PI. VII

I lo APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

«% «SMOHt. £a effet j O étast l'înterBection des deux diagonales , \êl nmit

directe djr^ est plus courte que r/,Or, ; de méoie U roate li/, est plus courte que <f,Or, : doue la somme

^ÎÏLitrDrdoTvwt ^^ ^^ °^^^ concluons que les routes directes qui doÎTent Hunaifii«croi»er. joindre Tcspectivement deux points de départ et deux points

d'arrivée, ne sauraient être les plus avantageu$e3 possibles, si elles se croisaient entre ces points : leurs prolongements sexAi sont susceptibles de se croiser. Ce principe, démontre seulement pour des routes rectilignes, a servi de première base aux recherches déjà citées de G. Monge.

Le» reutes obliques On couçoit qu'il uc s'acit ici que des routes directes , car les

peuTent «r croiser. , i •

roni^ <^iques ( k capse de l^urs zigi-zags arbitraîrM) poorraieat /prl bien se croiser.

lodifferencededeux Supposous^ par exemple, fig. 21 qu'on ne puisse passer de

svstèmes de routes , . , , . . , , , .

obliques destîDccs 4^ ni oe //, , eu r, m en r, , sans suivre des routes obliques : ce

au transport de, •%• • t -ê /v> i

deux objeu. qui aura lieu si a, et a, sont sutusamment au-dessus ou au-

^ 5*x. dessous de r, et de r,. Alors je dis qu'il n'y aura pas plus

davantage à passer de d, en r, et de d^ en r,, qu'à passer de d, eu r, et de d^ en r,.

On voit , par Tinspectioi^de la figure , que djihr^ et d^ Ihr, étant les routes obliques qui conduisent de d, en r, et de d^ en r., on peut les décomposer en celles-ci , d^khr, et dJLhr^ qui conduisent de d, en r, et de i4, en r,. Or, cette décomposition ne change rien à la longueur des deux routes. Les deux systèmes ne sont donc pas plus avantageux lun que lautre.

Nous pouvons, indépendamment de toute figure, démontrer direclement cette propriété. Représentons par [rf,], [rf,]? [^i]> [r,], les hauteurs des quatre points d^y ^,, r., r^, au^nlessus d'un plan horizontal quelconque.

DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. 1 1 c

On aura pour la quantité dont chaque route oblique monte ik vrÉHefRÉ.

ou descend de

r/, en r, . . . ±[rf,]-^[r,]

rf, en r, . . . ± [^A] ■***• [^a] d^ea r, . . . 2fc[rf,] — [r,]

En nommant R le rapport de la longueur des routes obliques à la quantité dont elles montent ou descendent verticalement , on aura pour longueur totale des routes allant

àed, en r, et àed^en r^...±R { [d,] — [r,] + [rfa] — M } de d, en r, et de d^ en r,... dz R { [rfj — [rj + [rfj — [rj } ,

quantités identiques.

Maintenant , je dis que jamais une route directe et une route Deux routes, r'une

, -, . 1 r> • oblique , l'autre di-

oblique ne peuvent se croiser sous un angle tini. recte, ne peuvent

^ , .... lAA/i T ^^^^» t ^^ rencontrer sans

Soit , en projeclion horizontale , AA la route directe et OO la ^trc tangemci. route oblique qu on suppose se croiser en m^ sous un angle fini AwO. La pente de la route directe ne pouvant être supérieure à la pente limite qui appartient à la route oblique , cette dernière route sera toujours, plus que la route directe, rapprochée de la ligne de plus grande pente PT qui passe en m. Ainsi , dans sa partie inférieure m A. , la route directe sera au-dessus de la partie oblique mO j et , dans sa partie supérieure mA\ la route directe sera au-dessous de la partie obliqua mO\

En prenant sur la route oblique , deux points aussi voisins qu il sera nécessaire , l'un &> au-dessous , l'autre w' au-dessus de m; puis décrivant , du point m comme centre et avec les rayons mw^ jTto:, les arcs de cercle war, oi>Vj fl est visilîlè que (sur le terrain) « sera plus haut que », et / plbs bas* que w . Dbnd en prenant «co' et a>a'pour routes direèVes, au' lieu de la robte directe m , et de Foblique-m^ la Ibng^xeulr. tiolale de l'espace

ur N£NoiRE. parcouni sera moins considérable. Ainsi , le système des ron*

tes M y wù ne serait pas le plus avantageux possible. Résoltat contraire à notre hypothèse.

Donc , à moins que deux routes y l'une directe , laotre oblique , ne soient mutuellement tangentes à leur point de rencontre 9 elles ne doivent pas se croiser , si l'on veut qu'elles appartiennent au système de routes le plus avantageux. Que le Mrieme de Pour Compléter ce qu'on peut dire au sujet du transport

deux route* obii- . •'

qnes est piiis arari- Jç dcux objels , supposous quc cc trausporl offre deux syst»e dune route tèmcs; le premier compose de deux routes obliques, le se-

oDoque et d im<* • t 1 a 7

route directe. coud composë d'uuc routc obliquc et d'une route directe: je

dis que le premier sera nécessairement le plus avantageux.

Soient encore [d,] , [JJ , [r,] , [rj , les hauteurs des quatre points d,y d^-y r„ r, , au-dessus d'un plan horizontal quelconque , et R le rapport entre la longueur des routes obliques et la hau-^ teur dont elles s'élèvent.

On aura pour la longueur des routes

»^ r T r . n : 1 '• svslenie de deux routes obliques.

^,r,...R{[rJ— [£/,]î 3 • ^

dy r,...R { [rJ — [r/J } T'- route du second système.

Quant à la route directe d,r^ qui complète le second système, comme elle est moins inclinée que les routes obliques, elle est plus longue que la hauteur [r,] — [r/,] dont elle s'ëlève, multipliée par R. Nommant A la quantité dont elle surpasse ce produit , on a

pour deuxième système composé d une roule dii^ecte et d'une route oblique. Si nous trans}>osou$ </, et d, ^ daus cette sommet elle se présentera sous la forme

nouveau

DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. ni

quantité évidemment plus grande, de A, que la somme des deux ii«. mémoirf. routes obliques qui composent le premier système.

Passons au cas général , où nous supposons qu'un nom- Retour au cas gënebre m d*objets semblables doivent être indifféremment trans- d?nn nombre i^obportés , des points d,, d^^ d^.... rf„, aux points r„ r^, /3...-^m. Afin de trouver, alors , le système de routes le plus avantageux , ou pourrait , en combinant deux à deux les points de départ et d arrivée, trouver d'abord , pour chacune de ces combinaisons, le meilleur système de routes. Puis on combinerait un troisième point de départ et un troisième point d'arrivée , avec chacune des combinaisons de deux points de départ et de deux points d'arrivée \ et ainsi de suite.

Il est un cas trés-étendu pour lequel on parvient à la déter- Théorème mination du système de routes le meilleur, d'une manière bien plus directe et bien plus facile.

Si Ton trace toutes les routes qui peuvent joindre chaque ^** *^ point de départ aux divers points d'arrivée, l'espace traversé par ces lignes ^est terminé par un certain polygone formé de ces lignes entières ou de fractions de ces lignes. Si donc ^ sur le périmètre de ce polygone , l'on trouve successivement, i*". tous les points de départ \ 2^. tous les points d'arrivée , on obtiendra sur-le-champ le système de routes le plus avantageux.

A cet effet , on partira du premier des points de départ d^ , lequel est ( sur le périmètre du polygone ) contigu au dernier des points d'arrivée r„. Ensuite , on prendra successivement ensemble et en avançant régulièrement sur le périmètre du polygone, le second point de départ d^ et l'avant -dernier point d'arrivée r„^„ le troisième point de départ d^ et l'antépénultième point d'arrivée r.., , et ainsi de suite. Les routes qui joindront ces points ainsi coiK|)iinés deux à deux , seront celles du meilleur système.

Fig. 33.

PI. IX

ii4 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉÇHANIQUE.

u*. MÉMOIRE. U est facile de voir, dans le polygone d.d.d^^^d^^ d^,....

' pm-ar„a Pm-. ^»-. p«.^m , que Ics Toutes d, r„ , rf,r„«, , d^r,^^

d^ r, combindes deux à deux , sont les plus avantageuses. En eflet y le théorème que nous venons d'avancer est simplement la généralisation de celui que nous avons démontré pour le transport de deux objets , quand les deux points de départ sont d'un côté et les deux points d'arrivée de l'autre , sur le quadrilatère dont ces quatre points sont les sommets.

Donc tout autre système de routes serait , en détail , moins avantageux que d^r^^d^ r^^, ; d^ ^m-a— Donc enfin ce système est , dans son ensemble , le meilleur possible. Fi^quence de ses ap- Lc cas quc uous veuous d'cxaminer est , très-heureusement, phcations. ^^j^. ^^ s'offre le plus souvent dans la pratique. Presque toujours les points de départ sont d'un côté , les points d'arrivée sont de l'autre ; et l'on peut facilement résoudre le problème général qui nous occuj^eé La plupart des évolutions exécutées par les corps militaires nous* en fournissent l'exemple.

§vi.

Application aux opérations militaires, liv:, marciiM et de« Lcs évolutious ct Ibs marchcs de Tinfanterie , de la cavalerie

c vol niions assujct-

î'"^' ?.}^ théorie de et dc Tarlillerie ,. offrent^une application perpétuelle de la théorie

la licuncatioQ des ^ a a t r

'^'"'**'' des routes combinées. Chaipie piéton:, chaque cavalier ,, cha-

que bête de somme et son conducteur, chaque pièce et chaque caisson , doivent suivre , dans tous leurs déplacements, la route la plus avantageuse pour se rendre du point de départ au pekit d'arrivée.

condiiions pariicu- ^^*^ ^^^ TOutcs sout assujetties à. certaines conditions qui aïow' modia>r''l« peuvcnt modifier plus ou moins leur nature. Lorsqu'un corps [h'eor^*.* ^ ^*"* est en maiîchc réguli^^re, et surlpat en- présence de Tennemii ,

la position de toutes les subdivisions de ce* corps doit- ^tre telle,

mj TftACÉ DES ROUTES ISOLÉES. ii5

qu'il {misse y a cbaqve instant , se mettre avec ordre et promp- ij, mémoiab; titude^ en état de défense*

U faut donc qu'il n'occupe dans sa marche , que l'espace strictement nécessaire à son développement , pour se présenter en ordre à lennemi. C'est une relation générale donnée entre les distances des diverses parties du corps en marche.

Cette nouvelle condition exige souvent (dans les manœuvres de détail'surtout ) que plusieurs individus fassent plus de che«mio qu'ils n'en eussent du faire en suivant leur route directe. Dans ce derniers cas, les solutions s'écartent de celles que nous avons exposées.

Ainsi , pour exécutai" la conversion de pied ferme , tous les ^-«f >»?•« off^.»* p;»-

^ ^ i ^ la conTereion de

hommes marchant ensemble , et restant en contact à côté l'un p»d fende. de l'autre ^ chaque soldat décrit un arc de cercle , au lieu de Fig. 34.

PI IX

marcher en ligne droite.

Mais , dans ce qu'on appelle les promptes manœuvres , on ^^'raUs^™ ^'dlnsTi altère momentanément les distances , afin de passer plus vite de îre"^*** mioœula position de départ à la position d'arrivée, position seule oii se retrouvent ces distances. Les directions suivies par chaque subdivision du corps, sont alors presque toujours celles que la théorie des routes ferait connaître pour les plus avantageuses.

On peut citer comme exemple le déploiement d'une colonne Exempte ofleitp«r lo

■■ * •■■ dënloiement d*une

en avant ou en arrière. Chaque peloton dont la colonne se colonne. compose, se porte, par la route la plus courte, sur la ligne de ng. 95. bataille indiquée. Le premier peloton, le second, le troisième, ^^' ^^'

partent respectivement du premier point de départ , du second, du troisième..., sur le polygone qui représenterait le système de toutes les routes possibles. Dans ce cas y le système général des routes smi^ies est, maihémati^uement j le plus ai^antageux. Jusqu'ici nous n'avons envisagé , dans les marches et dans les transports combinés , que la somme des routes parG<iHui^ttes ,

moi des

Exemple.

Fig. «6.

ii6 APPUGATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

II". MÉMOIRE, afin d'avoir en total la moindre de'pense de forces. U faut souvent j à la guerre , considérer le problème sous un autre point La considëration da de vue. Lorsciue plusieurs corps doivent agir ensemble sur une

temps doit souTent ^ ^ ^ ^ *- ^ ^

difier le système positiou donnëc, à laquelle il importe d'arriver dans le moin-

routes à suiTre. * ^ t. r

dre espace de temps possible, il faut que le corps dont la marche doit être la plus longue, arrive le plus promptement possible^ car il est évident que les autres corps ayant moins d'espace à parcoorir, pourront^ à plus forte raison , être rendus à leur po$te dans le même temps. Alors il peut arriver que les routes se croisent et que la somme totale des marches ne soit pas un minimum.

Supposons que les quatre corps, places en d,^ d^^d^jd^j doivent aller le plus promptement possible prendre position en ^i > ^% 9 ^3 9 ^4* I^ faudra pour cela que le corps d^ le plus éloigné se porte en r, position la plus voisine de lui; que le corps d^, qui ensuite est le plus éloigné , se porte en r, position la plus voisine parmi toutes celles qui restent encore à occuper; que de même d^ passe en rj, et enfin d^ en r^.

Si Ion eût voulu que la somme des routes parcourues fut un minimum , il aurait fallu que rf^ se transportât en r^ , d^ en r^, d^ en i\^ et d^ en r,. Alors en effet les routes ne se fussent croisées nulle part.

La considération des vitesses que les corps peuvent prendre, que Arme »ur \c suivaul Ics Armcs auxquelles ils appartiennent, est encore une

système de roules ^ ^ * *- *- '

par une ar- nouvellc couditiou qui , dans beaucoup de cas, vient compli-

î évolution J. ' X 7 r

quer le problème. On conçoit , en effet , que dans les ordres de bataille , les corps susceptibles de la plus grande vitesse doivent être placés aux points d où les mouvemens les plus étendus doivent être effectués.

La cavalerie et Tartillerie légère , à moins de circonstances particulières, seront donc mieux placées à l'avant-garde , à l'arrière -garde et sur les ailes , (jue vers le centre. Ces principes

lufliicncc de la vi lessc propre à cha

AU IV les

on en marehe.

décideront, le plus souvent, des opérations confiées à telle Arme ii». mémoire. plutôt qu à telle autre. Les troupes pesantes marcheront toujours par les lignes les plus courtes qu'elles puissent suivre. Les troupes légères exécuteront , autour de celles-là , tous les mouvements excentriques nécessaires pour éclairer, pour protéger, pour faciliter la marche des corps moins mobiles. Ces derniers mouvements seront opérés avec un plus grand nombre de conditions accessoires que les premiers , mais toujours d'après les mêmes principes.

Lorsque Ton compare la tactique suivie par les diverses Les analogies qu'on Armes, Tinfanterie, la cavalerie, lartillerie et même la ma- «rnœîlvîerdeTdi-

• - •!'*. a" a .^^ verses Armes, sont

nne, on est surpris dy retrouver toujours un même système basées sur u tbéod'évolutions. C'est la même manière de passer de Tordre de rôltc""' "^'^""^ bataille à Tordre en colonne , et réciproquement : à quelques différences près qui tiennent à la nature particulière de chaque Arme. Mais on voit que tous les mouvements généraux sont dirigés d'après les mêmes principes. De tels principes, en effet, tenant essentiellement à la théorie des routes , les résultats de cette théorie sont également applicables à des corps d'infanterie , de cavalerie ou d artillerie. C'est cette théorie , enfin , qui fait connaître le secret, et , si je puis employer une telle expression , la philosophie de la tactique.

En considérant ainsi Tart des marches et des manœuvres, Recours que cette

' théorie pourrait of-

on pourrait le réduire à des principes tout-à-fait mathémati- ^^^jj^jf ^*''ï"*' *** ques. Une semblable étude , épargnerait aux officiers , des combinaisons qu'ils trouvent d'ordinaire par un aperçu sans calcul , et rarement de la manière la plus parfaite. Elle pourrait perfectionner ce talent qu'on appelle le coup d œil militaire} c'est-à-dire , le talent d'imaginer et d'évaluer , à la simple vue du terrain , les opérations les plus avantageuses que puissent com-> porter les dimensions et les formes de ce terrain. En effet , on

ii8 APPUCATIONS DB GÉOMÉTIUB ET Œ MÉCHANIQUE.

n*. MÉMOIRE, doit reconnaître, par lesoeUils où nous venons a entrer, que ce talent , au lieu d'être une espèce de don surnaturel , n'est autre diose qu'une application plus ou moins intelligente et plus ou moins prompte, de principes acquis par 1 étude ou par lexpeneece.

C'est surtout dans les pays fortement accidentés que les oonoe binaisons militaires sont variées et difficiles ; c'est là qu'elles demandent souvent une science consommée. Le passage des rivières et des défilés , le débouchement dans les vallées , k conduite et la défense , la poursuite et l'attaque des couvais , tout oflré à loificier qui dirige ces opérations, des combinaisons d'un ordre supérieur : la plupart de ces combinaisons sont , oa plutôt devraient être fondées sur la théorie mathésiatique de la détermination des routes.

Des route« fur mer , ^6^ marchcs ct les mauœuvrcs navales se rattadient égale-

UiloTit^'lur iêm. ment à cette théorie. 11 faut considérer la mer comme un

terrain partout horizontal, et sur lequel on peut aller dans toutes les directions qui ne font pas , avec la direction du vent, un angle plus petit que la limite appelée le plus près du uent.

^7iu' ™ mi"robu- ^^ ^^^^ encore ici diviser les routes en directes et en tMitfues.

'^"''* Les directes , qui suivent la ligne la plus courte entre les points

de départ et d arrivée ; les obliques , qui font un angle constant avec la direction du vent; de même que, sur terre ^ les routes obliques font partout un angle constant avec la verticale. Ces

^dcs r"utM o^r"** nouvelles routes obliques peuvent , comme les autres , oflrir bordées). ^^^ zig-zags dout les angles sont arrondis circulairemenL Le

nombre de ces zig-zags appelés bordées , peut être quelconque^ sans que leur longueur totale cesse d'être la même. Enfin , elle est proportionnelle à la quantité dont le vaisseau s élève dans le vent, c'est-à-dire, remonte contre la direction du vent; de même que , sur terre, les routes obliques sont proportionnelles à la quantité dont on s eléve au-dessus de Tborizon.

i.i^*-ti^f>-imtjt^«rtvifi'n'ivift»ftiiririrniitinvn'i"'***'*"'****'''***' ^'*^"^*'''''*** * *'''"''*'**'****^^ H, l|él|AfRF