ANALYTIQUE DES MATIERES
Considérations préliminaires sur les applications de la géométrie. Rapport fait à la première classe de F Institut de France , sur le Mémoire qui traite de la stabilité.
PREMIER MÉMOIRE
iNTRODUcnoif. page i I". MÉMOIRE.
Sur les applications de la théorie exposée dans les Développements de géométrie, p. i Première application. De l'équilibre et de la stabilité des corps qui flottent sur un fluide. p. 2
Cette question de méchanique est du nombre de celles qu'on peut ramener à la pure géométrie. p. a
Données ou principes méchaniques fournis par l'observation. p. 3
Première donnée, — De la pesanteur. — La constance de sa direction est d'un usage infini dans les applications de la géométrie aux arts. p. 3
De la projection horizontale , et des projections verticales. p. 4
Du sentiment de la verticale. p* 4
Réflexions sur le but spécial de nos applications , et sur l'objet des vérités préliminaires que nous allons exposer. p. 5 Propriétés des masses ou volumes réels des corps. p. 5 La pesanteur conduit à distinguer le volume réel des corps , de leur volume ap* parent. p. 5 Le rapport de ces deux volumes représente la densité des corps. p. 6 Rapports comparés des volumes apparents , quand le volume réel est constant ; et des volumes réels , quand le volume apparent est le même. Des pesanteurs spécifiques, p. 6 Propriétés des masses , ou volumes réels des corps. Seconde donnée. Équilibre du levier. p» 7 Deux points matériels réunis par une droite inflexible , et éCune longueur ini^arïable^ sont en équilibre autour d*un point fixe de cette droite , lorsque leurs distances à
3u8 TABLE ANALYTIQUE
I"*. MÉMOIRE. œ pûint m§^ m miâon imetméÊ kuF poidê ^ m^ C^gEa de cêâ dÊUX poidM ^ nr
le poini fixe i équivaut à celui d^un poids unique égal à leur somme. p. 7
Du centre de grantë de deux points matériels. p. 7
Da centra de gravité d*an système qaekoBfotf de points matërieb. p. 8
En ne oonsidérani que la seule Jbree de la pesanteur f tm peut toufours â upp os a ràinis dans mm sêut poids j au eenit^ de grmmié A ces poimm wmtéHeb , hspciii respectas decespoinU; et la Jbree unique produira le même ^fii que toutes bs forces disséminées. p. V
De la recherche da cenin de gravité. p. g
Propriétés géométriques des moments. p. 9
La somme des moments de deux masses , estimées par rapport à Faoca qui passe par le cemre €k gnofité de ces masses i est égale à Méro. p. 10
Cette même somme , estimée par rapport à un aux quelaonque , est égale au moment d^une massse unique placée à ce centre de gratuité : la masse unique ékmt la somme des deux masses pariieulières. p. le
La distance de Taxe des moments au centre de granité dtun systhnerqtœlcomquede masses^ est égale à la somme des moments de chaque masse , di»ieée par la êmfume des masses dleâ^mimes. p. 11
Td est le principe qo'on emploie , généralement , dans la détermination dn centre degrarité d*an système de ooips : son utilité dans les calculs du déplacements de la stabUité des vaisseaua. p. 11
De la pesanteur et de l'équilibre des fluides. p« 1 1
Ptanier principe de l'équilibre des fluides. p. 1 1
Véîai. d^ équilibre des fluides exige que leur surface libre soit parfaitement hori'zontale ou de niveau. p. 1 1
Le niveau des fluides offre à la géométrie des arts , la direction d'un plan invariable, p. 12 Second principe de Kéquilibre des fluides. En vertu de cet équilibre » leurs molécules également pressées en tout sens , éprouvent une pression proportionnelle à leur surface f et à la hauteur de la colonne d'eau qu'elles supportent. p. i3 De l'équilibre d'un solide plongé dans un fluide. p. 1 3 Première condition. p. i3 Deuxième condition. Elles sont renfermées dans le théorème suivant. p. i4 Pour qu'un solide plongé dans un fluide j soit en équilibre , nonrseulement il faut que le volume du fluide déplacé représente un poids égal au poids du corps ; mais le centre de gravité de ce volume et le centre de gravité du corps , donnent être placés sur la mime verticale. p* i4 Des pesanteurs comparées du corps flottant , et du fluide déplacé. p. 14 De l'immersion des solides dans les fluides incompressibles ou compressibles, p. 1 5 Équilibre des aérostats. p. |5
DES MATIÈRES. Sop
§ II. — DE LA STABW-ITÉ DES CORPS FLOTTAItTS , EN GÉmlRAL. j„ MÉMOIRE
Défi ai tiou» préliminaires. p* i6
Centre d'un corps flottant. p. i6
Plan de flotUison. P- i6
Carëna et centre de carène. P- '^
Des diverses positions cpi'un corps d'un poids donné pent prendre » en flottant sur un fluide , par un déplacement quelconque du centre de gravité de ce corps. p. 1 7 Premier cas y où le centre du flotteur se meut verticalement. p. 1 7
Alors rien n'est changé dans la position primitive d'équilibre. p. 18
Bédproquement : pour chaque plan de flottaison , d'une direction donnée par rapport h la figure du flotteur , il n'y a januis qu'uii^ position d'équilibre ; quel que soit le déplacement du flotteur. p- 18
Mais , en renversant e flotteur , on trouve une seconde position d'équilibre , pour laquelle le plan de flottaison est encore parallèle au même plan supposé fixe dans le flotteur. P- '9
Deuxième cas y oii le centre de gravité du flotteur ne reste plus sur la même verticale. Des deux surfaces que forment alors les plans de flottaison et les centres de carène.
P- '9 (r) I surfiu» lieu des centres de carène. p. 19
(4») surface enveloppe des flottaisons. p. 20
Leur figure et leur position ne dépendent que de la forme géométrique du corps
flottant. p. 20
Propriétés générales de la surface des centres de carène. p a i
Théorème. La surface (r) des centres de carène , comme celle (4») des flottaisons est
nécessairement d'une étendue finie y et fermée de toutes parts. p. 2a
Tbéoréme. La surface (T) des centres de carène , jouit de cette propriété constante s
Si y par un de ses points 7 , considéré comme centre dune carène individuelle y
on mène un plan parallèle au plan deflotiaison qui termine cette carène y ce sera
le plan tangent en y à la surface (F) des centres de carène. p. 22
Théorème. même surface jouit encore de cette autre propriété .* Elle a pour nor^
maies les droites menées par chaque centre y dont elle se compose , et par la
position G du centre de gravité du flotteur t ce dernier centre ^ dans la position
étéquilibre correspondrait au centre de carène y, p. 22
Des surfaces développables formées par les normales de la surface (r) des centres de
carène. p. aj
De ce qui se passe lorsqu'on dérange infiniment peu la position d'équilibre d'un corps
flottent. p, 23
Conditions générales de l'équilibre. p. 24
De l'équilibre steble : En considérant le centre de courbure de l'arc que parcourt
3io TABLE ANALYTIQUE.
I". MEMOIRE. '® centre de carène , pour la position de l'équilibre stable ^ ce centre de courbure
est au-dessus du centre de gravité du corps flottant. p. 24
De l'é(|uiHbre instable — Dans l'équilibre instable , ce centre est au^essous du centre de gravité du corps flottant. p. 24
De l'équilibre indifférent — Dans cet équilibre , les deux centres se confondent, p. 25 Propriété caractéristique de ces trois sortes d'équilibres. p. 26
Théorème. En comparant une position d^ équilibre étun corps flottant j avec les positions très^voisines qiion peut lui faire prendre , la distance de son centre de grax^ité au centre de sa carène , est un minimum ou un maximum , suivant que l'équilibre est stable ou non-stable : dans Féquilibre indifférent , cette distance est constante. p. 25
Thkoréme. Plus le centre de gravité du flotteur s^ élève , plus la stabilité diminue. Au contraire y plus s'élève le centre de courbure^ et plus s*accroit la stabilité de{T), p. 25
Des directions de plus grande et de moindre stabilité , pour une position d'équilibre donnée. p. 26
THÊoRkME. Si Von dérange infiniment peu le corps flottant^ de sa position d'équilibre^ en considérant Vaxe horizontal autour duquel ce dérangement s'effectue » cet axe est celui de la plus grande stabilité du flotteur ^ lorsqu'il est parallèle à la direction de la plus grande courbure; au contraire , il est celui de /a moindre stabilité, lorsqu'il est parallèle à la direction de la moindre courbure. p. 26
Théorème. Ces deux directions sont constamment à angle droit f quelle que soit la forme du corps flottante p. 26
Que les deux courbures de la surface des centres de carène , sont toujours dirigées dans le même sens. p. 26
De la stabilité absolue. p. 27
De la stabilité relative. p. 27
Limite des directions suivant lesquelles l'équilibre est stable ou noib-stable. p. 27 Elle est immédiatement donnée par l'indicatrice de la surface (T). p. 27
Les axes de l'indicatrice de (r) , sont les directions de plus grande et de moindre stabilité du flotteur. p. 28
Conditions de l'instabilité absolue. p. 28
De la symétrie des stabilités d'un corps flottant quelconque , k partir de sa position d'équilibre. p. 29
Théorèbie. Dans Féquilibre d'un corps flottant sur un fluide , et terminé par une surface quelconque ( régulière ou irrégulière) , la stabilité considérée dans les diverses directions suivant lesquelles cet équilibre peut être troublé ^ est toujours symétrique par rapport à deux plans verticaux , normaux entr^eux. p. 29
Direction des plans de sjrmétrisme. p. 29
Cas particulier oi] , dans sa position d'équilibre , le corps flottant est lui-même
DES RIATIÈRES. 3ii
symétrique par rapport à un plan vertical : telle est la forme des vaisseaux, p. 29 I«r. MÉMOiRE. Recherche générale des directions de plus grande et de moindre stabilité d'un corps flottant quelconque. P« 3o
§ III. — DES PLANS DE FLOTTAISON , ET DE LEUR SURFACE ENVELOPPE y OU DE LA
