^ comme on voit , toute la théorie du tracé de chaque route destinée à la circulation des hommes , ou des animaux , et des voitures traînées par des moteurs vivants ( lorsqu'une fois on a fixé , pour cette route , le point de départ et le point d'arrivée ).

On peut supposer, ensuite, qu'un nombre quelconque d'ob- second cas. Du iy%jets, rangés suivant un certain ordre, doivent être transportés p^"» avantageux

^ ^ ■ ' * pour transporter

dans un espace déterminé : sans qu'on ait pourtant fixé dans JJ^^ Tob'^ti^Tc^ cet espace, une position plutôt qu une autre , à chacun des objets ^upeli'i^^^^^^^^ qu il faut transporter. La seule condition qu'on ait alors à rem- p««^on»dt^te«^«i. plir y est d'effectuer ce transport avec la moindre dépense totale de temps et de force. On voit qu'ici , non-seulement se

{*) On appelle ainsi les sommets ou points les plus ëlevës des routes , d'après le uiot latin culmen , adminis j qui signifie cime , ou sommet.

8o APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

n«. MÉMOIRE, présente la difficulté de tracer chaque route, après qu'on' a fixé

son point de départ et son point d'arrivée; il faut, de plus, trouver le point d'arrivée qui doit correspondre à chaque point de départ. Nous commencerons par traiter le premier cas y nous passerons ensuite au second.

De la détermination dune route en général.

^/TantâgèuL*^^^ Toutes choses égales d ailleurs, plus une route est courte,

borixo'îiuî! '*'^°''' *" moins elle exige de temps pour être parcourue; la plus avantageuse est , alors, la plus courte possihle. Ainsi, par exemple, tout transport qui doit s effectuer sur un terrain horizontal et partout également tenace, également uni , doit être effectué en ligne droite ; puisque les difficultés du transport sont les raiémes, suivant toutes les directions marquées sur ce terrain. ^ 'yo«*'"«îr peuv^ilît Si nous n avions égard qu a l'étendue des espaces à parcou^ dans un tl^s-peliî ^ir, la routc la plus avantageuse serait toujours la ligne droite Cl as. ^^j joint les deux points limites de cet espace. Mais nous ne pouvons pas suivre une voie arbitraire et pour ainsi dire idéale, lorsqu'il s'agit de faire franchir, aux fardeaux que nous voulons déplacer, l'intervalle qui sépare le point de départ et le point d'arrivée. 11 faut que nous traînions ces fardeaux sur le sol où nous existons, et que nous en suivions les inflexions, les détours et les irrégularités de toute espèce. Ce ne serait donc s'occuper que d'une question curieuse en elle-même, mais idéale , et presque sans application , si l'on regardait la direction des routes comme étant toujours rectiligne. Une telle hypothèse pourrait conduire à des vérités géométriques d'un trèsgrand intérêt pour la science, mais sans utilité pour la pra-

DU TRACÉ DES ROUTËSISOtEËS:

lique. Or , c'est vers ce deroier but que nous cherchons , main- ii-. mémoire. tenant , à diriger nos efforts,

G. Monge , qui seul encore a tente de soumettre à la géo- B'^fl"»"»'" ^i? Mobsb nie'trie , la recherche des routes les plus avantageuses à suivre , dans les travaux de déblais et de remblais , a fait lui-même ces dernières observations. II les a présentées, il y a long-temps , en terminant le beau mémoire dans lequel il a développé , pour la première fois , la théorie de la courbure des surfaces ; théorie qu'il exposait alors , pour l'appliquer immédiatement au cas abstrait qu'il se bornait à considérer.

« La solution de ce problème, qu'il eût été très-difficile de » trouver (dit ce grand géomètre) par les méthodes ordinaires " des maximum et des minimum , est très-éloignée d'être ap- » plicable à la pratique , tant à cause des difficultés que l'ana- » lyse peut présenter , que parce que nous ne sommes pas dans » l'hypothèse de la nature : en effet , dans le transport dts » terres, chaque molécule ne peut pas toujours suivre la droite » menée du point de départ au point d'arrivée, on ne peut que >' la traîner sur la surface du terrain, dont, à cause de la » pesanteur, elle doit suivre les sinuosités, surtout dans le " sens vertical. Ces considérations, dit toujours l'auteur que >' nous citons , nous auraient empêché de traiter ce dernier cas » (celui du transport d'une masse divisible), s'il ne nous eût " pas fourni l'occasion de publier quelques propriétés nouvelles X et remarquables des surfaces courbes considérées en général. »

Nous nous proposons spécialement, dans le travail dont nous Da„, , allons exposer les résultats , d'étendre nos solutions aux cas rouCru1.Xt%tîî pour lesquels les routes ne sauraient être dirigées suivant la contiouês o°l"^b^' ligne droite menée du point de départ au point d'arrivée. C'est le seul moyen que nous puissions avoir d'ajouter quelque chose aax-recherches d'un illustre devancier.

82 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. iKMÉMOiBE. Demandons-nous d'abord, lorsque le terrain, sans cesser ^ayin JgcuL s"u?un d'être uue surface plane , n'est pas horizontal , quelle est la pianinchnë. ,.Qutg 1^ plus avautageuse qu'il soit possible de suivre pour

aller d'un point à un autre de cette surface plane ?

Afin de résoudre cette question importante, il faut revenir , un moment , aux considérations qui tiennent à la nature des moteurs qu'on emploie pour effectuer les transports.

!•. Lorsque rincii- L'cffort quo les hommes et les animaux exercent en che-

naison est très-pe- -■• i»i /» •!•*

^^^^' minant sur une route horizontale ou fort peu mclinee, cet

effort, dis-je, et la vitesse qui en résulte , ne diflerent que de quantités très-petites. Ainsi, quand la route, au lieu d'être horizontale, monte ou descend d'une très-petite quantité, l'accroissement ou la diminution d'effort et de vitesse est peu considérable , par rapport à l'effort qu'il fallait produire et par rapport à la vitesse qu'on obtenait sur la route horizontale.

Mais , lorsqu'entre deux points donnés , une droite tracée sur un plan présente une pente très-petite , si l'on voulait tracer sur ce plan , entre les mêmes points , une ligne qui partout eût une pente sous-double, ou sous-lriple, ou sous-quadruple , etc. , il faudrait doubler, ou tripler, ou quadrupler, etc. la longueur de la route. Par conséquent, alors, on perdrait beaucoup plus par l'allongement du chemin , qu'on ne pourrait gagner par la diminution d'effort et de vitesse, due à la pente ainsi rendue plus douce.

Theorcmc. J)q là nous concluroos ce premier théorème : Lorsquon doit

cheminer sur un plan incliné , et que la droite qui joint le point de départ au point d'arrivée ^ offre une pente peu considérable , cette ligne droite est la route la plus ai^antageuse qu'on puisse tracer sur ce plan , depuis le point de départ jusqu'au point d arrivée.

La ligne droite , ainsi menée du point de départ au point ii*. MiMOihE.

,., - , Dcûaition des routes

d arrivée , est ce que nous appelerons la route directe. directes.

Après avoir examiné le cas où les pentes du terrain sont ^*' Lorsque rindi-

1 X naison du plan est

très-petites , passons de suite au cas oii ces pentes sont très- *'^s-^^'^*« fortes. Elles pourront avoir une rapidité telle qu'il soit impossible aux hommes et aux animaux de cheminer en les suivant^ même sans porter ni traîner aucun fardeau. On sera contraint, alors 9 de prendre pour route une ligne courbe ou du moins une ligne brisée , plus longue il est vrai que la route directe , mais qui partout offre une pente plus douce.

Nous appelerons cette nouvelle direction route oblique , Deiinition des routes

. . obliques.

par opposition à la route directe.

Entre les pentes très-douces malgré lesquelles la route di- Limite des pentes où

. . . y i* • finissent les routes

recte est la plus avantageuse , et les pentes tres-iorles qui con- directes , et com-

^ * , mcncent les routes

traignent d abandonner la route directe , pour en suivre une obliques. détournée plus longue mais moins inclinée, il doit exister une pente moyenne au-dessus delaquelle les routes directes cessent d'être Jes plus avantageuses , et doivent par conséquent être abandonnées.

Puisqu'il existe une certaine pente au-dessus de laquelle il vaut mieux allonger les routes pour diminuer la rapidité de leur inclinaison , concluons-en que les routes ne doivent présenter, en aucun de leurs points , une pente plus forte cjue cette limite.

Si donc on chemine sur une suite de plans diversement in- De u route forisëe