PL XIII

DÉBIAIS ET REMBLAIS. i63

Jusqu ici uous avons supposé qu'il fallait uue même quantité jji«. mémoire;,

• ^ • 1 * 1 1 • i> Hypollièse géoëra!e

de lorces pour parcourir la même longueur de route ^ soit d un oùiepnzdestrans. coté de la surface séparatrice , soit de l'autre côté. Suppo- routes qui se ren-

^ • 1 ^ • i> contrent, est dans

sons quil faille m fois plus de forces ou, ce qui en est lex- «n rapport quti-

^ * ^ . *• ' ^'- conque.

pression , m fois plus de dépense , pour parcourir la même longueur de roule d'un côté de la surface séparatrice, que de l'autre côté. Demandons-nous, dans cette hypothèse, quelles relations la surface séparatrice doit avoir avec la direction des routes de l'un et de l'autre système.

Représentons la surface séparatrice par 22. Admettons, pour ^'g ^5. plus de facilité, que les routes de droite aboutissent au point R, et les routes de gauche au point S.

Prenons sur la surface séparatrice , deux points quelconques X,, 6. infiniment voisins l'un del'autre. Ensuite^ des points R et S comme centres , tendons des fils sur le terrain , jusqu'en otv ^t 6,. Décrivons sur le même terrain, en tenant toujours les fils tendus, les deux arcs très-petits A^a^^/r , B.s,^,. On aura nécessairement, enlr@ les longueurs des fils descripteurs , ces relations

RAr=R«, = R^, et SB. = SS.=S^.. .

Si les points ar> 6, sont au-dessus de la ligne la plus courte menée de S en R , il est évident qu'on aura j-

RA,S < R«,S < R^^, et RB.S < R6.S < Rô.S.

Maintenant , la surface séparatrice étant supposée appartenir au meilleur système de routes possible , il faut qu'on ait toujours plus d'avantage à porter

Ar en R et b^ en S, que 6. en R et A, en S B, en R et a^ en S, que a^Jàn R et B. en S.

i64 APPLICATIONS. DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. ni*. MÉMOIRE. Ce qai donne inumëdiatement

A3 H- /w.i.S < ^.R + m. A,S j^j. A3^ = « Jl = ajl B.R + m.a,S <:aji-h /».B.S- B.S = 6.S = O.S.

Donc A,R yi- m.b,S = aJR. + m.b,S = a3^« H- ^« B.RH- "«.«'rS < »J^ + W-6.S < *JR. H- m-A^S.

Inégalités qui subsisteront ^ tant qu'on aura celles-ci ,

BJR.<e.R<^!.R„ et A,S<«,S<«,S,

quelle que soit la valeur absolue de ces inégalités. Donc , enfin, d'après les principes de la méthode des limites y

Cette expression nous fait voir que la surface séparatrice est , en chacun de ses points , éloignée de R et de S (lieux de concours des routes) , de quantités telles que la première moins m fois la seconde donne une différence constante. I ig. 26. Passons au cas général , oîi les routes de chaque faisceau n'a-

boutissent pas en un point unique. Représentons par 22, la surface séparatrice des deux faisceaux. Les roules de chaque faisceau doivent pouvoir être les normales d'une surface. Soient donc 00, PP ces deux surfaces, et supposons que les routes soient terminées sur elles : hypothèse toujours permise^ puisque les routes les plus avantageuses, le sont, non pas seulement entre leurs points extrêmes, mais entre deux quelconques de leurs points intermédiaires.

Prenons sur 22, les points «^j 6. infiniment voisins l'un de l'autre. Décrivons les arcs A^a^^,. et B.6A perpendiculairement aux routes A^Ra, «rR-j «rRa, d'une part; et B,Sb, 6,Sc, ^«Sl? de lautre part; en supposant que A, et B. soient plus près des routes menées directement de S' en R^ et de S„ en R' que les points

pj. xni.

DÉBLAB ET REMBLAIS. i65 «, y «^ et S,f àty on aura de suite , uk mémoire.

A^'<«^-<aj5»'etBJEl'<A.R»<^Jl-'.

Mais , si la surfaee séparatrice est placée le mieux possible,. il laut qu'on ait plus d'avantage à porter

A, en Ra et Z>, en Sb , que b, en R'" et A, en S'

B, en R' et «, en S"*, que a^ en R, et B, en Sb.

Ce qui donne immédiatement ,

A,Ra + m.*.Sk < b.K" -h m. A,S' BJEl' -H m.aj&'"<^ «Jl. + w.B.Sb.

Or, par hypothèse, A,RA=«rRa=«3.>B.SB=6.Sfs=i,Sf Donc

A,Ra + mb,Sk = «rEU •+■ «.Rc/» = a^ + /nB.Sj, y et B.R'+ m.tf ,S*^ < «,R<. + m.6.Sc < b.K'" ■+- m. A,S'.

Mais on peut rendre aussi petites qu'on voudra les difTérences de B.R' et b.K" à 6.R', et les différences de a,S"et AJS' à a,S". D'après les principes de la méthode des limites, on a donc

«,Ra -t m.6.Sc = e.R"-!- w.«,S".

D'où l'on tire

«rRa — — 6,R"= m.aJS>' — g,Sf .

G'est-à-dire , que la surface séparatrice est , en chacun dé ses points, éloignée des surfaces OO, PP ^ de quantités telles que la première moins m fois la seconde est une grandeur constante.

De là résulte un moyen extrêmement simple pour construire Moyen de dëcrîre la surface séparatrice. Il faut tracer, sur le terrain, la partie the?c gënérilcf u curviligne des routes; puis tendre un fil suivant le contour de cc^ par un mou\"" leurs intersections successives (*); et fixer ce fil à son extré-

(♦)0q peut supposer, par exemple, que ces intersections successives sont marqiiëes par des jalons contre lesqpels le fil s*appuie.'

i66 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQDE.

Jii«. Mr.MOiRF. luilé la plus éloignée de 22. En réunissant , sur un point de 12,

la partie libre de deux ^Is ainsi disposés; puis en les faisant

allonger ou raccourcir dans le rapport constant m , et les tenant

toujours tendus, on décrira complètement la surface séparatrice.

Fi- n;. Si , par un même point a, de aa^ , Ton fait passer les deux

pi Mil. surfaces €3fR^R,R^„, «S^S^S,,,... respectivement perpendiculaires

aux routes de droite et de gauche , aboutissant à Ut surface séparatrice ^^ , Ion aura généralement

<R -m.a;S =a„'ll„^m../;S.== V'R.-'«-«.'"S. , etc Or, « se trouve placé sur ^\ donc sa dislance à «R^R^... moins m fois sa distance à aS^S,,..., est nulle. Donc

o = <R,— m.«;S = â?,,Tl^— m.a/S^ =a/R^,,— m.û^/'S^^..-

En supposant que aa^ soit infiniment petit, «^Tt,, a/S^ seront les cosinus des angles awï/R^, aa'^^ que la surface séparatrice Ibrme avec 22 et les deux routes «/R', û?/S' qui concourent en a'^. Ainsi le rapport de ces cosinus égale m.

Si par un point a' y on mène à la surface séparatrice, la normale P«/Q , les angles cta'^^^ et R,«',P , ainsi que ûJa/S^ et S^a/Q sont compléments l'un de l'autre. Par conséquent ,

Cosinus. a' a' K =Sinus.Iia\y. et Cosinus, aa' S =Sinus.S'a O.

De là résulte ce théorème général.

Lorsque les routes se rencontrent dans un déblai ou dans un remblai quelconque j, et quilfaut employer m fois plus de dépense pour parcourir ( sur les routes qui sont d'un coté de la surface séparatrice) j, le même espace que sur les routes qui sont de Vautre coté : les deux routes qui concourent en un même point de cette surface séparatrice, forment a\^ec elle deux angles dont les cosinus sont réciproquement entreux dans le rapport constant m. Autrement : les deux routes gui concourent en un même point de la surface séparatrice yfor^

I Iit'fi'jn'î m'pii'ra!.

ment, avec sa normale en ce point , deux angles dont les Sinus sont enti'eux dans un rapport constant , i : m.

Daas le Mémoire suivant nous appliquerons à l'optique cette propriété générale.

A présent , supposons que la surface séparatrice II soit quelconque et donnée d'avance, ainsi que le iaisceau complet des routes placées à droite de cette surface : une surface coui'be

/7R,R„R,^ pouvant être à la fois normale à toutes ces routes.

Demandons-nous s'il est possible de trouver à gauche de cette surface 12, un autre faisceau de routes, qui forme avec le premier , un système de routes le plus avantageux possible.

Si nous prenons sur II, le point quelconque a, ^ si nous menons ensuite la route rt,S^, à gauche de ce plan ; de manière, 1°. que les angles flw^R, , ««.S^ aient leurs cosinus dans le rapport constant 1 : m ^ 2". que le plan des deux roules aR,, ûjS, , soit perpendiculaire au plan langent en a^ à la surface II ; alors , nous aurons la direction que doit avoir une des routes de gauche , pour correspondre à la route de droite aboutissant au même point qu'elle, sur la surface séparatrice.

Il reste à voir si les nouvelles routes ainsi déterminées , et supposées reclilignes , peuvent être les normales d'une même surface courbe. Pour nous en assurer , traçons, enire les points a et rt, , la courbe «a, , sur la surface II. Déterminons toutes les routes de droite j et , par leur moyen , toutes les roules de gauche qui aboutissent en quelque point de aa^. Déterminons, ensuite, la surface flR,R,,R^„...R, partout normale aux roules de droite , et passant par le point a. Déterminons de même , la courbe rtS,S,,S^^...S, partout normale aux roules de gauche. Nous aurons immédialemeut a,R^=/Hc^S.. En effet, si l'on divise aa, en parties égales infiniment petites aa'= a'^^^" = ajaj"... et qu'on forme les triangles rectangles

III*. BfÉMOIRL

TLéorèmt.

i68 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE-

aa^K,, «ï/S,; «<5 «'<î- • On aura , c/R =/».o;S^ î «^^^<^\^ ««/X ~'»-^/*./... Sî donc on décrit, des points a] , a^ , a^^ ,... les courbes ^/a/, a^a^ , aj^a^ qui coupent à angle droit toutes les routes de gauche qu'elles rencontrent , on aura :

a^''a/= a/a/ = m. a^h^=L m. h^h^ , etc.

En ajoutant d'une part les premiers termes , de lautre les seconds termes de ces égalités , on obtient pour résultat définitif

Si nous supposons que , entre les deux points a , a^^ la courbe aa^ varie de forme d'une manière quelconque , sans quitter cependant la surface 22 , los routes extrêmes a^R^ , a.S^ ne changeront pas de position \ mais le point R^ étant déter* miné par l'intersection de la route aJ^^ avec la surface constante aR'R^^...R., ce point ne changera pas non plus. Ainsi la route ay^ aura toujours la même longueur. Par conséquent aussi , m.a^S^ =: ajà^ conseryera toujours la même longueur.

Donc la courbe aS^S^S^'.^S^ pourra prendre une infinité de directions différentes , sans cesser d'être perpendiculaire aux routes de gauche qu elle rencontre , ni d'aboutir au mémepoint S^ sur aJS^. Mais la route ^^S^ est prise arbitrairement parmi celles de gauche. Concluons de là que toutes les courbes qui y parlant du méihe point ^ de 22^ croisent les routes à angle droite ne peuvent rencontrer chaque route qu'en un point unique; ces courbes forment donc une surface unique et partout normale aux routes du second faisceau. Celui-ci , dès lors , a par rapport au premier faisceau j toutes les propriétés du meilleur système de routes. De là ikous conclaons ce nouveau théorème :

Un Sf sterne de rouies normales à la même surface , et

DÉBLAIS ET REMBLAIS. ifi(>

^xboulissant soit à droite , soit à gauche ^ sur une surface séparatrice quelconque , i7 est toujours possible de trouver de T autre coté de la surface séparatrice, un second faisceau de routes, lequel y réuni avec le premier, forme un système général de routes les plus avantageuses pour effectuer les déblais et les remblais des espaces traversés par les routes. De plus, les Sinus des angles formés en chaque point de la surface séparatrice , par les deux routes qui concourent en ce point , avec la normale de la séparatrice , ces sinus , 4i sons -nous , sont entr'eux dans un rapport constant.

s VII.

Des déblais et des remblais imparfaitement définis.

Souvent l'espace rëservé pour le déblai ou le remblai , n'est limité que d'un côte. On peut, par exemple, proposer de déblayer un volume D, pour en porter les matériaux dans l'espace R à remblayer; espace déterminé d'un coté par une surface ABC j mais îndéUni , entre les branches BA , BC.

Supposons qu'on ait trouvé le système de routes le plus avantageux. Toutes les parties de route , comprises entre les branches BA et BC, seront rectïlignes j comme cela doit être en général. Soit AEeC la surface qui doit terminer le remblai. Je dis qu'elle est normale à toutes les routes rectilignes. En effet, quelle que soit cette surface AEeC, le faisceau des routes rectilignes du remblai doit toujours jouir de ses propriétés générales, l'une desquelles est de pre'senter un double système de surfaces développables. Par conséquent chaque route EF peut être coupée par deux autres routes infiniment voisines , et qui soient placées sur des développables différentes.

Si la surface AEeC n'est pas perpendiculaire aux routes, FE, fe ,... il faudra qu'elle fasse un angle oblique avec elles. Suppo-

ni- MKMoiftr,.

ili'lilai seul , indéfini

i;o APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

UÎ-. MÉMOiBE sons FEe obtusî et^ par cela méme^ ^ef aigu : FE, fe étant

infiniment voisines^. et supposées se rencontrer en un point quelconque (X Si ^ du point O comme centre et d'un rayon Oe égal à la demi-somme de OE et Oey on décrivait un arc Ptp , il est évident qu'on aurait eu de l'avantage à porter en PEc ^ la partieportée en pet. Par conséquent la surface AEeG ne serait pas la plus avantageuse. 11 faut donc que la surface AEG qui limite le remblai ^ soit partout perpendiculaire aux routes rectilignes qui occupent le remblai; ainsi ces routes composent le système des normales de la surface limite AEeC.

Deuxième cas où le Si Ic déblai, commc Ic remblai, devait être incomplètement tonUndëfînh'd'un défini, la surface qui achèverait de le définir aurait pareillement "^ ^ pour normales , les routes rectilignes comprises dans le déblai.

Ce dernier cas semble ne pas devoir se présenter dans la pratique; cependant il n'est nullement impossible. Si Ion abesoin, par exemple, de porterd'un emplacement dans un autre, une portion delà matière qui remplit le premier espace, on doit se demander quelle partie il faut enlever, et comment il faut la disposer dans le nouvel emplacement supposé trop vaste pour être rempli. Alors y toutes choses égales d'ailleurs, on doit chercher un système de routes qui satisfasse aux conditions dont nous venons de démontrer L'avantage.

Cas gênerai , où les Au Heu de supposer que lés retours et les allées sont d'une îonra^'^pri^^^^^^^ égale facilité, nous pouvons supposer^ et teLest le cas qui se

présente le plus ordinairement, que les retours soient plus dispendieux. C'est , par exemple / ce qui a lieu lorsque les voitures ou les bêtes de somme employées pour les voyages, reviennent sans rien rapporter, ou ne reviennent qu'avec un chargement incomplet, ou bien qu'en payant dea droits proportionnels à la longueur dffs routes de retour. 11 pourrait encore se faire que les retours fussent moins dispendieux que

les allées. Ainsi , lorsqu'on va par terre , pour commercer sur i les rives d'un fleuve en apportant des marchandises de peu de prix , pour en remporter d'autres d'un grand prix , à valeiu-s ëgales, les frais du transport sont beaucoup plus considérables pour les allées que pour ies retours.

Supposons dooc , en général, que le rapport du prix des allées au prix des retours soit un nombre quelconque m. Cherchons comment il faut , alors , limiter un reiuldai , pour que le prix total des transports, allées et retours, soit un minimum.

Puisque les routes des allées AL, A'L', A''L",..., sont les plus avantageuses passibles, elles doivent être soumises aux lois générales d'un système de routes le plus avantageux. Ainsi toutes ces routes sont les normales d'une même surface OCy. De même, les roules de retour LR,L'R.', L"R".... sont les normales d'une seule et même surface PP'.

Maintenant, nous pouvons supposer j i". que la matière à déblayer est déjà transportée jusqu'à la surface OO' perpenculaire aux routes d'allées; 2°. qu'il s'agit seulement de la transporter jusqu'en PP', surface perpendiculaire aux routes de retour. On conçoit, en effet, que si nous plaçons les surfaces OO', PP' entre le déblai et le remblai , et la surface limite 11', le système total des roules ne peut être le plus avantageux possible, sans que la portion de ce système comprise entre OO', '2' et PP', ne le soit pareillement.

La surface limite 22', devant être tracée de manière à intercepter dans le remblai un espace égal au déblai , on ne pourra porter au delà de cette limite, un élément solide /, sans laisser, en deçà de la limite > un égal vide X. L'addition de l donne un surcroît de routes égal à al+m.lr^ et la suppression de X produit une diminution égale à aX-^/n.Xp. Enfin , la diminution doit toujours être moindre que l'augmentation. Si nous supposons X

Flg. 19.

PI. XiV.

ija APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. m*. MÉMOiKE. infiniment voisin d'un point L de la surface séparatrice ^. ecX

m\ip difTërera infiniment peu de AL+/^.LR. Mais^ en même tempsy nous pouvons supposer que le point / soit tour à tour infiniment voisin de L, U, L"... Alors ^ au lieu de aZ+/?i.Zr, on pourra prendre AL+ra-LR, A'L'+m.L'R'^ A'U+mJUR"..., qui devront ne difTërer qu infiniment peu de la quantité constante al-^m.y^. Donc , enfin y ces quantités elles-mêmes sont constantes 9 à quelque point de 22^ qu'elles se rapportent.

Si nous considérons les routes infiniment voisines AL ^ LR et ATi% UR'; et si nous abaissons , des points L et L% les perpendiculaires hf sur UK' et Uf sur AL. Nous aurons

AL -f- m.LR= Ali'H- m.h'K , d'où AL — A'U= m(L'R --LR),

et L/=m.L/ :

expression ainsi traduite en langage trigonométrique :

Tb<Jorèmc eînérai *^* ^'^^ détermine les espaces parcourus suivant une rouie

d'allée et suivant la route de retour correspondante y avec la même quantité de force dans les deux cas y le rapport de ces espaces est celui des cosinus de ï angle formé par les deux routes avec le plan tangent à la surface limite au point ou finit Vallée et commence le retour. Par conséquent , ce rapport est aussi celui des sinus de ï angle formé par ces deux routes y avec la normale de la surface limite , au point oh commence Vallée et finit le retour^

En effet, supposons que LL^ soit constante ,. et que le. point L étant fixe, Y! puisse tourner autour de lui, sans jamais quitter i. Lorsque le point \J sera dans le plan normal à 22', mené par la route AL , la perpendiculaire Uf sera la plus courte possible; mais elle est toujours avec la perpendiculaire L^^dans le rapport constant m \ donc cette seconde perpendiculaire doit

élre un minimum en même temps que la première. Il faut ni», mémoire. donc que la route de retour LR soit dans le même plan normal à 22', que la route d'allëe AL. Alors les perpendiculaires Uf et L/', divisées par LU, sont égales aux cosinus des angles formes par les deux routes correspondantes avec la surface limite 22!. Donc le rapport de ces cosinus , est égal à la quantité constante m.

Considérons les rapports que les routes d allée et de retour , , comparaison de-»

m: L M. ^ faisceaux de routes

ont entr elles , et avec la surface limite soit d'un déblai,^soit d'un l^^^cef ^imiL ^et remblai. Comparons ces rapports avec les relations qu ont entre {JâwtrkcJ!'^**^' **" eux les deux faisceaux de routes qui, dans un déblai ou dans un remblai, se rencontrent sur une surface séparatrice. Nou& verrons, pour l'un comme pour l'autre cas, 1°. que les routes correspondantes sont dans un plan normal à la surface lieu des points de concours de ces deux. routes; a'', que ces routes forment avec la même surface, des angles dont les cosinus sont entr eux dans le rapport direct des espaces parcourus sur les routes d'un faisceau ou de l'autre, en employant la même quantité de forces. La seule différence que présentent ces deux systèmes est donc que, dans le premier cas , la surface dont les points sont communs aux deux faisceaux , est entre deux faisceaux de routes; tandis que, dans le second cas, toutes les routes indistinctement sont du même côté de la surface limite. Par conséquent , si nous parvenons à tracer l'un quelconque des meilleurs systèmes de routes d'allée et de retour, ainsi que leur surface limite, en substituant à toutes les routes d'allée ou bien, à toutes les routes de retour,, leur prolongement de l'autre côté de cette surface , elle, deviendra^^^ïr^ïtrice au lieu d'être limite , et le système total des routes ne cessera pas d'être le meilleur possible pour des transports de déblai et de remblai.

174 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE, UJ^ MEMOIRE. Et réciproquemeut , si nous parvenons à tracer un système

quelconque de routes les plus avantageuses qui se rencontrent soit dans un déblai , soit dans un remblai, il suffira de pro« longer au delà de la séparatrice toutes les routes de droite pour se transporter vers la gauche y ou toutes les routes de gauche pour se transporter sur la droite de cette surface. Oq formera de la sorte y deux systèmes difTérents de routes d'allée et de retour, terminées par une même surface limite»

Un seul système de routes d'allée et de retour, ou de routes qui se croisent , présente donc immédiatement , par le pro* longement des routes , trois systèmes supplémentaires. Les quatre systèmes réunis se composent de deux systèmes par allée et retour , ayant la même surface limite ; et de deux systèmes de routes qui se rencontrent, soit dans le déblai, soit dans le remblai , ou elles sont terminées par une surface sepa« ratrice identique avec la surface limite.

Nous avons fait voir qu'un faisceau de routes normales à la même surface , se prolongeant jusque sur une surface entièrement arbitraire, on pouvait toujours, en regardant cette dernière surface comme une séparatrice, trouver du côté opposé au premier faisceau de routes , un second faisceau qui , combiné avec le premier , offrît un système total le plus avanta* geux possible.

Donc , un faisceau de routes d'allée ou de routes de retour, se prolongeant jusqu'à une surface limite donnée , on peut toujours trouver un faisceau de routes de retour ou d allée qui , combiné avec le premier, forment un système total le plus avantageux possible.

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m*. MÉMOIHk.