I-, D^R'-t-Dll

" D'R' -i- D R \ ^^^ ^oxxs venons de voir qu on a

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i4i

Donc m*. MÉMOiAE.

Cette dernière soimme présente donc le système de routes le plus avantageux.

n suit delà que tout système de routes qui ferait transporter rig. i3. une aire infiniment étroite DD^d^j suivant la route directe pixj. D^RH^i et Taire infiniment étroite D,D^ en RH^, un tel système, dis-]e, ne saurait être le meilleur possible. Il faut, ou l'abandonner entièrement y ou transporter la partie DT)^ suivant une nouvelle direction, autre que DD^H^.

Ainsi , dans le transport des aires, lorsque deux routes vien- Théorème génerar nent à se, rencontrer en dedans des déblais ou des remblais , ces des roat^^^° ^^ routes doivent se terminer toutes deux au point de leur ren* contrcr

Considérons , à présent , deux paires de routes consécuti- Fig. 14.

ves, ly/r, et DUTEI^î DVV^ et D"R"R,, qui se rencontrent ^^-^^^ dans le déblai, par exemple, les premières en D^ et les suivantes en D". Il faudra , d'abord , que DW^ et DV/*^ ne se croisent pas entre les points D'^ D", r^ r^. Il faudra que DŒlll^ et DTl"R^ ne se croisent pas entre les points D', D", R^, R^, Il faudra que tout l'élément D'djdjy soit transporté en r'r^rfy et tout l'élément DTD^D^D" en RHJRJEl''.

Mais quelle sera la direction de la ligne DD" qui sépare les deux zones jydjijf et DT^^JD"? C'est ce qui nous resteit déterminer.

Si la ligne DD" est la limite de deux zones Ji'ddjy et DTD D D'^ P'^f^f^e de u w^.

v^ ' i u s u y uni sépare , sur le

il faut qu en regardant chacun de ses points comme le centre llalf d^ûx'^^syltT d'une aire infiniment petite , on n'ait pas plus d'avantage à l^^ê^dUigéM^* ti*ansporter cette aire sur RH^JEl'Vque sur r^r/^jr". Mais, en regardant DD" commie une ligne matérielle , nous avons fait

f /f» APPUCATIONS DE OÉOWÉtftÏE È» É* MÉCHANIQUR

wi*. MÉBfiHRe. voir (second paragraphe) que des routes DV, et T/K/j DV;

et jyR^ ne pourraient ûlvoutîf deux à deux sor cbaqpo point d'une telle ligne , sans former deux à deux un même angle avec elle. I>onc y pôur qté la f?g|tté Iftf g(Àt U fitttiitf d(^ ftaftiës qu on doit transporter , ou vers R'R^R^R' ou veirtf ^^fj^^ îï '^ que cette lïgtié fasse te tnéWé atfgle aveô les^ t^uiëi Wi^ et Xïr^ ; D'R^ et Ifr^ ; qui partent d'utt thème pttlttt lY ôti D*. luette ligne svtfncî La suite dcs poiuts Tfy ly, ly , D^, qui sëpàfëtit les roUtd^ dé i"u ^^dVbbF dlTcAt* cïeux dîrectîoils différentes , forttïé nécessâirétnetif titie <JâMrIie

qui rrgardf* le rem- % à \ • tt « •^- 4«ii# t <4 ^ «

M.i . on jusqu'au coutinue Jaqfaéfle doit â étendit ftfsqtt à la lïMite Jjr du MtUtf.

penmetre du rem- -» * "^ * ^^

ardc"udffi"" ^^^ quelle s arrêtât bf usqûértient , éfl Er, par etettiplé,

il faudrait que la rôttte R^D*^ pût étfé prolongée jusqn'étt «"' sur le contour du déblai \ tandis que la foUte tf^t^ né Viendrait qu'en D'* : Ce que nous avons démontré ûé potivoir éWî. Donc , du côté D"' le plus éloigné du remblai , la courbe T/ïflf va jusqu'au périmètre dti déblai.

File peut te terminer U n'eu cst oas dc ùiémc du côlé cfui fegatde le remblai. Si la

dans un point quel- a T%^^r^ • a » ^

d^c^Sdu re^ui- ^^^^^ ABCE était , en A , tangente à 1 extrémité de là cotirbe qLeicônVe°du^r''em^ ADDTTD"'; cctte route même serait, dans tôUte la partie* AB, dl^i;i*^" ^^** ^." la séparation des deux sysfèiJiesI>'D/,DT>^;... et IKrf/jD V....,

En effet ^ si Tangle formé par une toute directe avec la route limite , devient égal à zéro , Fangle pareil formé par la seconde route qui vient aboutir atf flïéfne point , devient psùreillement en ce point , égal à zéro. Donc , les deux l'oates dbëcfeK sont alors tangentes entr'elles. Mais on ne peut, d'titl ihéiiïe^^ point, faire partir qu'une route directe dans une directioik d^tiéê. Doitc les deux routes que nous cronsidërotis', ^ ebâfinudent *, elles se réduisent ed une seule ABCË.

Fig t5. Si nous prolotfgiSons les routes inmiédidtêtllMrt (J6nsé«utiv($^

PI. XII v:^^^ R-D'^, R'^ET..., puis ceffcs /TT, j^TT, Z»',... jtiaqu%

ce qu'elles se rencontrent en C^jC^jC,... et c'^,c^V'>*vî ^^* àmxt

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i49^

courbes CG^C. » . et c^cTc^... suiHront à la détermination com- m*. jfiiioiBE. pléte des deux systèmes, de routes. En eilet ^ de chaque point d'une sendblablQ pourbe , on ne peut mener sur la surface du tçrraifx , qu nuiç route directe tangepte k cette courbe : les routef qui rencontrent à b fois le déblai et le r^Pibl^ ^ ^pV évidemment les seules qu'il faudra considérer*

Pour déterminer^ ensuite , la ligue DniXT)"..* qui sépare les Moyen graphique de deux systèmes de routes , il faudra considérer que les àtnx, iëparatiradHldeux rontes qui p^qr^eut de chaque point, de oette ligue > forment avec '^' f^.' is. j^le f)Q méqiQ Wgl^i Si Ton mène % d un dç ces points Wj les ^' ^' perpendiculaires Vl^'ùTy et D'^^ aux routes infiniment voisines BrVrCr et rn)rc'\ les routes directes CD" et ÇT^'' seront 4f[fîïm entr ellep ; de même c'iy' et d^H" seront égales entr elles, ftï^is les triangles rectangles D'PVS n'D^T ont même hypoihénuse D'T)"' \ de plus , langle jyiy'à!^ est égal à Taugle D^DV^Dono ces deux triangles son^t égaux y et par con0éq«ent , FX ^ Ï^T ou D'A"' — WT = q.

Si dcwpiç QB snpposç qne WQ^ — D V ^jr: A , et qut'oa ajoute nnembre » qœmbf^e eett« éfiiAtion avec la précédente , on a

On prouverait . pareiUement , que C'X'T)'' ^ c'^d^W = CX''CTi'^c'V'c^D'=K;C"G"CXT)'~c'VVcTy i^.

De là.résuhe cette eonstrudictt extrêmement sîosip^* Fixons en C un premier fil , un second eu d^^ Tèodoiia ces iiik e( tenons les réunis en IK'^. Laiasodi y ensuite j ks fils s'allonger d'une UQtême quantité , du cêité de D'""^ tandkque, de Tewtre bout ,. ils se plieroat sur les eourbes G'^^CfC*. ^ ^ c W^.- Si les fils ne cessent pas d'être tendus et ap|4Iqués suit hi swlace du terrain ^ le point qui le& réunit^ décrira nécessaârenwnt la eourbe de séparation IV'DnD'... , etc. De plus , le prolongjBm^nt de&fils.^ danschacune de leurs positiona, sera In roule

i44 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE RfÉCHANIQUE.

m«. MÉMOIRE, qui doit partir 1 une à droite, l'autre à gauche de chaque point

de la courbe de séparation.

ohscrrationi de G ^* ^^^ë^ 9 ^^^^ ^^^ Mémoire sur les déblais et les remquâ^îs^^upc?* ^l^s y après avoir donné le moyen de déterminer la direction

des routes et le prix du transport , dans les déblais et lés rembiais des aires planes y observe qu'il est un cas ou cette solation ne peut pas s'appliquer. C'est le cas que nous venons de traiter.

if Alors, dit-il, la solution précédente est illusoire. i\ Elle » ne donne pas le minimum du prix du transport , parce que M les routes de quelques molécules se coupent entre leurs ex- >i trémités. a^ Elle ne donne pas le transport total, parce M qu'alors certaines molécules doivent être transportées deux h fois , tandis qu'il n'y a point de transport indiqué pour M d'autres molécules. Dans ce cas , pour résoudre la question, M il faut diviser le déblai en deux parties par une courbe , et » le remblai en deux parties par une autre courbe, et chercher' » quelles doivent être ces deux courbes, pour que ; les deux M parties du déblai , étant transportées séparément par la méu thode précédente sur les deux parties correspondantes da M remblai , la somme des produits des molécules par les es- » paces parcourus , soit un minimum , question qui est de H nature à être traitée par la méthode des maxima et mininia » des formules indéfinies. »

Ainsi Monge regardait comme nécessaires deux courbes sépa* ratrices, l'une tracée dans Taire plane du déblai, l'autre dans l'aire plane da remblai.. Mais , d'après ce que nous avons démontré dans ce Mémoire, on voit , au contraire, qu'en général une seule courbe doit suffire. Il y a plus : si les routes étaient séparées par deux courbés , lune tracée dans le déblai , l'autre tracée dans le remblai, ces deux courbes ne se correspondraient pas^

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i45

elles ne sëparer aient pas des parties d'une égale superficie. En- iiit. mémoire. fin , ces deux courbes ne seraient pas données par l'intersec-* tion des fils enveloppés sur les mêmes courbes auxquelles les routes doivent être tangentes.

Nous allons essayer de déterminer le système de routes Du déUai des aire<

j m 19111* \ • suiyant des route*

le plus avantageux , lorsqu elles doivent toutes être mixtes, mixtes. Supposons , par exemple , qu'après avoir tracé le meilleur système de routes directes^ on trouve que, dans toute la superficie du remblai , ces routes ont une inclinaison qui dépasse la limite des pentes. Il faut évidemment , alors, renoncer à ce système, pour recourir à celui des roules en partie directes , en partie obliques.

Soit DD" le déblai , RR" le remblai ; AA , la limite des pig. kî routes obliques; SS , S'S' , S'S'.... les sections horizontales du *"» xu. terrain. En chaque point L , U, L".... où ces sections rencontrent AA , menons les routes directes LZ, L7', LT... respectivement perpendiculaires à SS , S'S' , S^S".... Soient L et L" , les points d'où partent les deux routes L/, L"Z" respectivement tangentes , en D et D"*, au contour du déblai. Supposons , enfin , que des points L et L"" , on puisse mener les routes obliques LR et L^R", tangentes au contour du remblai. D Câpres cette construction :

i^. Le système des routes directes sera celui des routes LZD ;

Vnyj)', Vnyp' , perpendiculaires en L, L', L" , aux

courbes horizontales SS , S'S' , S^S*.

1^. Le système des routes obliques sera complètement arbitraire , entre LR et L^R*" ; pourvu qu'on s'arrange de manière à ne cheminer, depuis AA jusqu'au remblai , qu'en suivant des routes obliques.

En efTet, comme nous l'avons vu, quand deux objets peuveiU étre-porlés en deux endroits, par des routes constamment

i46 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

III*. MEMOihF. obliques , il est indifTërent de transporter le premier ou le se<*

cond objet du point où chacun se trouve , jusqu'au premier ou jusqu'au second point d'arrivée. Chaque route mixte ^ d'ailleurs , est la meilleure possible y entre deux quelconques de ses points. Enfin cet avantage cesserait d'avoir lieu, si l'on quittait une des routes directes , telle que DTi', pour suivre DTi" j puisque jy\j ne serait pas perpendiculaire , en L'', à la section S^S*. {Voyez second mémoire , page 92 et suwantes). Du croisement des S'il arrive quc Ics routes directes venant à converger , se

routes dans le de- • . j 1 J '"Ll -1 1 *• 2 ' 1 m. '

biai ou le remblai, croiscut caus Ic dehlai , la solution précédente ne pourra

plus s'appliquer. Il faudra trouver une courbe de séparation qui divise en deux parties le déblai ; chaque partie sera transportée^ suivant un système différent de routes directes, jusqu'en AA limite des pentes ; et , de là jusqu'au remblai , transportée par des routes arbitraires.

Cette route de séparation , d'ailleurs, jouira des mêmes propriétés que la courbe analogue dans les transports qui s'effectuent par des routes entièrement directes; c'est-à-dire , que les deux parties directes, aboutissant en chaque point de la ligne de séparation , formeront l'une et l'autre le même angle avec cette courbe.

Du raccopjemcntdes Lorsouc la routc obliquc R"L", tracée sans aucun ziff-zag

porlioiis obliques et * * OC

sm>aîiT iin Tn^fé P^"^ ^^^^^ ^^^^ ^^ déblai, couduit à la route directe L"*/" perpen- Fig.'i'.. diculaire à la section S*S", et placée en dehors du déblai DD", PI xir. il est évident que les solutions indiquées précédemment ne peuvent plus avoir lieur

Alors si l'on trace , sans aucun zig-zag , toutes les routes obliques possibles dans la direction du remblai vers le déblai , leur ensemble sera celui des parties obliques du meilleur système. Si, de plus, par chaque point L"", L", L' , L, où ces routes obliques rencontrent la limite AA , on mène jusqu'au

fftintrnum.

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i47

déblai les roules directes L-^D*", L"D" UD\ LD, qui inler- m*, mémoire.

ceptent des parties D'DD^, ©"DD^ , respectivement égales

aux parties du remblai correspondantes, R'RR^, RTR-R^ ,

on aura le meilleur système de routes mixtes.

Considérons , en effet, deux éléments du déblai , déjà portés en U et L", par exemple. Chacun en particulier , pour venir en R' etR", suit la route la plus avantageuse entre son point de départ et son point d'arrivée. Il est d'ailleurs évident que si L" peut être transporté en R' par une route oblique en zig-zag, U ne peut l'être en R" suivant une route toujours oblique, puisque UR' est du côté de R" l'extrême route oblique partie de R'. Or, nous avons fait voir que le système de deux i^outes obliques L'R' , L''R'' , est toujours plus avantageux que celui d'une route oblique L^R' et d'une directe LR". Donc , enfin , le système que nous avons déterminé est le meilleur possible.

Le transport des aires ofTre des problèmes aussi variés que ^

^ ^ *- * Cas varies que peut

le transport des lignes matérielles. On peut supposer que le ^^f^f^^ ^^ déblai et le remblai soient séparés par une montagne, ou par un vallon , ou par plusieurs inégalités du terrain , qui rendent les routes composées de plusieurs parties directes et de plusieurs parties obliques. Chaque route, en particulier, deviendra plus difficile à tracer ; mais les moyens généraux que nous avons fait connaître, ne cesseront pas d'avoir leur application.

s IV.

Du déblai et du remblai des volumes.

Nous voici parvenus à la partie la plus générale et la plus difficile de la théorie du tracé des routes , dans les travaux de dallai et de iremblai. Comment dôit-on transporter, par éléments infiniment Detits , une macise cruelconaue * d'un lieu dans

if8 APPLICATIONS DÉ GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

m*. MÉMOIRE, un antre ; en supposant , pour plus de génëralitë , que la figure

de la masse avant le transport , n'ait aucun rapport nëcessaiit avec la figure de cette masse après le transport^ et que l'ëgalité ou seulement la proportion de leurs volumes soit connue ?

Il faut ohserver que la surface du terrain n'est plus ici^ comme dans les hypothèses précédentes , la même avant et après le transport. Avant le transport, elle est formée de la snrface supérieure du déblai, de la surface inférieure du remblai, et de la surface naturelle du terrain intermédiaire. Après le transport, elle est formée de la surface inférieure du déblai, de la sm^ face supérieure du remblai , et de la surface naturelle du temin intermédiaire. Nous appelerons Tensemble des premières superficies , surface primitiçe ; et l'ensemble des secondes , ^rface définitwe du terrain.

A mesure qu'on opérera le transport, la surface du terrain variera dans la partie déjà travaillée du déblai et da remblai. Pour obtenir le système de routes le plus avantageux possible , il faut que ces surfaces ^ variables à chaque instant , présentent toujours la forme la plus favorable aux transports , et c'est évidemment celle qui permet de cheminer en ligne droite. La partie des routes comprise dans le déblai et le remblai devra donc être rectiligne ; elle ne pourra prendre de courbure qu'en atteignant la surface primitive ou la surface définitive du terrain.

Mais , pour qu'une route en partie rectiligne , en partie curviligne , soit la plus avantageuse possible , il faut que ces deux parties se raccordent tangentiellement : à moins que la surface du terrain ne soit brisée, et ne forme un angle à leur point de raccordement. Donc , si l'on peut déterminer toutes les parties curvilignes du meilleur système de routes, les parties rectilignes de ces routes seront généralement les tangentes de ces courbes.

Théorème.

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i49

Si^ maintenant, nous considérons une partie curviligne, entre m: MtMoiRE. les deux points oii elle se raccorde avec les parties rectilignes , mous verrons qu'elle ne peut être généralement la plus avantageuse, si elle n'est pas, entre ses deux extrémités, la ligne la plus courte tracée sur le terrain.

De là résulte donc ce premier théorème : dans le déblai et le remblai des masses ayant un çolunie quelconque , le meil^ leur système de routes est formé y i^. des lignes les plus courtes qu'on puisse tracer sur la surface primititiue ou définitive du terrain ; 2®. des tangentes à ces courbes. De manière que le faisceau de ces tangentes occupe tout le volume du déblai d'une part; et tout le volume du remblai de l'autre part.

Nous avons fait voir , dans les Développements de géométrie , que la propriété d'un système quelconque de lignes les plus courtes qu'on puisse tracer sur une surface arbitraire, c'est de pouvoir être le lieu des centres de courbure d'une autre surface : de sorte que le faisceau des tangentes à ces lignes les plus courtes forme l'ensemble des normales de cette autre surface. Enfin, ce faisceau peut toujours se décomposer en deux systèmes de surfaces développables ; et les développables d'un des systèmes, croisent partout à angle droit les développables de l'autre système.

La propriété caractéristique de la partie rectiligne des routes, dans le transport des masses d'un volume quelconque, est donc de présenter deux faisceaux de surfaces développables qui , partout , se coupent à angle droit.

G. Monge, supposant toujours que les routes parcourues sont entièrement rectilignes, ce qui ne peut avoir lieu pour le transport des volumes , est parvenu , dans cette hypothèse particulière , au théorème que nous venonà d'étendre au cas général. Ce qu'il y a de singulier , c'est que les considérations et les

ijo APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

III'. MÉMOIRE, moyens qui nous ont servi pour démontrer ainsi ce Ihëorème

dans sa plus grande extension , ne peuvent pas s appliquer à l'hypothèse plus restreinte à laquelle Monge s est borné. Ce géomètre , en eflet , supposant que les routes sont toutes formées d'une seule ligne droite, n'admet pas qu'il faille suivre la courbure du terrain. On ne peut donc plus, alors , considérer les parties rectilignes des routes , comme les tangentes des parties curvilignes : tangentes dont la nature est d'être normales à une même suiface.

Nous avons essayé de démontrer directement le théorème

de Monge , par le seul secours de la géométrie ; ce qu ou

n'avait «point fait encore. Tel est le motif qui nous détermine

à donner ici notre démonstration.

Démonstration po- Pour que les routcs qui servent au transport le plus avanta-

métrique du théo- -, , . . , i •««

rcme de Monge. gcux d uuc massc quclcouque y ne soient pas les normales d uoe

même surface , il faut qu'en concevant deux surfaces gauches infiniment voisines , formées par ces routes , et qu'eu traçant les quatre lignes AB, BG, CD , DE, partout perpendiculaires à ces routes , la dernière ligne DE ne revienne pas au point A, Nous supposons AB, CD finis; BC, DE infiniment petits du premier ordre. Donc AE doit être un infiniment petit du même ordre , pour qu'en D la surface continue qui passerait par ABCD ne soit pas normale à la route lEiAea.

Concevons qu'entre le déblai et le remblai y l'on trace ainsi deux systèmes de lignes AB, BC, CD, DE; ab^bc, cdy de y partout perpendiculaires aux routes que nous considérons. Il est évident que toutes les parties de routes rectilignes Aa, Bi, Ce, Di/, Ee, comprises entre ces lignes , seront égales. Par conséquent on aura.Aa — Ees:5;a, ou AE«=ae. Si donc nous menons les droites DA ^ dayXes routes qui conduiront de DA en da seront pareillement égales entr elles.

Fig. i8.

PI. XII

iÇ ' DÉBLAIS ET REMBLAIS. i5i

5fi Soit , mainteDant , représenté par n^ le rapport de AD à m*, mémoire.

j^ AB -f- BC H- CD , ce rapport sera inÛDimeiit petit du i*' ordre.

é Divisons le contour ABCDA , en éléments égaux, chacun

Ir'^desquels doive être transporté suivant une route particulière

rit sur le contour ahcda. Le nombre des routes qui porteront AD

i/ VBGFa au nombre des routes qui porteront AB+BG+GD : : m^- 1 .

: £t toutes les routes étant égales , rn! sera le rapport des sommes

h des mêmes routes. Prenons , maintenant , sur le contour abcdy

en avant de chaque point a^h^c^d^ des distances ad^ bV ^ ce' y

dd! y égales entr elles et infiniment petites du second ordre*.

n est évident que si Ton prend pour nouvelles routes^ Kd ^

^V y Ce/...; toutes celles qui sont comprises entre DA et da

seront raccourcies, tandis que celles qui sont comprises entre

AB, BC, CD et ab^bc^ cd seront allongées. Comparons cet

allongement et ce raccourcissement.

Si, du point a, nous menons an perpendiculaire à Aa, et par conséquent parallèle à de ^ nous aurons ad \dn:=±adiae y rapports finis. Donc dn est (ainsi que lest ad^ un infiniment petit du a% ordre. Nous allons démontrer que dans un triangle jrectangle tel que Aan, ohan est un infiniment petit du 2% ordre et Aa fini, An — Ka est du 4** ordre. Donc , si An— • A«' est du 2^ ordre, Aa — Ad est, de même, un infiniment petit du 2*. ordre = m". Tel sera le raccourcissement de toutes les routes qui serviront au transport entre AD et ad,

11 est facile de voir quel sera rallongement des routes pour le transport des lignes AB , BC , CD. Le point B, par exemple ,. étant porté non plus en b , mais en b' tel que bb^z=i ad y on a

BA'^ = Bi^ + iA",etB*' — Bi=47 = ^/*'';

ntT étant un infiniment petit du quatrième ordre y puisque bb\ lest du second.

i5îi APPLICATIONS DE GEOMETRIE ET DE MÉCHANIQUE.

m*. M£Bf oiRF.. La somme des raccourcissements de routes = AD x m' est

UD infiniment petit du 3% ordre, puisque AD est du i^» et m' du 2\ La somme des allongements = (AB -f- BC -f- CD) x mT est un infiniment petit du ^\ ordre , comme m'*"; puisque AB + BC + CD est fini.

Donc la somme des allongements est infiniment plus petite que celle des raccourcissements. Donc le système de routes Aa j B&^ Ce, T>d, n'est pas le plus avantageux. .

U est un seul cas oii cette démonstration ne saurait pW avoir lieu : c'est lorsque les quatre lignes AB , BC , CD ^ DA , sont à la fois perpendiculaires aux routes Aa , Bb y Ce , Di/. Alors, en effet , si l'on prenait des infiniment petits d'un ordre quelconque , aal^ hit , cc\ dd'... les nouvelles routes étant toutes des lignes droites obliques par rapport à abcd^ seraient plu$ longues que les primitives , qui sont perpendiculaires à abcd.

Ainsi, pour que les routes du système Aa, B6, Ce, D/i soient meiUeures que celles de tout autre système, elles doiveot être à la fois normales à la même surface continue ABCD. Du cas où les roule» Jusqu'ici nous avous supposé que les routes employées dans

le transport des volumes , fussent entièrement directes^ Si elles devaient être mixtes, c est-à-dire, en partie directes, en partie obliques, les résultats précédents ne pourraient plus s'appliquer dans toute leur généralité.

Cependant, si la partie oblique des routes se trouvait toute sur le terrain qui sépare le déblai du remblai , il n'y aurait rien de changé quant à la partie rectiligne des routes. Celle-ci présenterait encore , soit dans le déblai , soit dans le remblai , un faisceau de droites auxquelles une même surface pourrait être normale. Ce faisceau serait , par conséquent, décomposable

en deux systèmes de surfaces développables qui se croiseraient à angle droit.

ioni mixtes.

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i53

Mais il n'en est pas ainsi , lorsque la surface supérieure du jii*. MÉMomE. dëhiai ou du remblai y ofTre une pente plus forte que la limite qui convient aux routes directes.

Supposons qu'on ait détermine le meilleur système de routes soit directes , soit mixtes , soit tout-a-fait obliques , tant sur la surface primitive que sur la surface définitive du terrain. Ce système comprendra toute la partie curviligne des routes nécessaires au transport , et la partie rectiligne occupera tout le volume du déblai et du remblai.

Les tangentes aux routes curvilignes directes ^ qui pénétre- Surfaces dëveiopparont dans le déblai ou dans le remblai y formeront des systèmes parties dro^es*^ al de surfaces développables dont les arêtes y normales à une sur- directes. face unique, appartiendront au meilleur système de routes.

Mais il n'en sera pas de même des parties rectilignes qui. se raccorderont avec les routes curvilignes obliques. Ce raccordement pourra se faire ou tangentiellement ou non tangentiellement, comme nous l'avons vu , page 96. De plus, ces parties rectilignes seront généralement obliques, et nous allons voir dans un moment les cas qui peuvent faire exception à cette ^ règle. Enfin, ces routes obliques formeront encore des faisceaux de surfaces développables. Mais ces surfaces développables , au lieu de se couper sous un angle droit constant , couperont seulement les plans horizontaux sous un angle constant donné par la limite des pentes.

Commençons par oflrir un exemple simple et facile du cas Exemple «impie. que nous voulons expliquer. Supposons qu il faille combler un pi ^ij fossé Abc et former au-dessus le revêtement Amm'nd^ en détruisant le revêtement AMM'ND et creusant le fossé ABC. Supposons , encore , pour plus de facilité, que le profil de ces ouvrages soit constant , et la ligne directrice horizontale. Ainsi les revêtements et les fossés ont la forme de cylindres horizontaux,

ao

i54 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

iiK MÉMOIRE, dont les hases verticales sont reprësentëes dans la fig. 19. Menons, I^ tangenliellementàAMM'NC, Aie, les droites MN, AZ, qui fassent avec la verticale un angle égal à la limite des pentes descendantes ^ 2\ tangent iellement à ABC yAmm'nCy les droites KL, mn qui fassent avec la verticale un angle égal à La limite des pentes ascendantes.

Les parties RK'L, MM'N du déblai , ne peuvent être emportées qu en passant par K ou par M , suivant des routes obliques. De même, les parties kkl^mm'n du remblai, ne peuvent être amenées qu'en passant par k ou par m , suivant des routes obliques.

Enfin, toutes les parties AMNDGLKA, AmndclkA du déblai et du remblai , ne doivent être transportées que par des routes directes. Ces routes directes seront toutes tangentes à MAm ou RAA.

Quant aux routes rectilignes obliques , il faut observer d Sabord que tout arc mm'n qui est en m tangent à sa corde, doit offrir un point p d'inflexion entre m et 7?. Si l'on mène à Tare mp toutes les tangentes possibles p'q' , p^g"'-^ elles seront la trace verticale des plans qui contiennent les routes obliques et rectilignes qui se raccorderont respectivement en p^ p\p\ ... avec les routes obliques et curvilignes j ces dernières d'ailleurs se raccordant en /n, avec les routes directes représentées par MA/w. Voici donc , en résumé , le système complet des routes.

I. Curvilignes : Les arcs MAm , KAA , placés ROUTES \ àans des plans verticaux.

U. Rectilignes : Les tangentes à ces arcs , pro-

longées respectivement dans toute ïétendue

du déblai ou du remblai.

DÉBLAIS ET REMBLAIS. i55

I . CuKviLiGNES : Les arcs MP, mp, RO, ko ^ hk mémoire. compris depuis la fin des routes curvilignes ROUTES \ directes , jusqu'aux points d'inflexion Vpy Oo. OBLIQUES P ' Rectilignes : Les tangentes à ces arcs, bri--

sées d'ailleurs arbitrairement suivant des zigzags a pente constante.

En étendant cette théorie au cas le plus général, nous ferions voir aisément qu'on doit trouver ( dans la portion curviligne des routes ) certaines parties directes et certaines parties obliques ; leur ligne de séparation est facile à tracer. Les parties obliques sont^ dans le déblai comme dans le remblai, terminées par une courbe qui nnrarque sur les lignes de plus grande pente, une suite de points d'inflexion.

Les tangentes aux routes curvilignes directes, sont les seules routes directes et rectilignes ; les tangentes aux routes curvilignes obliques , sont les seules routes obliques et rectilignes.

Il faut bien observer, cependant, qu'au lieu d'employer pour routes obliques, des lignes droites brisées, on peut employer des lignes courbes à pente constante, sans qu'aucun des résultats exposés ici cesse d'être vrai. Nous savons, en effet, que toutes les routes à pente constante ont la même longueur , lorsqu'elles ont le même point de départ et le même point d'arrivée.

Il pourrait se faire que le déblai et le remblai présentassent, ^*s »'> le premier, un angle rentrant Kbg ; le second, un angle saillant . ABC ; et tous les deux à vive arête.

11 faudrait , alors , par les points B et 3 , mener les droites BL , &Z, suivant l'inclinaison des pentes descendantes; et les droites, BM, bmy suivant l'inclinaison des pentes ascendantes. Tout l'espace blemb doit être occupé par des lignes droites représentant des routes directes; il en est de même de l'espace

PI. XllI

i56 APPLICATIONS DE GEOMETRIE ET DE MECHANIQUE.

iiKMÉHOiBE. Au-dessus et aunlessoas de ces deux espaces , les parties restantes du déblai et du remblai ne peuvent plus être transportées qu'en suivant des routes obliques passant , les premières par le point b , les secondes par le point B.

Pour revenir au cas général , il faut observer que , si les routes obliques doivent se raccorder tangentiellement aux routes directes , il est cependant des cas oii cette condition ne peut plus avoir lieu. Alors il faut que langle formé par chaque route directe et par l'oblique dont elle est la continuation y soit aussi obtus que possible. Il faut, en outre , que la route oblique , sans faire aucun zig-zag, soit dirigée du côté qui l'approche le plus du déblai , si elle appartient au remblai \ et du remblai , si elle appartient au déblai.

Duraccordcmcntdes Nous trouvous uu cxemplc dc cc uouvcau genre de solution ,

portionsobliqueset ■■■ o 7

*^iî^^un *M ? "'"^^ lorsque , siTT le penchant d une montagne très-allongée et d'une

'""'"hg. 21 pente rapide, il s'agit de prendre une masse de terre D, pour la

PI. XIII. porter vers un point R placé comme on le voit dans la fîg. 21.

Soient DL et DU les routes obliques les plus divergentes , à partir du point D. D'après la disposition de la figure, ni DL, ni DÛ, ni les routes intermédiaires ne seront telles qu'une route directe, partie du point R, aille se raccorder tangentiellement avec Tune ou l'autre , sur la ligne linEiite AA. Nous avons fait voir p. 96, que la route la plus avantageuse qu'il soit possible de suivre est, alors, l'oblique extrême DL dirigée du côté de R, et la route directe LR.

Dans ce nouveau cas , comme dans tous les autres , les foutes rectilignes directes et les routes rectilignes obliques, for^ ment deux faisceaux distincts. Ces deux faisceaux sont sépares par une surface ou gauche ou développable qui partout est tangente , soit à la surface primitive , soit à la surface définitive du terrain.

Ï)ÉBLAIS ET REMBLAIS. l5^

ill*. MËMOIRE.

Variation des volumes du déblai et du remblai.

Jusqu'ici nous avons regarde le déblai et le remblai comme 'bku''qif n'^rpis étant des espaces limités de toutes parts , et d'un volume dé- ^"^ "^"*' ''''*"'"•' terminé. Nous avons supposé ces volumes égaux'; mais la méthode que nous avons employée ne rendait point nécessaire une telle hypothèse. Nos résultats n'auraient rien perdu de leur gé^ néralité , si nous eussions supposé que le rapport des volumes du déblai et du remblai y dût être tout autre que l'unité.

C'est, par exemple , ce qu'il faut admettre dans le remuement E»«™pîe oAcri Mr

' * '^ * ' * ^ le remuement dct

des terres. On sait qu'elles occupent sensiblement plus d'espace *«''^^dans le remblai , qu'elles n'en occupaient dans le déblai. G est une considération à laquelle il est essentiel d'avoir égard dans les travaux. Sans doute, par Teffet du tassement , les matériaux du remblai prennent un moindre volume. Mais, lorsqu'on a transporté des terres qui depuis long-temps n'avaient pas été travaillées , et à plus forte raison des terres vierges , il faut un temps bien considérable pour qu'un tassement complet soit opéré.

Dans ces cas divers, on peut donner dès le principe une Co^^" J^^ar ions sur le

^ r i i tassement des ter-

telle figure au remblai , qu'après le tassement il présente une ^^'' autre figure , déterminée d'avance.

Si l'on admettait que le tassement de chaque partie du terrain dût être proportionnel à la hauteur de terre dont cette partie est chargée, on trouverait avec facilité le tassement d'une tranche verticale dont les dimensions horizontales, épaisseur et largeur^ sont connues et prises pour unité.

Soit ABCD cette tranche j divisons-la par des sections ho- ^'^ ^'^• rizontales infiniment voisines , Kd , A V , A:' V , etc. Sur le " ^"' prolongement de chaque section, marquons des longueurs,

i58 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. iiKNÉMoiKE. am ^dni\ a^'nf ^ etc., qui, respectivement, soient proportionnelles aux pressions produites par Aa'A'D, Ac^liD^ Aa'^kld^ etc., sur 1 élément immédiatement inférieur. Il est évident que la somme des tassements sera représentée par la somme des lignes al m' , aW , o^'W.

Observons y d ailleurs^ que le tassement total de chaque élément , c'est-à-dire sa diminution de volume, e&t proportionnel à son épaisseur même, et par conséquent à sa hauteur. Car, si KddK^ par exemple , était double en volume, il tasserait d'une hauteur double. Il faut donc multiplier la somme de nm, aW, dm*.... , par le facteur constant A^, aV, aV". Ce produit est la surface du triangle rectangle ÂBM.

Par conséquent , si nous comparons le tassement total avec celui de la partie Ad^k'*'Dy par exemple, nous aurons pour rapport celui de la surface des triangles ABM, Ad'mf^. Or, ce rapport est celui du quarré des hauteurs. Ainsi , le tassemeot des terres serait proportionnel au quarré des hauteurs du remblai.

Si Ton connaissait le tassement d'une couche de terre ayant Fig. :i3. un mètre de hauteur , pour un même temps et dans les mêmes PI. x.if. circonstances, le tassement d'une couche quelconque serait

connu. Si Ton voulait qu'au bout de ce temps , les terres du remblai prissent la figure RR'R"..r R"r^VVR, il .fautait remplir de terre un espace RR'R"R'"....R°' p'^p'p'R tel que les hauteurs r'p', r'p", /y".-* fussent entr elles comme les- quarré Ry% RV'% RV"% etc.

Il est évident que la loi d'après laquelle nous venons d'éva* luer les tassements, n'est pas eelle de la nature } ear en la suivant , on pourrait concevoir une tranche de terre assez haute pour que le tassement de la partie* inférieure de la tranche, devtnt égal au propre volume de cette partie; ce qui serait absurde. On pourrait beaucoup mieux représenter les tasset-

Pi XIIK

DÉBLAIS ET REMBLAIS. iSg

ments par les ordonnées d une courbe hyperbolique dont les ni', mémoire. abscisses prises sur une droite maW'... , égaleraient la hau-n leur des couches de terre soumises au tassement. De manière que, pour une charge infinie, le tassement fût représenté par wA; et, que pour des hauteurs md^ mci\... le tassement fût représenté par am\ diri\ a'"m'^... Dans tous les cas, on porterait les hauteurs RV , RV, R'"/'^' (fig. 28 ), à partir du point m et sur la ligne des abscisses ( fig. 24); on élèverait les ordonnées aW,aW..., correspondantes, pourles porter respectivement en rV, ^Vv (fig* ^^)> ^* ^^^ aurait le contour Rp'pV"... j. ^^ qu'il faut donner à la partie supérieure du remblai, pi xm.

s VI.

Des systèmes de routes qui se rencontrent dans le déblai ou

dans le remblai des çolumes.

^ Les divers résultats auxquels nous sommes parvenus , en trai--

* De la surface scpn-

tant du transport des volumes , supposent que les routes ne se '•«^"cc des routes ,

*■ •• . ^"i *^ rencontrent

croisent ni dans le déblai ni dans le remblai. S'il en était au- r"' ,*® ^^^y^- "*"

dans Je remblai*

trement , on devrait abandonner ces directions croisées , pour chercher un double système de routes qui ^ sans se traverser , eussent des points d'aboutissement communs , soit sur le déblai , soit sur le remblai : ces points formélhaient une surface séparatrice qui servirait de limite aux deux systèmes d^ routes.

Proposons-nous de déterminer cette surface , toujours en ad- Propriété caractërismettant que l'on compare entr'elles les routes directes , d'après f^ce? la seule considération de leur longueur.

Supposons qu'on ait déterminé la sur&ce séparatrice cherchée. Traçons sur elle une ligne courbe quelconque. Considérons^ toutes les routes qui aboutissent à cette ligne. Elles vont

i6o APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQLX.

iiiv MimjdE* former de chaque côte de la courbe , une surface gauche particulière. R^ardons, comme étant le terrain même, rensemUe de ces deux surfaces gauches.

Traçons y ensuite , sur la surface séparatrice, une seconde courbe partout infiniment voisine de la première. Les noiivdles routes qui viennent aboutir à la seconde courbe, préseDlnt aussi deux surfaces gauches. Les tranches infiniment minces que ces surfaces interceptent dans le déblai, doivent être transportées dans les tranches qu'elles interceptent dans le remblai.

On pourra décomposer chaque tranche en lilets quadrangnlaires ayant deux routes sur la surface gauche inférieore , et deux routes sur la surface gauche supérieure. On réduira tous ces filets à la même épaisseur , en allongeant ou raccourcissant convenablement les roules placées sur le terrain , sans altérer leur direction. Alors , au lieu d'avoir un volume à transporter, on pourra ne considérer qu'une aire , sans que les arêtes des premières surfaces gauches aient cessé pour cela d'oflrir le système de routes le plus avantageux.

Mais nous avons vu , dans le transport des aires, que si les routes se rencontrent , soit dans le déblai, soit dans le remblai , la suite de leurs points de rencontre est une courbe qui forme le même angle avec les deux routes aboutissant en un quelconque de ses poicft s. Donc , cette propriété doit également appartenir à la courbe tracée arbitrairement sur la surface séparatrice que nous considérons.

Air!isi , dans le transport des volumes, lorsque les routes aboutissent sur une surface séparatrice , chacune des courbes tracées sous toutes les directions possibles , sur cette surface, fait le même angle avec les deux routes qui aboutissent en un • même point de cette courbe. Cette condition exige, l^ que le plan langent à la surface limite fasse le même angle avec

les deax routes qui partent du point de contact; n". que les deux routes soient dans un plan perpendicuLaïre à ce plan tangent.

Cette nouvelle propriété devra s'adjoindre aui propriétés générales que nous avons démontrées. Ainsi les routes de chaque système, en particulier, seront toujours susceptibles ^ d'être à la fois les normales d'une seule et même surface courbe.

Considérons ces routes dans toute leur étendue. Plions uu ûl sur leur partie courbe tracée, sur le terrain, entre le déblai et le remblai ; tendons ce iîl jusqu'à la surface séparatrice. Vient-il du côté droit de cette surface ? On pourra tendre un semblable (il du côté gauche, pour le faire aboutir au même point sur la surface séparatrice;et réciproquement. Ensuite, allongeons ou raccourcissons les deux fils, d'une même quantité. Enfin, pour chaque allongement ou chaque raccourcissement , faisons prendre toutes les positions possibles au point de réunion. Ce point ne cessera pas d'être sur la surface séparatrice; il la décrira toute entière, et dans chacune de ses positions, les deux iils dont il réunit les extrémités présenteront, l'un à droite et l'autre à gauche de cette surface, une route entière, depuis le déblai inclusivement jusqu'au remblai inclusivement.

Pour compléter ce procédé graphique, on prolongera les diverses routes curvilignes qui se trouvent sur la surfacedu terrain, à droite et à gauche de la surface séparatrice qui divise en deux le déblai ou le remblai. On déterminera les intersections successives de ces prolongements ; ils formeront, suivant les cas , deux branches d'une même courbe ou deux courbes indépendantes. Plantons , maintenant , des jalons infiniment rapprochés tout le long de ces courbes , afin d'assujettir les deux fils à se plier suivant le contour qu'elles présentent. Fixons un bout de chaque fil à l'extrémitë de la courbe qui lui correspond ,

i62 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

iu«. MÉMOIRE et réunissons les deux fils en un point quelconque de la surface

limite. H sufBra de tendre constamment les deux fils et de les allonger ou de les raccourcir à chaque instant d'une même quantité y pour que leur point de réunion décrive complètement la surface limite^ et que chaque position des deux fils offre le coui*s entier de deux routes qui aboutissent au même point. On sait qu'en général , les normales d'une surface courbe forment , par leurs intersections successives y deux autres surfaces qui sont respectivement le lieu des centres de plus grande et de moindre courbure de la surface primitive. Si nous.comparons ces deux surfaces avec celle qui sépare les deux systèmes distincts de routes , dans un déblai ou dans un remblai quelconques ^ nous verrons que celle qui est la plus voisine de la surface séparatrice , doit être la surface même du terrain ; car si c'était la plus éloignée , les routes se croiseraient nécessairement dans leur partie rectiligne, entre leurs extrémités ; ce qui ne saurait être.

Surface suppiëmen- Néanmoius , uous pouvons toujours concevoir cette autre

faire formée par les y t • t-iii t

intersection» suc- surfacc Quc UOUS appelcrons surface supplémentaire. Elle ne—

ceMivcs des routes .. .

qui se rencontrent, oètre Ic tcrraiu , s'il cst coucavc en quelque sens , suivant la

courbe , lieu des intersections successives de nos routes. Gela nous montre pourquoi ces routes ne doivent pas entrer dans la partie du terrain limitée par cette courbe.

Au moyen de la surface supplémentaire que nous venons de déterminer 9 on peut se passer de cette même courbe pour trouver toutes les routes rectilignes. En effet , le système de ces routes est complètement défini par la condition que chacune déciles soit à la fois tangente aux deux surfaces supplémentaires. La partie courbe des routes est pareillement tangente à la fois aux deux surfaces , et le point de contact est le même sur les deux surfaces 9 puisque ce point est sur leur commune intersection.