DU TROISIÈME MÉMOIRE
Sur la recherche du point de rencontre de deux rouies consécutives.
Il est très-important d'avoir ^ dans tous les cas y un moyen sur pour reconnaître si deux routes consëcutivés se croisent au delà du déblai et du remblai. Nous allons tâcher d'y parvenir pour le transport des lignes matérielles.
Supposons y i^. qu'une des routes DR soit tangente en D à la ligne du déblai , et perpendiculaire en R à la ligne du remblai ; â"". que la roule infiniment voisine Dr^ parte du point D. Il faudra pour cela que les arcs Hd, Rr soient égaux entr eux. Voyons quelles conditions entraine cette égalité.
Soit C le centre du cercle qui oscule^ en D^ la ligne du déblai. Si nous décrivons^ du point D comme centre^ un cercle ayant DR pour rayon y la longueur de l'arc de ce dernier cercle, comprise entre DR et Rr, sera égale à Rr; à un infiniment petit du second ordre près, si Rrest dpi premier ordre.
Observons, maintenant, que les deux cercles ainsi définis nous donnent chacun la mesure de l'angle rDR« Nous avons pour cette mesure :
i*". La moitié de l'arc Déf divisé par le rayon CD; 2*. L'arc Rr divisé par le rayon DR.
Si donc les deux arcs D^, Rr doivent être égaux, il faut que le rayon CD soit égal à la inoitié de DR , longueur de la première route : résultat remarquable par son extrême simplicité.
Lorsque le rayon CDsuq^assera la moitié de la distance DR^ il faudra que la seconde route rencontre la première entre D et R. Mais, lorsque
Fig. 3o.
PI. XIV
176 NOTE PRlNaPAUS,
III*. MÉMOIRE, le rayon CD sera nidiidre qae la moitié de la distance DR, la seconda
route ne rencontrent la première qne dans le prolongement de celle-cu n pourra se faire que la ligne du remblai « an lien d'être comme Rr f perpendiculaire à la route DR , eoit oblique en Rp , et fasse aTce elle un angle S quelconque. Alors on aura le triangle rectangle Rip, dans lequel Fangle fpR ne diffère de 6 que d'une quantilé Infiniment petite. Ce qui donnera
Rr=:Rp sin. Ç.
On a, déjà, - CD=^M^ ^^°^ a,CD"^ ftft '* Si donc on veut que les arcs JM, Rp soient ^uz j on aura de suite
ftlU.
PI. XIV
Donc , aussi , suivant que aCD sera plus grand ou plus petit que
DR
^^ f le point de rencontre de DR avec la route infiniment vobine ,
iin
sera sur le prolongement de DR , ou entre les points D et R. Fig. 3u Considérons, actuellement, la route p^rs qui coupe en deux points
la ligne du déblai , et cherchons la route infiniment Toisine p^^^s^ qui intercepte les éléments qtf, rK du déblai , dont la somme soit égale à l'élément /j/»' du remblai.
Soit (ù l'angle formé par les deux routes; soient a, 6, et y les
angles formés en pjqjV, par la première route pqrs, avec les lignes du
déblai et du remblai. Enfin soient a,b, c, les trois parties sp, sq, sn
On aura, de suite, en n^ligeant les infiniment petits du second ordre,
pp'sssin. a). ". ; aa':^ïsin. o)»- . - ^ i rK=:sin. ». . ■*■;
« ^ sin. a ' ■'* sm. 6 ' un. 7 *
mais pp' ;=^q(f + rr^ ;
donc
■ ^~' ■ ^êmm — i*
lin. a &in. € *^ sin. y
Si la route sp était coupée en un nombre quelconque de points , par la ligne du déblai, à des distances de s égales k b, c,df e, etc., et sous des angles égaux k 6,y, d, %, etc.
On aurait immëdiatement iu«. mémoire.
siD. a tin. 6 ' sia. 7 ' tm. d * iin. f .
Trouvons , maintenant , la valeur absolue de a ^ en supposant la position des points p , q^ r, connue , et la seule position du point s inconnue. Soit 6 — a=:B^ c— a=C^ cf— a=D^ etc.^ la formule précédente deviendra
un. a sin. 6 ' tin. y ' itn. 9 ' un. t '
Il Ou A \ . — ^ ■ ■■* • • • ? ïï^ A *+• ■ ■+■ , , , - .
|sm. a sin. 6 sm. 7 j iin. ô^^fin. 7^^§iii. *
et par conséquent , enfin
lin. € '^sin. y*^ sin. 9
tm. a fio. Ç im. 7 sin. o '
Si nous supposons que la ligne du déblai coupe la route ps , à des distances a, b, c, d... du point <f^ et sous des angles «, S, y, à...; tandis que la ligne du remblai coupe là même route à des distances ^fXf ^*'* ^^ même point s, et sous des angles l, v> (> etc.^ nous aurons imm^iatement l'équation
r: h •: tH : h «tC. = -^ g4- -^ -4- -: ; -(- CtC.
•m. a ' sm. 6 ' fin. 7 sin. ( ' sm. 7 ' sm. ( '
Faisant a — a:=A,6— a:=B,etc. ,^ — x = Y,z— a:=:Z, etc. A, B^ Cy«..Y, Z^... seront des quantités connues, et nous aurons
* ein K • cm m * •m B ■ «m «i I «tn r *
•m. a ' Sin. 6 ' sm. 7 ' sin. Ç^^ sm. w "^ sm. Ç
D'où nous tirons
H — : — H — r— 7-Hect. — -:-,— — : — — . etc
' fttn. u Ain. 2! ' Ain. e» «in R «in .m ^
sin. V sin. C "^ * sin. a sin. 6 sin. 7
f--: +-: Znr CtC. — -: — -: 7— "= — CtC.
■ am. u ■ Ain. 2! ' Ain. a cm. fi Ain. m v»««
sin. { ' fin. w ^^ sin. ( ' sin. « sin. 6 sin. 7
formule remarquable par sa généralité et^pâr sa simplicité.
Jlî'. NÉHOIKE.
