A'B = AA'4?-=PA
A A' * tang. 6*
Mau A'B =PA — PB = R r.
tin. «
Donc R— r=R. .
D'oii l'on tire , enfin , r aa R f i — ^~\
\ tang. € y
ia4 NOTES PRINCIPALES.
n<. MÉMOIRE. Maintenant , prenons dans l'espace les deux points de dëpart et
d'arrivée (x,^, z); {x\jr\ z'). Soient X, Y, Z les coordonnées d'nnc courbe quelconque; supposons que la surface du terrain soit un plan qui fasse un très-petit angle avec Thorizon. Demandons-nous, alors, la condition pour que la route totale qui va de (x,^, z) en {^af^y^ /), et qui passe par la courbe proposée , soit la plus avantageuse. Supposons, d'ailleurs, que les diverses routes qu'on peut mener par ces points et par la courbe , fassent un très-petit angle avec Thorizon. Nous aurons pour plus courte distance entre les points
(ar,7,z)et(X, Y, Z).,. ^/(x-X)* + (jr y).+(;5 Z)».
(x',y, z')t\ (X, Y, Z)... y/ (x-X)>+Cr-Y)*+(i'-Z)*.
et pour valeur de ces routes inclinées , réduitesen routes horizontales^
Mais, sin. a =
Sin. a =
Donc , enfin , les deux routes ëvaluées en distances horizontales donnent pour somme
. «— Z , Z— z "*"tang. 6^"ung. 6'
ou
^^tang. 6
Pour que cette quantité soit un minimum^ il faut qu'en la difierenciant par rapport à X, Y, Z, la différentieUe soit égale à zéro. Mais
th^^® dépendant ni de X , ni de Y , ni de Z , sa différentielle tA
DU TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES. i^S
nulle. DoQC| enfin, c'est IK mémoike.
qui doit être un minimum. Cest-à-dire , que la route brisée la plus avantageuse est la route la plus courte. On peut aussi conclure de là , qu'en cheminant sur une surface courbe qui partout fait un trèspetit angle avec l'horizon, la ligne la plus courte entre deux quelconques de ses points est nécessairement la route la plus avantageuse.
Quelle que soit la relation de la longueur des routes avec leur pente, tout ce que nous avons dit sur l'avantage des routes directes convient donc toujours aux très-petites pentes; et si l'on fixe la pente des routes obliques un peu au-dessous de leur vraie limite , pour faciliter les transports avec les mêmes animaux , notre théorie se rapprochera beaucoup plus encore de la pratique.
Dans la fig. 3a, PL XIV, PDA , PAd représentent la limite des routes ^'«- ^^'
parcourues à partir du point P, avec la même fatigue totale , pour ^^' ^^^•
transporter le même fardeau , suivant les diverses routes rectilignes possibles tracées à partir du point P. A la seule inspection de cette figure , on voit que pour s'élever du point P de départ jusqu'à la hauteur de l'horizontale DA tangente à la courbe PDA , la route la plus avantageuse à suivre est PD ou PA.
Car avec une même quantité de force motrice employée , une route moins inclinée, ou plus inclinée que PD, ne conduirait pas j usqu'en DA.
En prenant la pente de PD ou PA pour limite des pentes, la route oblique à pente constante égale à cette limite sera celle qui pour s'élever d'une hauteur donnée exigera le moins de fatigue. C'est sur cette propriété des routes obliques que sont fondées les recherches de ce mémoire, relatives aux routes mixtes»
NOTE IIL
Sur la limite de la pente des routes , d^ms les trauaux des Ponts et
chaussées , du Génie militaire et de t Artillerie.
Les anciennes routes exécutées à travers les Alpes présentaient , dans plusieurs parties , des rampes dont la pente était de la à 14 cen^
i?.6 NOTES PRINCIPALES.
H*. MÉMOmE. tiinèlres par mètre, c'est-à-dire, dont la montée ou la descente allait
du huitième au septième de la longueur.
Dans les routes nouvelles , exécutées lorsque les Français avaient des possessions en Italie, orï a réduit la hauteur des rampes à 6, à 5 et même h 4 centimètres par mètre de longueur. Ce qui ne fait, suivant ces valeurs, que le seizième, le vingtième, ou le vînçt-cinquième de la longueur de la route , pour hauteur verticale d*uoe rampe. Dans quelques parties trop difficiles, on a cependant porte la pente de 7 à 8 centimètres , sur une petite longueur : c'est une ]>ente d*un quatorzième ou d'un douzième.
Les Anglais ont imité les Français dans la réduction des pentes de leurs routes. On cite comme un modèle la nouvelle route du pays de Galles, tracée par M. Teiford , a travers un pays très-montueui . deux rampes seulement ont, la première un (7*. de pente, la seconde un 32.*; toutes les autres ont un 3o.** au plus.
Nous allons maintenant donner la valeur des pentes adoptées dans les ti^avaux militaires. Pour opérer les mouvements de terre que nécessitent ces travaux, on emploie des hommes ou des animaux, et surtout des chevaux. S'il faut pratiquer des rampes pour monter des terres, on leur donne 0,08 de pente , lorsqu'on emploie des hommes, soit qu'ils traînent à la brouette ou à la voiture. Cette pente serait trop forte pour des chevaux ; o,o5 semble alors la pente la meilleure. Dans le transport des terres à la brouette, on place les relais de 3o en 5o mètres , quand la route est horizontale ou fort peu inclinée. S'il faut monter, suivant une route oblique ayant 0,08 de pente, on ne place les relais qu'à 20 mètres de distance , mesurés horizontalement. Ainsi Ton s'élève de i°,6o par relais.
Les ingénieurs ont remarqué qu'il faut employer le même degré de force pour parcourir ces deux relais de 3o mètres horizontalement , et de 20 mètres suivant une pente deo",o8.
Si la rampe est plus rapide que o'^yOS (dit M. Vaillant, auteur d'un très-bon mémoire inséré dans le n°. 3 du Mémorial de Vqfficierdu génie militaire) ^ l'ouvrier se fatigue trop; si elle est plus douce, elle lui fait parcourir trop de chemin , et elle nécessite trop de frais pour sa construction.
