L'INSTITUT DE FRANCE

M. Sanë J M. Poinsot et moi, avons ëtë chargés par la Classe de lui rendre compte d'un Mémoire sur la stabilité des corps flottants , qui fut présenté , le lo janvier dernier (i8i4) ? par M. Charles Dupin , capitaine en premier au corps du Génie maritime , et aux travaux duquel la Classe a déjà plusieurs fois applaudi. Ce Mémoire même a été composé par un jeune officier qui s'attendait , à chaque moment , à recevoir des ordres pour se tendre aux armées.

Le Mémoire de M. Dupin est la première application des méthodes exposées par le inéme auteur dans cinq autres Mémoires de géométrie y approuvés par la Classe , et publiés ensuite sous le litre de Développements de Géométrie , pour faire suite à la Géométrie descriptive et à la Géométrie analytique de M. Monge.

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En voyant ces premières recherches , notre illustre Lagrange , dont les suffrages peuvent être regardés comme les plus beaux titres d un jeune géomètre , a fait d'elles cet éloge , confirmé par le jugement de la Classe, w Uauteur a trouvé le » secret de dire des choses neuves et intéressantes , sur un » sujet que nous croyions épuisé. «

Le nouveau sujet que M. Dupin s'est proposé de traiter , dans le Mémoire dont nous avons à rendre compte , est plus difficile encore que celui des Mémoires précédents , et semblait pareillement épuisé. La théorie de l'équilibre 4^s corps flottants sur un fluide ^ a fait l'objet des recherches des plus grands géomètres. Archimède est le premier qui s'ei) <:oit occupé ; et le livre oii il traite cette matière , si ^u abo^ îable de son temps, est, avec raison, regardé comme un Uk.. écrits qui font le plus d'honneur à son génie. En n'employant que la méthode synthétique , Archimède recherche les conditions de l'équilibre des corps sphériques , cylindriques et paraboliques. n détermine dans quel cas l'équilibre doit êtr^ stable et dans quel cas il ne doit pas l'être. En admirant la^torce d'esprit qu'exigeaient ces premiers résultats d'une science alors dans l'enfance , on ne peut s'empêcher d'avouer qu'une méthode qui doit , à chaque corps nouveau dont on s'occupe , recourir à de nouveaux moyens de solution , ne soit d'une étude et d'une application extrêmement pénibles.

M. Dupin annonce que , dans un second Mémoire , il reprendra toutes les questions traitées par Archimède , pour les faire dériver, comme autant de corollaires, d'un seul et

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même principe : si cette partie est bien traitée ^ ce ne sera pas la moins intéressante de son travail.

Dix-neuf siècles se passèrent ayant qu'on revînt aux questions traitées par Archimède, pour reculer de ce côté les bornes de la science. Deux géomètres l'entreprirent , pour ainsi dire , en même temps.

Bouguer , dans le voyage oii il fut , avec La Gondamine , mesurer sous Féquateur un arc du méridien , employait ses loisirs à composer le Traité du navire; tandis qu Euler , à Pétersbourg, écrivait soniivre intitulé : Scientia Nai^alis. Dans ces deux ouvrages , on voit la question de l'équilibre des corps flottants^tPaitée sous un point de vue beaucoup plus général que ne Fkvait fait Archimède. La seule restriction qu'on s'y permette encore , est de regarder les corps comme symétriques par rapport à un plan. Telle est , en effet , la forme de nos vaisseaux de guerre ou de commerce : ces grands corps flottants dont l'équilibre et la stabilité sont d'une considération si importante. ^

Bouguer - "^ rapprocha de la méthode des anciens; il présenta ses idées sous une forme géométrique ; il les rendit par-là plus sensibles; et les ingénieurs maritimes de toutes les nations adoptèrent sa manière de déterminer la stabilité des corps flottants. Euler n'abandonna pas sa méthode accoutumée j et parvint au même but par une analyse simple y élégante et facile.

M. Dupin suit une marche différente de celle qu'avaient adoptée ces denx illustres géomètres ; il emploie une géométrie

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qui n était pascoanue de leur temps , et ce nouvel instrument

le conduit à de nouveaux résultats.

Au lieu de se tenir toujours infiniment près d? chaque po« sition d'équilibre , pour voir ainsi ce qui se passe autour d elle , il considère à la fois toutes les positions qu^un corps peut prendre , en flottant sur un même fluide , lorsque ce corps est d*un poids constant et d'une forme extérieure invariable.

Pour que k corps flottant soit en équilibre , il faut , comme on sait , que sop centre de gravité soit sur la niéme verticale que le centre de volume de sa carène; cette carène étant ternoûnée au ttiveau du fluide par un plan horizontal qu'on appeUe le plan de ftotiaison.

Mak , le poids du corps étant supposé constant , le volume de la carène Test aussi. Si donc, par des transpositions dans riotérieor , on fait pvenidre au centre de gravité du corps fliOtrtant toutes les positions posâtes ^ sans que la figure extérieure de ce corps change, oa va trouver y pour ces différents états d un même corps, une infinité de plans de flottaison diflereuts et une infinité de carènes diûer^tes. Chacune de ces carèues a son centre de volume en uu point particulier. Voilà, pw cuuséqueut ^ une infinité de centres de carène. Us forment une suf - &oe : c est la surface des centres de carène. Tous les plans de IkMtaison sont tangents a une autre sur^Kre qui, par cappoit à ces plans, est du genre de celles que M. Monge a nonmiées em'rioppes : c est la swface em^eloppe des JloUaisons.

Oit n avait pas encore eu 1 idée d envisager ces deux surfaces, et c est leur cousidération qui conduit M. Dupin , d abord à

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des théorèmes qui renferment tous ceux que Fou connaît déjà

sur la stabilité des corps flottants , ensuite à beaucoup d autres

thëorèmes nouveaux.

L'auteur observe premièrement , qtie la dëfinition dfe la surface des centres de carène et celle de Tenvelôppe des flottaisotis, ëMpt puremement géométriques , la recherche des propriétés gerorales de ces surfaces doit appartenir uniquement à la science de Fétendue, Il s'occupe d^abord des propriétés de la première de ces surfaces, et la traite d après les principes qu'il a exposés dans ses Déi^eloppements de Géométrie. Voici les résultats auxquels il parvient.

La surface des centres de carène est nécessairement d'une étendue finie \ elle est fermée de toutes parts. Quelle que soit la forme irrégulière du corps flottant j la surface des centres de carène est toujours continue (en ce sens que ses plans tangents se succèdent constamment , par une dégradation insensible dans leurs directions 5 de ma&ière à ne former ni angles , ni arêtes sur ksuriace).

Si Ton place le corps flottant dans une position d'équilibre , le centre de sa carène sera en un certain point de la surface lieu des ceûtresde cai^ne;,et le -plan tangent à la surface^ en ce point 9 sera nécessaiiremwt paraUèsLe: au plan de flottaison y c'est-à^ire 5 horizontale

De là réduite immédiateoftent cette jaotre propriété générale. « Dans une poskion d'é(|uiUbr6 quelçonqjae^ la droite menée » pai^vW ceaUede gr)avM^-4u; corpS; flottant et par le centre

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» de carène , est normale , en ce dernier point , à la surface » des centres de carène. »

Ainsi , dès le principe , Fauteur ramène la recherche des positions d'ëquilibre d'un corps flottant y à la détermination des droites normales à la surface des centres de carène : en ne prenant, parmi ces normales que celles qui passent pai^e centre de gravité du corps.

Il ne suffît pas de déterminer une position d'équilibre ; il faut s'assurer , de plus , que cette position est stable.

On voit des corps flottants que Ton cherche vainement à déranger de leur position primitive. De quelque côté qu'on les incline , ils tendent toujours à se redresser. On en voit , au contraire qui , dès qu'on les dérange un peu de leur première position , de quelque côté qu'on les incline, s'inclinent encore davantage , et ne reviennent plus à leur première assiette. Enfin on en voit d'autres qui, penchés d'un certain côté, tendent à se redresser , tandis qu'en les penchant dans une autre direction ^ ils s écartent de plus en plus de la position primitive. Dans le premier cas, on dit que l'équilibre est stable; dans le second y qu'il est absolument instable / et , dans le troisième , que cet équilibre est mixte.

Or , rien n'est plus facile que d'assigner tes caractères de ces différents genres d'équilibre, en considérant là surface des centres de carène. Lorsqu'on incline très-peu le corps flottant , on peut concevoir qu'il tourne autour d'un axe horizontal. Maintenant , par le centre de la carène qui correspond à la position d'équilibre , concevons un plan perpendiculaire à cet

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axe, ce plan sera vertical et coupera normalement , en ce point, la surface des centres de carène. Déterminons pour le même point y le centre de courbure de cette section ; il sera sur la même verticale que le centre de gravité du corps flottant* Gela posé, i"". s'il est au-dessus, Téquilibre est absolument stable ; 2"". s'il est au-dessous , l'équilibre est absolument in^ stable ; 3°, s'ils se confondent, l'équilibre est mixte. Ainsi, ce centre de courbure joue, dans la théorie de M. Dupin^ le même rôle que le métacentre dans la théorie de Bouguer.

De ces principes résulte ce théorème nouveau et remarquable : suwant que la position d'un corps flottant est stable ou non-stable, la distance du centre de graçité de ce corps au centre de sa carène est un minimum ou un maximum par rapport à toutes les positions sfoisines que peut prendre le corps flottant.

En appliquant à la stabilité les propriétés de la courbure des surfaces , l'auteur conclut d'abord que , si l'on incline successivement autour de tous les axes possibles , un corps en équilibre sur un fluide, i^ la direction delà plus grande stabilité est celle où l'axe est parallèle à la direction de la plus grande cour-* bure de la surface des centres de carène j ^. la direction de la moindre stabilité est celle ou l'axe est parallèle à la direction de la moindre courbure de la même surface.

De là il suit immédiatement que les directions de plus grande et de moindre stabilité d'un corps flottant quelconque, se croisent toujours à angle droite

Pour examiner les stabilités comprises entre ces deux e&-