IV: MEMOIRE

NouidII» nroprîi

d.'s courbe* <lu rond degré.

Syttt'me ge'uifral Je

ïry

Ct'nërutioa ds Thjrl>crbo1eparuDcialinilii de foyers et de Tijoas vecteur)'

IV*. MÉMOIRE, cette hyperbole, il faut changer les foyers en sommets, et réciproquement les sommets en foyers. Donc , la seconde courbe, a ses sommets en dehors de ses foyers ; elle ^t par conséquent une ellipse , et cette ellipse est nécessairement sur la nappe même du cône droit circulaire dont elle est la base oblique. Gcnëration de Tel- Voulous-nous , au coutrairc • engendrer lellipse par le moyen

lipse par des rayons ' * ^ x » ./

TccteuM h *7^^^» de rhyperbole. Nous verrons que tous les rayons vecteurs qui ""d^^ncr^^at P^rt^°* de deux points de la même branche de Thyperbole, '''' ont une différence constante; tandis que tous les rayons qui

partent des deux points pris sur des branches différentes ont , deux à deux , une somme constante. CTest évidemment ce qui a lieu pour les deux sommets de l'ellipse qui servent de foyers à rhyperbole.

^rlb1i1^''*'rriiVe^ Ta- ^aus Ic cas où lunc des courbes devient parabdUque, finité de foyers, l'autre Tcst pareillement. Une des paraboles a ses branches

tournées vers la droite, l'autre vers la gauche. Ce sont alors les différences des rayons vecteurs qui deviennent constantes.

s IV.

Application des propriétés exposées dans le ^lUi^ à la recherche de propriétés nouvelles des routes de la lumière y dans les phénomènes de la réflexion.

pnë^^p'!^c4'eot^ Dans une surface du second degré formée par la tévc^tion à l'optique. d'uuc courbc du même ordre , âfutour de 1 axe oh sont placés

ses foyers, les mêmes points sont, à la fois, les foyers déboute la surface; nous les appellerons Jfcyer^ généraux.

Si nous faisons , dans cette surface , une section pl&ue tpiel* conque, il est évident que cette Section comptera, parmi ses foyers particuliers , les deux foyers généraux de sa ^stàfaCe. Donc les cônes ayant cette section pour base , etTun ou l'autre

des foyers génërs^ux pour sommet , seront droits et circulaires, iv. mémoire. De là résulte cette propriété générale des surfaces du second ^f^* i^» surfaces du

* » «-' ^ deuxième degré à

degré qui ont des foyers généraux , tant des ellipsoïdes , que ^^^ i^ "s^îroni des parajioloïdes et des hyperboloïdes : Toute* les courbes j^^^^^ J"Vembient planes qu'il est possible de tracer sur ceç surfaces , regardées ^^ "^"^^'^ d un des foyers , semblent des cercles. Ainsi , lorsqu'on prend pour tableau perspectif ^ la surface d'une sphère ayant son centre à Fun des foyejrs de la surface du second degré , toutes les sections planes traoées sur celle-ci , mises en perspective sur la surface sphérique, forment des cercles.

Considérons 9 maiiitenant, Ifi section plane infiniment petite Propriétés des indi-

* * catnces de ces sur-

qui sert d'indicatrice àia courbure de la surface en un point P. ^^<^^ Nous voyons d'abord que , dans les surfaces dont nous étudions les propriétés, toutes les indicatrices regardées de l'un des foyers généraux , paraissent être des cercles ayant pour axe le rayon visudi qui va , d'un foyer général , au point P de la surface dont l'indicatrice annonce la, courbure.

Supposons que tous les élémeQts de cette, surface grandissent , à partir du point P , proportionnellemeut , et dans un rapport infini. Alors l'indicatrice prend oue étendue fi^nie ^ et le sommet du cône de révolution dont elle est la base oblique , s'éloigne à l'infini. Ge cône devient un cylindre de iiévolution.

Quand l'indicatrice (base oblique de ce cylindre) se projette sur le cercle (base directe du même cylindre) , les diamètres de l'indicatrice se projettent sur les diamètres du cercle. Tout parallélogramme circonscrit, à l'indicatrice (courbe du second degré ) ^ et. les deux diamètres conjugués respectivement parallèles ai» côtés Qppo3é9; de ce parallélogramme , se projetteqt sur le cercle y smi9 perdre^ leur parallélisme* Le parallélogramme ne cessant pas d'être circonscrit au cercle ^ devient im quarré. Enfin^ las deux- diamètres conjugues ^ respectivement

ai a APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

IV*. MËMonE. parallèles aux côtés de ce quarré , se croisent à angle droit dans

cette projection.

Les diamètres conju- Donc deux djamètres conjugués quelconques d'une indica-

giiës de ces indica- ^ i % j» r

uiccs, regardes d'un trice dc la surface du second degré ^ à foyers généraux, sont sur SmIc droit^*""^' ^ deux plans passant par un même foyer général et se coupant

à angle droit.

Même propriëuj des En exDOsaut la théorie des indicatrices et des tangentes con-

tangeotes conju- '- ^

ffoycK^nSwM* juguées àes surfaces ( Déi^eloppements de géométrie^ I*^ mémoire)^ nous avons démontré que ces tangentes conjuguées étaient toujours placées sur deux diamètres conjugués de l'indicatrice. Donc les surfaces du second degré qui ont des foyers généraux , jouissent de cette propriété caractéristique et remar- > quable : deux tangentes conjuguées quelconques sont respec-

twement sur deux plans passant par un même foyer général ^ et se coupant à angle droit.

On voit par-là qu'en regardant ces surfaces du second degré , d'un de leurs foyers généraux, leurs tangentes conjuguées semblent partout se couper à angle droit.

Application de ces Éteudous , maintenant , ces propriétés des surfaces du se-

propnetes aux mi- ^ ^ l r

^ÎTue^^^'^^r'^fl^i- cond degré de révolution , aux surfaces d'une forme quelconém^ëV d'^"1eïï î^^* Nous pouvons pour cela nous servir de la théorie des i/i- ^"^' dicatrices et des Tangentes conjuguées. Cette théorie^ comme

on va le voir, jette sur la question un jour très-remarquable*, elle rend faciles des solutions regardées jusqu'ici comme inaccessibles à la simple géométrie.

Fig. î. Soit P le point que nous considérons sur la surface . quel-

conque (S). Prenons, pour plan de projection horizontale, le plan tangent en P à cette surface. Soient , de plus, PO et Pf2 les projections des deux rayons incident et réfléchi [refléchi par (S)].

Les deux rayons sont dans un plan perpendiculaire au plan

PI. XV

ROUTES DE LA Ll

tangent P, pris pour plan de projection horizontale; par conséquent ils se projéteront horizontalement, suivant une même droite OPii,,.

Actuellement, regardons les points O et fi comme les foyers d'une surface du second degré de révolution qui passe en P. Celte surface sera tangente, en ce point , à ta surface générale (S) ; puisque par hypothèse, le plan tangent à (S) , en P , (ait le même angle avec les deux rayons vecteurs projetés suivant OP. et Pn, , et qu'il est perpendiculaire au plan de ces deux rayons.

On déterminera sur-le-champ, pour le point P, l'indicatrice de la surface du second degré, par la condition que cette indicatrice doit être, sur le plan horizontal de projection, la trace d'un cylindre droit circulaire ayant pour axe PO ou Pfi.

Eu effet , si nous prenons un plan vertical de projection paralK'le aux rayons PO,Pii, ces rayons seront respectivement égaux à leur projeclion verticale PO., Pii,.... Le grand axe de l'indicatrice étant égal à aP/,, , grandeur arhilraire , sa projection «Py, sera égale à aP-/,. , et le petit axe ëP^,, sera double de la distance du point *, , au rayon PO..

Maintenant , le foyer O restant le même , ainsi que le point P sur la surface (S), on peut faire varier arbitrairement de grandeur , l'indicatrice «6-/5 de la surface du second degré , dont le foyer il s'éloignera ou s'approchera convenahlemeut du point P. Demandons-nous, parmi toutes ces courbes semblables, a6yô, it'oy'5' , «"e'^'T ,..,. ccUes qul sont, en quek{ue point, tangentes à l'indicatrice ABCD èê la surface (S).

Pour cela , regardons «Syi et ABCD comme les traces horizontales de deux cylindres ayant PO pour axe. Par hypothèse , le premier cylindre sera de révolution ; ainsi tous ses plans diamétraux seront normaux à sa surface. Donc^ pour que ce.

Si.rfjce Ju aecODil degré ^i foyer» géné-

au point Iiimtneiii , r.iutrRsurlcrBroo

CoadJtioQ pour que cts nouvelles BurfacFs aient pi U9 d'un

ai4 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

1V-. MâiioiRE. cylindre soit tangent à celui dont la trace est ABCD, il faat que

le plan diamétral mené par laréte lieu du contact y soit aussi , dans toute l'étendue de cette arête , normal au cylindre dont la base est ABGD.

Lorsqu'un cylindre du second degré n'est pas de révolution, il n a que deux plans passant par son axe qui jouissent de cette propriétés ce sont les deux plans principaux^ et ces deux plans se coupent nécessairement à angle droit.

Mais nous savons que les diamètres conjugués des diverses sections planes d'un cylindre , sont placés respectivement sur des plans diamétraux conjugués de ce cylindre ; donc les deux plans principaux du cylindre ayant ABCD pour base oblique , traceront sur ABGD deux diamètres conjugués Ml^'^ W^\ Cest par l'extrémité de ces diamètres que passeront les deux courbes a^yif , a^'y'il' , semblables à «6y3 , et respectivement tangentes à ABCD, en M'N', M'N'. ( Voyez la note H à la fin du Mémoire. )

Il est facile de voir que la surface du second degré dont aëyi' est l'indicatrice 9 ayant les trois points M', P, N' communs avec la surface (S), les tangentes à l'arc MTN' seront les mêmes en M', N', pour les deux surfaces. Mais , aux points M' et M', les indicatrices ABGD , olëyi' sont mutuellement tangentes \ ainsi les mêmes tangentes MW, NV sont communes aux deux indicatrices , et par conséquent aux deux surfaces. Donc les plans tangents à ces surfaces 9 soit en M", soit en N', sont identiques. Deux surfaces du Par conséqucut , si du point O^ nous menoAS dMx, points M' foSrà^eîuVondi". ou N', un rayou incident ^ le rayon réfléchi sera le même

pour la surface primitive , et pour la surface du second degré de révolution ayant ct^yi! pour indicatrice. Mais ^ O étant un des foyers généraux de cette damière surface, tous les rayons émanés du point O se réfléchissent à l'autre foyer Ol. Donc les

tlOD.

rotjîtë5~Be la lumière.

rayons réfléchis par la surface quelconque ( S ) , aux points M' et W, se réuniront au point £i', second foyer général de la surface du second degré dont a'G'y'â' est l'indicatrice.

De même, les rayons réfléchis parla surface quelconque (S), aux points M" et N", se rencontreront au foyer fi" de la seconde surface du second degré, dont a"S"/"5" est l'indicatrice.

Puisqu'il n'y a pas, sur ABCD , d'autres points que M', N' et " «'y e» » pas un M", K" pour lesquels se confondent le plan tangent à (S) et le plan tangent à l'une des surfaces de révolution du second degré ayant O pour foyer, il n'y a pas d'autres rayons Incidents que OM', ON', OM" , ON" qui , réfléchis , viennent rencontrer Pii-

IVous pouvons donc poser comme principes généraux :

1". Qu'à partir d'un point P d'une surface quelconque , il y RejuraédMpropm-

, ,. . -nï-niT/ 1HW7I-KTII II 1 ■ tes d'un faisceau de

a deux directions MJN , MiN telles oue les rayons qui sont rayons émanés d'nn émanes du pwnt quelconque O, et qui sont réfléchis par la pu un miroir qu«isurface en M', ou W, çu M", ou W infiniment près de P, rencontrent le rayon Pii réfléchi par le point P.

2°. Que les deux directions M'N' , M"N" sont celles de deux diamètres conjugués de l'indicatrice ABCD-, et, par conséquent , sont aussi celles de deux tangentes conjuguées de la surface (S), au point P.

3". Que ces deux directions sont situées sur deux plans qui se coupent à angle droit, suivant le rayon incident^ puisqu'elles sont les directions de deux plans principaux du cylindre ayant ABCD pour hase , et OP poQr axe.

4". Les plans menés par ces deux directions et par le rayon réfléchi Piî , formant entr'eux le même angle que les deux précédents , se coupent pareillement à angle droit.

Pour détuoHirer cette dernière propriété, concevons trois nouveaux cylindres ayant pour axe commun le rayon réfléchi PiJ, et respectivement pour bases, K'S'7'3', 3"e"v"3", ABCD.

a!6 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCH A NIQUE. Les deux premiers cylindres sont encore de révolution ; jb I touchent le troisième , suivant quatre arêtes qui passent respectivement par les points M', N' , M", N", et qui sont placées deux à deux sur les plans principaux de ce dernier cyliodre. Donc les deux plans menés par les rayons réfléchis , fi'M' , uP, i/N' d'une part , ii"M", ii"P, ii"N" de l'autre part, se coupent à angle droit suivant liP.

' La direction du rayon incident OP restant la même , quelle ; que soit la position du foyer O sur ce rayon , la forme de l'indicatrice aêy3 ne varie point. C'est pourquoi les deux directioos conjuguées M'N', M"N" ne varient pas non plus. Supposons que, des diflerenls points du rayon OP, partent tant d'autres rayons incidents qu'on voudra. Les rayons réfléchis ne pourront rencontrer Pfi qu'en passant par les points M', W ou M", K" placés sur deux diamètres conjugués de ABCD, intUcatrice de la surface primitive (S) j et , par conséquent , placés sur deux tangentes conjuguées de cette surface primitive, au point P.

Nous allons montrer , à présent , quelles modifications peuvent éprouver les principes généraux que dous venons d'exposer , suivant les diverses formes que présentent les indicatrices du miroir et celles des surfaces auxihaires du second

Les surfaces auxiUaires du second degré , par cela sent qu'elles ont deux foyers généraux , ont partout leurs deux courbures dirigées dans le même sens. Ainsi l'indicatrice de leur courbure est partout elliptique.

Mais le miroir étant supposé d'une forme quelconque , son indicatrice peut être elliptique, hyperbolique ou parabolique. Examinons successivement ces trois cas qui comprennent toutes les formes générales que puisse affecter la courbure des sor^ faces.

PI. XV

ROUTES DE LA LUMIÈRE. ai?

Dans le |>remier cas où rindicatrice ABCD du miroir est ivv mémoire. une ellipse , ainsi que le représente la fig. i , le cylindre ayant dicatnce de ces le rayon incident pour axe , et cette ellipse pour trace hori- roir est eiuptique. zontale , est un cylindre elliptique. H existe donc deux plans pj ^ principaux passant par cet axe j et quatre arêtes principales respectivement placées sur ces plans. Ces arêtes ont pour trace horizontale, sur le plan de projection , les points M% N' et M", N". Donc 9 alors , on peut toujours trouver, comme nous Favons déjà fait voir, deux indicatrices a sy^', «"g'y'd", respectivement tangentes en M', N' et M", N", à l'indicatrice ABCD du miroir.

Demandons-nous de déterminer la position des points il', ç{ Recherche despoiou où les rayons réfléchis M'H', N'ii' et Wcf. NW rencontrent le TlyomH^Msil

^ ' «. ' finiment voisins.

rayon Vci réfléchi par le point P. Les indicatrices a' W, aTy'T Fig ^ étant déterminées par les moyens que nous avons exposés , leur grand axe «Ty', « T/' sera pareillement déterminé. Soit R le rayon de courbure de la section normale du miroir, faite suivant la direction de cet axe. Soient r^ eti^ les rayons de courbure des sections faites par le même plan , dans les deux surfaces auxiliaires du second degré ayant respectivement pour indicatrices a'syy, a''6Vr. Nous aurous

Maintenant, avec r^ comme rayon, traçons sur la fig. 2, le Fîg 3

cercle osculateur de la section normale faite suivant aPy , dans la surface auxiliaire ayant a S'y if pour indicatrice. Nous pouvons substituer ce cercle à cette section , sans changer le point Cï lieu de la rencontre des rayons réfléchis par les points infiniment voisins P, M^ Mais, dans le cercle osculateur, les cordes l?p et Pr, Mm et Ms sont respectivement égales , puisqu'elles font

PI. XV

ai8 AFPUCATIQNS DE GÉOMÉTRIE ET DE IIÉCHANEQXJE.

nr*. M^QiBE. deoxà deux le même angle avec la drconférenoe de ce oerde.

Donc, entre les arcs sontendos par les oordeSy on a les rd»> tiens snitantes

D'oïl SK— ! ¥p :=W — ¥r.

et, &i si^HÎmant la partie "Pp commune anx deux premien arcs, ainsi qae la partie Mrcommnne ans deoK

donc 7s != a.PÏiï H- ^.

Mais les triangles CPM, Ofrs sont semblables ; l'angle WM. est infiniment petit , et dès lors les arcs FSI, pm, n, sont respectivement ^nz à leurs cordes PM , pm, rs. Donc on a

PO'Pr::?])! : PM4-rr»FMH-aPM4-f»»s33FM-^/Mii,