RR

les routes

En supposant, toutefois, que ces diverses routes ne puissent pas se rencontrer entre les lignes qui définissent le déblai et le remblai. ( Voyez la note à la fin du Mémoire. )

En effet, chacune de ces routes Y^'ÏS'^^^, par exemple, divisant le déblai et le remblai en deux p^irtiçs respectivement égales , D"DD,, = RR" et D 'D"D^ = R"R- ^ pour qu un élément de D"DP^ fût porté en R^R"*, il faudrait qu'un élément égal fût poçté de P"D"I)^^ en R"R. Par conséquent deux routes devraient se croiser. Or, c'est ce qiji jamais ne saurait avoir

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i35

lieu, dans le meilleur système d'un nombre quelconque de hi». mémoike. routes (Voyez Mémoire précédent^ p, iio). Donc les éléments du déblai, placés soit à droite soit à gauche de R^DT)^ doivent , dans le remblai , rester pareillement ou à droite ou à gauche de RD^D^. Ainsi, 1 élément qui est en D" ou en D^ , doit être porté en R", suivant la route R^D^D^. Il en est de même pour toute autre route D'R' ou D^'R'", etc.

Si la courbe qui représente le remUai était fermée au lieu d'être ouverte , la solution précédente ne cesserait pas d'être rigoureuse. Car la solution est générale; elle s'étend même aux cas où les lignes lieux du déblai et du remblai , seraient discontinues et formées de parties qui n'auraient entr elles aucun rapport mathématique.

Jusqu ici nous avons supposé qu'on n'employait que des routes ^^îi^pa^r dcî^rVuuJ directes pour passer de la ligne du déblai à la ligne du remblai. ™"*"* Cependant il pourrait se faire que la pente du terrain fût assez considérable pour qu'il devînt impossible de suivre partout de telles routes. Il faudrait , alors , recourir à des routes mixtes, c'est-à-dire, en partie directes, en partie obliques.

Pour considérer d'abord le cas le plus simple , supposons , ^^^' '•

1**. la ligne DD" du déblai totalement en plaine; 2^ la ligne RR" du remblai , toute entière placée sur le penchant d'une montagne telle que ( d'un bout à l'autre de RR" ) la pente du terrain, estimée suivant la direction des routes, soit plus grande que la limite des pentes qui conviennent aux routes obliques. Soit encore AA la ligne qui limite , vers le bas de la montagne , les parties où doivent s'étendre les routes obliques et les routes directes.

Si Ton divise DD" et RR" en un même nombre de parties infiniment petites et de plus égales entr'elles , RR'siirDD'^, RTl"= D'D", R'Tl'"=D''D"', etc les routes qni conviendront

PI. XJ

i36 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

III'. MÉMOIRE, au meilleur système , seront en général (*) obliques depuis RR"

jusquen AA, et directes depuis AA jusquen DD" : elles joindront respectivement les points R et D , R' et D', R* et D"

R" et D".

Pour trouver chaque route dont on vient de déterminer,* ainsi, le point de départ et le point d'arrivée , on emplotra les moyens que nous avons présentés dans le Mémoire précédent , sur la détermination d'une route isolée.

^'8 ^ Si la ligne DD™, à déblayer, était telle que la route directe

qui la prolonge langentiellement à partir du point D , vînt en r rencontrer la ligne RR*" lieu du remblai , la solution que nous venons d'indiquer ne pourrait plus être appliquée.

Dans ce cas, on ferait partir, du point extrême D", les deux routes les plus avantageuses D'"LR et D^L^R", pour aller de D" aux extrémités R et R"* de la ligne du remblai. Ensuite , si l'angle DD"L" était plus grand que langle DD"L, c'est en R" et non pas en R qu'il faudrait transporter le point D". On portera toujours du côté de R" les points D"', D"... pour lesquels les routes D'"L"'R"', D^L^R' formeront avec DD"D" un angle plus grand que les routes D"'R, D"R , etc. Enfin , on doit arriver à un point D' tel que Tangle formé par DD' et par D'L'R', route de droite, soit égal à langle formé par DD' et D'R qui sera la route extrême de gauche. Depuis le point D' jusqu'en D , les routes devront j|tre doubles à partir de chaque point du déblai : l'une allant à droite et l'autre à gauche de DD', de manière à former toutes deux le même angle avec DD'.

(*) Je dis en général , parce qu'il pourrait se présenter des cas particuliers où quel-' ques-unes des routes extrêmes, vers RD ou vers R^D" , seraient totalement directes. Mais dès que les routes seront mixtes, la partie oblique occupera Tespace au^desius de A A , et la partie directe occupera l'espace au-dessous de cette limite

DÉBLAIS ET BEMbLAIS. 137

La grandeur de cet angle, sera déterminée, pour chaque in«. mémoire. point de DD', par la condition que les parties du remblai comprises entre deux routes simultanées et les deux routes simultanées consécutives, soient en somme égales à la partie du déblai comprise entre les mêmes- liinites.

Nous ne croyons pas nécessaire de nous appesantir sur les moyens de solution que nous venons de présenter. La démonstration de ces moyens repose sur les mêmes principes , et présente le même enchaînement d'idées, que les raisonnements dont nous avons fait nsage pour les routes entièrement directes.

Supposons, en effet, que là ligne du déblai DD"", au lieu Fig. s. d'être transportée jusqu'en RR", soît transportt^ seulement '^'^''

jusqu'en pp"", en deçà de la limitef AA des routes obliqties. Alors, le système des routes D"?"', Wp'j Dy,... Dp qu'on suivra^pour cheminer vers RR"*, doit être le plus avantageux. On pourrait sans cela d'abord effectuer le tranport de DD"" jusqu'en PP"*, delà manière la plus avantageuse ; puis suivre, de pp"" en KR"*, les routes déjà connues. Ainsi , l'on trouverait un résultat total préférable à celui qui , par hypothèse , doit être le meilleur de tous : conséquence absurde.

D'après la théorie exposée dans le précédent Mémoire , les solutions que nous venons de présenter , peuvent être facile* ment étendues aux cas ou les routes contiendraient une partie oblique comprise entre deux parties directes, ou réciproquement. Nous nous contentons de prouver les principes , et nous laissons à l'intelligence du lecteur, le soin de se proposer des applications variées. L'examen et le développement de ces diverses applications , sans nous apprendre rien de nouveau, nous conduirait beaucoup trop

<38 APPUCATIONS SE GÉOIUÈTRIE ET Q^ MÉCHANIQUE.