DU QUATRIÈME MÉMOIRE

NOTE PREMIÈRE

Sur Vorihogonalité des intersections de surfaces dés^ehppables formées par des rayons incidents et par des rayons réfléchis , sur an miroir de forme quelconque.

Dais s cette note^ nous allons traduire en analyse la démonstration donnée dans notre Mémoire. Pour cela représentons par a , 6, c, les coordonnées rectangulaires de la surface du miroir, et par c=(f(a, b), Téquation de cette surface.

Une sphère ayant r pour rayon , et son centre ena^ b,c , ». pour équation

Équation dans laquelle n est une fonction quelconque de a et b.

Pour avoir l'équation de la surface enveloppe de l'espace parcouru par cette sphère , lorsque son centre passe successivement par les différents points du miroir , il faut d'abord supposer r et a, c , puis r et b , c seules variables , dans l'équation de la sphère. Il faut ensuite différencier par rapport à ces quantités , ce qui donne :

jr ^ b '^(Z^C) ^=z^r.^.

Ces équations sont, eux, jr, z, celles de deux plans perpendiculaires au plan tangent à la surface du miroir au point afb,e. La droite intersection de ces deux plans est donc, elle-même , per-

pendiculaire à ce plan tangent. Enfin, c'est sur cette droite que se ive. mémoibe. trouve le point x ^ y , z de l'enveloppe , qui correspond au point Uf bf c.

Pour opérer plus rapidement, soit, suivant les notations reçues ,

de de

Ta'^P' db^'—^'

dr dr

Si nous combinons, maintenant , les trois équations ,

{x — a ) -H p{z — c) ss-^r.m,

Cr — *)+?(«— =— r. n,

il nous sera facile d'en tire^ x^^ a, jr — b, z — c.

Pour cela substituons d'abord , dans la première équation , la valeur de a: — a et celle de^- — &, tirées des deux autres ; nous aurons

ou bien en développant , (z — cY (i -(-p*+ç*)+2r(z— c) {pm^qn)=^r^ (i — w^ -^vl" ).

Cette équation , résolue par rapport à ( z -— c) , donne

Et , en réduisant tous les termes au même dénominateur ,

^^ ^ /?m + y/i ±1 y/ ( I + p^ + y») ( I — m^ — /i') -^jpm^gnY

Soit , pour abréger , p/iî+ ç/i = A, (i H-/)* -fi^ ç») (i ^m^r- n'')+(pm'\'qny = B.

^ Alors] z-c=:-r. ^"^ ^^

a34 NOTES PRINCIPALES.

iv«. MÉMOIRE. Ce qui donne > au mvyen des équations prtfcëdeates ,

Puisque les valeurs de x — a , jr — b , z— c sont doubles , elles donnent I pour la surface enveloppe , deux points sur chaque sphère. Par conséquent, cette enveloppe doit avoir deux nappes bien distinctes.

Pour connaitré Ves rapports de ia position de ces nappes avec la surface du miroir, cherchons la distance des deux points x^ y^ z^ au plan tangent du miroir en a, h^c: plan dont l'équation ^ donnée par

de ^s^fkia -+- qdb , est

Cette équation , combinée avec ces deux-HÛ ,

X -*• a:i=;= rm — p ( Z — r ) , Y — ft = — rn^-q(Z — c), donnera

ou

Donc - -

ZJm 4'iig — r.A

D'oii