PRESENTE A LA PREMIÈRE CLASSE DE L'INSTITUT DE FRANCE

LE LUNDI i8 DÉCEMBRE x8i5.

INTRODUCTION

Dans le précédent mémoire, en supposant, pour plus de gé- o*>.ietdcceraëmoire. néralité, que la figure du terrain fût quelconque, nous avons déterminé, d'une manière applicable aux travaux des arts: premièrement la route la plus avantageuse pour passer d'un point à un autre , lorsqu'on suit la surface de ce terrain ; secondement le système de routes le plus avantageux pour transporter en des points isolés plusieurs objets pareillement isolés avant leur départ. Il nous reste à traiter un cas plus difficile encore , c'est celui dans lequel ces objets forment une masse continue, et doivent être transportés dans un espace pareillement continu. Telle est la condition des problèmes que présentent, en général, les opérations des déblais et remblais.

Dans les travaux dont le développement exige un grand es- ^dtdéhûiTd^îJTr. pace , rarement la nature a tellement préparé le site où l'on *"*"* doit opérer, qtie la forme du terrain soit parfaitement conve-

II'. MÉMOIRE, nable dans toutes ses parties. Presque toujours, au contraire,

quelques-unes se trouvent trop élevées, tandis que d'autres le sont trop peu. On abaisse alors les premières , et ron se sert des matériaux qu'on en retire , pour exhausser les parties trop basses. Si les matériaux fournis par l'excavation sont plus que suffisants pour opérer ce remplissage , on transporte rexcédant hors de l'emplacement qu'on prépare et dans le lieu le plus opportun. Si les matériaux des parties trop élevées ne suffisent pas à l'exhaussement des parties trop basses , il faut chercher ailleurs ce qui manque pour achever cette opération •

Dans tous les cas, la masse des matériaux à enlever se nomme déblai ;la, masse de ces matériaux, lorsqu'ils sont portés à leur destination , se nomme remblai. On appelle route y le chemin que parcourt chaque élément transporté. Des roatM qu'il faut La théorîe des Dé blais et Remblais a pour premier objet

suiTre dans les dé* i ■% , • i i i 11

buu et remblais, dc déterminer , dans tous les cas , la route la plus avantageuse

que chaque élément du déblai doit suivre afin d'arriver au remblai.

U est facile de voir que les principes généraux auxquels nous sommes arrivés dans le mémoire précédent, sont immédiatement applicables à la solution de ce genre de problèmes. Les déblais et les remblais peuvent s'effectuer à laide des hommes ou des animaux; par le moyen de voitures à quatre, à trois, à deux roues; avec des brouettes , ou des civières, ou des sacs , etc. Les principes sont constamment les mêmes. La seule différence que ces divers moyens de transport puissent introduire dans le tracé des routes, c'est de donner à la limite des pentes une valeur plus ou moins grande.

On suppose toujours Nous supposerous toujours que Ton doive opérer sur un ter*

que la forme du . « ,^ . ^ - . . •

tcrraiu soit quel- raiu delini par une surlace courbe quelconque, en suivant des

routes directes tant que leur pente ne dépasse pas la limite qui

convient au genre de transport qu on effectue^ et en suivant m*, mémoire. des routes . obliques à pente constante , lorsqu'on ne peut plus suivre la route directe. Nous regarderons d'abord toutes les routes comme devant être directes ; nous les regarderons ensuite comme devant être en partie directes , en partie obliques.

Pour passer successivement des cas les plus simples aux plus Division de ce mëcompliques, nous admettrons : en premier lieu , que les objets à '^'^"^'

déblayer, comme ceux à remblayer, soient disposes à la file suivant une ligne continue *, en second lieu , que ces objets couvrent une aire continue; en troisième lieu, que ces objets forment un volume qu'il faut décomposer en éléments transport tables.

Du déblai et du remblai des lignes.

Pour donner un exemple de la première hypothèse, on peut Du transport dune

>•! > • 1 . » j r • 1 ligne inat^rielU.

supposer qu il s agisse de porter une rangée de fascines, ou de gabions, ou de gerbes, etc., pour former ailleurs une semblable rangée ; on peut supposer qu'il s'agisse de porter la terre d'un fossé partout également large, également profond, dans un autre fossé de la même largeur et de la même profondeur : ces deux dimensions d'ailleurs étant supposées très-peu considérables*

Soit DD" la ligne du déblai , RR* la ligne du remblai. Divi- solution généMt. sons chacune d'elles en autant de parties égales qu'il y a d'ob- ^'* ''

jets différents à transporter , ou de parties propres à composer la charge d^un voyage. Joignons, ensuite, les points de division correspondants, par des routes DR, D'R', D^R"... D"R". Elles formeront un système qui sera le plus avantageux possible, si

Pl.X.

i3o APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

III*, MÉMOIRE, elles ne se croisent pas. Or, c'est ce qui arrivera généralement :

1^ si tous les points de départ sont d'un côté, tous les points

d arrivée de 1 autre j 2®. si les deux lignes DD", RR", ne sont

pas en tout ou en partie comprises dans Tespace couvert par

les routes qu on peut mener de DD" en RR" .

^iuu?n °D6*^tïuiîiU ^^ effet, si cette dernière condition n'était pas remplie , il y

fuSlïM^pïïS^ûiiè!^ aurait des routes qui se croiseraient. Par conséquent^ le système

^'' que nous venons de déterminer ne ser^t pas le plus avantageux

possible.

Fig. a. Supposons qu en partant du point D , la route dirigée en ce

li. X. point tangentiellement à DD~, vienne aboutir en un point in-

termédiaire T de la ligne RR*" du remblai.

Si, du point R, on menait la route Réf tangente en cf à la ligne du déblai , la partie dD de cette ligne , serait comprise dans ^l'espace occupé par toutes les routes possibles. Ainsi, la solution précédente ne saurait plus avoir lieu.

D'abord , il est facile de voir que la route RD ne doit pas entrer dans le système de routes le plus avantageux. Car la route immédiatement consécutive D'R' devrait passer d un côté de DR h laulre cAté : ce qu elle ne pourrait faire sans croiser DR , à moins do vniir en DV, de lautre côté de DD', Mais, alors, pour IratiHporlrr toute la partie de D'D" qui doit entrer dans le renihliii i\^ Hr', il faudrait nécessairement que certaines routes coupuHMont ou DR ou DV.

Si Ton mène la route DT tangente en D à DD"*, je dis que, dans le meilleur système de routes, DT se trouvera nécessairement comprise. En effet, on prouverait que le point D ne peut être porté en aucun point r, entre T et R , comme nous avons prouvé que D ne pouvait pas être transporté en R. Cette démonstration serait également applicable au cas oii Ton supposerait que le point D dût être transporté de laulre côté

PI. X

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i3i

de DT. Donc il faut transporter le point D , sur la route DT ni*, mémoire. tangente en D à la ligne des déblais.

Supposons, maintenant, qu'on ait trouvé toutes les routes i^tg 3. qui aboutissent entre T et R*". Comparons-leur une seule route R'D" placée de lautre côté de DT.

Pour que RTD" et R'D', par exemple , appartiennent toutes deux au meilleur système de routes , il faut qu on ait toujours du désavantage à prendre une égale portion du fardeau qu'on doit transporter sur ces deux routes, pour faire passer de D' en R" la charge qui doit aller de D' en R', et de D" en R' la charge qui doit aller de D" en R".

Cette condition exige évidemment que la somme des routes R'D' et RI)", soit moindre que celle des routes R'D" et R"D'. Ainsi ,

R'D'4- R''D''< WD'+ RT)^ ou R'D"— R'D^R^D"— RI)'.

Du point D' menons sur WD" et sur R^D", les perpendiculaires D'M , D^N. En supposant D'D" infiniment petit , nous aurons

RT)' = R'M et R''D'=R"N.

D'où D^M = RD"— R'D' et D'N = RT)"— RT)'-

La condition R'D"— RT)> RD"— R'D'

donnerait donc D''M>D'Tf

et par conséquent. . . . D'N>D'M.

Donc Tangle DD'R'' devrait être plus grand que D'Ï)''R'.

Considérons trois points D, D', D** , consécutiis sur la ligne dq^ Fig 3. déblai , et voyons ce qui arriverait si le point intermédiaire D' ^^ ^

était porté d'un côté de cette ligne , tandis que D et D" seraient portés de l'autre côté.

Soient DR , UK, DIR." les trois routes proposées. Les angles

"•-vi

i3a APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

iiK MÉMOIRE. TDR, TD"R''5 formés par les routes extrêmes et la ligne do

déblai , ne pourront diflerer que d'une quantité inâniment petite , dans le meilleur système de routes possible. Car aucune route ne devant croiser DR et D''R'', leiément R'îl du remblai doit être rempli par une partie de DD"^ il doit donc être infiniment petit comme lui. Si , maintenant , nous concevons la surface développable qui passe par les deux lignes infiniment voisines DR , D''R", elle différera infiniment peu de la développable tangente à la surface du terrain , suivant DR ou suivant D^R"; en la développant, les deux lignes DR, DTl', tracées sur elle , différeront infiniment peu de la ligne droite. Donc leurs tangentes en D et D**, points infiniment voisins^ ne pourront faire entr'elles qu'un angle infiniment petit.

Il suit de là que si Fangle TD'R', formé par la ligne du déblai et la route intermédiaire, diffère d'une quantité finie de TDR , par exemple , il différera dans le même sens d'une quantité pareillement finie de langle TD'R\

On aura donc à la fois

f>TDR f<TDR

™^ ^ > TD'U" ' """^ ™^ j < TD-R".

Dans le premier cas, il sera plus avantageux de porter en R le point D, et en R' le point D', que de porter en R' le point D, et le point D' en R.

Mais , en même temps , il sera moins avantageux de porter en R' le point D' , et en R" le point D", que de porter en R" le point D', et en R' le point D".

Dans le second cas , il sera plus avantageux de porter le point D' en R', et le point D" en R", que de porter le point D' en R", et le point D" en R'.

Mais j en même temps , il sera moins avantageux de porter le

PI. X

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i33

point D en R , et le point D' en R', que le point D en R', et le m*, mémoire. point D' en R.

Par conséquent , si langle TD^R' diffère d'une quantité finie de TDR et de TD^R" (soit en plus, soit en moins), il est impossible qu'en suivant le meilleur système de routes, le point intermédiaire D' soit porté d'un côté de la ligne du déblai , tandis que les points extrêmes t) , D", seraient portés de lautre côté de cette ligne.

Si donc il s'agit de transporter la ligne DD" en RR", on '''« *•

mènera d'abord les deux routes extrêmes RD" et R^D" 5 la meilleure de ces routes sera celle R"*D" qui forme avec DD"

l'angle le plus grand. Ensuite , on portera les éléments D^D'", D'^D", D"D\ en R»R", RTEl", R^R',... jusqu'à ce qu'on arrive à un point D' tel que l'angle TDTR.' soit égal à l'angle TD'R. Dans toute la partie restante D'D , on prendra pour

système de routes , des lignes DJEl^ et D p^ ; ^i^„ ®* ^u Pa >

qui fassent le même angle avec la ligne du déblai , au même point D/, D^, j etc., de cette ligne DD™.

Une telle condition ne serait pas suffisante pour déterminer complètement ces dernières routes. Il faut , de plus , que les w, x.

routes consécutives D^^ etD^o^,..; D^R^ elD^R^... interceptent sur la ligne du remblai , deux parties p^p,, et R^R^^ , égales en somme à la partie D^D,^ qu'elles interceptent sur la ligne du déblai.

Pour offrir un exemple très-simple du genre de solutions que ^'^' ^' nous venons de présenter, supposons qu'il s'agisse de transporter les éléments de la droite DD", en RR~ autre ligne droite égale et perpendiculaire à DD".

On prolongera DD" jusqu'en T où elle rencontre RR". Ensuite on portera en TR', TR partie la plus courte de RR", sur TR"" partie la plus longue î puis j du point D" , on prendra sur

fig 4.

PI. X

i34 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

ni% MÉMOIRE. D^D, D'"D'= R"R'. Cela posé, tout D'D" sera transporté sur

R'R"; tout DD', au contraire, sera divisé en éléments égaux alternativement transportés de côté et d'autre de T. Si nous (divisons en un très-grand nombre de parties égales , D'D"*, R'R" et DD' i puis TR' et TR, en parties sous-dôubles de DD' ; et , si nous joignons par des routes les . points de division correspondants, nous aurons le système Te plus avantageux, tel qu'il est représenté dans la figure. Il est facile de voir , en effet , que nous aurons rempli toutes les conditions nécessaires.

Supposons , actuellement , que la ligne à déblayer soit une courbe fermée, fig. 6, DD^D^D^D^D^D , et que la ligne lieu du remblai soit une ligne ouverte RR'R''R'^R". Si , des points extrêmes R et R™ , on mène les routes directes RD et R"*D*, tangentes à cette courbe , elles seront les routes extrêmes. On aura , pour le n^eilleur système de transport ,