PO

Appelons l'angle forme par le rayon incident PO, avec le plan tangent au miroir, en P. Le double du rayon r' multi-

ROUTES DE LA LUMIÈRE. aig

plié par le sinus de cet angle , sera la corde Vp du cercle osculaieur. Nommant A la dislance du point O au point P , nous aurons pour valeur de PiJ'

(Fqyez la note III. )

Pour une même valeur de-/' et de sinus a , cette quantité peut être infinie, positive ou négative, suivant la valeur de A; c'està-dire, suivant la position du point O sur le rayon incident PO, dont la direction est supposée constante.

i". Lorsque aA— r'sin.at ^o; le rayon réfléchi Mn' devient conditi«o i>our 41» parallèle au rayon Pfl'; puisque fi', point de rencontre des deux fiDimeDt *2idgn"t rayons , se transporte à Tinflui.

Donc, lorsque le rayon r' projeté sur le rayon incident, a sa projection r^.sin. a ^ 2A ^ le double de PO, la surface auxiliaire ayant «S'y '5* pour indicatrice , a ses rayons réfléchis parallèles entr'eux ; elle est un paraboloïde ; et , suivant la direction M'PN', les rayons lumineux émanés du point O et réfléchis par le miroir , à partir du point P , sont parallèles.

Lorsque la moitié Vp' de la corde Vp , sera plus petite ou conJiiion [...urque plus grande que 2PO = aA, les rayons réfléchis par la surface ctu«â"ieatdifméauxiliaire ayant K'o'y'a' pour indicatrice , ne seront plus parallèles, queîefoywdu^cï

"—■'— ■UcsrayoïiB.

Dans le premier cas, là. sera plus grand que /. sin. «. Donc la valeur Pfi' = ^ .'"' " sera de même signe que A ( / étant

supposé positif, ainsi que le sinus a). Alors le point £1 sera du même côté du miroir que le point P. Par conséquent, la surface auxiliaire du second degré ayant pour foyers généraux, deux points O , iî', placés du même côté du plan tangent , cette surface sera elliptique. Dans ce cas , l'image il' du foyer O sera du même côté du miroir que ce point O-

220 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. IV. MÉMOIRE. Lorsque / est positif^ si aA se trouve moindre que r^. sinus «,

Condition pour que a r «în

:... A. ^^^ j^ quantité Pf/ = 1 în « ^^^^^'^^ négative , et le deuxième

2A — rsm. a rière le miroir.

foyer n passe de lautre cote au piani langeni en xr. uans ce cas , la surface auxiliaire du second degré est hyperbolique.

Lorsque A devient négatif, Vûf = ^,^,,>,i„,^ = .rqpTTTa

devient nécessairement positif Ainsi , lorsque le point O passe sur PO prolongé de Fautre côté du miroir , le point de concours i^ reste du premier côté. Alors , encore , la surface auxiliaire du second degré devient hyperbolique.

Du cas particulier où U est uu cas remarquable, parmi tous ceux qu'on peut étu-

les rayons rëflëchis ^^ * a -o Ai^ • •

inûniment voisins, ^[qj^ lorsoue Tindicatrice ABCD est elliptique. C'est Celui pour

concourent en un -^ * ^ ir j. ir

méme^int. lequcl cctto iudicatrîce est semblable aux courbes «Syâ, Alors PI. XV. cette indicatrice, au lieu d'être touchée par deux des courbes a sy^ , a 'g'yT, comme dans la fig. i , se confond avec une de ces dernières. Dans ce cas , tous les rayons incidents qui viennent tomber sur la courbe aSyd , se réfléchissent en passant par le foyer Cl de la surface auxiliaire du second degré dont aSyâ est , en P , l'indicatrice. Alors les rayons infiniment voisins de PO , émanés du point O , viennent tous , après leur réflexion , rencontrer en un même point O le rayon réfléchi Pft. secord cas général , Passous au cas OU l'indicatricc du miroir , en P^ au lieu mii^ï'^St^M- d'être une ellipse ABCD , comme dans la fig. i , serait une "^"lig. 3. hyperbole AM'B, CND, comme dans la fig. 3. Quelle que soit PI. xvi. \^ direction du rayon incident PO , cette hyperbole ne peut

être la trace que d'un cylindre hyperbolique ayant pour axe PO- Des deux plans principaux passant par Taxe , un seul coupe ce cylindre , siMvant deux arêtes ayant les points M', N^, pour traces sur le plan horizontal de projection. Il semble , d'après cela , quand le miroir a pour indicatrice une hyperbole , qu'il y ait seulement une direction^réelle MTN', suivant laquelle le

ROUTES DE LA LUMIÈRE. 3îi

irayon réfléchi Pi2 est rencontré par les rayons réfléchis inii- iv-, mémoire. niment voisins.

Mais l'indicatrice, au point P, n'est autre chose qu'une DesdeuihyberWe. section faite dans le miroir, infiniment près du plan tangent fout'^i^^ronsldé. en P, et parallèlement à ce plan. Cette section peut être faite au-dessus ou au-dessous du plan tangent en P , lorsque les deux courhures sont dirigées en sens contraires. Alors la première indicatrice indique la courbure convexe vers le bas , la seconde indique la courbure convexe vers le haut.

Les indicatrices n'étant déterminées que par le rapport de Des <!eai point» de

* * -^ ^ concours fourni»

leurs axes , et non par leur erandeur absolue , ces axes passent par les rayom r^

■• "^ ' Qccliisque donnent

en même temps : l'un du réel à l'imaginaire ; l'autre de l'imagi- =" •^e"" ""J'"»"^ naire au réel , sans que leur rapport varie pour cela. C'est pourquoi leurs asymptotes sont les mêmes. Dans les indicatrices elliptiques, les deux axes passant à la fois du réel à l'imaginaire , n'expriment plus de courbe réelle. Par conséquent, elles ne doivent présenter que des courbes d'une seule et même forme.

Le cylindre ayant pour trace la seconde hyperbole indicatrice, a deux arêtes principales , réelles. Elles marquent sur le plan tangentaumiroir en P, deux points M", N". Ces poinls indiquent la nouvelle direction M"]^", suivant laquelle le rayon émané du point O et réfléchi par le point P, est coupé (en il") par les rayons réfléchis infiniment voisins. Puisque les deux hyberboles AM'B , CN'D et aM"A, c^"d, sont semblables, les parallélogrammes ayant leurs sommets sur les asymptotes communes de ces hyberboles , seront les mêmes pour l'une et pour l'autre. Par conséquent, ces deux courbes auront leurs systèmes de diamètres conjugués, exactement superposés. Mais chacune des hyberboles ne peut avoir en commun avec les ellipses semblables a'S'/^ , «"6"y"3"j qu'un seul système de diamètres conjugués. Donc ce système est le même pour les deux hyberboles. Par consé-

aaa APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.' quent les diamètres M'PN', M"PN" sont conjugaés eDtr'eui. Il suit de là que les deux directions M'PN', M"PN", représentent un système de diamètres conjugués par rapport à la base oblique «'é'-/3' d'un cylindre droit circulaire ayant pour axe PO ou P^. Par conséquent , aussi , ces deux directions sont vues se couper à angle droit, d'un point qnelconcpie du rayon - incident PO , ou du rayon réfléchi Pil.

. ^ , Supposons que la surface du miroir, au lieu d'avoir ses deux

Ï'ttemc de deux rr ^ '

roite* paraïkiïs. courbures dirigées en sens contraires , ait en P l'une de ses

courbures nulle, c'est-à-dire, soit développahle en ce point. Son indicatrice, au même point, sera le système de deux droites M' ni y Wn', parallèles à l'arête de ta développahle passant en P. Alors encore le problème aura deux solutions.

La première sera donnée par la courbe x'S'-/'3' tangente à ces parallèles , en M' et W. La seconde le sera par le diamètre conjugué à M'PN' ; c'est-à-dire , par IW'PN", véritable diamètre du système des deux droites parallèles M'n^', N'n', considérées comme les branches d'une même ligne du second degré.

Jusqu'ici nous n'avons étudié les lois de la réflexion, qu'à ; partir d'un point P du miroir, et infiniment près de ce point, rayons refle- pgggQQg ^ maintenant, du rayon réfléchi par ce point P, à l'un des rayons réfléchis infiniment voisins qui se rencontrent. Passons, ensuite, et toujours dans la même direction, du second rayon réfléchi, à un troisième qui en soit infiniment voisin et qui le coupe aussi; de ce troisième à un quatrième, etc. Nous allons former une surface évidemment développahle, puisqu'elle sera le système de lignes droites infiniment voisines dont chacune doit rencontrer celle qui la précède et celle qui la suit.

Nous formerons une seconde surface pareillement développahle, en partant du rayon réfléchi par le point P,

P, et passant M

suivaDt la seconde direction (conjuguée à la première) , à un nouveau rayon infiniment voisin qui coupe le premier; de ce nouveau à un troisième qui le coupe pareillement, et qui soit aussi dans la seconde direction; de ce troisième à un quatrième, etc.

Concluons donc , premièrement , qu'une surface quelconque étant éclairée par un faisceau de rayons lumineux émanés d'un même point , se réfléchit suivant un nouveau faisceau dont les rayons forment deux systèmes de surfaces développables. De telle sorte que chaque rayon réfléchi se trouve être , à La fois, sur deux surfaces développables appartenant respectivement à chacun de ces systèmes.

Si l'on détermine , sur la surface réfléchissante ou miroir, la trace des surfaces développables de rayons réfléchis , un premier système de développables va produire une première série de courbes qui se succéderont sur le miroir, en variant infiniment peu de forme et de position; te second système de développables va pareillement tracer une seconde série de courbes qui se succéderont sur le miroir, en variant infiniment peu de ibrmeet de position.

La loi générale (jui liera les développables du premier système aux développables du second, c'est que les premières seront coupées à angle droit parles secondes, suivant toute l'étendue des divers rayons, lieux de leurs communes intersections.

h& loi générale qui liera les courbes tracées sur te miroir par ces deux systèmes de surfaces développables, c'est que les premières courbes croiseront constamment les secondes , suivant des directions données par des tangentes conjuguées de la surface du miroir. En un mot , les secondes courbes seront partout conjuguées aux premières.