IV. MÉMOIKE

1^9 surface», déve loppablea de ce deux systèmes.

L« iurfacei déieloppahles d'un ijri'

i angle droit par celles de l'aulresy»-

Les co orbes d'un lyslénie , croûeot les courbes de l'au-

vant de) directions

par deux Unf^entes

sa4 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHAMQUE. IV. MÉMOIRE. Si l'on regarde les premières courbes comme bases d'autant

Des dïui systèmes , , , • i> . . i ..

de cines ayant ers dc cones ayant leuF sommet commun au pomt d ou la lumière

courbe» pour base, , îiai i

et u fojrer d'où emaoe 1 SI 1 OU regarde, 06 même , Ics secondcs coorbes comnie

parteut les rayon' ,

incident! pour lom bases d'uue DOuvelle série de surfaces coniques ayant même sommet que les précédentes , alors tous les cônes de la première série croiseront à angle droit les cônes de la seconde série.

cnns^quance lîrée Des ihéorèmes quc oous venons d'exposer, résulte une pro-

de ce» principe.. * ,.-. i . -

priete générale des suriaces éclairées par des rayons lummeoi. Si deux surfaces réfléchissantes se touchent suivant une Usne qui soit , pour l'une it elles , la trace d'une surface dévehppable de rayons réfléchis ( les rayons incidents étant supposés émaner dun point unique ) , cette même développable sera pareillement un système de rayons réfléchis par la seconde surface réfléchissante substituée à la première ; toutes les surfaces développables de rayons réfléchis d'un système différent de la première développable , la traverseront sur liai et sur l'autre miroir y suivant des courbes qui seront en chaque point tangentes entr^elles et aux tangentes conjuguées de la courbe commune aux deux surfaces.

"p'iîhî'^'de'^tayoT ^^ ^^^^ ^^ supposer que les rayons émanent d'un seul et ï«*«yo"*'bddSrtt même point fixe, supposons que ce point avance ou recn\e sur ("""^ie.""^ ™' le rayon incident qui passe par le point P du miroir. Noos savons que le rayon réfléchi par le point P ne changera pas. Les tangentes conjuguées de la surface, qui sont respectîrement sur deux plans à angle droit passant à la fois par ce rayon incident ou par ce rayon réfléchi , ces tangentes , disje, ne changeront pas davantage. Ainsi les mêmes plans seront respectivement tangents : d'une part, à tous les cônes de rayons incidents ayant leur sommet sur le raj'on incident qui tombe en P; de l'autre part, à toutes les surfaces développables des rayons réfléchis par le miroir où se trouve le point P.

ROUTES DE LA LUMIÈRE. 2a5

De ià resuite donc cette propriété générale des rayons lurai- iv. memoi neujt. Des divers points dune droite regardée comme rayon incident, si d autres rayons lumineux émanent, suivant des directions arbitraires : i". ces rayons , étant réfléchis par un miroir quelconque , formeront une série de surfaces développâmes ; 2". toutes les développables qu'il sera possible de former ainsi, seront tangentes à l'une ou à l'autre des tangentes conjuguées qui sont vues se couper à angle droit , du rayon commun à toutes ces développables ; 3". tous les cônes formés par les rayons incidents qui passent par les traces de ces développables sur le miroir, se croiseront pareillement à angle droit, et seront tangents à l'une ou à l'autre des tangentes conjuguées du système que nous venons de déterminer.

Nous avons prouvé, dans le commencement de ce mémoire Beiourau cas et par deux voies absolument indépendantes, qu'un faisceau de dérdoppabi' rayons lumineux, décomposable en deux séries de surfaces développables qui se croisent à angle droit, conservait encore, après sa réflexion par un miroir quelconque, cette propriété : d'être décomposable en deux séries de surfaces développables, telles , que toutes les surfaces d'une série- coupent àangle droit celles de l'autre série.

Supposons , de plus, que les surfaces développables d'une ^^ 4"^''*'°'^° '/'"li, première série de rayons incidents, correspondent aux surfaces développables d'une première série de rayons réfléchis. De manière que les mêmes courbes soient chacune, sur le miroir , la trace commune d'une surface développable de rayons "'""" """*"'■ réfléchis et d'une surface développable de rayons incidents. Je dis que toutes les développables de l'autre série jouiront de la même propriété. Ainsi, dans la seconde série comme dans la première, chaque surface développable de rayons incidents et une surface développable de rayons réfléchis, auront la même

forme quelconque

pablesd'iinsysliiroe de rayoQS iacideaU

fta6 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

IV*. MEMOIRE, trace sur le miroir* De plus, deux de Ces traces^ qui appartiennent à deox dilïerentes séries de surfaces développables , seront toujours ) au-point de leur commune intersection y touchées par deux tuigentes conjuguées de la surface du miroir» Fig. T. Pour rendre plus claire la démonstration de ce principe, re^

pj. XV. présentons par (D'i) et (D'^i) les deta suifaces dévelof^bles

de rayons incidents qui passent par un point P du miroir ; re^ pi^ésentons par (ly,) et (jy\) les deux surfaces développables de rayons réfléchis qui passent par le nftéme point P. Suj^sons j enfin , que (D^ ) et ( 1^,) soient les deux développables ( de dif«férents systèmes ) ayant la même trace sur le miroir.

Prenons, sur cette trace, deux points P, M', infiniment voi*^ sins. Les deux rayons incidents qui tombent l'un en P, Tautre en M', étant placés sur la développable (D'i), se renconlaneat en un certain point O. De même les deux rayons réfléchis par P et par M', étant placés sur la développable (D^,), s'y rencontrent en un certain point ii\

Si nous regardons les points 0,û^, comme les deux foyers généraux d'une surface auxiliaire du second degré passant en P, cette surface passera pareiUement en M^ Pour ces deux points, elle aura même plan tangent que le miroir; puisque sans cela les deux surfaces ne pourraient pas avoir en commua les deux rayons incidents OP , OM^, et les deux rayons râléchis Pû\ M'CÏ. Donc l'intersection de ces deux plans tangents Consécutifs est commune pour les deux surfaces* Par -conséquent , cette intersection et la droite menée par tes deux points P , M', forment , pour l'une et l'autre surface , un ^tème de tangentes conjuguées. {Y^o^ez Déi^elop. de Géom^ P'. Mémoire.)

Or deux tangentes conjuguées^ d'une surface du second de^ gré à foyers généraux O , Û^, sont sur deux plans passant a la fois par un même foyer , soit O , soit d'y et se coupant à angle

'^^^^^^rÔÛtES de la lumière. 227

droit. Donc, aussi , les deux tangentes conjuguées da miroir, iV'. méhoiiie. dont une passe par l'élément PM', sont sur deux plans qui pas- ■

sent à la fois par le rayon incident OP, ou par le rayon réflé- ■

chi Pii', et qui se coupent à angle droit. M

Un de ces plans passant par les arêtes ïniiniment voisines H

OP, OM' de la développable (D'i) , est tangent à cette dévelop- ■

pable. Donc le plan qui passe par OP, et qui lui est perpendiculaire, est tangent à la seconde développable (D''^); puisque , par hypothèse , cette seconde développable coupe la première à angle droit , dans toute l'étendue du rayon OP.

Donc la trace de la seconde développable (D''^) , sur le miroir, est touchée par la tangente conjuguée à la direction PM' de la première développable.

On démontrera , de même , que les deux plans à angle droit qui passent par le rayon réfléchi Pfi', et respectivement par deux tangentes conjuguées du miroir en P, sont respectivement tangents aux développables (D',) , (D",) qui passent par le rayon réfléchi Pii'.

Ainsi les deux développables CD") et (D",) sont touchées sur le H "«"n^. 'j-sumu

•' ^ ' ^ ' uerB^ODSincideoU

miroir par la même tangente conjuguée à PM'. Par conséquent «f^retiA:hia , irace leurs traces sur le miroir y sont aussi touchées par la même tan- hdi^i'Jon"! urgente conjuguée. Donc elles-mêmes s'y louchent mutuellement. ceUe'je^clur'beVdu Si, dans toute l'étendue du miroir, les (D'.) ont la même dltl",7^^^d,s trace que les (D'^) , comme alors les (D") et les (D",) doivent ^^^ " """ * '" avoir partout leurs traces mutuellement tangentes , il faudra que ces dernières traces soient identiques : cette conséquence complète le théorème général que nous voulions démontrer.

La réciproque de ces principes est également vraie. Quand

un faisceau de rayons incidents se décompose en deux séries

' de surfaces développables, qui se croisent à angle droit et

fi qui tracent sur le miroir deux séries de courbes dont les

les Iracea dej auifacci dt'vcloppables du tecoad système de rayons iDcidentï

aa8 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

IV'. MÉMOIRE, directions sont partout conjuguées , les mêmes courbes sont

la trace des surfaces dëveloppables formées par les rayons réfléchis ; et ces surfaces développables présentent encore ^ comme celles des rayons incidents , deux séries telles que les surfaces dune série sont coupées à angle droit par toutes celles de l'autre série.

Forme des aurfeces D^us Ic cas particulier OU Ics rayous incidents infiniment riroîi^iS^^^ voisins du point P, rencontrent au même point O, le rayon inci- ^STMlmbiiics^^Si^^ dent qui tombe en P; tandis que ces rayons, après leur ré* triques. flexion , se rencontrent en un autre point Cï pareillement Je

même pour tous les rayons réfléchis, voici ce qui arrive :

L'indicatrice du miroir pour l'ombilic P, vue d'un point quelconque du rayon incident ou du rayon réfléchi qui passe en P, cette indicatrice , dis-je , semble un cercle.

Toutes les surfaces développables de rayons incidents d une première série (D'^ , passent à la fois par le rayon incident qui tombe sur le point ombilical P.

Toutes les surfaces développables de rayons réfléchis d une première série (D',) , passent à la fois par le rayon que réfléchit le point ombilical P.

Chacun de ces deux rayons ( incident et réfléchi) représente à lui seul une surface des secondes séries ÇD^) , {D"^). A partir de chaque rayon , ces surfaces développables^ offrent la forme d'un cône droit circulaire infiniment aigu, ayant respectivement pour axe l'un ou l'autre de ces rayons, et pour sommet le point lumineux ou son image. Ensuite les surfaces développables (D'i) , (p\) s'élargissent de plus en plus , et prennent une forme qui dépend de la courbure du miroir. Forme et disposiUoa Ou voit douc quc, sur Ic miroir^ les traces de la première

des traces de ces . , i • Tk i« 11 i i

développables , an- scrie passcut toutcs par le pomt Jr^ tandis que celles de la

tour de semblables ir* «1 • t\ ^ \ t • n •

ombilics. seconde série sont : i"". le point F; 2^. a une distance inliniment

petite , rindicatrice de la courbure du miroir au point P j 3^ des iv*. mémoire. courbes plus ou moins différentes de cette indicatrice^ et dont la figure dépend de la forme même du miroir.

Ainsi les points du miroir qui ne fournissent qu'un seul Analogie des ombipoint de concours pour les rayons refléchis après être émanés v^,. ^^^ o^^^^^^

* ^ . "®' ligues de cour-

d'un seul foyer , ces points du miroir sont ^ par rapport au sys- ''"*"^ tème des traces conjuguées communes aux surfaces déyeloppables incidentes et réfléchies , ce que les ombilics des surfaces sont pour les lignes de courbure. Il y a plus ^ ces derniers ombilics ne sont qu'un cas particulier des systèmes de traces conjuguées. Cest celui où les rayons sont perpendiculaires au miroir 9 et oiiil faut non-seulement que les traces soient conjuguées 9 mais encore qu'elles se coupent à angle droit (^).

On pourrait comprendre tous les points ombilicaux fournis par la réflexion de la lumière , sous la dénomination générale d ombilics catoptriques.

Une surface réfléchissante quelconque étant éclairée par un ^bUi^'^''JL?op^^^^ point lumineux O, proposons-nous de déterminer les points P chiwL^te^^u^^^^^

1 •• ^••i 11 •/*• .••! <ïue, éclairée par

de ce miroir^ autour desquels les rayons intmiment voism» du un point luminea». rayon réfléchi par chacun de ces points P rencontrent en un point unique û , ce même rayon réfléchi.

Puisque, pour le point ombilical P, l'indicatrice du miroir doit paraître un cercle lorsqu'on la regarde du foyer O ou du point n', il faut premièrenient que le grand axe de cette indicatrice soit dans un plan normal au miroir et passant par le point O d'où partent les rayons incidents..

Mais le grand axe de l'indicatrice du miroir , en P, est tan-

(*) Dans le troisième et le cinquième des Mémoires qui composent les Développe^ fnents dis géométrie 1 nous avons donné avec beaucoup de détails , la théorie des di^ veFses espèces d'ombilics des- surfaces. Cette théorie peut trouver ici son application.

23o APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE-

iv*. MÉMOIRE, gent en ce point à la ligne de moindre courbure du miroir.

Donc le (Jan normal au miroir, en P , et qui de plus passe par le grand axe de l'indicatrice , est tangent à la surface développable qui , formée par les rayons de moindre courbure du miroir, passe par le point P.

Par le point O , meaons un plan qui soit assujëti à toncher la surface lieu des centres de plus grande courbure du miroir. Ce plan touche pareillaBent une des surfaces développables foroiées par les rayons de moindre courbure du miroir. Cette surface développable trace sur le miroir une ligne de moindre courbure. Enfin Faréte , lieu des contacts de cette développable avec son plan tangent qui passe parle point O^ marque sur cette ligne de courbure , un point où elle est évidemment touchée par le plan qui est à la fois normal au miroir et tangent à cette développable.

La suite des points déterminés ainsi sur diaque ligne de moindre courbure, va former une ligne sur laquelle se trouvent nécessairement les points ombilicaux cherchés.

En chaque point ombilical , le cylindre ayant pour base l'indicatrice , et pour axe le rayon incident , est un cylindre de révolution. Le grand axe de Findicatrice, projeté sur un plan perpendiculaire au rayon incident , est par conséquent ^al au petit axe. Donc le rapport de ces deux axes égale le sinus de Fangle formé par le grand axe avec le rayon incident : c'est le cosinus de Fangle d'incidence.

Ainsi le rapport du quarré des deux axes de l'indicatrice , est égal au quarré de ce cosinus. Mais un tel rapport est celai des rayons de courbure du miroir pour le point auquel appartient Findîcatrice.

Propriétés des om- Coucluons : Tout ombiUç catoptrique d'un miroir de forme

quelconque, jouit des propriétés suivantes : i**. le plan normal

hihcs catoptriques.

qui contient Te grand axe de t indicatrice appartenante au iv. mémoire. point ombilical y passe par le foyer duquel émanent les rayons incidents ; %"". le rapport des deux rayons de cour^ bure du miroir , en ce point , est égal au quarré du cosinus de r angle d'incidénoe.

Avec le secours des diverses méthodes exposées dans le cours de ce Mémoire, on voit qull devient facile de réduire aux simples opérations griijpSiiques de la géamétcie descriptive, les questions les plus compliquées de la catoptrique. Cette marche a , de plus , l'avantage , de faire connaître plusieurs lois générales auxquelles sont soumis les faisceaux de rayons lumi^ neux , dans les phénomènes de la réflexion opérée par àes miroirs de forme quelconque»

IV*. MÉMOIBE.

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