AUX DEUX MÉMOIRES PRÉCÉDENTS

Sur la courbe tégulaùice des routes et de leurs pentes.

Fig. Sa. En consacrant au transport du "point P, une force totale con- Fi. XIV. slamment la même et prise pour unitë , supposons qu'on nous

demande d effectuer ce transport, suivant les diverses routes rectilignes PA, PA', I^A\.. quilcst possible de mener dans lespace , à partir du poîntP. Admettons , d*àboTd,'pour plus de facilite, que toutes ce$ tioutes soient ti'acëes sur le plan vertical représente :par la %. 3p.

jUutes atcendantcs. GoDsidérons Fespatie -PA parcoulfu suivant .la direction Jio-

ri2ott<tàië. Supposons «Qguilb , «qfu^oA iticlme un peu la ixmte. Si c'est pour Ttiofitér , eôtnmfr en PA% Fespace 'parcouru -HB sera nëcessairement un peu moindre que PA ; mais , sic^6Stponr descendre^ cotnnie en Pi^-Fespace parcouru P3.^era ^lus^rand. A mesure que les routes montantes PC ^ PD augmenteront de pente , FespaCe parcouru "par le poidt P sur èliâcuùe d'elles ^ sera moins considérable. On arrivera finalement à'Iapente'PA^, pour laquelle toute la force des^âiûiâuls employés au transport, sera consommée par la tendance qu'ils auront à descendre et à glisser sur la route , pendant qu'ils essaient de monter.

Aïôrs Feçpaxre "parcouru sera i»ul. -Depuis cette pente PA*^ jusqu^à la verticale PT , non-seulement il ne Sera jpas possîBle de montet ni de rester en place , mais le point P et le moteur employé à ttalner ce point- mfatérLel, rétrograderaient au lieu de

SUPPLEMENT. i;9

monter. Si la route pouvait être eotlèremenl verticale, soit PO, la chute que ferait lepoiot P, pendant que le moleui- s'efibrcerait de le retenir avec !'unité de forces. Nous aurons d'abord la partie de coarbe ADPO'O pour limite de toutes les roules montantes de gauche à droite. Une seconde partie MaPO"(), parfaitement symétrique à la première, détermii^cra de même la limite des routes montantes de droite à gauche.

Si nous considérons les routes descendantes Pi , Pc, P(/... , " nous verrons qu'il est une pente Pc, suivant laquelle l'espace qu'on parcourt en employant l'unité de forces, est un maximum. Ensuite, à mesure que la pente devient plus considérable, il faut que les animaux moteurs perdent une partie de leur force, pour empêcher le point P de prendre un mouvement trop rapide. Avant qu'on achève de parcourir un espace égal à Pc, les animaux moteurs auroot déjà consommé toute la force constante qui doit être employée sur chaque route.

On voit qu'ici , comme pour les routes montantes, il est une pente Va" suivant laquelle les moteurs, pour n'être pas entraînés et précipités dans leur descente, consomment toute la force qu'ils sont susceptibles d'exercer. Par conséquent , alors , l'espace parcouru doit être nul. Au delà de celte limite , il n'y a plus de roule que puisse suivre le point P, sans être précipité de haut en bas avec le moteur qui le transporte. Tout ce que nous venons de dire des roules descendantes placées à droite, s'applique évidemment aux roules descendantes placées symétriquement à gauche du point P.

Donc, enfin, toutes les routes qu'il est possible de suivre, ( à partir de ce point, en employant une force constante, toutes ces routes , dis-je , aboutissent sur la seule partie Pf/ADPiMâP ; le reste de cette courbe ne représentant que des routes impossibles à parcourir, sans que les moteurs et le fardeau ne soient

î8o APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQtJE.

uv. MEMOIRE, entraînes et précipites par le seul efiet de lears poids , et malgré tout Fefibrt du inoteor : telle est la courbe que dous appellerons la régulatrice des roules.

Limiter des montées Mcnous Ics horizoutales Da , di 9 tangentes aux parties de

et des descentes. ^ i%i -iiVi*

la courbe qui correspondent a des routes possibles. Lies lignes droites PD et Pa représenteront évidemmient les routes suivant lesquelles on peut s'élever à la plus grande hauteur, en employant une quantité de forces donnée. Les lignes droites Vd j Pd représenteront les routes suivant lesquelles on peut descen-

/ dre de la plus grande hauteur , en employant une force totale

pareillement donnée.

Pentes limites. Par couséqueut , 1**. pour monter d un point P jusqu'à la ligne horizontale DA , il ne faut jamais suivre de roule dont la pente soit plus rapide que PD ou Pa ; 2°. pour descendre d un point P à la ligne horizontale dà^ il ne faut jamais suivre de pente plus rapide que PJ ou Pd.

Si;, pour aller de Pen E sur la régulatrice PEDA, Ton suivait la route directe PE , il faudrait employer autant de forces que pour aller de P en D, Cependant il est évident que, si du point E, Ion menait EF parallèlement à Da, et ER parallèlement à Pa, 1 on auraitER=FR. Par conséquent, il ne serait pas plus pénible daller de K en F , que de R en E; puisque ER, FR ont la même pente. Donc , il ne faudrait pas plus de force pour aller de P en E , en passant par R , que pour aller de P en F. En suivant une route détournée, ou comme nous disons une route oblique^ au lieu d aller directement «U» P en E, on a donc gagné toute la forcé qu il faudrait empl(»uu' pour aller de F en D. Fn^nre* o.i prnvenf ^^ raisonuemeut nous fait voir, c|u*avec la même quantité

i rui^^^^^ ^Ig forces, on peut toujours s clovor, du point P , à deux points

quelconques, E, F, placés à la même hauteur dans Tespace DAP. Donc en tirant l'horizontale DA, la ligue mixte xIDaM repré-

SUPPtÉ>TENT. lîî'

sente l'aboutissement do toutes les routes montantes également m-, mémoire, avantageuses : le point P consiiléré comme point de départ.

On prouvera) de même, qu'en menant l'horizontale f/i3 tangente en d et3,à la partie inférieure de la courbe PDA^/PoMaP, la ligne mixte Arf^M représente l'aboutissement de toutes les roules descendantes également avantageuses : le point P considéré comme point de départ.

Comparons maintenant une route directe Pj: avec une route brisée Vzjc formée de deux parties rectllignes Pz et zx. Menons Pj" , zu et zf , respecltvemeut parallèles à zjc, Mjc et .vy.

]\ous aurons immédiatement les proportions suivantes :

PM;P^::Pi:P«; Vx :Vj'. :xi>: xz.

MaisPMjPj:, Vj sont trois routes équivalentes, puisqu'elles Araniagcdeii aboutissent à la courbe régulatrice pour laquelle toutes les Uiautre.. routes parties du point P sont parcourues avec la même fatigue totale. Ainsi Pz et Vu d'une part, xz et xv de l'autre, sont des roules équivalentes. Donc la route brisée Vzx équivaut à Vu.-\ri'x = Vx-{' uy. Donc, enfin, la roule direcle Vx est plus avantageuse que la x'oule brisée Vz-^xz; et l'avantage est représenté par iw. .

' Si la roule brisée présentait 3, 4 » 5, etc., portions de lignes droites,. ^^ ,^émonslralion serait la même. Delà nous concluons gcnçfcalement, que laroi^iQ directe Pa' est plus avantageuse qu'ime roule polygonale .d'itn, uo^n^bre quelconque de côtés , ayant même point de départ et d'arrivée que Pjc. Par conséquent, aussi, P.r est plus avantageuse qu'une route curviligne quelconque, dont elic serait la corde.

Si la route polygonale curviligne, au lieu d'être dans 1& même plan vertical que la route droite Vx, était sur une sur-

i85 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. face quelconque , Px n'en serait pas moins la route la plus avantageuse.

Pour le démontrer , soit Vx la route droite , et Pyx- la route indirecte. Il est évident qu'en projection horizontale (*), P/j:i,> PjT^. Soit py|, = P>''^i,- Maintenant, imaginons qu'on développe le cylindre vertical ayant P/x,, pour base, et qu'on l'applique sur le plan vertical : le point P restant le même. Dans ce développement , ni les pentes, ni les longueurs de la route indirecte Pjy , n'auront changé. Soit Pzx\ , la route indirecte , étendue de la sorte sur le plan vertical. Il est évident qu'on aura

Route droite Vx', plus avantageuse que Vzx\ ; Route droite Px plus avantageuse que Px'. /

puisque Px ne doit nulle part avoir une pente au-dessus de I limite. Donc , à plus forte raison , Px est plus avantageuse que la route indirecte Vyx brisée ou curviligne. Nous ne pousserons pas plus loin l'examen de ces propriétés des routes di--J rectes comparées aux routes indirectes. M

Au lieu de regarder les roules comme tracées dans an seul plan vertical , si roas les supposons tracées dans l'espace, sons toutes les directions possibles , il faudra faire tourner autour de la verticale qui passe en P , la ligue mixte ADAMiîf/A. La surface de révolution qui en résultei-a, représentera l'aboutissement de toutes les routes possibles , soit ascendantes, soit descendantes, qu'on peut parcourir avec le plus d'avantage, lorsqu'on pari du point P, et qu'on emploie une force toujours la même.

(*) D'après la notation ir^c-commoda proposée dans les Développements de géi mitrte% nout désignons les même» poioli par les mùiuËi lettres, en ateltant au b de cet lettres ud h ou nn f , pour distinguer la projecliûii llorixoatale <t la proJM liou Verlicate.

supplp:ment.

En supposant que cette force prenne successivement une première valeur , une seconde , une troisième , etc. , on obtiendra une première surface de révolution, une seconde, une troisième , etc. , qui toutes auront le même axe verlical , le même sommet P, et de plus seront parlailcmcnt semblables. Le système de ces surfaces remplira tout l'espace.

On voit , par ce que nous venons de dire , que si l'on 'avait une quantité quelconque de matière à lransporler|, pour la faire passer par le point P,et la rcparlir dans l'espace avec le moins de dépense possible,- il faudrait la disposer de manière que la figure extérieure d'un tel remblai, fût l'une des surfaces de révolution dont nous venons de déterminer le système.

Si le point P se trouvait déjà placé sur un terrain terminé par une surface quelconque , la matière apportée et assujettie à passer par ce point, aurait pour limite une portion d'une semblable surface de révolution. Ce serait la portion non comprise dans le terrain primitif; et ce serait , par conséquent, celte fraction de surface de révolution, dont le volume devrait être égal à la quantité de matière à transporter.

Si leg routes , au lieu de passer toutes par un même point P, passent par une suite de points formant une ligne quelconque , à chaque point de cette ligne devra correspondre une surface de révolution semblable à celles dont nous venons de déterminer la nature. La surface enveloppe de toutes^ ces surfaces sera la limite de l'espace qu'il faut faire occuper au remblai.

La ligue lieu des sommets P de ces surfaces de révolution , est évidemment le contour visible du remblai , contour où commence la séparation du terrain primitif et du terrain délinitif : le lieu de tous ces sommets est donc connu a priori.

La surface enveloppe qui limite le remblai a, comme on sait,

iR4 APPLICATIONS OF GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANÎQÏJE. pour caractéristiques , les intersections successives des sorfaws enveloppées iotiaioient voisines. Or, ce qui déterminera la grandeur de ces enveloppées , c'est que, de chaque point de la caractéristique, il faudra qu'on n'ait pas plus d'avantage à cheminer vers le sommet de l'une que vers le sommet de l'autre , pour arriver au dél>lai, en permutant les routes.

Proposons- nous , maintenant, d'évaluer la quantité de forces qu'il faut employer pour transporter un fardeau quelconque surune route curviligne DR.

Prenons sur cette ligne , les points infiniment rapprochés a, b, c,... D. Par ces points, menons les droites ««', W, ce',. .. tangentes à DR. Enlin , demandons-nous quelle est la courbe RD', telle qu'il n'y ait pas plus d'avantage pour aller de a en K que de (z en t/ , de A en R que de i en A' , de c en R que de c en c , etc. , et linalemeot de D en R que de D en D'. La courbe Rfl'ÔV... D' sera ce que nous appellerons la développante de la route DR.

La route développée M' équivaut à ^R, el la route développée et/ équivaut à cJ\.. Donc la roule ce' équivaut à rA ^b/y ou à cW , puisqu'on peut regaj-der ÔA' comme l'éléaient cù prolongé. Or, pour que deux routes cbl/, ce', parties du mêuie point c, soient équivalentes, il faut que les deux points 6', c' soient sur une courbe régulatrice ayant c pour sommet.

Transportons la courbe ADaM , de la fig. Sa , de manière que APM soit toujours horizontale, et que le point P se plaça sur le point c. Alors, ce'/, ci'ô étant deux roules équivalentes sur aDA transportée de la fig. 3^ à la (ig. 33 , il faudra que c^h' el ce' pour ^tre équivalentes, soient proportionnelles à ces lignes. En supposant que toutes les roules possibles menées, de c'jùsqu'en ADAM, diminuent de grandeur proportionnellement , la courbe diminuera ou croîtra

Théorème général snr le déveioppement des routes.

SUPPLÉMENT. i85

sans changer de figure ; et , dès que le point 6 sera amené en h\ m*, mémoire. le point 7 sera amène en d \ enfin , Tare 67 se confondra tout entier avec Tare Vd.

De là résulte cette propriété générale de la développante d'une route curviligne tracée dans un plan vertical, ha développante y en chacun de ses points , est osculée par la courbe régulatrice dont le sommet est à Vautre extrémité de la route rectifiée qui aboutit h ce point.

Au lieu de supposer que la courbe à développer soit tracée sur un plan vertical , on peut la supposer tracée sur un plan quelconque. On peut même supposer qu'elle soit à double courhure. Mais 9 alors , au lieu de définir la développante d'après la condition d'être osculée par une courbe régulatrice^ il faut exiger que cette déi^eloppante soit^ en chacun de ses points , osculée par la surface régulatrice dont le sommet est à ï autre extrémité de la route rectifiée qui aboutit en ce point.

Si la dernière route rectifiée DD' n'est pas horizontale , il suffit de prolonger jusqu'à l'horizontale DA% la courbe ou la surface régulatrice RD'A' qui oscule en A' la développante D'R. Alors , DA' sera la longueur horizontale qu'il faut parcourir pour consommer autant de forces qu'en suivant la route développée DR.

Il est facile , au moyen des évaluations précédentes ^ de connaître comment on doit terminer un remblai imparfaitement défini par une surface quelconque RoicD. Il faut que chaque route aa\ bb' ^ cd... rencontre la surface limite, de manière que a étant le centre d'une surface régulatrice qui passe en un point quelconque a', cette surface régulatrice oscule en a' la surface limite ; donc la surface limite 'Ru'b'diy est l'enveloppe générale de toutes ces surfaces régulatrices.

Dès qu'une route PD, fig. Sa , atteint la limite des pentes ,

Fig. 33.

PI. XIV

Fig. Sa.

PI. XIV

i86 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

]ji«. MÉMOIRE, nous savons que la courbe régulatrice devient rectiligne et

horizontale {*). Par conséquent, dans toute la partie du remblai où Ton ne pourra parvenir qu'en suivant des routes obliques, la surface limite sera nécessairement plane et horizontale. La partie courbe , ensuite , se raccordera tangentiellement avec cette partie plane.

Supposons y maintenant , qu il s'agisse de limiter un remblai formé par des routes descendantes. Si la régulatrice extrême offre un arc cd qui soit incliné vers l'horizon du côté opposé à BAc, il ne sera pas possible de maintenir les terres dans cette position; elles s'ébouleront d'elles-mêmes. La solution précédente , quoique vraie dans sa généralité , n'est plus applicable ici , à cause de la non-ténacité des matières transportées.

On peut se servir de cette propriété de la matière , pour faciliter le déblai, par l'éboulement des terres déchargées à l'extrémité de chaque route la plus avantageuse.

(*) Ou pour parler plus eiactement , doit être abandonnée pour lui préfërer sa tangente horizontale Dû.

% »>%>IW)Ki>M<»%—%*0*»»«>*M%iM»%»< M »»0%M>» % »»»^m »»»**< » •»»»»»»»»»»> » »»

IV*. MÉMOIRE