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Remarquons > maintoiant, que ces ^râleurs sent respectivement la demi-somme des doubles Taleurs A.eX'—a,jr-—bt z — c, trouvées pour les deux nappes de la surface enveloppe. Nous en conclurons

que les deux points de FenTeloppe , indiqua par ces doubles valeurs , iv*. mémoire. non-seulement sont ëquidistants du point a, b, Cj mais qu'ils çont ^ sur une perpendiculaire au plan tangent au miroir, et placés à la même distance de ce plan rl'un en avant , l'auti^e en arrière.

Il est évident » d'après cela , que les deux rayons de la sphère , menés du centre a, b, c aux doubles points x^jf, Zj font le même angle avec le plan tangent au miroir, et sont tous deux dans un plan normal à ce plan tangent.

C'est d'ailleurs ce qu'on peut vérifia y à posteriori , en calculant le cosinus de cet angle. En effet , ce cosinus est égal à

Par conséquent il est ^al à

\/[('»- .+j^f-Hgj '+(i»- ,^jf^^. y-^ .+p^Vg' ]^

c'est-ànlire , à

ou / (m» + w«)( I +p*+g* )'^(mp+nqY

Expression qui , simplifiée , donne enfin

/ m« + n^ -f ( my — np )»

Cette quantité présente deux valeurs. L'une appartient à l'angle formé par le rayon de la sphère mené du point a^ b, c au premier point X, jj z où cette sphère touche l'enveloppe. L'autre valeur appartient au second point où la même sphère touche cette enveloppe. Par conséquent les deux rayons menés de a, b, c, à ces deux points , font le même angle avec le plan tangent. Û' ailleurs ils sont tous deux dans un plan perpendiculaire au plan tangent , comme nous l'avons fait voir il n'y a qu'un moment. Donc un des deux rayons étant con-

236 NOTES PRINQPALES.

IV*. MK.MOIRE. sidéré comme incident^ Vautre sera le rajon réfléchi ^ au point a, b^ c,

par la surface du miroir.

Mais tous les rayons incidents sont normaux à Fenveloppe des sphères. Cette enveloppe a d'ailleurs la plus grande généralité possible, puisque nous avons supposé la fonction r =7r (a , 6), parfaitement arbitraire : enfin ^ les rayons réfléchis sont pareillement normaux à la seconde nappe de la même enveloppe.

Donc I en général ^ si un faisceau de rayons lumineux , normaux à une première surface quelconque , tombe sur un miroir déforme pareil' lement quelconque , ces rayons se réfléchiront de manière à former un nouveau faisceau qui , généralement , sera normal à la mente siarface que les rayons incidents.

Souvent , les doubles valeurs que nous avons trouvées pour les coordonnées de l'enveloppe des sphères , perdent leur forme radicale , parce que les quantités sous le signe sont des quarrés parfaits. Alors les deux nappes de la surface enveloppe lesquelles ont , respectivement , pour normales les rayons incidents et les rayons réfléchis , ces deux nappes , dis-je , appartiennent à deux surfaces essentiellement distinctes.

Pour offrir un exemple du cas général , nous pouvons supposer qu'un demi-ellipsoïde lumineux , éclaire pai' des rayons normaux à sa surface , un miroir placé dans le plan principal qui sert de base à ce demi-ellipsoïde. Alors, chaque rayon réfléchi doit être normal à l'autre moitié de l'ellipsoïde que l'on considère.

Poursuivons les recherches analytiques commencées dans cette note. Afin d'obtenir les équations relatives aux rayons mêmes, incidents et réfléchis , reprenons les équations

Si , dans ces équations ; nous faisons

ROUTES DE LÀ LUMIÈRE. aS?

F , et/ëtant des fonctions conTenables de a, 6 , c , nous aurons iy<. mémoire.

ar-T-a

Lorsque nous aurons déterminé F et /, leurs doubles valeurs donneront respectivement les directions des rayons incidents et des

rayons réfléchis.

Or , en combinant les trois équations que nous venons d'obtenir ,

avec les précédentes , nous avons

7r-HT7rrrT7r-rT,=-'»-F+/'=-'»t/[F'-f-/H-i]

Ces équations vont nous donner F et/ en PtHt m, n.

Pour cela divisons les deux équations , membre à membre , l'une par l'autre ; il Tiendra

F+p m y fnf+mq — np ^ nF + np'^mg 7+i""n "~ n ^'^"~ m '

donc

F+p= \/ [(hF + wp — w»?)*-f- w^P+m'].

/+ç= v/[(/ii/-f-m9— ii/i)*+/i»/'+fi»]

En rësolyant par rapport à F et à y^ ces deux équations du second degré, on obtient en p, q^ m, n,\a valeur des fonctions F et y. Cette valeur devient nécessairement explicite , dès que Ton connaît l'équation du miroir c= 9 (a, b) et l'équation r=ir (a, b) appartenante aux sphères qui coupent les rayons incidents.