PI. V

lir MÉMOIRE, il s'appliquera complètement sur la route directe DG. En faistfit

mouvoir Textrëmité G de ce fil y nous allons tracer une courbe. Si cette courbe oscule en G la section horizontale SGS, les routes infiniment voisines DC, DG" seront égales à DG. Mais , suivant que cette courbe embrassera la section horizontale ou sera emr brassée par elle , la route directe DG sera , par rapport à toutes celles qui lavoisinent y un maximum ou un minimum / et par conséquent aussi , la route mixte DG^R.

Traçons les diverses routes directes DG , DA'C', DCA', que l'on peut mener, du point D , sur le terrain représenté par

les sections horizontales SGS, S'G'S', (de manière que les

routes directes mesurent les plus courtes distances de ces sections au point D). En faisant passer la courbe A'GA'A''... par tous ces points, elle rencontrera la courbe AAA, limite des routes obliques , en un point G qui sera placé sur la plus avantageuse des routes. Ainsi DGAR sera la route mixte cherchée.

Si y du point D^ Ton pouvait tracer jusqu'à chaque section horizontale y plusieurs routes directes plus courtes que les routes infiniment voisines^ c'est qu'il y aurait plusieurs routes mixtes qui conduiraient , de D en R, plus avantageusement que celles qui les avoisinent. Lorsqu'une fois ces routes les plus avantageuses seraient tracées y on n'aurait plus à faire d'autre opération , qu'à comparer le développement de ces routes choisies , pour connaître celle qu'il faut définitivement préférer. Fig. lacni. Si l'on trace , sur le terrain , une courbe horizontale quel-

pi. ^^I. conque, GG'G"G"'j et si, d'un point D (pris au dedays de GG'G^G'", fig. 12, ou au dehors, fig. i3), on trace toutes les routes directes DG , DG', DG", DG'*, qui viennent aboutir perpendiculairement sur cette courbe , elles seront nécessairement en nombre pair. De plus , en les comparant avec les routes qui les avoisinent , elles seront alternativement des maxima et des

minima. Ces dernières seront les seules qu'il faudra considérer ''* mémoire: dans les recherches qui nous occupent.

On mènera , du point D , toutes les lignes directes les plus courtes possibles. Autant on en pourra mener^ pour chaque section horizontale, autant on trouvera de routes mixtes plus avantageuses que celles qui les avoisinent. Enfin, par une simple comparaison y on déterminera le minimum de ces routes minima.

n est un cas particulier qu'il est essentiel d'examiner ; c'est celui dans lequel, du point C oii la route directe DG est perpen- p^ ^^ dicùlaire à la section horizontale qui coupe en G > AAA limite des routes obliques, aucune route oblique GR' ne peut aller jusqu'en R.

Il faudra voir , avant tout , si la route directe , menée du point D au point R , présente en tous ses points une inclinaison qui n'excède pas la limite des pentes. Alors , en efTet , il n'y aurait point de partie oblique , et la route directe serait évidemment la plus avantageuse.

Si la route directe ne peut pas être suivie , parce qu elle Ro«>e muie compoprésente des pentes trop fortes , il faut du point R tracer sans ""aJ^^g^iw^"* aucun zig-zag, les deux routes obliques RM, RN; puis tracer les sections horizontales MK , NK'. Alors , si ( comme dans la fig. i4) les angles aigus DMK , DNK' sont tournés du côté droit , ce sera la route à droite DM , qui sera la plus avantageuse , et la route DN qui sera la plus désavantageuse : parmi toutes celles qu'on peut mener de D en R.

Si la route oblique , au lieu de s'étendre jusqu'au point d'arrivée R , se termine à quelque distance de ce point , le problème devient plus didicile. Il faut , pour la meilleure solution de ce nouveau problème , que l'angle formé par la route oblique avec chaque route directe, satisfasse aux diverses conditions qui conviennent au cas que nous venons d'examiner.

l-ig. i5.