QUATRIÈME MÉMOIRE

ebb:

SUR LES ROUTES SUIVIES PAR LA LUMIÈRE ET PAR LES CORPS ÉLASTIQUES , EN GÉH^RAL , DANS LES PHÉNO- MÈNES DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION.

PRÉSENTÉ A. L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE LUNDI aa JANVIER 1816.

Propriétés géométriques de la lumière , dans les phénomènes

de la réfraction.

JjA théorie du trace des routes , appliquée aux travaux de dé- Roopei des propriëbiais et de remblais , nous a fait voir d'une manière générale , trac/d^^ routes^

y /% • . 1^1 dans les déblais et

qu un faisceau de routes rectilignes et normales a la même sur- les remblais. face étant donné , nous pouvons toujours ^ i"". considérer ce faisceau comme Tensemble des routes d'allée, ou de retour, d'un système complet de routes les plus propres soit au déblai, soit au remblai ; i^. arrêter les mêmes routes en une suite de points formant une surface limite absolument arbitraire ; 3°. trouver pour retours ou pour allées qui correspondent aux allées ou aux retours primitifs, un nouveau faisceau de routes susceptibles , comme celles du premier faisceau , d'être , toutes , les normales d'une certaine surface ; et , par conséquent , susceptibles aussi de former deux groupes de surfaces développables qui se croisent constamment à angle droit.

i88 APHLICÀTIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

ivv NËMOiRE. N0B8 avons démontré qae les lois qoi font dépendre , dans

ce système général de routes, les retours et les allées qai se correspondent 5 sont :

i"*. Que la roate d'allée et celle de retour qui concourent en un même point de la surface limite , sont toutes deux dans on plan nomiïl en ce point à cette surface.

!i\ Qu'au même point , ces deux routes forment avec la soi^ face limite , des angles dont les cosinus sont entr^eux dans on rapport constant ; et , par conséquent , forment ayec la normale à cette surface limite , des angles dont les sinus sont entr enx dans un rapport constant.

3"". Que , dans le cas particulier où la même force est suffisante pour faire parcourir un même espace au même fardeau y sur les ront^ d'allée et sur celles de retour , le rapport de ces sinus et de ces cosinus est Funité. La route d'allée et k route de retour qui concourent au même point de la surface ii- ^ mite y font alors , en ce point, le même angle avec cette surface.

Nous avons montré, pour les cas où les routes se rencontrent, soit dans le déblai , soit dans le remblai , comment elles présentent alors deux faisceaux complètement séparés par une surface j et comment cette surface jouit , par rapport aux deux faisceaux , des mêmes propriétés qu'une surface à la fois limite des routes d allée et de celles de retour. Ainsi ^ quand deux routes concourent en un même point de la surface séparatrice :

10. Elles sout toutes deux dans un plan normal , en ce points à cette surface.

20. Au même point , ces deux routes forment avec la normale de la surface séparatrice , des angles dont les sinus sont entr'eux dans un rapport constant. Cest le rapport des espaces parcourus sur les mêmes routes , pour un même prix.

3^. Dans le cas particulier où les prix sont les mêmes pour

les routes appartenant aux deux faisceaux , les deux routes qui iv*. mémoire. concourent en un même point de la surface séparatrice forment le même angle avec cette surface.

Nous avons encore démontré que les divers faisceaux de routes d'allée ou de retour , soit qu'ils concourent ou ne concourent pas dans le déblai ou le remblai, ont chacun pour caractère général et constant , de présenter le système des normales d'une certaine surface. C'est pourquoi toutes les routes d'un même faisceau forment toujours deux systèmes de surfaces développables ^ telles que les développables d'un système , sont croisées à angle droit, par toutes les développables de l'autre système.

Nous avons fait voir qu'un faisceau de routes les plus avantageuses et , comme telles , susceptibles d'être toutes normales d'une même surface, étant considéré comme l'ensemble des routes d'allée qui aboutissent sur une surface limite de forme quelconque, on peut toujours trouver un faisceau de routes de retour les plus avantageuses ; et , par conséquent , jouissant avec le premier faisceau , par rapport à la surface limite , de toutes les propriétés que nous venons d'énumérer.

Enfin , nous avons fait voir pareillement qu'un faisceau de routes les plus avantageuses étant terminé y. dans le déblai ou dans le remblai, par une surface séparatrice de forme quelconque, on peut toujours trouver de Fautre coté de la séparatrice , un second faisceau de routes les plus avantageuses et jouissant avec le premier, par rapport à la surface séparatrice , de toutes les propriétés que nous venons de récapituler;

Ces propriétés sont de nature à s'appliquer immédiatement AppUcation à la rdaux phénomènes de la réflexion et de la réfraction de la lumière, miére!"

Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un milieu dans un autre dont la densité diffère avec celle du premier milieu, ce rayon

iv«. MÉMOIRE, éprouve une déviation connue sous le nom de réfraction,

et soumise à la loi suivante. Si Ion mène la normale à la sur* face qui sépare les deux milieux , par le point de cette surface oii la réfraction s'opère , le premier rayon qu on appelle incident^ et le second qu'on appelle réfracté y sont avec cette normale dans un seul et même plan. De plus , si l'on mesure Tadgle formé par la normale , premièrement , avec le rayon incident , c'est-à-dire , Y angle d'incidence; secondement^ avec le rayon réfracté , c'est-à-dire , Y angle de réfraction j l'on trouve alors que le sinus de l'angle d'incidence est au sinus de l'angle de réfraction j dans un rapport constant pour tous les rayons qui traversent 9 suivant des directions quelconques, les deux milieux que l'on considère.

Supposons , maintenant , qu'un faisceau de rayons incidents susceptibles d'être normaux à une même surface j passe d'un milieu dans un autre ; et regardons la surface séparatrice des deux milieux , comme ayant la forme la plus générale. La théorie des déblais et des remblais , dont nous venons de résumer les principaux résultats , nous conduit immédiatement aux théorèmes suivants.

Considérons , d'abord , la séparation des milieux comme surface limite , et le faisceau des rayons incidents comme routes d'allée. Le système des routes de retour pour lequel le prix du transport est m fois plus cher que le prix de l'allée , va former du même côté de la limite , un nouveau faisceau de routes les plus avantageuses. Dès lors, celles-ci seront susceptibles, i\ d'être les normales d'une même surface, 2"". de se décomposer en deux séries de développables qui partout se croisent à angle droit , etc.

Regardons, ensuite, la séparation des deux milieux comme une surface séparatrice de deux systèmes de routes ( dans un

UOUTES DE LA LLTVHÈRE. .yi

déblai ou dans un remblai ). Au second faisceau que nous venons de trouver , correspond , de l'autre côté de la surface séparalrice, un troisième faisceau dont les rayons font partout , avec la surface séparatrice, le même angle que les routes du second faisceau.

Or, le troisième faisceau de routes, ainsi déterminées , est précisément celui des rayons réfractés en passant du premier milieu dans le second. En effet, chaque rayon réfracté est, avec son rayon incident , sur un plan normal à la surface séparatrice des milieux ; et , de plus , le sinus de l'angle d'incidence ne cesse pas d'être, avec le sinus de l'angle de réflexion, dans le rapport constant m donné par l'expérience.

Donc , lorsqu'un faisceau de rajons lumineux est décomposable en deux séries de surfaces développables qui partout se croisent à angle droit, on peut lui faire traverser un nombre quelconque de milieux homogènes , séparés par des surfaces quelconques , à simple ou à double courbure , sans que le faisceau cesse de jouir des propriétés suivantes : 1°. d'être composé des normales dune surface; i". d'être décomposabîe en deux séries de surfaces développables qui partout se croisent h angle droit.

Les démonstrations sur lesquelles nous avons fondé les propriétés générales des routes , sont purement géométriques. Nous aurions pu les appliquer, immédiatement, à la recherche des lois qui constituent la corrélation des rayons d'un faisceau de lumière réfractée lors de son passage d'un milieu dans un autre , à travers des surfaces de la forme la plus générale. Mais nous avons pensé qu'au lieu de donner deux fois les mêmes démonstrations , en changeant seulement quelques dénominations , il serait plus intéressant pour la science, de présenter un rapprochement qui nous a paru remarquable, entre les lois des transports les plus avantageux, el les lois générales de la

iga APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET 1%. BfÉCHARIQUE.

iv«. MùioiRE. réfraction. Cest dans le même esprit que noos allons oonsi*

dërer les phënomèoes de la réflexion.

Propriétés fondamentales des rouies de la lumière ,. dans

les phénomènes de la réfiemon.

^ëfl^xfii''de u^^ Ainsi que nons l'apprend rezpérience, quand un ûdsceàa "^^'^ de rayons lumineux tombe sur une surface qui ne loi livre

pmnt passage et qui ne Vabsorbe pas., lorsque cette surface , en un mot y est dans Tespace une limite que la lumière ne peut ou-^ tre-passer, chaque rayon réfléchi offre , par rapport au rayon in» ddent qui le produit » les relations suivantes : i"^. le plan qui contient ces deux rayons est , en leur point de concours , normal à la surface réfléchissante ; a"*, cette surface fornie , en ce point 5 le même angle avec l'un et l'autre rayon.

Nous pouvons donc considérer , dans un système de routes les plus favorables aux déblais et aux remblais , les routes d'allée comme des rayons incidents , les routes de retour comme des rayons réfléchis ( en admettant qu'il faille la même force pour parcourir le même espace dans l'allée que dans le retour}. Alors les lois générales que nous avons démontrées pour de semblables systèmes de routes , s'appliquent immédiatement aux fais* ceaux de rayons lumineux qu elles représentent.

Et d'abord nous en concluons ce principe :

Tiieoréme général. Lorsqu'un foLsceou de rayons lumineux est décomposable

en deux systèmes de surfaces dé^^eloppables qui se croisent à angle droit , ce qui a lieu toutes les fois que ces rayons peucent être considérés comme les normales d'une surface uni-que y si Von reçoit ce faisceau sur un miroir dune forme quelconque , les rayons réfléchis vont former un nouveau faisceau

décomposable y comme le premier , en deux systèmes de sur^ iv. mémoire. faces déçeloppables qui se croisent h angle droit.

Par conséquent , le caractère d'être les normales d'une surface unique', appartenant une fois à un faisceau de rayons lumineux, ce caractère est ineffaçahle , malgré toutes les réflexions qu'il est possihle de faire éprouver aux rayons de ce faisceau , par une suite de miroirs d'une forme quelconque j de même que malgré toutes les réfractions qu'il est possible de faire éprouver aux rayons de ce faisceau , conduit à travers des milieux séparés par des surfaces de forme quelconque.

Si tous les rayons du faisceau primitif émanent d'un seul Propriété d'un fai-

•^^ ^ ■■• sceau de rayons

point lumineux , ils sont évidemment tous normaux à chaque f"»»?^» <!'»" voïm

* ^ ^ lumineux.

Sphère dont le. centre est en ce point. Donc un faisceau de rayons émanés d'un point lumineux y et réfléchis ou réfractés tant de fois qu'on voudra par des miroirs ou par des surfaces séparatrices d'une forme quelconque , présentera toujours un faisceau de rayons susceptibles d'être normaux à la même surface ; et, comme tels, susceptibles de former deux systèmes de surfaces développables , qui se croisent à angle droit.

Un faisceau de routes parallèles entr'elles peut être considéré ^JcTaude rf^^nsp^^^^^ comme produit par les "normales d'un plan. Donc un faisceau " ^^^** de rayons parallèles , réfléchis par une suite de miroirs à forme quelconque, présentera toujours un faisceau de rayons réfléchis ou réfractés , susceptibles d'être normaux à la même surface.

Le soleil, à raison de l'immensité de sa distance , comparati- Application aux

' ^ "^ *■ rayons solaires.

vement à la grandeur des objets qu'il éclaire autour de nous , projette des rayons dont le parallélisme semble parfait , même à l'observateur muni des inslrumens les plus délicats. Il suit de là qu'un faisceau de rayons solaires, réfractés ou réfléchis par une suite de miroirs ou de surface séparatrices quelconques, se transforme toujours en faisceaux dont les rayons sont

iv«. MÉMOIRE, susceptibles d'être à la fois normaux à une même soriàoe ^ pour

mi même faisceau.

Dekrestrictiootrop Malus, dsos SOU premier mémoire sur l'optique ^ a fait oon- «▼aitcruderoirim- naître oes demières conséouences dupnnape général que nous

poser aux principet -, -m^ • -i •^ • • • i-

préctfâentff. venons d exposer. Mais il pensait que ce principe avait liea

seulement quand les rayons lumineux émanent d'un point unique ou sont parallèles, et seulement pour une première reflexion ou pour une première réfraction. Il affirme que les ré- Hexions sur un second miroir ( et à pl^s forte raison les réfiactiens à travers une seconde surface séparatrice ) n'oiTriraient plus un faisceau de rayons décomposables en deux systèmes de surfaces développables. C'est en cela que nos résultats diflèrent avec ceux de ce géomètre dont les sciences déplorent la perte (*). Gomme Malus a fait usage d'une marche analytique extrêmement compliquée y une seule erreur de calcul aura pu lui faire croire qu'il n'est plus possible , pour les réflexions sur un second miroir (^)^ de satisfaire aux équations de condition desquelles il fait dépendre l'orthogonalité des surfaces développables formées par les rayons réfléchis. Mais la fausse conséquence, résultat de cette erreur en quelque sorte méchani-* que y n'ôte rien au mérite d'avoir découvert un des fdus beaux théorèmes de la géométrie appliquée à l'optique.

i^t^ d!r pHncipê Pour mettre encore plus hors de doute lextension que nous

prétendons qu'on doit donner au théorème de Malus, nous allons démontrer directement ce principe pour la catoptrique y

{*) Vcftz les Mémoires insérés dans le Journal de l'École Polytechnique , 14*. cahier ; et ronvrage spécial , publié , pins tard y sous le titre de Thécrie de la double réfraction de la lumière , art. 1 1 .

{^ M. Cauchy s'en est assuré par le calcul ; il a pareillement démontré que les équations de condition étaient satisfaites pour Torthogonalité des développables formées par des rayons lumineux , après une seconde réfraction.

ROUTES DE LA LUMIÈRE. igS

par le seul seCoors de la géomëtrie , et sans aucune considé- iv^. mémoire. ration tirée de la théorie des déblais et des remblais. En même temps y nous aurons conservé l'avantage d'avoir fait connaître , entre des questions d'une nature trèsslifférente , des analogies extrêmement frappantes , et plusieurs lois identiques. ( Voyez la note I". à la fin du Mémoire.)

Considérons un faisceau de rayons incidents qui tombent sur un miroir dont la forme est quelconque. Supposons seulement que ces rayons soient tous normaux à une même surface (2) , et cherchons à déterminer le faisceau des rayons réfléchis.

Supposons pour cela qu'une sphère variable de rayon ait son centre constamment placé sur le miroir ^ et sa surface constamment tangente à la surface (2) ayant pour normales tous les rayons incidents. Cette surface (2) sera l'enveloppe de l'espace parcouru par la sphère , au-devant du miroir.

L'espace occupé par la partie des sphères qui se trouve derrière le miroir, est pareillement terminé par une surface enveloppe dont la normale, en diaque point, se confond avec le rayon de la sphère qui touche au même j)oint cette enveloppe. Or, nous allons démontrer que cette nouvelle normale est , derrière le miroir, le prolongement d'un rayon réfléchi.

Lorsqu'une surface quelconque, ayant ou n'ayant pas de paramètre variable , se mlsut de manière qu'un de ses points parcourt une ligne directrice quelconque, l'espace que parcourt la surface entière est terminé par une autre surface qu'on appelle em^eloppe ; tandis qu'on appelle enveloppée , la génératrice mobile. ( Voyez la Géométrie analytique de G. Monge. )

Chaque enveloppée coupe celle qui la suit immédiatement , suivant une courbe qui se trouve toute entière sur l'enveloppe : c'est la courbe de contact de ces deux surfaces.

On peut , ensuite , supposer que l'enveloppe varie de forme

ig6 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

IV-. MÉMOIRE «t de position , de manière qu'un de ses points dëcrive une

ligne quelconque. Alors l'espace parcouru par TenTeloppée, sera termine par une surface enveloppe des enveloppes , laqudle n aura plus d'autres relations avec les enveloppées priiditives, que de les toucher en un point , ou en plusieurs points isolés.

^ Si l'on considère trois enveloppées infiniment voisines ^ et qui n'appartiennent pas à la même première enveloppe, les points communs à ces trois enveloppées seront leurs points de contact avec l'enveloppe des enveloppes.

Prenons pour exemple le cas particulier où les surfaces enveloppées sont des sphères dont le centre se meut sur no miroir quelconque. Si l'on considère trois sphères infiniment voisines, çt n'ayant pa3 leurs centres sur une même droite, il y aura deux points communs à ces trois sphères , ce qui produira^ sur la surface enveloppe, deux nappes bien distinctes. La première nappe sera devant le miroir et la seconde sera derrière. Les deux points trouva, un sur chaque nappe, seront symétriquement placés par rapport au plan mené par les centres des trois sphères. Par conséquent les rayons menés da centre d'une de ces trois sphères à l'un et à Tautre de ces deux points , sont dans un plan perpendiculaire au plan des trois centres^ de plus, ces deux rayons forment le même angle avec / ce plan : enfin, chacun étant normal à la sphère qui lui appartient, est pareillement normal à l'enveloppe générale qui touche celle, sphère au bout de ce rayon.

Les trois centres étant pris infiniment près l'un de l'autre sur le miroir , et q'étant pas en ligne droite , le plan qui les contient est tangent au miroir. Mais, des deux rayons que nous considérons , celui qui se trouve au devant du miroir est , par hypothèse, un rayon lumineux incident. Donc celui qui se trouve de l'autre côté du miroir , est le prolongement du rayon

réfléchi. Donc , enfln , il suffit que les rayons incidents soient normaux à une surface quelconque (l) , pour que les rayons réfléchis, quelle que soit la forme du miroir, soient pareillement normaux à une surface.

La propriété des corps élastiques, lorsqu'ils frappent un corps immobile, élastique ou dur, et terminé par une surface quelconque, c'est de se réfléchir de manière à ce que l'angle de réflexion soit égal à celui d'incidence , et que les deux routes soient dans un plan normal à la surface du corps dur , au poiut où s'opère la réflexion. Si donc on suppose qu'uue infinité de molécules élastiques partent d'un point quelconque, et suivent des directions rectiUgnes arbitraires, ces molécules, en frappant la surface du corps immobile , se réfléchiront de manière à ce que leurs routes forment un double faisceau de surfaces développables se croisant à angle droit. Enlin , celte propriété qui rend ces roules les normales d'une surface unique , se conservera , quoique les molécules élastiques éprouvent un nombre quelconque de réflexions successives.

Si l'on fait vibrer un point sonore, l'ébranlement qu'il éprouve se communique de proche en proche dans l'atmosphère, avec une vitesse et une inlensilé qui dépendent de la densité même de l'atmosphère, et de la distance du point sonore au point où se trouve placé l'observateur. Maintenant , supposons que l'atmosphère ait la même densité dans l'étendue où peuvent se propager des rayons sonores ([ui ne soient pas trop étendus. Concevons qu'une suite de sphères aient pour centre commun le point sonore primitif. Les sons propagés diminueront à mesure qu'ils s'éloigneront de leur origine ; mais ils auront la même inlensilé sur tous les points d'une même sphère. Enfin , les rayons de ces sphères seront évidemment les lignes les plus courtes qu'il soit possilile de suivre.

te;

in de» corfu des inrface»

cherclic lUi ccbns.

198 APPUCATIONS DE GÉOMÉTÏOE ET DE MÉCHANIQUE.

iy«. MÉMOIRE, pour passer du point sonore primitif ^ aux points oii le son n a

plus qu^une intensité donnée. Ces rayons sont ce qu'on appelle les rayons sonores.

Si ^ dans cette propagation du son^ il se présente une surface limite qui ne permette pas au son de s'étendre au delà de l'espace qu'elle définit, il se réfléchira ; non pas de manière à s'étendre indifféremment sous toutes les directions possibles , à partir de chaque point de rebroussement ; mais de manière, I^ que le rayon sonore réfléchi soit , avec le rayon sonore incident , dans un plan normal à la surface réfléchissante; i"". que ces deux rayons forment le même angle avec le plan mené tangentiellement à cette surface, par le point où s'opère la réflexion.

Il est évident , d'après cela, que les rayons sonores réfléchis forment un faisceau de droites susceptibles d'être ^ tontes, les normales d'une même surface. Si l'on détermine les deux surfaces qui sont respectivement le lieu des centres de plus grande et de moindre courbure de cette surface^ elles seront le lieu des intersections successives des rayons sonores réfléchis. Elles seront donc le lieu des échos du point sonore ^ par rapport à la surface réfléchissante qui produit écho.

En général , lorsqu'un son émane d'un point uniq[ue, et qu'il est répercuté par une suite de surfaces quelconques, le lien àes échos est , pour chaque répercussion , le système de deux surfaces lieux des centres de courbure d'une troisième surface, perpendiculaire aux rayons sonores réfléchis.

Tantôt les dem surfaces lieux des centres de courbure^ peuvent être situées en même temps dans la partie de l'espace remplie par l'atmosphère; alors il y a deux séries d'échos réels. Tantôt une seule de ces surfaces est ainsi placée , tandis que l'autre se trouvé dans l'espace intercepté par la surface réfléchissante -, alors la première surface , seule , est le lieu des échos

ROUTES DE LA LOnÈRE. 199 ■

réels, et les autres échos sont imaginaires. Eafin , les deux surlaces peuvent être dans l'espace intercepté par la sui'face réfléchissante ; alors tous les échos sont imaginaires.

Quand l'une des surfaces, lieu des échos, se réduit à une ligne, les échos acquièrent incomparablement plus d'intensité ^ ils en acquièrent bien plus encore , quand cette surface se réduit à un point, et surtout quand les deux surfaces se réduisent à un point unique.

Revenons, maintenant, à l'objet principal de ce mémoire. La 1 comparaison des sphères qui nous ont servi pour arriver à la démonstration du théorème général énoncé ci-dessus, p. 192, peut aussi nous faire connaître quelques propriétés remarquables des faisceaux de rayons lumineux, réfléchis.

Supposons que le rayon de la sphère mobile devienne égal à zéro. La courbe parcourue par le centre de cette sphère , se confond alors avec la surface enveloppe de l'espace parcouru par la sphère même. Ainsi, non-seulement cette courbe est située sur le miroir oîi doit constamment rester le centre de la sphère ; elle est l'espace même parcouru par l'une et Tautre enveloppe de la sphère mobile , réduite à un point.

Par conséquent, si l'on détermine d'une part toutes les surfaces ayant pour normales les rayons incidents, de l'autre part toutes les surfaces ayant pour normales les rayons réfléchis , ' les surfaces de différent système se couperont deux à deux suivant une courbe qui sera toute entière placée sur le miroir.

Puisque chacune de ces coui'bes est à la fois sur une surface dont les rayons incidents sont autant de normales , et sur une autre surface dont les rayons réfléchis sont pareillement autant de normales, concluons-en d'abord que cette courbe même a pour normales tous les rayons incidents ou réfléchis aboutis-sanl sur elle.

or i-elï lions remirqiiablei dci faiaccaui de rajoni incidcnti et rHl6-

aoo APPLICATIONS DE GÉOMÉTME ET DE MÉCHANIQUE.

IV. MÉMOIRE. Si , par le rayon incident et par le rayon réfléchi qui se croisent en un point de cette courbe, on mène un plan , il sera, comme nous savons , normal en ce point au miroir; il sera, de plus , nécessairement normal à cette courhe.

Si donc, on trace sur le miroir un nouveau système de courbes qui soient les trajectoires orthogonales des premières courbes, en chaque point de celles-ci, les deux rayons incident et réfléchi se projetteront sur le miroir , tangentiellement à la trajectoire qui passe par ce même point.

Ceci nous apprend que si les rayons incidents, par exemple, aboutissant sur chacune des premières courbes , forment autant de surfaces développables , ces premières courbes sont des lignes de courbure de ces développables. Mais le faisceau des rayons incidents est décomposable en deux séries de surfaces développables qui se croisent à angle droit. Ainsi les surfaces de l'autre série passeront évidemment par les trajectoires orthogonales des premières courbes. Cependant ces trajectoires ne seront pas nécessairement des lignes de courbure des secondes surfaces développables : il faudrait pour cela qu'elles fussent des lignes de courbure du miroir même.

Propriétés des surfaces cyclides , ainsi que des courbes et des

surfaces du second degré.

^"ni^^àc l^^^ts Avant de pousser plus loin Fexamen des propriétés dont

propriétés des nir- -..i i- tn f t • i

hiiii%cyciides,c'est' jouisscut Ics rayous lumineux ou sonores, réfléchis par des sur-

Àw/iiie, des surfaces ^ ., 9 • i7 1 • • i , r

dont toutes les H- faces , il cst uéccssaire d exposer quelques principes de ceome-

gnes de courbure .,,,•■,, , 1 -yp^^

sont des cercles, trie géucralc , developpés pour la première lois , dans notre

Mémoire sur le contact des cercles et des sphères (*).

(*) L'analyse des résultats de ce Mémoire se trouve dans la Correspondance poljf technique ^ le Mémoire même n'a pas été imprimé.

incn compi-iaes

Nous allons prouver, premièrement, qu'il existe une famille lie surfaces dont la propriété caractéristique est de n'avoir que des cercles pour lignes de plus grande et de moindre courbure : c'est pourquoi nous appellerons cyclides ces surfaces.

Remarquons d'abord que la sphère est comprise dans cette Eicmpic» pariic»

^ ' 11' ''"" ^' ijuel<|Uïi

famille de surfaces, puisque deux systèmes de cercles traces <■'''-h angle droit sur elle, peuvent être considérés comme ses li- '^ gnes de courbure. -^

Les surfaces de révolution, soit coniques, soit cylindriques u font encore partie de la famille que nous voulons étudier. En effet , elles ont pour lignes de courbure ; d'une part des cercles parallèles; de l'autre, des lignes droites méridiennes qu'on peut regarder comme des cercles ayant un rayon infini. Il est d'ailleurs évident qu'aucune surface développable , autre que le cylindre et le cône , ne saurait avoir de cercles pour lignes de courbure ; parce que chaque point de l'arête de rebroussement de celte développable , doit être un point de rebroussement pour une des lignes de courbure , et que le cercle n'a pas de point de rebroussement.

Pour que le cercle soit , sur une surface quelconque, une c|i ligne de courbure , il faut d'abord que les droites, menées nor- ■*' nialement à cette surface et de chaque point d'un tel cercle , forment une surface développable ; il faut , ensuite , que cette surface développable ait elle-même ce cercle pour ligne de courbure. Par conséquent cette surface développable doit être un cène droit circulaire ayant ce cercle pour base.

Ainsi les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont des cercles, ont pour propriété caractéristique, d'être coupées normalement, suivant toute l'étendue de chaque cercle, par un cône droit circulaire.

Prenons le sommet de chacun de ces cônes, pour centre

iv. MÉMOIRE, d'une sphère sur laquelle ce cercle soit placé. La sphère ayant,

dans toute 1 étendue de ce cercle , les mêmes normales que la surface cherchée , aura mêmes plans tangents.

Par conséquent , la surface générale dont toutes les lignes de courhure sont des cercles , peut être engendrée de deux manières dilTérentes , par le mouvement d'une sphère dont le rayon varie convenablement. La première génération donnera les lignes d'une courbure^ la seconde généfWLion donnera les lignes de l'autre courbure des surfaces cyclides.

C'est ainsi qu'un cône de révolution , par exemple , peut être engendré ; premièrement ^ par une sphère dont le centre se ment en ligne droite , tandis que son rayon croît ou décroît proportionnellement à l'espace parcouru par ce centre : les lignes de courbure produites par cette génération sont des cercles ; secondement ^ le même cône de révolution peut être engendré par une sphère d'un rayon infini , c'est-à-dire , par un plan lequel fasse constamment le même angle avec Taxe du cône : les lignes de courbure produites par cette seconde génération sont les droites méridiennes qui servent d'arête au cône.

Revenons au cas général. Il faut évidemment que chaque sphère de la première génération , soit tangente à toutes celles de la seconde ; puisque chaque ligne d'une courbure des cyclides , doit être coupée par toutes celles de l'autre Cotirbure , et c^xx'hi chaque ligne de celte seconde courbure , appartient une sphère de la seconde génération.

Mais , si l'on se Contente de prendre trois sphères de la première génération (*) , elles suffiront pour déterminer toutes

{*) En général il n*y a qu'un nombre fini de sphères ( i-6) ^î puissent être k U fois tangentes à quatre sphères données ; il ne faut donc prendre que trois sphères fixes pour avoir l'infinité des sphères mobiles dont l'enveloppe est la surface cherchée^

ROUTES DE LA LUMIÈRE. 2o3

les sphères de la seconde. Il faut donc qu'en prenant trois à ivs mémoire. trois les premières sphères y et déterminant toutes les secondes d après cette simple donnée , les secondes sphères soient constamment les mêmes. Par conséquent , c'est la possibilité ou l'impossibilité de cette identité qui, seule , peut montrer s'il existe ou non d'autres surfaces que la sphère , le cône et le cylindre de révolution 9 qui n'aient que des cercles pour lignes de courbure. i

Nous avons vu que deux sphères d'une génération différente, se touchent en un point placé sur la surface cyclide. Lorsqu'une sphère de la seconde génération est déterminée par la condition d'être tangente à trois des premières sphères , on a trois points de contact. Ces trois points appartiennent à la cy* clyde ; ils sont placés sur un même cercle , ligne de courbure. Par conséquent , ils déterminent complètement ce cercle.

Menons un plan par ces trois points de contact ; il coupera la sphère génératrice suivant le cercle ligne de courbure dont nous parlons ^ il coupera chacune des trois sphères fixes, suivant un cercle particulier.

Regardons chacun des quatre cercles ainsi déterminés, comme la base d'un cône droit tangent à la sphère sur laquelle ce cercle est placé. Pour avoir les axes'de ces quatre cônes, il faudra du centre de chaque sphère , mener une perpendiculaire au plan commun des quatre bases. Ainsi les quatre axes seront parallèles entr'eux.

Au point de contact de la première sphère avec chacune des trois autres , deux des quatre cônes seront pareillement en contact. Donc le cône circonscrit à la première sphère est touché , en un point différent, par chacun des trois autres cônes.

Or , deux cônes de révolution qui ont leurs axes parallèles , et qui se touchent en un point, sont nécessairernent semblables.

Iv^ MÉMOIRE. En cflet le même plan , tangent à ces deux cônes , fait un même

angle avec les deux axes.

Ainsi les quatre cônes que nous considérons sont semblables entr'eux. Les segments sphëriques qu ils circonscrivent sont, par conséquent, d'un volume proportionnel à celui des sphères dont ils font partie. Donc les bases de ces segments, lesquelles sont aussi les bases des cônes circonscrits , sont éloignées respectivement du centre de la sphère qui leur appartient , de quantité proportionnelles aux rayons de ces mêmes sphères.

Menons, dans le plan des trois sphères fixes , une droite dont les distances à ces centres soient proportionnelles aux rayons des mêmes sphères. Tout plan mené par cette droite , interceptera sur elles , des segments proportionnels à leur volume ; et nulle autre droite ne pourra jouir d'une telle propriété.

Ainsi les trois points de contact de la sphère génératrice avec les trois sphères fixes, déterminent un plan particulier, lequel passe toujours par la droite unique dont nous parlons , et que nous appellerons droite directrice.

Toutes les tangentes aux cercles de courbure tracés sur les sphères génératrices, par ces plans coupants , passeront évidemment par la même droite que tous ces plans où elles se trouvent respectivement placées. Parmi ces diversesL tangentes , celles qui partent des divers points d une ligne de seconde courbure , formeront par cela même une surface développable.

Mais une surface développable dont les arêtes rectilignes doivent toutes passer par une droite directrice , ne peut être qu'un plan ou un cône. Si elle était un plan , ce plan passant par la droitedirectrice , serait un de ceux qui contiennent les premières lignes de courbure. Alors les secondes Ugnes de courbure , loin de couper les premières à angle droit, se confondraient partout avec elles. U suit de là que les tangentes aux lignes de première

ROUTES DE LA LUMIÈRE. loS

courbure , menées par chacun des points d une ligne de seconde courbure , forment un cône.

Considérons, maintenant, la suite des points de contact des sphères génératrices avec une des sphères fixes. Ces points forment nécessairement , pour l'enveloppe des sphères génératrices , une seconde ligne de courbure j puisque les normales communes à l'enveloppe et à chaque sphère fixe , forment une surface développable conique.

Donc la ligne de seconde courbure , tracée sur chacune des trois sphères fixes , a pour normales, des droites formant un cône. Nous démontrerons que cette ligne doit être plane et circulaire.

Deux des trois cercles de seconde courbure étant déterminés chacun sur une sphère fixe , ces deux cercles suffiront pour déterminer la position de chaque sphère génératrice; et, par suite la surface enveloppe de toutes ces sphères génératrices.

II est évident que les trois sphères fixes sont symétriques par rapport au plan mené par leurs trois centres. Par conséquent , i". les sphères génétratrices sont disposées symétriquement , au-dessus et au-dessous de ce plan ■, 2". toute sphère ayant son centre sur ce plan , et touchant deux des sphères génératrices au-dessus du même plan , en touchera pareillement deux autres au-dessous.

Déterminons une nouvelle sphère fixe louchant ainsi quatre des sphères génératrices précédemment déterminées. Nous pourrons remplacer par cette nouvelle sphère une des trois anciennes. Les deux autres, conservant quatre points de contact avec quatre sphères génératrices supposées rester les mêmes , auront chacune même cercle de contact avec l'enveloppe ainsi qu'avec toutes les sphères générati'ices. Par conséquent , cette surface enveloppe n'aura pas changé par la sulistitution de la nouvelle sphère fixe , à la place d'une des trois anciennes. Donc ,,

2o6 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

IV'. MÉMOJBE. enfin , la même sm'face enveloppe peut être produite par une

infinité de nouvelles sphères dont chacune soit tangente à toutes les sphères génératrices, et dont chacune produise un cercle pour ligne de seconde courbure de cette enveloppe. Condiiion, dt-Tiniti Ainsi • premièrement , il est possible de trouver d autres sur-

vesuc la(;(*neratiou * *

je! '"*^''^**' ^'y*'^^ faces que la sphère , le cylindre et le cône de révolution , qui

"n'aient que des cercles pour lignes de courbure ; secondement, il suffira, pour définir ces surfaces cyclides, d'assujettir une sphère, variable de rayon, à toucher constamment trois sphères fixes quelconques ^ troisièmement , il n'y a pas de génération possible qui produise d'autres surfaces de la même famille. ^ï^nxdtsc^^^^ Les lignes lieux des centres de courbure des surfaces cyclides

«"rycuder *"'^'' out dcs propriétés remarquables : nous allons exposer celles qui

peuvent être applicables au sujet que nous traitons. Elit s sont rcspecti- IVous avous VU quc Ics centres des sphères fixes sont tous si*

Atmeiit sur deux , •. ai ivt • i r /

)>i.in^ qui se cou- tues uaus un même plan. JXous eussions pu prendre pour gene-

l)tnl ù angle dioir. • i i % l ' i»

ratrices les sphères que nous avons appelées tixes ^ et, recipro^ quement , prendre pour fixes celles que nous avons regardées comme génératrices. Donc les sphères de chaque génération ont leurs centres placés dans un plan particulier unique : il est facile de voir que ces deux plans doivent se couper à angle droit.

La surface cyclide est , comme nous l'avons vu , symétrique par rapport au premier de ces plans ; elle l'est aux mêmes titres par rapport au second. Or^ quand une surface est symétrique par rapport à deux plans , il faut nécessairement que ces plans se CQupent à angle droit (^).

Pour distinguer les deux manières d'engendrer la surface cyclide par les intersections successives de sphères enveloppées ,■

(*) A moins que la surface ne soit de rérolulion , et n'ait pour axe Tîntersection des den^ plans donnés.

nous appellerons les sphères d une génération premières sphe- \\r mémoire. res , et celles de l'autre génération secondes sphères.

Du centre de Tune des premières sphères , menons toutes les cjiacime a ciies est

* * le sommet d-an co-

normales possibles à la surface cycliae. Ces normales , partant "« ^^ révolution

r •/ *, ^ ayant 1 autre pour

d'un même point , formeront un cône. Elles aboutiront sur la ^«''^ cyclide , aux divers points d un cercle de courbure qui servira de base à ce cône , lequel sera droit et circulaire. Enfin , Taxe du même cône sera tangent (*) à la courbe lieu des centres des premières sphères. Mais chaque normale arête de ce cône , passe par le centre d une des secondes sphères. Donc le système entier des arêtes du cône , passera par la courbe lieu des centres des secondes sphères. Or, nous avons démontré que cette courbe est plane. Par conséquent, la courbe lieu des centres de seconde courbure de la surface cyclide, est une section plane du cône , c'est--à-dire , une courbe du second degré. Il est évident que la courbe plane , lieu des centres /Je première courbure, est pareillement du second degré.

Si nous comparons entr eux tous les cônes qu'on peut for- Équîdîfference des

, , . fit 1 'y arêtes de ces cônes,

mer amsi par des droites menées , de chaque centre des premie- ainsi terminées en-

* lit ^^^ cette base et ce

res sphères , aux différents centres de» secondes sphères, en sup- sommet. posant d'ailleurs Chaque droite terminée par les deux centres qu'elle réunit , elle se composera , t*". d^un tayoû des premières sphères j 2*". d'un rayon des secondes sphères.

En terminant de k sorte toutes les arêtes d'un même cône , on voit qu'elles ont en commun le tayôn de la première sphère dont le centre sert de sommet àil cône. Par Conséquent la différence de ce» arêtes prisés deux à deui, est égale à là différence des rayons des secondes sphères correspondantes à ces arêtes.

(*) Cette dernière propriété est générait, pour les surfaces engendrées par les intersections successives de sphères variables de rayon d*une manière quelconque.

Vf*. MÉMOIBE.

Thëoréme.

Géotfralion réciproque des deux lignes lerraDt de bue à ces cônes, par des rayons Tecteurs & différences constantes.

3o8 ÂPPUGÂTIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE BfÉGHANIQ1]E.

Gonsidërons deux de ces cônes. Traçons ^ sur diacon ^ deu arêtes aboutissant respectivement aux centres des deux mêmes sphères de la seconde génération. La diffërence entre les deu arêtes du premier cône et la diflfërence entre les deux arêtes du second. cône, seront respectivement ^ales à la diiTérenoe des rayons des deox sphères de la seconde gënëratioa.

De là résulte ce théorème : Dans tous les cônes dont let sommets sont placés sur la première courbe ides centres , A dont la base comnume est la seconde courbe des centres , le différence des deux arêtes qui aboutissent respectwem^U à deux points donnés de la base, cette différence^ âis-je, est la même pour tous les cônes*

On peut donc r^arder les arêtes de chacnn d'eux , comme formées par ha arêtes d'up seul, en allongeant ou raccourcissant d'une même quantité toutes les arêtes d'un oônè primitif.

Cette propriété dont jouit la seconde courbe des centres, donne un moyen de décrire cette courbe par un mouvement continu très-simple.

Qu'on attache un fil à chaque point de la première courbe. Q'on tende tous ces fils pour les réunir en un quelconque des points de la seconde courbe. Qu'on allonge ensuite , ou qu'on raccourcisse tous les fils , d'une même quantité. En tenant toujours tendus trois de ces fils , ce qui suffit pour que le point qui les réunit soit déterminé de position, i"". tous les autres fils seront également tendus; a"", tous les fils formeront un cône droit circulaire dont le centre décrira la seconde courbe des centres ; 3^ enfin y l'axe de ce cône sera toujom^ tangent k cette courbe.

On peut donc regarder ces fils comme autant de rayons vecteurs, et les points de la première courbe des centres comme autant de foyers par rapport à la seconde courbe.

Puisque toutes les propriétés de ces deux courbes sont réciproques, il faut en conclure aussi que tous les points de la seconde courbe peuvent être considérés comme autant de foyers de la première.

Chacune de ces courbes est symétrique par rapport au plan ' de l'autre. Il suit de là que toutes deux doivent avoir un axe placé sur la commune intersection de ces deux plans. Les sommets de la première courbe placés sur cet axe, sont les foyers ordinaires de la seconde courbe , et réciproquement. De là résulte cette propriété générale des courbes du second degré

Si l'on conçoit , dans un plan horizontal, une première courbe du second degré; puis, dans un plan vertical mené par le grand axe de cette courbe , une nouvelle ligne du même degré qui ait pour sommets les foyers de la première courbe, et pour foyers les sommets de cette même courbe ;

'( Tous les points de la première seront autant de foyers de » la seconde , et tous les points de la seconde autant de foyers >' de la première. Tous les rayons vecteurs dirigés d'un même » point de Tune de ces courbes, à tous les points de l'autre, » formeront un cône droit circulaire dont l'axe sera tangent » à la première courbe , au point qui sert d'origine à tous les » rayons. Ainsi chaque courbe fait un même angle avec tous « les rayons vecteurs qui concourent en un de ses points. » On voit comment ces propriétés généralisent celles qui sont connues sur les rayons vecteurs émanés de deux foyers seulement. Jusqu'ici nous avons supposé que tous les rayons vecteurs fussent placés sur la même nappe de chaque cône, et nous avons I prouvé qu'alors leur différence est constante. C'est ce qui doit !' avoir lieu dans la génération de l'hyperbole. En effet , dans l'hyji perbole, les foyers sont en dehors des sommets. Mais pour en-

E.rbe du second degré , lieu de tous les foyers de