PI. VII

iK MÉMOIRE. Admettons^ d'abord^ que chaque route directe DG, RE

soit, sur le terrain, la plus courte distance depuis le point D de départ et le point R d arrivée , jusqu'à la section horizontale qui passe par le point de raccordement de la route directe avec la route oblique ; dans ce cas y une route mixte sera la plus avantageuse possible. Elle sera composée de ces deux parties directes y et de la partie oblique qui les raccorde. Fig. i5. Si les deux routes directes DG , RE , qui mesurent les plus

PI. VIL courtes distances dont nous venons de parler ^ aboutissaient sur les limites des routes obliques AA , A'A^ en deux points G , E^ qu'on ne pourrait pas joindre par une route oblique, il faudrait renoncer aux deux routes directes DG, RE.

Soient GM et EN les routes obliques qui correspondent aux deux routes directes DG , RE : les deux routes obliques étant supposées sans aucun zig-zag , et dirigées , la première de G vers E, la seconde de E vers G. Alors la route mixte la plus avantageuse DKLR , sera nécessairement comprise entre DGMR et DNER.

Pour que DKLR soit la route minima , il faudra qu'en la décomposant successivement en deux parties DKL , KLR, chacune en particulier soit une route minima : observons qu il est nécessaire que la partie oblique LK soit sans aucun zig*zag. Afin de trouver la route DKLR , voici la méthode dont on pourra se servir. On tracera de distance en distance des routes mixtes DKLR,DK'L'R...; de manière, par exemple, à ce qu'elles divisent NC en parties égales. Ensuite, ayant porté ces divisions sur une droite D^D™, fig. 16, on élèvera par ces points PI. VII. ^^^ perpendiculaires DKLR , D'R'L'R'j... telles que dans cette nouvelle figure , les parties DK , KL et LR ; D'K', K'L', UR',... soient respectivement égales aux parties correspondantes DK, KL, LRj DK', K'L', L'R... de la figure i5. En traçant la ligne

DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. loi

continue R^RRU", fig. i6, la plos courte des ordonnées, DR, if. memoirk. représentera évidemment la plus courte des routes mixtes; et la longueur de Fabscisse DD"", fig. i6, sera égale à KG y fig. i5.

Un problème encore plus compliqué que celui dont nous De la roote qui pre-

-* *^. ,. . , y j sente trois partie?

venons d indiquer la solution , est celui qui se présente a ré- directes et deux

, ••!>• obliques.

soudre lorsque le point de départ et le point d arrivée sont séparés par une éminence plus élevée que ces deux points , ou par une vallée plus basse que ces mêmes points. Alors la route peut avoir trois parties directes séparées par deux parties obliques. C'est surtout dans le passage des gorges de montagnes que ce problème ofTre des applications fréquentes.

Mais y alors , la question est considérablement simplifiée ^ parce qu'on fixe ordinairement comme lieu de passage obligé, le point de la gorge oii le terrain est horizontal : point qui se trouve au plus haut du chemin qu'on doit parcourir y et toutà-fait dans le fond de la gorge par rapport à la direction perpendiculaire à la route. Le point culminant une fois donné y le problème est réduit aux cas déjà traités.

Si nous voulions déterminer le point culminant , par cette condition : le prix alloué pour la longueur de la route, plus celui qu'on ajoute pour la hauteur à laquelle il faut s'élever , moins la retenue qu'on exerce pour la hauteur dont on descend , doit être un prix minimum : voici comment nous pourrions résoudre ce problème.

Concevons toutes les sections faites au-dessus de la gorge par laquelle il faut passer. Prenons une seule de ces sections , et cherchons la route qui va du point de départ au point d'ar-* rivée , de la manière la plus avantageuse , en s'élevant seulement à la hauteur de cette section^

Quel que soit le point de la même section horizontale qui sert de limite supérieure à la route , il est évident qu'on ne

loa APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQDE.

jf*. n£moirf. monte qu'à la même hauteur, et qu'on ne descend aussi que

de la même quantité. Le supplément alloué pour la montée , k retenue exercée pour la descente , sont donc les mêmes pour toutes les routes qui vont jusqu'à la même section horizontale du terrain , et ne s'élèvent pas plus haut. Donc , la route snr laquelle les transports seront le plus économiques , est celle dont la longueur totale est un minimum. Sa recherche sera facile y par les moyens précédemment indiqués.

Supposons trouvée cette route la plus avantageuse entre tontes celles qui parviennent jusqu à la même section horizontale du terrain. Regardons le contour de cette section comme une ligne matérielle invariable. Fixons un fil au point de départ ; passons-le dans cette ligne et ramenons-le , tendu j jusqu'au point d'arrivée ; il prendra de lui-même la position pour laquelle sa longueur y depuis le point de départ jusqu'au point d'arrivée , est un minimum. C'est-à-dire , que le fil représentera parfaitement la route cherchée.

Supposons y maintenant, qu'un point descripteur tienne toujours tendue sur le terrain la partie du fil qui représente cette route, et trace une courbe sur ce terrain. Ce fil (que nous ne supposons plus passé dans la courbe qui représente la section horizontale ) va décrire sur le terrain , une courbe analogue à l'ellipse tracée au cordeau sur un plan , d'après la propriété connue des foyers et des rayons vecteurs. 11 est évident que la nouvelle courbe a d abord un point commun avec la section horizontale que nous considérons , ensuite qu'elle est tangente à cette section. En effet , si quelque point de la section se trouvait dans l'intérieur de cette courbe, il serait en somme plus rapproché des points de départ et d'arrivée qu'un autre point placé sur la route la plus avantageuse; ce qui serait absurde.

DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. io3

Maintenant , je dis qae la courbe tracëe par le fil , fait partout le même angle avec les deux parties de ce fil correspondantes à chaque point de cette courbe. C est ainsi que le contour d une ellipse fait , en chaque point , le même angle avec ses deux rayons vecteurs.

Soit D le point de départ, A le point d arrivée, P^PP\.. une courbe telle que la somme des routes directes DP+PA soit partout constante. Prenant P' infiniment près de P, nous aurons immédiatement

. DP + PA = DF+P'A, ou DP— DF=P'A— PA.

Mais , si du point D comme centre , en tenant le fil DP tendu , on lui fait prendre toutes les positions possibles , le point P' va décrire une courbe à laquelle ce fil sera normal en chaque position. Puisque, sans cela, le fil particulier qui serait normal à la courbe , serait plus petit ou plus grand que tous les autres \ ils ne seraient donc plus égaux enlr'eux.

Par conséquent, si Ion prend D//î = DP', An = AP'; il faudra que P'/7^ et Pn soient perpendiculaires à DP et à AP.

Mais puisque DP — DP'=P'A — PA, en changeant DP pour Dm , AP' pour A/i^ nous aurons

DP— Dm= An— AP, ou P/»=P/i.

Donc les deux triangles rectangles PP'm, PP/i , ayant même hypothénuse , ont de plus un côté de langle droit égal de part et d'autre; ce sont, par conséquent, deux triangles égaux. Ainsi les angles PP/n, PP'n sont égaux. Or, P/i est le prolongement de AP. Donc , enfin , la courbe dontPP est 1 élément , fait le fnéme angle avec les deux portions DP, AP de la route APD. Ce qu'il fallait démontrer.

Ayant ainsi déterminé , pour chaque section horizontale SS , S'S , S"S^,... une route DPA plus courte que toutes les autres, il

JI«. MÉHOIRE.

Fiff. 17.

anche Vlif.

Plane

io4 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. n-. iiÉMOiRF. ne restera plus qu a chercher , parmi ces diverses routes , celle

qui est la plus avantageuse. La suite des points PIItcQR..., détermines un à un sur chaque section horizontale, forme une courbe Pnidf^R... SoitDnA la meilleure des routes brisées sur elle.

Rectifions la courbe PnQR , pour en faire une ligne des abscisses dont les ordonnées (fig. 17 bis.) représentent les prix du transport par les routes DPA, DflA , DQA de la fig. 17... Alors , si l'ordonnée nF, fig. 17 bis , correspondante au point n est la plus courte de toutes , Tordonnëe nf correspondante aa point T. infiniment voisin lui doit être égale-, puisque la tangente à la courbe menée par les points correspondants à r et n doit, dans ce cas , être parallèle à Ht:. Donc le prix du transport est le même sur DllA , fig. 17, et sur la route infiniment voisine DttA. Demandons-nous quelle condition doit rendre nulle la différence des prix en suivant ces deux routes. ïig. 17. Menons Il/ji, Ily, perpendiculairement à Dn , Ail; soit de

PI. vjii. plus, H la différence de hauteur verticale entre les points rr et n.

Alors TTfjL-j-TTv sera la différence de longueur des routes. Soit S le prix à payer proportionnellement à la longueur des routes , soit S' le prix à payer proportionnellement à la hauteur où Ion doit parvenir en montant, et S" la retenue proportionnelle à l'amplitude verticale des descentes ; on aura pour différence de prix entre les deux routes DllA , DttA , la somme

résultat qu'on peut ainsi traduire en langage ordinaire.

Si Ton cherche, pour chaque section horizontale, la route la plus courte qui , passant par cette section , aille du point de départ au point d'arrivée; si l'on trace, ensuite, la courbe qui croise chaque section au point marqué par la route qu'on vient de déterminer; c'est sur cette courbe que la route la meilleure entre

DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. io5

toutes, sera brisée en un point II. Si, à partir de ce points on prend ik mémoire. une partie infininient petite de la courbe, pour la projeter sur les deux portions de la meilleure route , et sur la verticale : les deux premières projections multipliées par le prix alloué pour la longueur des routes , devront en somme égaler la projection verticale multipliée par la différence entre le supplément alloué pour la montée, et la retenue déduite pour la descente.

Il suit de là que la somme des cosinus des angles formés par la courbe et les deux portions de route, multipliée par l'unité de prix des longueurs de route , doit égaler le cosinus de Tangle formé par la courbe avec la verticale au point de cette courbe où passe la meilleure des routes possibles, ce cosinus étant multiplié par Tunité de prix des montées moins Tunité de prix des descentes. En déterminant pour chaque point de la courbe Vp y la différence de ces produits; puis, en portant sur p... P **^ '^*

rectifiée comme axe des abscisses , des ordonnées qui représentent ces produits , on va former une courbe qui croisera pP rectifiée, au point n cherché.

On se tromperait, au reste, si Ton croyait qu'on pût toujours considcrationsacwsse borner aux seules considérations géométriques sur la forme îL*5"^siiu^"doniSÎ du terrain. Mille causes secondaires viennent déterminer le r^r i* t*»^o"«choix de telle direction générale de la route , plutôt que le choix de toute autre direction. C'est quelquefois le cours d'une rivière ou dun torrent, qu'il faut suivre ou qu il faut éviter. Si les endroits par lesquels devrait passer la route n'offrent que dés rochers trop difficiles à travailler*, si le sol^ au contraire, est trop mobile et trop peu résistant; si des éboulemens , des avalanches penvent couvrir et ruiner la route , il faut choisir de nouvelles directions. On doit ensuite avoir égard à d'autres causes physi* ques , telles que l'exposition solaire plus ou moins favorable, l'élévation générale plus ou moins grande et la température

io6 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉŒANIQUE.

]!•« MÉMOiRfi. habituelle qui en résulte. Souvent , encore , des considérations

administratives ou militaires viennent compliquer ces données , par de nouvelles conditions.

On doit regarder toutes ces considérations comme des limitations particulières , imposées au problème ; s'en servir j pour déterminer des points principaux , des directions générales ; et tracer, ensuite , chaque partie de route, d'après les règles géométriques auxquelles nous sommes parvenus.

Passons, maintenant, à la considération des systèmes de routes qu il convient de suivre dans le transport combiné de plusieurs objets.

Des systèmes de routes dans le transport de plusieurs objets. Duiransportdepiu- Lorsqu'unc fois uue route est tracée, quels que soient les

sieurs objeU places .. ,, ii» ii>-fi>

sur une même rou- poiuts assigués sur elle , pour lieux du départ et de 1 arnvee, 1 on

doit toujours suivre cette route, si l'on veut eiïectuer le transport de la manière la plus convenable. Car la route jouit, alors, en chacune de ses parties , de la propriété qui caractérise son entier, d'être la plus avantageuse de toutes celles que l'on pourrait tracer sur le terrain, entre les mêmes points de départ et d'arrivée.

Du transnort de plu- Mais , s'il y avait plusieurs points de départ et plusieurs points

Iônt"aViur iL"mé- d'arrivéc qui ne fussent pas placés sur une seule et même rente,

le problème deviendrait plus compliqué. On pourrait, sans assigner à tel objet, tel point d'arrivée plutôt que tel autre, demander seulement que la somme des routes fût un mmi* mum. C'est ce qu'il faut faire, par exemple, lorsqu'il s'agit d'objets exactement pareils qu'on veut transporter par les mêmes moyens, et suivant un ordre quelconque.

me route.

m TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. 107

Dans ce cas, en supposant que le nombre des objets k transporter soit m y le nombre des points d'arrivée étant pareillement m , et chaque objet pouvant indîfTëremment être déposé en chacun des m derniers points, on voit immédiatement qu'il existe un nombre m fois m = m* de routes possibles. Mais un même objet ne peut pas suivrecn même temps deux routes dîffér^ites; il faut, par conséquent , dans les combinaisons m km de ces m^ routes , n'en prendre à la fois qu une seule pour le transport de chaque objet. Celte condition réduit le nombre des combinaisons possibles , au produit des nombres naturels depuis 1 jusqu'à m y nombre total des objets à transporter.

Pour démontrer le théorème général que nous venons d'avancer sur le nombre des systèmes de routes qu'on peut suivre pour transporter m objets , de m points donnés en m autres points différents , soit 6 „, le nombre de systèmes qu'on peut suivre pour le transport de m— i de ces objets seulement. Voyons ce que l'addition du m* ajoute à ce nombre 6 „,.

Dans chacun des 6 «-.i systèmes , on peut supposer tour à tour chacun des m — i objets portés au m* point d'arrivée; tandis que le m^ objet est porté au point d'arrivée laissé libre par ce dérangement* Voilà donc , déjà , le nombre 6 „, multiplié par m — I. Mais l'objet m* transporté au m* point d'arrivée peut se combiner immédiatement avec chacun des 6 „., systèmes de routes. Donc le nombre total des systèmes est...

II*. MÊNOfBE.

C (S gdn^ral . Du nombre total de routes possibles et de sys^ l^mes de routes, en fonction du nombre des objets à transporter.

on trouvera de même... [m

6 «-3 j etc. , etc.

Donc, enfin, 6. = i x a x 3... x m. En effet, quand m ses o

io8 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

ij«. MÉMOIRE, il n'y a ni routes , ni systèmes de routes. Quand m= i ^ il n'y

a qu'un système de routes.

En faisant tour à tour m= !2, 3, 4? ^v ^^ trouvera deux systèmes de routes pour le transport de deux objets; six systèmes pour le transport de trois objets ; vingt*quatre systèmes pour le transport de quatre objets, etc.

Cas particulier où LorsQu OU a Seulement deux objets à transporter . la re-

Von n a que deux ^ •» r ^

objeu à tranapor- cherche du mciUcur système de routes, présente deux cas qu'il

est bien essentiel de distinguer.

Dans le premier cas^ si Ion joint par des lignes droites chaque point de départ avec les deux points d'arrivée ^ on va former un quadrilatère sur le périmètre duquel se trouveront placés 9 alternativement, un point de départ et un point d'arrivée. Les quatre côtés de ce quadrilatère présenteront deux systèmes qui tantôt seront également avantageux, tantôt ne le seront pas.

Quel est alors le 5^8- Pour comparcr ces deux systèmes, soient d^ et d^ les points piun avantageux, dc départ , T, ct T^ Ics poiuts d arrivéc , r.d^r^d^ élant le quadri- PI. vu. lalère formé par les roules les plus avantageuses, r,rf, , r,rf, et

Pjjd, , r^d^ , on tendra suivant d,r^ et d^r^ , par exemple, deux fils inextensibles ; ensuite , à partir du point r^ , allongeant ou raccourcissant les deux fils d'une quantité constante , et traçant sur le terrain la courbe r\ R , pour laquelle rf, et d^ seront de Fig. i8. véritables foyers , si le point r, se trouve sur cette courbe ^' ( comme dans la fig. i8), on aura

d,r^ — dj-^—d.r, — d^r, ,

et par conséquent...

c'est-à-dire qu'alors les deux systèmes de routes seront également avantageux-

Mais si (comme dans la fig. 18 bis) le point r, est en dehors hmiémoire. de la courbe r^R , p, yn

On aura , en menant la route directe rf.R ,

et par conséquent...

d,r^'\'d^K=d,K-hd^^

et par conséquent encore , en ajoutant Rr, à chaque membre

rfira+fi?aR +Rr. = rf.R+£/,r,+ Ra\-

Mais JjR+Rr, est plus long que la route directe rf,r, j donc enfin

Ainsi 9 dans ce cas, le système J.r, et d^r^ est le plus avantageux.

En suivant le même moyen de démonstration , on fera voir Fi«- »9au contraire que si , comme dans la fig. 19, le point r, se trouve en dedans de la courbe r^R, c'est le système de routes J^r, et dj'i qui sera le plus avantageux.

Au reste 9 sans se donner la peine de tracer la courbe dont les points J, et d^ sont les foyers , il sera toujours beaucoup plus simple et plus court de mesurer les quatre distances d,r,y d^r^y d^r^ , d^r^, pour voir laquelle des deux sommes d^r^ -+- d^r^ ou d,r, + ^a^aCSt la moins considérable. Mais, plus tard, nous tirerons parti du moyen de solution que nous avons présenté.

Il nous reste , maintenant , à considérer le cas oii , lorsqu'on ^'^ ^°' suit le périmètre du quadrilatère dont les deux points d'arrivée sont les sommets, on trouve successivement à côté Tun de lau* tre, i\ les .deux points de départ ; a"", les deux points d'arrivée. Alors une des deux combinaisons de routes est formée par les diagonales d.T^^ djr^n Ce système est évidemment moins avantageux que le système formé par les deux côtés opposés d^r, , djr^.

PI. vir.