XXX RAPPORT

trémes, M. Dapin se sert encore de la surface des centres de carène ^ il a recours à la courbe indicatrice et aux tangentes conjuguées de cette surface. On peut voir , dans le rapport de M. Poisson (^)^ sur les trois premiers Mémoires de M. Dupin , la définition de cette courbe et de ces tangentes j ainsi que l'exposition de leurs principales propriétés ^ faites avec autant de clarté que de précision.

il nous suffit de dire que ^ si Ton coupe une surface par un plan infiniment voisin de son plan tangent et parallèle à ce plan y la section est une courbe du second degré, que M. Dupin appelle indicatrice , parce qu'elle indique en effet la forme de la surface , à partir du point où elle est touchée par le plan tangent que l'on considère. Les diamètres conjugués de cette indicatrice représentent autant de systèmes de tangentes conjuguées de cette surface.

Revenons à la surface des centres de carène. ËUe a partout ses deux courbures dirigées dans le même sens : son indica* trice est donc constamment une ellipse. Les axes de cette ellipse sont parallèles aux directions de plus grande et de moindre stabilité du corps flottant.

Les degrés de stabilité du corps flottant , sont proportionnels aux quarrés des diamètres de l'indicatrice , ces diamètres étant dirigés dans le sens de l'inclinaison du corps flattant.

Or, les diamètres d'une ellipse sont disposés symétrique-

(*) Ce Rapport précède les Mémoires dont se composent les Dévtloppemenis de géométrie. Nous venons d*en citer les conclusions dans une note de nos considérations préliminaires , p. xvij.

DE L'INSTITUT. xx^

ment de coté et d'autre des deux axes ; donc les stabilités intermédiaires sont aussi disposées symétriquement de côté et d'autre des deux directions de plus graade et de moindi*e stabilité.

Si Ion appelle ^ avec M. Dupin y stabilités conjuguées ^ celles qui appartiennent à des inclinaisons correspondant à deux diamètres conjugués de l'indicatrice , on verra qu elles jouissent de cette propriété générale : pour une inême position d'équilibre 9 la somme de deux stabilités conjuguées est néceS" sairement constante et égale à la somme de la plus grande et de la moindre stabilité du corps flottant*

Enfin M. Dupin ^ par le secours de la courbe indicatrice , détermine^ dans les cas d'équilibre mixte, les limites qui séparent les directions ou l'équilibre eat stable , d'avec celles oii il ne l'est pas.

Jusqu'ici, l'auteur supposait que la forme extérieure du corps flottant dût rester constamment la niéme \ il suppose ensuite que cette fprme varie d'une manière très-générale ; il s'assujettit seulement à laisser constantes les hauteurs des centres de gravité du corps et de sa carène , ainsi que la £igur.e de la flottaison. Alors il examine les transformations infinies que peut éprouver la surface des centres de carène j il ramène ces transformations à celles dont il a fait l'examen dans ses Déi^^ loppements de géométrie. Il en conclut que les nouvelks^ surfaces des centres de carène auremt toutes un Qontajct.,auB2oiiD6 de second ordre , avec la surface primitive j et par conséquent, que tous les nouveaux corps flottants auxquels ces nouvelles

Mîîj RAPPORT

sorfaces appartiennent ^ ont la même stabilité que le premier corps flottant. C'est ainsi que M. Dnpin cherche à uUliser les principes qu'U a présentes dans ses premiers mémoires.

Telles sont les principales propriétés de la surface des centres de caréné. Après les avoir développées , Fauteur considère spécialement la surface enveloppe des flottaisons et Taire de chaque flottaison.

Cette seconde surface est y comme la première j fermée de «^. toutes parts ; elle présente aussi partout ses deux courbures di-

rigées dans le même sens. Elles ont ensemble cette corrélation singulière , qu elles ne peuvent jamais se couper ; tantôt la première embrasse complètement la seconde ^ tantôt la seconde embrasse complètement la première.

D'après sa définition , Fenveloppe des flottaisons a pour plans tangents tous les plans de flottaison. Or j le point de contact de Fenveloppe et de ces plans , est le centre de gravité de Faire de chaque flottaison (cette aire étant déterminée par le périmètre du corps flottant). Ce théorème revient , quant au fond ^ à celui qu'on doit à de Lacroix , membre de Fancienne Académie des sciences ; Ëuler en parle dans la préface de son traité^ Scientia naçalis.

M. Dupin fait voir généralement que le plus grand et le plus petit rayon de courbure de la surface des centres , sont respectivement égaux aux plus grands et aux plus petits moments d'inertie de Faire de la flottaison , divisés par le volume de la carène.

De là y il conclut immédiatement que la direction de la plus

DE L'INSTITUT. xxxiîj

grande ou de la moindre stabilité du corps flottant est parallèle à Taxe du plus grand ou du plus petit moment d'inertie de Faire de la flottaison : théorème connu.

Par une correspondance bien singulière , la courbure de la surface des centres de carène dépend donc spécialement de la figure de la flottaison ; mais la courbure de la surface enveloppe des flottaisons dépend de quantités plus compliquées. Cependant ^ il est intéressant de connaître les éléments de cette courbure ^ ils indiquent dans quelles directions les stabilités primitives croissent ou décroissent par les degrés les plus lents ou les plus rapides , et peuvent montrer les états prochains de stabilité d'un corps flottant dérangé de sa position d'équi* libre. Cette recherche ne peut être que d'un grand intérêt pour la théorie de la construction des vaisseaux.

Voici , à ce sujet , les résultats auxquels Fauteur parvient ; ils s'offrent sous une forme singulière.

Si ton charge le contour de la flottaison par des poids proportionnels à la tangente de T angle formé par la {verticale et la paroi du corps flottant , les axes principaux du plus grand et du plus petit moment d inertie de cette ligne pesante ^ seront respectivement parallèles aux directions déplus grande et de moindre courbure deS em^eloppe des flottaisons.

Et si Von dii^ise par la superficie de la flottaison , deux fois ce plus grand ou ce plus petit moment d inertie , le quotient sera le rayon de moindre ou de plus grande courbure de la surface des flottaisons .

Après s'être occupé de tout ce qui peut caractériser une

xxxiv RAPPORT

positioD d'ëquilibre, considérée isolément, M. Dupin considère à la fois toutes les positions d'équilibre que peut prendre un corps flottant dont la forme est invariable , ainsi que saa poids et la position de son centre de grarité.

Cette partie de son travail , quoiqu'elle ne parais» pas devoir être aussi féconde que la première en conséquences vtalses ^ semble peut-^tre plus originale , et par la géii»éi^té des résultats , et par la simplicité des moyens de solution.

D'après la théorie précédemment exposée ^ la redisrche de toutes les positions d'équilibre du corps flottant ^ est ramenée à celle de toutes les droites que l'on peut , du o^itre de gravité de ce corps , mener normalement à la surface des centres de carène.

L'auteur prouve d'abord que tout corps solide, flottant sur un fluide, présente au moins deux positions d'équilibre, l'une dont la stabilité est absolue , l'autre dont l'instabilité est pareillement absolue : principe qui n'avait pas encore été démontré directement.

Ensuite ce géomètre fait voir que le nombre des positions d'équilibre d'un corps flottant est généralement pair; et il prouve qu^ le nombre des positions d'équilibre du [M'emier genre , est toujours égal au nombre des positions du second genre.

Et si l'on fait tourner la surface des centres de car^ie autour d'un axe quelconque mené par le centre de gravité du corps flottant ; puis , qu'on détermine la surface de révolution enveloppe de l'espace parcouru par cette surface^ en se dirigeant

DE LINSTITUÏ. xxxv

ensuite sur la courbe de contact de l'enveloppe et de lenveloppée , on rencontrera successivement tous les centres de carène qui appartiennent aux positions d équilibre. Or ces centres appartiendront alternativement à une position stable , instable; stable , instable y etc.

S'il y a des positions d équilibre mixtes , il faudra regarder chacune d'elles comme la réunion de deux positions d'équilibre y Tune stable et l'autre instable ; et l'on trouvera toujours , en marchant sur la courbe de contact dont nous venons de parler, que les centres de carène qui correspondent à des positions d'équilibre 9 appartiennent alternativement à des positions d'équilibre stable et instable.

Ce nouvel ouvrage de M. Dupin confirme les espérances que ce jeune savant a données par ses premiers travaux , et l'on ne peut qu applaudir à ses efforts constants pour en diriger les résultats vers la pratique du grand art auquel il s'est voué. Nous pensons que le Mémoire de M. Dupin mérite l'ap- ' probation de la Classe y et nous lui proposons de le faire comprendre dans la collection des savants étrangers.

Signé Sané , PoiNSOT , et Carnot , rapporteur.

Le secrétaire perpétuel pour les Sciences mathématiques certifie que ce rapport est extrait du procès verbal de la séance du 3o août i8i4«

Signé Delahbre ,

Chevalier de la Légion^* Honneur.

DE GÉOMÉTRIE, ETc

PREMIER MÉMOIRE

ii.%i ia < a%v»»yw» * t iiiw » iwi t i wr>-if>'n'i'inni r>>'>irriiri i' i 'itif> — T'-n^ "•"•""*" m •""*"V"~'"*"*""*''*^n"nTT'iTTniT i n'>in"*"

SI- INTRODUCTION

iliN exposant la première partie de nos recherches mathéma^ Des appHcaUons de tiques 9 dans Fouvrage intitule Développements de géométrie^ dan«ic8 Déueiopnous nous sommes occupés spécialement de la théorie que nous '^f^^voulions faire connaître. Les applications que , par fois , nous avons présentées étaient de simples aperçus^ jetés en avant, soit pour répandre plus de jour sur des vérités abstraites , soit pour rendre moins aride l'exposition de ces mêmes vérités, en ofTrant d'espace en espace des exemples faits pour parler à l'imagination. Sans négliger les résultats particuliers qui pouvaient être de quelque utilité , nous avons cherché surtout à poser des principes qui , simples et généraux, pussent à la fois être faciles

a APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQTIE.

I''. MÉMOIRE, dans leur exposition , et féconds dans leurs conséquences* Es-

' sayons, maintenant, d'appliquer ces principes à des questions d'un très-fréquent usage. Par-là , nous rendrons de plus en plus sensihle Tesprît de notre théorie; si jamais elle peut être de quelque intérêt, ce sera surtout lorsqu'on la verra s'étendre à des sujets dont on a, depuis long-temps , apprécié l'importance*

''tiOT^'dc ffsuib^ Parmi les questions résolues d'après les principes de la méu!^u^rwiM^. chanique, l'une des plus intéressantes est , sans contredit , celle

dont l'objet est de déterminer les conditions de l'équilibre et de la stabilité des corps solides qui flottent sur un fluide. De sa solution dépend d'abord la sûreté ; puis , à beaucoup d'égards , le perfectionnement de la navigation. D'ailleurs une foule de recherches physiques , et les travaux des arts , dans mille circonstances , réclament la solution de ce problème remarquable.

Celte question de me- H est facilc de voir Quc la question dont nous parlons peut

chanique est du ^ • i r • i i r • • r^

nombre de celles être ramenée aux considérations de la pure géométrie. Comme

qtt on peut rame- * '-'

^*jj^> p«rc gco- ces considérations peuvent elles-mêmes être fournies par la

théorie de la courbure des surfaces , nous allons nous en occuper; pour offrir ainsi la première application étendue de cette même théorie.

En traitant un sujet illustré déjà par les travaux des savants les plus habiles , si tout n'est pas épuisé , si nous sommes assez heureux pour parvenir à quelque vérité nouvelle y nous en attribuerons la découverte à la marche que nous avons suivie. Moins nous aurons eu de mérite à nous laisser conduire on notr^ méthode nous appelait^ plus l'utilité de cette méthode sera prouvée par cela même , aux yeux des vrais géomètres.

Ce que nous venons d'avancer au sujet de la solution , par la géométrie , des problèmes relatifs à la stabilité des corps flottants , n'est point particulier à ce genre de recherches. Toutes les questions sur l'équilibre ou sur le mouvement des parties

figurées de l'espace , considérées comme des corps, se rédui- w. mémoibe. sent en dernière analyse, à des relations entre la forme et la position de ces mêmes parties. La nature de ces relations une fois définie, le complément de toutes les solutions rentre dans le ressort de la simple géométrie. C'est ce qu'ont parfaitement observé plusieurs mathématiciens, et surtout M. Garnot, dans Touvrage original qui porte pour titre, Essai sur les ma* chines en général. . ,. \

Cherchons donc, avant tout, ces relations ou il faut obtenir Donnée» ou pnncipar des considérations tirées de la méchaniqne. Nous entrerons fournis par l'ob-

* ^ ^ serratioa*

naturellement, ensuite, dans nos applications à la théorie de la courbure des surfaces.

Nous voyons tous les corps , lorsqu'aucun obstacle ne les Première donnée :

f • . 111. 1 ^* ^* petanUiir.

arrête, se précipiter vers le centre de la terre, et nous appelons pesanteur la force qui leur fait prendre ce mouvement. Lorsque les corps sont contraints au repos, cette force ne cesse pas pour cela d^animer chacune de leurs parties. L'action qu'alors elle exerce sur eux , et qui les sollicite à descendre suivant la verticale , est précisément ce que nous appelons le poids des corps.

Les effets de la pesanteur , considérée comme dirigée coq- La constance de ta

- , - \y \ 1 direction est d*un

stamnient vers le centre de la terre , sont d un très^grand se- ««âge infini dam

, ^ les applications de

cours à la géométrie , dans ses applications aux arts. u géométrie aux

Pour définir la forme des corps et leurs mouvements, il faut

rapporter la position de ces corps à des parties de Fespace ,

sinon absolument fixes , du moins immuables par rapport au

système matériel dont nous faisons partie*

Placés sur la surface de la terre , le premier point auquel

BOUS rapporterons tous les autres , sera le centre même du globe,

c'est-à-dire le point d'où nous concevons que partent les forces

dues à la pesanteur.

•Nous sommes^ éloignés de ce centre, d'une distance extré-

arts.

I". MÉMOIRE, raement considérable; soit par rapport à la grandeur des ëdîli-

ces, ainsi qu a 1 étendue des travaux que nous pouvons exécuter dans un endroit donné; soit par rapport aux espaces que nos machines et nos instruments y occupent , ainsi qu'aux profondeurs, aux élévations où nous pouvons parvenir, en quittant le sol que nous habitons. C'est pourquoi nous regardons le rayon de la terre comme ayant une longueur hors de toute comparaison avec ces petites distances. Une telle hypothèse apporte , dans les opérations géométriques , la simplicité la plus heureuse.

Jusqu'à présent, nous n'avions de fixe qu'un point, c'était le centre de la terre. Nous connaissons maintenant un axe fixe; c'est la verticale. Nous connaissons aussi, par conséquent , la position d'un plan invariable dans sa direction ; c'est le plan horizontal , en chaque lieu , perpendiculaire à la verticale. ^Hzonufie^tdcrjj^ L'usagc de ces données est infini. Le géomètre , l'ingénieur, jcctions verticales, j'artiste , pour fixcr Icurs idécs , rapportent ordinairement les

objets à deux plans de projection, dont le premier est vertical, et le second horizontal. La direction du plan vertical est seule arbitraire dans un lieu déterminé. C'est à la choisir de la ma«> nière la plus avantageuse, que consiste , dans chaque cas, l'art de celui qui connaît bien les ressources et l'esprit de la géométrie descriptive.

Par l'effet de l'habitude, notre intelligence opérant pour ainsi dire à notre insçu , nous rapportons à la direction de la verticale , sans avoir besoin de réfléchir et presque sans y faire attention , la position des corps qui s'offrent à nos regards , et la trace de leurs mouvemens , si ces corps se déplacent.^ ^ " ' verSïïc. ^^ ^'^ ^ ^^' ^^^ hommes qui , par des travaux con tinuels ou des observations assidues , sont forcés à faire ce rapprochement d'une manière plus fréquente et plus rigoureuse. Us apprennent à connaître cette direction , par le simple usage de leur sens, avec

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS, nue précision surprenante : ils acquièrent ce qa on appelle le i». uehoire. seîUiment de la verticale. C'est ainsi que nos sens bien exerces , c'est-à-ilire accoutumés à rapprocher , à comparer géome- fi triquement leurs perceptions , deviennent des instruments accomplis, dont la nature avait Iburnl lebauche.

Poursuivons lonumération des éléments qui nous sont ne- Rine»ioQ»j„ii^bui

spécial lie cm ap-

cessaires , et rappelons-nous toujours quel est le but que nous piicaiiotn , ci sur voulons atleindro. jVous avons à montrer comment il faut ap- pr'^H'ninai'^s 'i^e

r nous ailoiii ei].o-

pliquer la géométrie aux arts : il faut donc que nos considéra- '" tions deviennent de moins en moins al)straites, et descendent entln jusqu'aux objets^ de nos travaux. Nous avons cru nécessaire de rappeler encore cette idée , que nous avons déjà présentée plusieurs fois^alin qu'on ne nous reprochât pas, comme des digressions et des longueurs, ce que nous regardons au contraire comme ie principe de nos développemeuls ultérieurs.

En réduisant divers corps au même volume , on a remar- l'.upri.^iM jes

, ... . , . , ^■rr■ i- ■ **' "" *"'

que quils avaient des poids uillerents; taudis que certains corps , inégaux en volume , avaient néanmoins le même poids. On a TU d'ailleurs que le même corps pouvait augmenter de volume, ou bien occuper un moindre espace, sans que pour cela sou poids fût changé. Ces rapprochements ont fait admettre aux physiciens la propriété des corps qu'ils nomment porosité : elle est démontrée à leurs yeux par une inlinité d'expériences.

Dans chaque corps, ont-ils dit, le nombre des éléments matériels ne remplit qu'une partie de l'espace qu'ils paraissent occuper : les intervalles souvent invisibles qui séparent ces éléments , sont ce qu'on appelle des pores.

En conséquence , on regarde toutes les molécules de la matière

comme étant attirées avec une même force vers le centre de la

' terre- Dès lors la quantité de matière, la masse d'un corps,

réels des corpt.

duit n diitiaeiifr le lolumercerdcs i:orps , àe leur TOlumi; apparent.

U ripport àe t dciu Tiliimei I tirr'iru-iilulji douai

APPLICATIONS DE GÉOîMÉTRIE ET DE MÉCHA:

devient proportionnelle au poids même tlu corps , et ce poi eu est la mesure.

Pour suivre le physicien dans ces nouvelles considérations, « il faut (jue le geornèlre étende aussi la sphère de ses idées. 11 ne lui sutïit plus de regarder les corps coiiiaie représenlés et déliriis par la portion apparente de l'espace qu'ils occu[M;nt. Il faut, si ju puis parler ainsi, qu'il ajoute à l'étendue occupée par la matière , une ciuatrième dimension : la densité. Celle dimension représentera le rapport do la portion de l'espace occupée réellement par les dernières molécules d'un corps avec le volume apparent, en partie vide , en partie rempli lu masse de ce corps.

lin prenant pour unité l'un quelconque de ces rapports» autres rapports du même genre seront pareillement numériques; les nombres qui les exprimeront seront tels que, multipliés par le volume apjiarent du corps auquel chaque rapport appartient, ils donneront lo volume réel de la matière de ce corps : volui proportionnel à la masse.

On a choisi pour ternie de comparaison, leaa liquide, rétluil au dernier degré de condensation. Si donc on prend une quantité d'eau égale en poids au poids d'un corps quelconque, le rapport des volumes apparents de ces deui masses , sera la pesanteur spt'ci/ù/ue du corps, rapportée à celle de l'eau : c'est aussi ce qu'on pourrait appeler la masse ou le volume spécifique du même corps.

Il nous semble que ces idées n'ont rien qui n'appartimine à la géoméirie ; elles en étendent le domaine, eu ajoutant à laconsidérnlion des masses, la considéi'atiou des volumes appareol Il ne nous serait [Nut dillicilo de faîro voir que la géométrie d< criptive peut s'élever a la solution des questions crompliqui |>»r co nouvel élément , sans pour œU changar sa mafche ,

tes; par nt,

sans recourir à de nouveaux principes. {Voyez la note première \». mémoire. il lajin du mémoire. )

Conlenlons-nous 5 clans cet instant, d'exposer diverses pro-^ priétës géométriques des masses ou volumes rëels des corps : toutes ces propriétés appartiennent également aux volumes apparents. Car ces derniers seraient les volumes réels de corps absolument pleins ou sans pores ; or la théorie, peut toujours en admettre de tels , quoique la nature ne nous en oflfre pas d'exemple.

Lorsque deux tuasses pesantes ou deux poids (*) m', to" sont Propridtes à^^s ma».

. «v • -%» i. • • ***' ®" volume»

suspendus respectivement à chaque extrémité d un. levier recti- rëeis He» corp».

^ , , Seconde donnée •

ligne inflexible A B C^ et supposés en équilibre autour du point Écïuiiibrc du leiixe B, on démontre^ dans la statique, le théorétne suivant, que nous établissons ici comme un simple fait d'expérience ,

i"*. Feffet des deux poids w', wb sur le point fixe B , équivaut à celui d'un poids unique w''", égal à leur somme;' 2®. les distances Bx4 et BG sont réciproquement proportionnelles à ces poids.

Puisque l'inclinaison de la droite ABC n'entre pas dans les conditions d'équilibre , on voit d'abord que les deux corps m', w", liés par la verge inflexible ABC , resteront en équilibre autour du même point B, et qu'elles produiront toujours l'eflet du poids unique m''" = nii + w", quelle que soit Tidclinaisou de la droite ABC.

Le point B est ce qu'on appelle* le centre de gravité des ua centre de graYire

^'^^€%t>^^ •*.' ^«. •^w de deux points ma-

massesrTn et m. toricis.

Donc, premièrement, quatid deux points matériels sont liés entr'eux d'une manière invariable^ si Ton veut représenter

\*) Afin de ne pas faire de pétition de principe, nous supposons les poids infiniment petits ; alors on peut les concevoir comme agissant en nn seul point.

8 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. I". MÉMOIRE, l'efîet de leur pesanteur , on peut leur 8uhstituer un poids

unique ëgal à la somme de leurs poids respectifs ^ et placé à leur centre de gravité.

Du centre de gravite Gopsidérous actuellement un nombre quelconque de points

d*UD système quel- » • i / « «/ r ^ i ^ • i> •

conque de points matencls /T» « /i» « w ... w% doucs respectiveojent a un certain

Biatdriels. ^ ht

poids. Je substitue aux deux poids m^^ m , le poids ni'*^=m-\^ rn qui leur fait équilibre. Sa position devra rester la même, quelle que soit Tinclinaison de la droite qui joiqt les points ou sont placés m et m". Par conséquent , quelle que soit la position da systèmp.priiiaitif m'^ w^^ m^\ni'\ etc. , la force avec laquelle il ser^iit en équilibre , serait pareillement ^^ équilibre avec le système m''",./»"', m^'^eX.ç, ....

Remplaçons , dans ce système , /»'•' et. /i/' par w'"'" ?== m''' -h pi^' 5= ni 4t /w''Hh w% €t placée au centre des masses m" et inT, Alors m' "y m"' et ni""' conservercint leur situation respective , quelle que soit l'incliDaisou de Ijsi droite menée par ni*'' et mT. Par conséquent 9 pour toute position des deut premiers systè» mes, la force qui leur fait respectivement équilibre, fait équi^» libre pareillement au, système w'""', TO'^.,MW^"^

£)n suivant cette piarche , nous parviendrons à n avoir plus

qu'un poids w'»"'" ^"^, égal à la sompie de tpus les poids ni\

ni',,ni'!'ié,f* m^\ Le point d'application de ce poids unique ne dépendra quia de la po3itipri respective dips points matériels du système. Enfin , ce poids sera en équilibre avec 1^ force qui faisait équilibre .au sy:stàme primitif ni', ni"^ nf.^. nî^p

Ce point infiniment remarquable , et dont la considération est d'ui^L usage si étendu, dans lajméchanique , est ce qu on ap-* pelle le centre de gravité du sys^te/iie rrtly ni\ m"'... ni^^K

Remarquons bien que ce centre est rigoureusement défini par des éléments géométriques, tout-à-fait étrangers aux forces de la matière ^ puisqu'il est déterminé par la seule connaissance

du volume réel des corps, et de leur distance à des plans donnés. !•'. mémoire. CV'St pour cela que M, Carnot a désigné ce point remarquable par le nom très-expressif de centre des moyennes distances.

D> 1 1 1 1 • •. De la recherche du

après la marche que nous venons de suivre, on pourrait , centre de gravité.

comme on voit , par des opérations successives , déterminer

le centre de gravité d'un système quelconque de particules

matérielles. Si chacune d elles formait un corps , on réduiraft

cette recherche à celle du centre unique d'autant de points

matériels ayant, respectivement , le poids de ces corps. Mais ,

malgré cette simplification, l'opération pourrait encore être

d'une longueur effrayante. Heureusement , la géométrie nous

offre des moyens , à la fois plus faciles et plus rapides , pour

parvenir au même but (*).

Reprenons encore le cas très-simple de deux masses en équi- Propriétés géometri-

, c(ue8 des moments.

libre, autour de leur centre de gravité g. Nous avons vu Rg a.

que ces masses , rn' et m", sont réciproquement comme leurs distances ga\ ga"^ au centre g. Menons , par ce centre , Taxe quelconque gx. Les perpendiculaires a' h\ d V seront proportionnelles aux distances gal^ gct. Elles seront donc pareillement en raison inverse des masses ni et jïjl : c'est-à-dire , qu'on aura nt X dV = ni x a'' b\

Si , à la masse /n", j'en substituais une autre M" plus éloignée , il faudrait d abord que celle-ci fût plus petite, pour que l'équilibre ne fût pas troublé. Ensuite, si je menais la droite A'^B" perpendiculaire à g^x , je de^is avoir encore m' x a' *' = M" x A" B*. Donc l'effet réel de la masse, m" ou M", qui doit rester en équilibre avec le même corps m\ a pour mesure le produit de td ou de M*^ par sa distance à l'axe gx sur lequel se trouve le

(*) Ces moyens sont doonés dans tous les traités étémenlaires de méehanf^e.

lo APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

i^. BiÉMOiRE. centre g des deux corps en équilibre , m' et m", ou m' et M". Ces

produits sont ce qu on est convenu d'appeler les moments des masses.

Regardons comme positifs les moments des masses qui y supposées pesantes , feraient tourner de droite à gauche la partie gb" de Taxe ^ regardons comme négatifs les moments des masses qui , d'après la même hypothèse y feraient tourner l'axe en sçns contraire. Il est évident qu'alors m^xa" ^"deviendra négatif ^ et qu'au lieu de m' x à U =2m^ x a" A", on aura simplement

m' X dll '\-nJLX a"^"=o. D'oii résulte ce théorème: Premier ihëorcme. La somnie des moments de deux masses , estimés par rap^

port à Vaxe qui passe par le centre de gravité de ces masses > est égale à zéro.

Maintenant , transportons l'axe gx parallèlement à sa direction primitive , jusqu'à la distance quelconque dtzDy du centre g; par-là nous augmenterons à la fois de =i= D , les deux parties ~ a'b'y et 4^ a" A". Donc la somme des produits de m' et de nC par leur distance à l'axe , sera augmentée de =t: D {m' + m") » Mais cette somme était nulle ayant une telle augmentation. Donc le nouveau total des produits , c'est-à-dire, la somme des mo- Second théorème, mcuts dc ni et m" par rapport au nouvel axe y sera nécessairement égale au moment du poids total Tr^'^^=^ m' -h m y placé au centre g de ces deux poids.

Rien n'est plus facile, ensuite^ que d'obtenir le moment d'un système quelconque de poids m\ w", m^\.. w^"^, par rapport à un axe donné. En effet y le moment de m^ plus celui de w", égale celui de leur résultante w "y le moment de /w''" plus celui de ni' y égale celui de leur résultante ^i'^^'y et ainsi de suite. Donc, enfin, le moment total de tous les poids est égal au moment unique de leur résultante w'"'" "\

Mais cette résultante est placée au centre de gravité du sys-

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS. i r

lème ; elle est , de plus , égale à la somme de toutes les masses i*'. mémoire. de ce système. De là résulte le théorème suivant :

La distancé de ïaxe des moments , au centre de gra\^ité g Théorème gënërai. dun système quelconque de masses m', /ii", m"'.., m^''\ est égale à la somme des moments des dwerses masses y dwisée par la somme des masses elles-mêmes.

En déterminant ainsi la distance du centre g , d'abord à Son utiutë dans les

« ii*/v*r i**ri calculs du dëpla-

un premier axe; ensuite a un second, ditleremment dirige, la cément et de u

stabîliLfî des vaiS'

position de cô centre sera complètement déterminée. tcaux.

Nous pourrions , en suivant cette marche , après avoir parlé des moments simples^ exposer les propriétés relatives aux moiTients d'inertie ; et parvenir aux résultats connus , en n'employant toujours que des considérations géométriques. Mais comme ces résultats ne nous sont pas nécessaires , nous nous dispenserons de les démontrer ici. Nous nous contenterons de renvoyer à la Géométrie de position ou ces théorèmes et plusieurs autres , inconnus avant la publication de ce bel ouvrage , sont présentés avec une élégance remarquable. Nous renvoyons également le lecteur aux savantes recherches de M. Poinsot sur la méchanique ; recherches dans lesquelles ce géomètre a déduit de la manière la plus simple et la plus heureuse, toutes les propriétés des moments, et d'autres beaucoup plus relevées : en se servant, pour cela, des principes de la projection des surfaces et des forces sur des plans.

Jusqu'ici nous avons regardé les particules des corps comme De la pesanteur ci d©

, , . . . . ^ rëquilibredesilui-

restant toujours dans les mêmes positions respectives , et for- «i«» mant des agrégés d'une figure invariable : tel est, en effet, le caractère des corps solides et parfaitement durs.

Considérons, maintenant , laction delà pesanteur sur les Premier principe' de corps fluides. Ce qui caractérise les fluides , c'est que leurs des" *"•"*" moindres particules sont douées d'une extrême mobilité qui

^^ MÉMOIEE.

fait céder chacune d'elles au moindre effort , et lui permet de se déplacer indépendamment de toutes les autres. En vertu de cette mobilité, les fluides ( attirés comme tous les autres corps , vers le centre de la terre , suivant la direction verticale ) ne peuvent se trouver dans un état d'équilibre , à moins que leurs molécules les plus élevées ne soient toutes à la même hauteur , par rapport à cette même verticale \ c'est-à-dire ^ ne soient de niueau. En effet , si quelque molécule se trouvait plus élevée que les autres , elle pourrait , en glissant sur celles-ci , descendre par laction de la pesanteur , sans que rien s'opposât à son mouvement. Or, par la définition même des fluides, le moindre eflbrt suflit pour déterminer ce mouvement ; la molécule plus élevée que les autres descendrait, par conséquent , d'elle-même. // ne pourra donc pas y avoir équilibre ^ à moins que la surface du fluide ne soit parfaitement horizontale , ou de nii^eau.

Ainsi l'équilibre des fluides nous donne le moyen de dé* trii'dM arti* uli- terminer, en chaque lieu. la direction d'un plan invariable)

rpction d'un plan ^ m-i i-i iri i

inTiriabie. comme 1 équilibre des corps solides nous a donne le moyen de

déterminer un axe pareillement invariable. Malheureusement , Tune de ces deux déterminations n'est que la conséquence de l'autre ; elle ne peut nous apprendre rien de plus , puisque la donnée du plan horizontal fait toujours connaître la droite verticale, et réciproquement.

Mais une telle surabondance de moyens n'en est pas moins infiniment précieuse pour la science et pour les arts.

Par exemple , dans les opérations ou Ton mesure de grands es* paces , au lieu d'employer une perpendiculaire à la verticale donnée par le fil a plomb, il est infiniment plus exact de se servir du niveau donné par 1 équilibre d*uu fluide : c'est ordinairement l'eau qu'on emploie à cet eflet. Linstrument à l'aide duquel on détermine ainsi les directions horizontales , est appelé nii^eau

Le nWeau des fluides ofire à la geomé

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS. i3

d'eau {^). Dans les petites opérations , au contraire, il est beau* i**. mëmoirf.. coup plus commode ^ et pour l'ordinaire suffisamment exact y d'employer Véquerre et lejil à plomb.

Poursuivons l'examen des propriëtës fondamentales de l'équi- Second principe de libre des fluides. Chaque molécule d un fluide en repos, pesant ^««* sur toutes les molécules inférieures , avec une force égale à son poids , on voit que la pression éprouvée par chaque molécule est proportionnelle à la hauteur de la colonne d'eau qu'elle supporte et à la base de cette colonne. Mais , à cause de l'excessive mobilité de ces particules fluides , si l'une d'elles était pressée dans le sens vertical , san3 l'être également dans tous les autres sens , elle échapperait à cette pression ^ pour se diriger du côté qui lui ferait éprouver la moindre résistance. Concluons donc, pour second principe de V équilibre des fluides ^ que leurs molécules, également pressées en tout sens , éprouvent une pres^ sion proportionnelle à leur surface , et à la hauteur de la colonne d'eau quelles suppportent (**).

Après avoir considéré séparément les conditions d'équilibre De lyquUibre d des solides et des fluides , voyons quelles nouvelles conditions ^^n'^Se."^* doivent être remplies pour qu'un solide , plongé dans un fluide, y soit en équilibre.

Afin qu un corps solide flotte sur un fluide , il faut néces- ivemiére conditioiy, sairement qu'il déplace une portion du fluide. Mais cette partie

an dan»

(*) Ce n'est pas ici le lieu d'eiposer les divers perfectioanemens par lesquels on a , ftoit étendu , soit améliore l'usage de cet instrument.

(**) D'ordinaire^ on s'occupe plus particultëremeat de la pression verticale épronvée par les diverses parties d'un fluide. Si Ton conçoit un cjlindre vertical partout tan* gent à la portion que Ton considère , et s'élevant jusqu'au niveau supérieur du fluide ,. la pression verticale éprouvée par cette portion du fluide , est égale au poids de 1» section du fluide comprise dans le cylindre géométrique ainsi tracé par la pensée ^ depuis la partie que l'on considère jusqu'au niveau supérieur.

i4 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. 1^. MÉMOIRE, était douée d un certain poids , tout entier supporte par le reste

du fluide. Il faut donc y avant tout y pour que T équilibre ne cesse pas d avoir lieu , que le poids du corps solide soit égal à celui du fluide déplacé. Cela ne sufHt point.

L'ensemble des pressions de tout le fluide extérieur sor le fluide déplacé y puisqu'il tenait ce fluide en équilibre , devait nécessairement, produire de bas en haut , une force directement opposée à la résultante du poids de ce fluide déplacé ^ afin de pouvoir en détruire leffet. ( Voje:^ la note II à lafin du mé^ moire. )

Seconde ronaition. Or^ Ics prcssious S exerccut encore sur le solide , comme elles

s'exerçaient auparavant sur le fluide déplacé : donc il foui aussi y pour que V équilibre ait lieu , lof^s de V immersion du sos^ lide , que la résultante du poids de ce corps soit dirigée sui^ vant la même verticale que la résultante du poids du fluide

déplacé. Donc, enfin,

Pour qu'un solide plongé dans un fluide y soit en éqid^ libre y non-seulement il faut que le volume du fluide déplacé représente un poids égal au poids du corps / il faut , de plus , que le centre de gravité de ce volume et le centre de gravité du corps , soient situés sur la même verticale.

i>o« p(^santellncolB- Lorsquc Ic corps solidc est plus pesant qu^un volume de

lurées du corps n • i r i • -i -ri' .•\

fio^nt , et Jii tluide égal au sien , comme il ne saurait f dans aucune position )

fluide déplace. . . •

déplacer un volume de ce fluide dont le poids soit équivalent à son poids propre , ce corps ne peut se trouver dans aucune position d'équilibre , tant qu'il nage librement dans le fluide.

Donc un corps spécifiquement plus j^esant qu'un fluide, c'est-à-dire, un corps dont le volume apparant est dans un moindre rapport avec sa masse ou son volume réel , ce corps , dis-je , ne peut jamais être en équilibre , tant qu'il n^^era librement au milieu du fluide. Comme il |)èse de haut en baSj^

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS. i5

tandis qne la pression du fluide résiste de bas en haut , mais i*'. mémoike. avec tij^op peu d'énergie , il doit nécessairement descendre jusqu'à ce qu'il arrive au fond du fluide. Ce cas n'est pas celui que nous voulons considérer, il ne nous conduirait à rien. Le corps solide s'enfonce ainsi jusqu'au point le plus bas, si De rimmersion des

t r» • 1 • «Il 19 /M\ 1 " * 1 1 solides dans \f.s

le fluide est mcompressible , comme leau (^j, le pnncipal des fluides incompres-

g% • 'Ê , t i/«ii • 9 1 sibles OU coin-pre»^

fluides répandus sur la surface de la terre ; puisqu en vertu de siWes. son incompressibilité , ce fluide conserve dans toutes ses parties la même densité. Mais , quand le fluide est compressible, la densité des coucbes inférieures est plus grande , attendu qu elles ont un plus grand poids à supporter. Par conséquent , le corps solide qu'on plonge dans un semblable milieu , peut être d'une pesanteur spécifique plus grande que celle des couches supérieures , et néanmoins plus petite que celle des couches inférieures. 11 y a donc, alors, une hauteur intermédiaire où le corps doit trouver sa position d'équilibre.

11 suit de ces divers principes , que si , par un artifice quelconque, on peut augmenter ou diminuer à volonté, dans le corpa solide, le rapport du volume réel au volume apparent , ce corps devra descendre ou monter alternativement : en se plaçant à différentes hauteurs que la théorie peut calculer avec facilité. Tel est le méchanisme que les poissons emploient pour rester entre deux eaux , s'élever jusqu'à la surface , ou descendre à leur gré jusqu'au fond du fluide dans lequel ils vivent.

Tel est aussi le méchanisme des bateaux plongeurs et des Équiui>re de» aéroaérostats. Quand nous aurons fait connaître les conditions né-

(*) On a reconnn par des expériences soignées , qu'en faisant épouver à l'eau des pressions très-considérables , elle pouvait.se comprimer, mais d'une quantité trop faible pour être prise en considération dans les recherches relatives à la stabilité de» corp« flottants^

i6 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

v. MÉMOiBE. cessaires à la stahilitë des corps qui flottent sur un fluide incompressible y nous pourrons donner pareillement celles qui conviennent à la stabilitë des aérostats, ou des solides qui flottent dans un fluide compressible. '

De la stabilité des corps flottants , en général. Dcfînitions prcUmi- Avaut d'exposcr la théorie qui va nous occuper dans ce pa-

naires. ■• * l r

ragraphe , il est nécessaire de donner plusieurs définitions^ pour attacher un sens précis aux expressions abrégées que nous devrons employer ; expressions qui , sans cela, pourraient présenter des idées peu rigoureuses.

Ccnire d'uu corps Quand uous aurous à parler d'un corps flottant , de forme

quelconque y et par conséquent auquel on ne peut pas supposer de centre de figure^ nous appellerons simplement centre de ce corps y le centre de gravité de la masse , ou du volume réel de la matière qu'il contient.

Plan de flouaisen. Eu considéraut Ic corps flottant dans ses rapports de situation avec le fluide qui le supporte , nous nommerons plan de flottaison (*) la section horizontale qui serait faite dans le corps flottant^ par un plan coupant identique avec le niveau du fluide supposé parfaitement tranquille.

Caicne et ceoire d« La partie du corps solide qui se trouve plongée dans le

fluide , en dessous du plan de flottaison , forme un volume que ] on appelle carène. Nous appellerons simplement centre de carène y le centre de gravité de ce volume, c'est-à-dire, de la

{*) Dans \ik marine , ob Ton fait un continuel usagé de la considération du plan de flottaison , on se contente ordinairement , pour plus de brièveté , d'appeler ce plan , lajloiiaîson.

carène.

partie immergée du corps. Une telle dënomioation sera d'au- i**.m£moiiœ. tant plus naturelle que la détermination de ce centre ( laquelle n'a rien de commun avec la pesanteur du corps flottant^ ni des fluides), ne dépend que de la figure géométrique de la carène.

Nous supposons, en effet, que le solide est plongé dans un fluide incompressible et d une densité partout constante. Par conséquent le centre de carène est le même , lorsqu'on le considère comme le centre de gravité , soit du volume réel du fluide déplacé , spit du volume apparent de la partie immergée du flotteur (^). Ces détails sont minutieux, sans doute. Mais on ne saurait définir avec trop de soin les expressions dont il faut faire usage , et qui désignent les grandeurs dont on cherche les rapports mathématiques. Telle est la règle qu impose une science où tout doit être exact et lumineux; afin de porter la conviction jusqu'à la certitude , dans les esprits rigoureux.

Nous venons devoir, au paragraphe précédent, quelles conditions doivent être remplies pour qu'un corps solide d'une forme invariable, et flottant sur un fluide, soit dans une position d'équilibre. Comparons, maintenant, les diverses positions qu'un même corps peut prendre, en restant toujours sur le même fluide.

Supposons que le corps solide conserve un poids inalté-Bes diverses posi-

11 • 9 1 9 1 T • • ^^^^ qu^nn coi^s

rable : mais qu on dérange quelques-unes de ses parties m- d*un poids donné

f • 1 . ^ 1 1 1 • / E®°* prendre en

terieures , de mamère a déplacer son centre de gravité. floitantsurunfluî-

' *■ ^ de, par un déplace-

ment quelconque du centre de gra- Titë de ce corps.

Dans une telle hypothèse, si ce centre était , soit abaissé , soit i*v cas où le centre

.,. .. .-. du flotteur se meut

élevé , suivant la verticale qui passe par sa position primitive , ▼erUcaiement. il est facile de voir que rien ne serait changé dans Fétat d'équi-

{*) Flotteur. Sourent pour abréger nou8 appellerons ainsi le corps flottant.

i8 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

^^ MÉMOIRE, libre. En effet, supposant que le poids total du solide n'ait pas

varie, le volume du fluide déplacé n'a pas changé non plus. Donc Tancienne carène convient encore à Tune des positions du nouveau corps flottant. Mais le centre de cette carèqe était primitivement sur la verticale menée par le centre du corps. Il ne cesse pas d y rester , lorsqu'on élève ou qu'on abaisse le centre de ce corps , en suivant la même verticale. Ainsi , toutes les conditions nécessaires à l'équilibre sont remplies encore; et cet équilibre ne cesse pas d'avoir lieu.

Alors rien n'est chan- Posous douc eu principe, ce premier théorème : On peut ar-

ge dans la position i jt ' i r

grimitiTc d'ëqui- bîtrairement abaisser ou élei^er le centre d un flotteur quel--

conque j suwant une même verticale y sans que t équilibre cesse das^oir lieu , s* il existait dans la position primitii^e; et par conséquent aussi y sans que F équilibre ait jamais lieu ^ s'il ' n'existait pas dans la position primitii^e.

Réciproquement , Maintenant , nous ferons remarquer un autre principe extré-

pour chaque plan , . * i • i •

deflottaison.d^une mcment Simple , mais dont nous tirerons par la suite plusieurs

direction donnée * ^ ■■• ■■•

^'"^SEua^tei^^il conséquences importantes. Si l'on permet au flotteur démonn'jajamais qu'une ter OU de dcsccudre verticalement et sans s'incliner Tde manière

position dequui- ^

ic'^de' îa^c^'iâcnt'du ^ ^^ ^^^ ^^ flottaisou soit toujours parallèle à un même plan flotteur. £jj^g àdxïs Ic cofps ), Ic floltcur ne pourra trouver dans ces trans-

lations diverses ^ qu'une seule position d'équilibre : à quelque hauteur qu'on suppose le centre de gravité du flotteur. Fig. 3. En effet, le poids total du flotteur étant constant , le volume

de la carène ïcf doit l'être pareillement. Si Ion admet en outre que la figure du flotteur soit invariable, il est visible que tous les plans fy, f!/",... parallèles à ffet au-dessus de ce plan, détermineront une carène ^cf^ ou ^cf... plus grande que îcf* Au contraire , tous les plans f^/^y ^J^; etc.. parallèles à ÇTet audessous de ce plan, détermineront une carène moindre que celle dont if est la flottaison. Donc aucune autre carène , sup- '

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS. ig

posée remplie du fluide déplacé , ne serait égale au poids du i". mémoire. corps ^ et ne pourrait faire équilibre à ce poids.

On voit par ce raisonnement, que si le corps (F), plongé dans Fig. 4. un fluide , ne s'immerge pas en entier ( ce qui aura lieu s'il est en masse spécifiquement plus léger que le fluide); on voit, dis-je , qu'en plaçant convenablement le centre de gravité de ce corps , à chaque direction d'un plan AB donné de position dans le flotteur, doit correspondre une position d'équilibre pour laquelle le plan de flottaison ffest parallèle à ce plan.

Si , d'ailleurs, on retourne le corps , en plaçant le haut en mus, en renrersant

^ • • i> f -l'i ' 1 11 le flotteur, on trou-

bas, on va trouver encore une position d equmhre pour laquelle ve une seconde po-

A X T sition d^ëquilibre ,

un plan de flottaison jf sera parallèle à chaque plan AB fixe pour lamieiie le

dans le corps. /?* ««co»:« p*"^-

^ ^ lele au même Dlaa

supposas fixe aani le flotteur.

Par conséquent , en supposant que le centre du flotteur , ^•- cas où le ceotw au lieu de rester constamment sur la même verticale, soit teur ne reste plus

sur la même ver-

placé sur une autre droite qu'on regarde alors comme ver- ^^« ticale ; on trouvera d'abord une première position d équilibre pour la situation directe du flotteur , puis une seconde position pour sa situation renversée. De plus , les nouveaux plans de flottaison , au lieu d'être parallèles au plan mené ( dans le flotteur) perpendiculairement à la première verticale , seront parallèles au plan mené perpendiculairement à la seconde verticale.

Concevons qu'on ait déterminé les divers plans de flot- ^*^ue^fo4eïï1[îoM taison fjT, f/, T/",... respectivement parallèles à tous les plans ]^J^^, f;, ^^^: AB , AB', AB",... qu'on peut mener par un point A du flotteur. ^"^ ^^ ^^* A chaque nouvelle flottaison, ainsi déterminée, correspond un certain centre de carène y , ou y', ou y"... Tous ces centres de carène vont former une surface particulière (r) , que nous (d surface Ueu des appellerons la surface des centres de carène. Tous les plans " '*

îo APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MECHANIQUE.

!•». MÉMOIRE, de flottaison vont envelopper une autre surface (^) , pareille^ (♦) surface cnjciop- mcnt déterminée , nous la nommerons surface enveloppe des

pe des flottaisons. , ,

flottaisons, ou plus simplement surface des flottaisons. Ces deux surfaces (r) et (^) jouissent de propriétés remarquables y par rapport à l'équilibre et à la stabilité des corps

^ flottants.

Leur ri|;ure et leur Ainsi Guc uous Favous VU • chaoue plan de flottaison qui

Sosition ne dëpen- , iii n •

ont que de la doit êtrc parallèle à un plan fixe dans le flotteur, est rigou-

i^iue du corps aot- reusemeut déterminé par la seule condition de séparer, du

corps flottant (F) , un segment dont le volume soit constant et donné. Toutes les carènes possibles, d'après cette dernière condition, sont complètement déterminées. De plus^ chaque centre de carène n'étant que le centre des moyennes distances du volume géométrique d'un segment du corps flottant , la surface (r) des centres de carène et la surface (*) des flottaisons , ont une définition purement géométrique et tout-à-fait indépendante de la gravité du flotteur.

Telle est la propriété qui va ramener, immédiatement j à des considérations géométriques , Texamen de toutes les positions que peut prendre un corps solide en équilibre sur un fluide , ou dérangé d une quantité donnée de cette position d'équilibre. La même propriété nous servira de base, dans tout ce que nous aurons à dire sur ce sujet.

En exposant les propriétés géométriques des centres de gravité , nous avons fait voir que le centre de deux masses ^ quelconques avait toujours sa position entre ces masses. Mais le centre d'un système de masses ou de volumes réels y peut se déterminer en prenant d'abord le centre de deux de ces masses , puis le centre de ces deux premières et d'une troisième , puis le centre de ces trois premières et d une quatrième , et ainsi de suite. Par conséquent , le centre de gravité d*Un volume

continu quelconque, doit toujours être place dans l'intérieur de !•'. m&moiae. ce volume (*).

D suit de là que la surface (r), lieu de tous les centres de Propriétés gênerais

, . • 1 !»• f • 1 *^* ^^^ surface tle«

carène, a nécessairement tousses pomts dans Imteneurdu centres de carèn*».

corps flottant. Donc , ce corps flottant étant un corps fini d'une

forme quelconque (^) , et tel est toujours le cas de la nature ,

la surface des centres de carène doit être elle-niême d!une

étendue finie. 11 est visihle d'ailleurs qu elle est fermée de toutes

parts. Mais cette propriété sera montrée sous un nouveau jour,

par les considérations qui vont suivre.

Soient dSc, a'Yd deux plans de flottaison infiniment voisins. ^^^ ^'

Pour que les deux carènes correspondantes abc , a'bd conservent le même volume, il faut nécessairement que les deux segments aFa',cFc'par lesquels ces carènes pourraient différer, soient égaux entr'eux ; puisque la partie a'bcl^ . est commune aux deux carènes.

Actuellement , m et n étant les centres de volume des segments égaux aFa , cFc', menons par le centre y de la carène abc^ la droite ^7</ parallèle à mn. La dislance du centre de la carène a'bc'^ à la droite pyq , sera évidemment proportionnelle à la différence des moments de m et de n (***) , pris par rapport à cette droite. Or, cette différence est nulle ; puisque par hypothèse les deux segments sont égaux en volume, et que mpy nq qui représentent la distance des parallèles mn et pg y sont

(*) S'il s'agissait d'un système de masses isolées , son centre de gravité serait nécessairement dans l'intérieur du polyèdre dont les arêtes et les diagonales seraient les diverses droites joignant deux à deux les centres des masses isolées.

(**) Voyez la note IV«, à la fin du mémoire.

(^'*'^) C'est-à-dire , pour parler sans abréviation , la différence des moments da volume des segments aSd^ cFc , supposés concentrés respectivement dans leur centre des moyennes distances , m |H)ur le premier , et 72 pour le second.

W. MÉMOIRE

Fig. 4.

Fig. 6.

ai APPUCATIONS DE GÉOMÉTME ET DE MÉCHANIQUE.

égales entr'elles. Donc ïe centre 7' de la carène dhc\ est placé sur la droite ;97^ parallèle à mn. Supposons , maintenant , que Tangle dSd = cFc' soit infiniment petit. La direction de k droite mn ëtant nécessairement comprise dans cet angle , il sa suivra que sa parallèle p^-Jq ne pourra diflerer qu'infiniment peu d'être parallèle au plan de flottaison dont la direction est ici représentée par dSc. Donc, enfin , toutes les tangentes en y, à la surface (r) des centres de carène , sont parallèles au plan cor* respondant de flottaison àSc.

Ainsi 9 la surface des centres de carène (r) , jouit de cette propriété générale : Si par un de ses points y, considéré comme centre dune carène indii^iduelle j on mène un plan parallèle au plan de flottaison qui termine cette carène y ce sera le plan tangent en y a la surface (r) des centres de carène.

Donc aussi, dans chaque position d'équilihre, le plan tangent de (r), mené par le centre de carène correspondant à cette position , est un plan horizontal : cela est évident, puisqu'il doit être parallèle au plan de flottaison , et que ce plan est celai de la surface supérieure du fluide.

La surface (r) jouit en outre de la propriété à'aî^oîr pour normales , les droites menées par chaque centre y dont elle se compose , et par la position G du centre de gratuité du flotteur qui y dans la position d'équilibre y correspondrait au centre de carène y. En effet , cet état d'équilibre exige que les deux centres G et 7 soient sur la même verticale. Or, quand le plan tangent d'une surface est horizontal, la normale qui correspond à ce plan, est nécessairement verticale.

Puisque les lignes droites qui joignent les centres correspon- Sr û'^'iurfl^^cr; dants de la carène et du corps flottant , sont les normales de la des centres de ca- gm-face (f) , toutcs Ics propriétés générales qui conviennent

aux normales des surfaces, appartiennent également à ces lignes

Des surfaces d^re loppobles formées

.. jê'^. -

droites. Ainsi Fensemble de ces normales présente deux sys- i". mémoire. tèmes distincts de surfaces dëveloppables ; les surfaces développables d'un système sont coupées à angle droit par toutes les développables de l'autre système ; chacune de ces développables coupe la surface (F) des centres de carène, suivant une de ses lignes de courbure; etc. (^). .

Ces surfaces développables , les lignes et les centres de courbure qui leur correspondent, sont les éléments géométriques qui vont nous faire connaître les propriétés générales de la stabilité des corps flottants.

Supposons qu'un corps flottant , placé d'abord dans une de ses ^*îor8q2*oii dirao*'e positions d'équilibre, en soit tout à coup infiniment peu dérangé; «olTi^n^d v^iiisans , pour cela , que le centre de gravité du flotteur ait changé flouant"'' '^'''^^* de position dans ce flotteur. Supposons encore , pour plus de facilité, que le poids du flotteur, et par conséquent le volume de la carène , n'aient pas varié dans ce léger dérangement. (Gela revient à supposer que le dérangement est causé par des forces pertubatrices égales et opposées , mais sans résultante unique. ) Voyons alors si l'équilibre peut encore subsister , ou bien s'il tend à se rétablir ; ou , enfin, s'il tend à se troubler de plus en plus.

Soit 7 le centre de carène qui correspond à la position d'é- Fi|;. 6. quilibre pour laquelle la verticale est yG; le centre de gravité du flotteur étant en G. Par le dérangement infiniment petit que nous faisons naître , le centre de la nouvelle carène se trouvera , par exemple , au point y' immédiatement consécutif à y sur la surface (r) lieu de ces centres ; et la nouvelle verticale y'c sera comme la première , normale à la surface (r).

(*) Voyez DévELOPPBiCENTS DE GÉOMÉTRIE ; premier et second mémoires ; les démonstrations par la géométrie et par l'analyse, de ces diverses propriétés des normales aux surfaces , et des développables que forment ces normales.

i4 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

!•'. iiÉMOJRF. Supposons , pour plus de facilite, que le plan de projection de

la figure (6) , soit parallèle aux deux normales consëcutives yc, yC. Alors la plus courte distance de ces deux normales aon pour projection verticale ^ le point unique c , intersection des deux projections. Il est évident qu'on a c/ = cy\ puisque le point c est , sur la normale yc, le centre de courbure de l'ëlé* ment y'. Ce point n'est donc ni monté ni descendu par rapport au centre de carène , dans le dérangement éprouvé par le corps, lorsque c/ au lieu de Cy, est devenue verticale. Ce mouvement du corps flottant s'est , par conséquent , exécuté comme si la plus courte distance des droites Cy et Cy'y eût été un axe fixe autour duquel le corps aurait infiniment peu tourné. Le système total recevant, d'ailleurs , un mouvement vertical de translation quelconque , soit d'abaissement soit d élévation. ( Voyez la note III. a la fin du mémoire)

(:oDditwns|jcneraiM Qu voit maintenant : i®. que si le centre de gravité du flotteur est en G^^ au-dessous du centre de courbure Cy il agira pour ramener la normale cy dans sa position verticale primitive.

2**. Que si le même centre de gravité est en G', au-dessus du centre de courbure de l'élément yy', il agira pour écarter encore d'avantage la normale Cy de sa position verticale primitive. S"". Enûn que si le centre de gravité du corps flottant se trouve en c, au centre de courbure de l'élément yy', son action perturbatrice deviendra nulle ; le corps ne sera par conséquent sollicité à tourner par aucune force.

De Tequiiibre stable. Daus le premier ca S , oii le corps revient de lui-même à la

position d'équilibre dont il avait été dérangé , on dit que cet équilibre est stable.

De rcquiiibre inita- Dans Ic secoud cas , où il tend au contraire à s'écarter de

plus en plus de sa position primitive , cet équilibre est instable ou non-astable.

l". MEMOIM,

De r^rjuilibre indif'

firent.

STABiLITÉ DES COBPS FLOTTANTS. aS

Dans le dernier cas , où le corps conserve de lui-même la nouvelle position qu'on lui fait prendre , on dit que l'équilibre est indifférent.

Il est évident que , dans le premier cas , le centre G^ du flotleur est plus près du centre y de carène qui lui correspond , que de tout autre centre de carène /', ou y"..., placé sur la ligne y'yV'... Dans le second cas , le centre G' est plus loin de y qu'aucun des points y', y", y'"... ( supposés toujours très-voisins de y).

Dans le dernier cas, où le centre de gravité du flotteur est en c, les distances c^/, cy sont égales entr 'elles.

De là résulte ce théorème qui nous paraît digne de remarque : ^''°ç'^éu^m En comparant une position d'e'quilibre d'un corps flottant ^ ^onesd-cqui avec les positions très-voisines qu'on peut lui faire prendre , la distance de son centre de gravité au centre de sa carène est un minimum ou un maximum , suivant que l'équilibre est stable ou non-stable : dans l'équilibre indifférent, celte distance est constante , ou pour mieux dire', la difl'érence des distances est d'un ordre infiniment plus petit encore que dans le' cas du maximum ou du minimum.

L'action du poids du flotteur, concentrée en G' ou en G, , est évidemment proportionnelle à la dislance G'm' ou Gpi,-, de G' ou G, , à l'axe fixe eu c. Donc , plus le centre de gravité du flotteur s'élève , plus la stabilité diminue. Au contraire , plus s'élève le centre de courbure c , plus s'accroît la stabilité de (r).

Si l'on considère les difîérents centres qui , sur la même normale yc , appartiennent aux sectious normales de la surface (r) , on verra qu'ils sont tous compris entre deux centres c (*) et c, , l'un de la moindre et l'autre de la plus grande courbure de (r).

(i) Le centre c de moindre courbure est très- important pour la détermination de la ilabililé des navires. C'est le point que Bouguer a nommé le métacenlre. '

a6 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE-

D« ' iït?oM^*ae ^ droite que w>mv((ms, regardée comme un axe horizontal mohiSS^^mld daoi.œoiBbents^et qui e§tdëfmie par. la condition. d'être perpen- 5vqu"iibr'dJn° diculaire à cy et à cy', en passant par chacune délies; cette "''^' diroite ^ disons-nous , appartient à la plus grande stabilité, lors-

qu'elle passe pw le centre c de moindre courbure de (r). Au contraire, elle appartient à la i^oindrç stabilité, lorsqu'elle passe par le centre c^ de plus grande courbure de la mêoi^* surface (f)v Donc , pour ladifection qui consent à la plus grande stabilité du flotteur , taxe de rotation est parallèle à la direction^ de plus grande courbure de (r) ; et , pour la direction qui conscient à la moindre stabilité j cet axe est parallèle a la direction de

moindre CQu/;bur^ de (r), lieu des centres de carène.

Dès le comm6Rçemept de ce paragraphe, nous avons. vu que les caractères de La surfacç (r) sont , i"". d'être fermée de toutes parts ; 2^ de ne pouvoir , sous une direction donnée , avoir plus lig. 7. de deux pUqs tangents ayb , a'yb\ parallèles entr'eux. Ces pro-

priétés exigent que les dçuj^ courl^.ures de la sur£aice (r) soient partout dirigées.dans Iç r^^^, sçnsf.

Fig. 8. Si , en effet , à partir du point y, les deuif courbures n'étaient

pas dirigée^ dans le n^ême^ sçns , il faudrait qu'une des coui^ bures, MyM', s'élex4t^ ^u-dess^s du plan tangent en 7*, tandis que l'autre N7N' , descendrait a]u-dessous.

Que les deux cour- Maîs, puisquc la^ Sfirface (r) est fermée de toutes parts^ il faut d^'^centres de c^ que Ics quatrc uappcs 7M, 7M', 7N , yW, après s'être éloig^éçs du

rèno sont partout \ , , i ^^ A • • • ^ i

dirigées dans le plaii; Oy^y S cu, rapprocheut. Amsi nous poumons meQj9r>. a cha- "* **"' ci^ttq dcelle$o .W. pl?"f^ t?^°g^^' parallèle à ayb. U y aurait donc en

tojjt plpS; d^ 4fi!ttx, plans tangents à (r) , qui servent parallèles entr'euj^ ;. cç qui np petut être. Donc ^ enfin, les. deux courbures de (r) sont partout dirigées dans le même sens.

Or, dans les surfaces qui jouissent d'une telle propriété , les centres des courbures moyennes Siont toujours^placés^ sur la nor-

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS. ■s;

maie, entre les deux centres de plus grande et de moiadre courbure.

D'après cela nous voyons que , si le centre de gravité G, du Uicorps flottant , se trouve au-dessous du centre c, de plus grande courbure de la surface (r) des centres de carène , la stabilité du flotteur, pour la position d'équilibre que l'on considère, aura lieu dans toutes les directions possibles : cette stabilité sera ce qu'on appelle absolue.

Si le centre de gravité du flotteur se trouve en G, au-dessus De du centre c^ de plus grande courbure , mais reste encore au-dessous du centre c de moindre courbure de (r), l'équilibre du corps flottant sera stable dans la direction de moindre courbure (*) ; il ne le sera pas dans cefle de plus grande courbure. Veut-on alors, parmi les diverses sections intermédiaires, déterminer ceUes qui séparent les directions oii il y a stabilité , de celles où il n'y a pas stabilité?' — Il faut regarder le point G oiise trouve le centre de gravité du flotteur, comme le centre decourbured'une certaine section normale, en y, à la surface (r). Alors il ne restera plus qu'à déterminer la position de cette section , relativement aux directions de moindre et de plus grande stabilité: c'est-à-dire , relativement à la direction des deux courbures principales de (!'), à partir du point y.

Or , d'après les recberches exposées dans les Développements de géométrie, i". mémoire, rien n'est plus facile que d'opérer une pareille détermination.

En effet, plaçons-nous au point ■/ de la surface (r) des cen*- eiic «at immédiatement donnée p>f rindicalrice <!■ la aurface (f).

(*) C'est-à-dire sera stable en prenant , pour aie de rotation , l'aie horiEonial perpendiculaire à celte 4Jirectioa ; car la direction de la rotation eal toujours perpendiculaire h son axe . et c'est à un pareil axe qu'il faut toujijurt U rapJ)orter par la

l.iniilF ilca direotioni suivant leiquelles l 'équilibre eit stable nii non stable.

28 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MLCHANIQUE. I". iifiMOJRE. très de caréné j et. décrivons , pour ce point , la courbe indica--

trice de cette surface.

Nous avons fait voir qu une telle indicatrice est toujours une courbe du second degré ; que ses systèmes de diamètres conjugués y représentent aussi les systèmes de tangentes conjuguées de (r) y etc. Nous savons encore que les directions du grand et du petit axe de cette indicalrice, sont celles de la moindre et de la plus grande courbure de la surface (r). Us axes de rindic- Douc les direcdons des axes de V indicatrice de (r) ^en y.

trice de (r), sont . . .

les directions de ^ont ceïles dc moindrc et de plus grande stabilité du corps

plus erande et de . .

dîTfloit! l^^^^^"^ ^ottant : ce corps étant supposé dans la position d équilibre

qui correspond au : centre y que Ton considère.

Actuellement, plaçons-nous au centre de gravité G du corps flottant; regard(ms*le comme le centre de courbure d'une section normale de (r). Le diamètre de l'indicatrice qui se trouvera dans cette section normale , sera déterminé de suite par la proportion suivante : le carré du grand ou du petit axe, est au carré du diamèti-e cherché , comme le plus grand ou le moindre rayon de courbure de (r) , en y, est au rayon représenté par la distance des points G et y.

Ce diamètre , une fois déterminé , fera connaître deux sections normales , symétriquement placées par rapport aux directions de plus grande et de moindre stabilité.

Toutes les directions comprises par ces deux sections y dans Fangle oii se trouve la moindre courbure de (r) , sont les directions suivant lesquelles l'équilibre est stable. Au contraire^ pour toutes les sections comprises dans langle où se trouve la plus grande courbure de (r) , l'équilibre est sans stabilité. ^tu^té^huÀ^' Enfin , si le centre du flotteur s'élevant de plus en plus , se Kg. 6. trouvait en G', au-dessus dû centre c de moindre courbure, l'équilibre ne serait stable dans aucune direction possible.

STABILITÉ DES CORPS FLOTTANTS. ag

Dans tous les cas • à chaque inclinaison (*) du corps flot- ^ 'r- mémoire.

' * . • De la lymetne ae^

tant ( supposé tournant sur un axe parallèle aux directions de flottant^'ad''^**'^^ plus grande ou de moindre stabilité), correspond une seconde uJ^'^iSbJJ^"" inclinaison , symétriquement placée par rapport à ces directions ; ainsi que par rapport aux centres de gravité y de la carène, et G du corps flottant. Le degré de stabilité sera donc le même pour Tune et pour l'autre inclinaison, D oii l'on doit conclure ce théorème général

Dans V équilibre d un corps flottant sur un fluide^ et ter- Theorcmt. miné par une surf ace quelconque [régulière ou irrégulière^y la stabilité considérée dans les disperses directions suii^ant lesquelles cet équilibre peut être troublé , est toujours symétrique par rapport à deux plans {verticaux , normaux entreux.

De manière que ces deux plans se coupent suivant la verti- Direction des pian»

^ , o« symétrisme,

cale qui passe à la fois , i"". par le centre de gravité du corps flottant ; 2?. par le centre de carène y , point où cette verticale est normale à la surface (r). Enfin, dans la position d'équilibre y la direction des deux plans de symétrisme est constamment , h partir du point y , identique açec la direction des deux courbures principales de la surface (r).

Si Ton considérait les conditions de stabilité, relatives àla cas anicuiicr oposition d'équilibre pour laquelle un corps flottant serait de fmiiU^rr'ic'^corli formes symétriques , à droite et à gauche d'un plan donné , la If sjLu^Jt'^^^^ recherche des directions de plus grande et de moindre stabilité tcÎS^i ? tlue " ne présenterait aucune difficulté. En effet , le plan même du ^' ^''™' "*" ^'^ symétrisme serait celui d'une de ces directions \ et la seconde direction étant normale à la première, serait pareillement déterminée. C'est ce dont la forme des vaisseaux nous offre un exemple.

seaux.

(^) Les înclinaisont consUmmeDt supposa très-petites.

3o APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

Redbn^i^^âk Datis Ic cas géoëndy cW*4i^re, lorsqu'on suppose qtael* ^Sf^SSfert dS conque la forme éa corps flottant, ces directions principales "S^S^'flo^ n'étant plus indiquées à priori y 'û faudra les diercher en recoti* cfneicoDqai*. ^^^ ^ surfdcc (f) des centres de carène. H suffit pour cela de

déterminer, sur cette surface , la direction des deux courhiires principales qui ise croisent à angle droit au centre de carène y appartenant à la position d'équilibre que Ton consîdàre. Ces directions , ainsi que nous l'avons fait voir, seront précisément celles de plus grande et de moindre stabilité.

Nous avons besoin , pour arriver à ce but , de faire entrer en considération les plans de flottaison et les grandeurs graphiques qui en dépendent.

Des plans de flottaison ^ et de leur surface eweloppe ou de

la surface des flottaisons.

^Ticc"^ dts^^flôtuf- Ainsi que nous l'avons vu , dans le paragraphe précédent , si """* l'on place tour à tour le centre de gravité du flotteur, dans toutes

les positions d'éqtiilibre qu'il peut prendre ( sans changer le poids total , ni la figure extérieure de ce corps flottant) ^ les plans de flottaison qui correspondent à chaque position d'équilibre , envelopperont une surface que nous avons nommée surface des flottaisons.

Elle est fermée de Déjà uous savous quo ccttc surfaoc é comme ceUe des centres

toutes parts ; elle * '

a partout ses deux fle careuc , est fermée de toutes parts. Noub pouvons voir aussi

courbures dm- r r

sées^^mUméme qu'elle a partout ses deux com*biires dirigées dans le même

sens ] car la même démonstration qui nous a servi pour l'ont de ces surfaces^ nous servirait également pour étendre à l'autre cette propriété.

STABIUTÉ DES CORPS FLOTTANTS. 3i

Il y a plus : la surface des flottaisons enveloppe de tous côtés ^^ fj^^^fi u la surface (r) des centres de carène , ou bien elle est de tous i"'^*''^^!* f!°^5r

**• *"**• \ / ' de carène ne peu-

côtés enveloppée par la surface (r) j comme celle-ci Test , elle- ^"' rlg^t^^'^'''^ même 9 par la surface extérieure du corps flottant.

Supposons y en effet , que ces deux surfaces (r) et (*) , puissent se pénétrer mutuellement^ comme on le voit daus la figure 9. Alors , on pourra trouver , dans Tétendue de y/zy', un point y tel que la droite yF, menée par ce point ^ soit à la fois normale à ces deux surfaces. Mais , dans ce cas, le plan de flottaison aFi tangent en F à ($) , serait au-dessous du centre y de la carène oAb. Par conséquent le centre de gravité de cette carène , se trouverait hors de la carène même } ce qui serait absurde (*).

Considérons , maintenant, deux plans de flottaison a¥c, a'Fc'y ^\l^^^ ^^ ^^kn de infiniment voisins. On sait , d'après la théorie des surfaces en- ^J^^airJÎ'i fl^^^ veloppes , que le point de contact du plan aFc avec la surface '^'^pig i^ enveloppe ($), est placé nécessairement sur la droite intersection des deux plans tangents consécutifs. Cette droite est ici représentée^ en projection , par le seul point F; tandis que les deux plans tangents , supposés perpendiculaires au plan de la figure y sont représentés par leurs traces aFc , aFc'.

Chacun des plans tangents à la surface ($) des flottaisons , doit être tel que tous les autres plans tangents qui le coupent ,

retranchent de la carène correspondante au premier plan , un volume égal à celui qu'ils ajoutent ; puisque chacun de ces plans détermine une carène dont le volume est constant.

Pour obtenir le volume de chaque onglet FABF', FaêF', nous ^'^^' ' '*

(*)Dans cette dëmonstration , nous supposons qae. le plan de flottaison est consttmaieai au-desaoua du centre de gravité du corps flottant; ce qui , pan exemple, est la.Gas,ordinfûr« des vaisseaux, {f^ojrez d^aillewrs la ml^ IV. àMJin du mémoire,)

lï..

3a APPLICATIONS DE GÉOMÉTME ET DE MÉCHANIQUE. I-. MïiMOiRE. allons d'abord le couper en tranches MABM'A'B',,.., par des

plans MAB , M'A'B'..., qui soient infiniment rapprochés , et qui de plus soient tous perpendiculaires à l'intersection FF^ des deux plans tangents à ($) , lesquels font entr eux un angle infiniment petit. Concevons ^ ensuite ^ les plans infiniment voisins ahdh\ dVa'lP\ perpendiculaires aux lignes MA et M'A', Le volume de chaque élément solide al}\ sera égal à Faire aa'iJ'd' multipliée par i {ab + dV ); or , ^ {ab + dV) = \ (Ma+ M^") multiplié par tangente AMB. C'est précisément le moment de l'aire élémentaire addd\ pris par rapport à l'axe FF, et multiplié par la tangente trigonométrique de l'angle AMB.

Donc le volume de l'onglet FAFD est égal à la tangente de langle AMB , multipliée par le moment total de Taire FAF' (FP étant l'axe des moments).

Mais , si nous considérons Tonglel équivalent «FêF' placé de l'autre côté de FF' , nous verrons que son volume est égal à la tangente de l'angle AMB, prise avec un signe contraire, et multipliée par le moment de l'aire FaF' (FF' étant toujours Taxe des moments \

Donc , enfin , la somme totale des moments des deux aires FAF', FaF', par rapport à l'axe FF', est égale à zéro. D'où résulte cette propriété des plans de flottaison : Ce point de conuci LUntersectioTi de deux plans de flottaison , infiniment voi^

est tonioun *u ^ ^ ' ^ ^ •/

arKdiTdl?* Un ^^^^ ' passe toujours par le centre de grai^ité de l'aire inter^ de flottaison ,^hr ceptée , sur ce plan , par la surface extérieure du corpsfiottant. cô'r^t fllttaSu.^'^ ^^*s ^^^^ avons fait voir que cette intersection doit toujours

passer par le point de contact du plan de flottaison et de la surface (*) des flottaisons , quelle que soit la direction de l'inclinaison donnée au corps flottant. Ce point de contact est , par conséquent , le seul qui soit à la fois sur les diverses intersec-* tions d'un même plan de flottaison , avec tous les autres plans

STABILITÉ DES COKPS FLOTTANTS, de floUaison infiniment voisins. Ce poiot de contact lui-même '"■ wlmoire. n'est donc autre chose que le centre de gravité de l'aire interceptée , sur le plan de flottaison , par la surface extérieure du corps flottant.

Donc, en général, la surface (*) , enveloppe des plans de flottaison , est le lieu des centres de gravité de l'aire de tous ces plans : l'aire étant terminée , de toutes parts , à la surface extérieure du corps flottant.

Nous venons de voir que le volume del'onglet FAF'B, divisé par tangente AMB , est égal à la somme des moments de l'aire FAF', pris par rapport à l'axe FF'.

Si maintenant nous multiplions l'aire aa'a"a"' =aa' xaa", par j(]VIrt-f-M(z")% nous aurons ce qu'on appelle le moment d'inertie de cet élément par rapport à l'axe FF'. La somme de ces moments, étendue à toute l'aire FAF', sera le moment d'inertie de cette aire. Mais le volume du petit solide al>" étant -^ { aa' X ad (Ma -f- Ma") x tangente AMB } , son moment simple par rapport au même axe , est j ad x ad ( Ma -f- Ma" )' X tangente AMB. D'où résulte ce théorème :

Le moment simple de l'onslet FAF'B, divisé par la tan- Du moment d-inoi^

' O ' ' tie de la flottaùou.

gente de AMB , est égal au moment d'inertie de l'aire FAF' ; s«. propri^iéi. en prenant FF' pour axe des moments.

Or, nous allons démontrer dans un instant que les moments simples des deux onglets FAF'B, F«Fo, divisés par tangente AMB et par le volume de la carène, sont égaux en somme au rayon de l'arc y/ que parcourt le centre de carène , lorsque le plan de flottaison cesse d'être FAA'F', et devient FBB'F'.

Donc le rayon de ri ^st simplement égal au moment d'inertie de l'aire totale «FAF', (moment pris par rapport à l'axe l'T' ] j divisé par le volume constant de la carène.

Puisque ce rayou de courbure et cette somme des moments

34 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. if'. MÉMOIRE, d'inertie sont entr eux dans un rapport constant , ils seront

donc en *méme temps un maximum ou un minimum. ('^). Théorèmes. De là rësultcut ces thëorènnes remarquables :

I. Le plus grand rayon de courbure de la surface des centres de carène est y pour le centre y que Von considère ^ égal au plus grand moment d'inertie de l'aire de laflottaison car^ respondante, diuisépar le volume de la carène.

n. Le plus petit rayon est, au contraire , égal au plus petit de ces moments ^ pareillement diuisé par le volume de la carène.

ni. La direction de la plus grande courbure de là surface (r) des centres de carène , est celle de ïaxe du plus grand moment d inertie de Vaire de la flottaison.

IV. La direction de la moindre courbure de la surface (r) des centres de carène , est celle de Vaxe du plus petit mo^ ment d inertie de Vaire de la flottaison.

Or, les lignes de plus grande et de moindre courhure d'une surface quelconque , se croisent toujours à angle droit. Donc aussi les axes principaux du plus grand et du plus petit moment d'inertie de Taire de la flottaison , se croisent toujours à angle droit , quelle que soit la figure de cette aire.

Nous rentrons ainsi , par une autre voie , dans le cercle des admirables propriétés qu'Euler a découvertes , relativement aux axes principaux des corps, pëmonstration Démoutrous , actuellement , que la valeur du ravon de cour-

de la première ra- ^ ' ^ •'

ifiur supposée, du \^xj^xe dc la surfacc (r) des centres de carène, est égale à la

rayon de cour- >► / 7 o

^"'•- somme des moments simples des deux onglets FABF' , FaSF',

(^) Les moments étant pris par rapport à des axes passant par le centre de gravité de Taire de la flottaison. Car ce maximum est lui-même un minimum , relativcmeot à iou^ U% axes parallèles à celui qui passe par le centre de grayitë.

cli visée par la tangenle de l'angle AMB = aMS , et par le volume '"• mémoire. de la carène.

Les plans de flottaison , FAF', FBF' sont horizontaux , lorsqu'on suppose tour à tour que les normales yc, yc deviennent verticales (ainsi que nous lavons prouvé dès le commencement de ce paragraphe ). Par conséquent les angles AMB , «Ms opposés au sommet , sont égaux à ycii\

Si donc Tare ri ^st infiniment petit , nous aurons simplement pour valeur du rayon yc, - — —^ r=: v~n?n-

^ J ' ^ tangente 7C7 tangente AMb

Rien n'est plus facile que d'avoir Tétendue de yy', laquelle n'est autre chose que l'étendue du déplacement du centre de carène y , lorsque la carène oDA devient SDB. En eflet , lorsque nous ajoutons à la carène aDA, l'onglet AFB placé à droite, le centre de carène est porté vers la droite; et lorsque nous retranchons ensuite la partie aFs, placée à gauche, nous portons encore vers la droite le même centre de carène.

Si donc nous prenons les moments par rapport à un plan mené par la verticale primitive yc (*), parallèlement à FF', nous aurons simplement la somme des moments des deux onglets , divisée par le volume constant de la carène, pour valeur de la. distance yy'. Donc enfin , cette valeur divisée par la tangente de AMB , sera la valeur cherchée du rayon de courbure yc.

Remarquons bien que la verticale yc ne doit passer par la ligne FF', intersection des deux flottaisons consécutives, que dans des cas très-particuliers. C'est pourquoi les moments que nous venons de prendre , par rapport au plan mené par yc normalement à yy', ces moments, disons-nous, sont en général tout autres que ceux qui , pris par rapport à FF' , nous

(^ Ce plan est suppose perpendiculaire à réléraent 77'.

!•' MÉMOIRE, ont servi pour démontrer les propriétés générales exposées précédemment.

Supposons que les moments des segments AFB j «Fs, aa lieu d'être pris relativement au plan mené par la verticale 7c ^h soient relativement à un plan parallèle mené par le centre de la flottaison. Alors Fexpression du rayon de courbure yc, devient identique avec celle que nous avons admise , quand noiis voulions parvenir aux résultats obtenus il n'y a qp'un instant.

En efTet, les deux segments AFB, oFS sont égaux en vo-* lume y et les actions de leur pesanteur sont dirigées en sens contraire. Dans ce cas, il faut que la somme des moments des deux segments reste la même , lorsqu'on transporte le plan des moments, sans changer sa direction, à des distances quelconques. Car, autant on augmente les distances d'un côté, autant de Tautre on les diminue. Donc leur somme (^) est ' constante ; et cette somme , multipliée par la masse constante des poids agissant dans les deux sens opposés , est précisément le moment total.

On peut donc toujours ramener le cas général où le plan des moments ne contient pas la verticale yc , au cas particulier ou elle est placée sur ce plan ; et regarder l'expression supposée du rayon de courbure yC, comme vraie dans toutes les hypothèses»

II suit de là qu on peut , à volonté , déplacer horizontalement Faire de la flottaison , tant que les centres de gravité G et 7 restent à la même hauteur , sans que ni l'un ni l'autre rayon de courbure de la surface (r) des centres de carène , varie pour la position d'équilibre que l'on considère.

Voyons, maintenant^ si les théorèmes exposés dans les Dé^e-

{*) Quand le plan des moments est en dehors des centres de gravité de deux masses « au lieu de passer entre ces deux centres ^ alors Tuu des moments change de signe ; et la démonstration ne cesse pas d'être générale.

loppements de Géométrie j sur les transformations qui n altèrent ^*'- memojre. en rien la courbure des surfaces en un point donné (*) , ne pourront pas nous conduire à la même conséquence ; et nous montrer par quel artifice secret , les formes de la courbure de la surface (r) des centres de carène , se conservent ainsi , malgré les déformations du corps flottant.

Toutes les fois que le flotteur est infiniment peu dérangé de sa position d'équilibre ( quelle que soit la direction donnée à l'inclinaison constante de ce corps), les forces qui tendent à le remettre en équilibre peuvent toujours être représentées par le rayon de courbure delà surface des centres de carène , diminué de la distance du centre de carène au centre même du corps flottant : distance qu on peut regarder comme constante , pour les positions très-voisines d^un équilibre infiniment peu troublé dans différents sens.

Donc tous les changements qu'il sera possible de faire a la figure du corps flottant , n'altéreront en rien la stabilité , sous quelque direction que ce soit , lorsqu'on n'aura fait varier , ni la distance du centre y de la carène , au centre de gravité du flotteur; ni la courbure de la surface (F) des centres de carène, au point y. Il suffira cpte le poids du flotteur soit resté constant.

Avant d'examiner plus en détail quelles peuvent être les ^dX^proiecdôrdê» transformations opérées dans la figure de ce flotteur ( sans alté- ^*"*^Flg. ^J^^^^' rer sa stabilité , pour une position donnée ) , il est nécessaire d'établir un principe général relatif à la théorie géométrique des centres de gravité. Soit un système quelconque de masses M, M', M"..., rapportées à un plan fixe(n), par des ordonnées XM, X'M', X'^VI"... , parallèles entr'elles; mais d'ailleurs dans une direction quelconque , relativement au plan de projection

(*) Voyez i*'. mémoire , page 19.

38 APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE. i«. MÉMOIRE. Çjiy Soit r le centre de gravité de toutes ces masses, et Sr

rordonnëe de ce centre. Supposons que les ordonnées s'inclinent d'une qiAintité arbitraire ^ mais la même pour toutes : de manière que les nouvelles ordonnées X/n, X'm', X*/w*... soient encore parallèles entr elles. Enfin , transportons sur ces non* velles ordonnées, parallèlement au plan (n) y les masses M, M', W,... Je dis que le centre de gravité r de ces masses , sera de même transporté parallèlement au plan (n) , sur la nouvelle ordonnée Sy , menée par l'origine S de Er.

D abord , dans ce déplacement général , la distance de chac{ue masse au plan (n) n'ayant pas varié , la distance de ce plan au centre de gravité du système n'a pas changé non plus. Cela est évident.

Si les masses M, M'/ M",.»* montaient ou descendaient ^sui* vaut la direction de XM, X'M', X"M",... supposée verticale, il ii'eât pas moins évident que les distances de ces masses à la verticale sr menée par le centre de gravité r ^ ne seraient pas altérées par cette hypothèse. Ainsi, le centre de gravité ne cesserait pas d'être sur la même verticale. Donc , si l'on transporte i^erti'^ calement toutes les masses M , M', M"..., sur un plan quelcon*- <{ue (n) y le nouveau centre de gravité de ces masses sera , sur ce plan , le point S projection verticale du centre primitif r.

Le même raisonnement s'applique au système des masses m , m\ m"... Regardons les parallèles Xm , XW, X'm"..., Sy , comme des verticales ( ce qu'on peut toujours supposer sans déranger le centre y de ces masses). Projetons également sur

le plan (il) , toutes les masses m y m\ m y et leur centre de

gravité y, par des verticales Xw, XW, l^niL... Le centre de gravité de ces masses ainsi transportées sera, sur le plan (n), la projection du centre y. Or, les points X , X', X",... sont par hypothèse , placés à la fois sur le plan (n) et sur les droites XM , Xm;

X'M', XWy X'TVI", XW... Par conséquent le nouveau centre des masses m^ m\ ni^... (qui ne sont autre chose que M, M', M",... ramenées en X, X', X",.--)? Ç^' Itii-même au point S, première projection du centre primitif F sur le plan (n).

Donc , enfin y le nouveau centre de gravité 7 du système des masses M , M', M''^... transportées en m^ m\ m"^... parallèlement au plan (n) , sur les nouvelles ordonnées Xw, XW, XW,... «e trouve , i°, sur Fy parallèle à (n) j 2°. sur Sy parallèle à ces nouvelles ordonnées. C'est ce que nous voulions démontrer.

Appliquons ce résultat aux variations quon peut fisiire éprouver à la figure d'un corps quelconque (F) , flottant sur un fluide. Concevons qu'ayant déterminé la surface (F) des centres de carène , on mène le plan (n) tangent à cette surface en y. Ce plan , ainsi que nous l'avons démontré , sera nécessairement horizontal, dans la position d^équilihre du corps flottant.

Regardons le plan (II) comme Forigine des ordonnées du corps flottant , supposées d'abord verticales. Inclinons toutes

ces ordoifnées XA, xB..., suivant XÂ, a:B : comme nous

venons de le faire ( fig. 12), pour un système quelconque de masses M, M', M",... Voyons ce qui se passe dans cette opération.

Le plan de flottaison ABD étant parallèle au plan de projection (n) , inclinons infiniment peu le corps flottant ^ sans rien changer à sa figure. Le centre de gravité de la carène sera , suivant lune ou l'autre de ces positions, y ou y' : deux points de la surface (F) des centres de carène , infiniment rapprochés.

Or, dans la transformatipn générale que nous avons opérée^ en inclinant à la fois toutes les ordonnées, le pied X, x..., de ces ordonnées , est invariable sur le plan (n). Donc le point y , placé par hypothèse sur le plan (n) , ne changera pas de position. De plus , chaque point y de (F) sera transporté de

V', MÉMOIRE

Application k la tbi^oriti dei corps flottants.

Fig i3.

jlig. i3.

4o APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQLE. I". MÉMOIRE, ^y sur $y, au point /j les nouvelles ordonnées ç^ étant parallèles à XS , jcB... Telle est donc la transposition éprouvée par tous les points de la surface (r) des centres de carène , pour former la surface (f ) lieu des centres de carène du nouveau corps flottant (F).

Qu'on se rappelle , maintenant, le théorème général que nous avons fait connaître dans nos Déi^eloppements de géométrie ( I". et a% mémoires y pp. 19 et 77 ) , sur les transformations que les surfaces peuvent subir, sans que leur courbore autour d'un point donné , cesse d'être la même. On verra qu'autour d'un centre primitif de carène y, la courbure de la surface des centres de carène , est aussi restée la même : sous toutes les directions possibles. Par conséquent, la surface primitive (r) conserve un contact du second ordre avec chacune des nonvelles surfaces (f) des centres de carène.

Donc , à partir de la position primitive d'équilibre^ la stabilité du nouveau ^corps flottant restera dans tous les sens , égale à celle du premier corps , si le centre de gravité du nouveaa flotteur est encore à la même hauteur verticale : on remplira cette dernière condition , par une disposition convenable des parties diverses de ce corps flottant.

Dans la transformation générale des ordonnées , par laquelle nous avons passé du flotteur (F) au flotteur (F) , il est facile de voir que les divers points de la surface ($) des flottaisons , auront été transportés par une opération analogue à celle des autres points du système^ pour former la nouvelle surface des flottaisons (ô) (*).

{*) Par-là , nous vojons que la courbure de la surface des flottaisons n*a pas cessé d*étre la uiéme , dans la transposition de tous les points du système. Seulement les rayons et les lignes de courbure de (<^) , au point F qui appartient à la position pri* mitive dVquilibre, ont été transportés parallèlement en f.

STABIUTÉ DES CORPS FI.OTTANTS. 4'

Chaque point F de la surface des flottaisons a donc pu !•'. mémoire. prendre successivement toutes les positions possibles , en conservant sa distance primitive au plan (n). Ainsi , quelle que soit la position du point F qui correspond à la flottaison primitive, tant qu'on ne change, ni la figure de la section faite dans le corps par le plan de flottaison , ni la hauteur des centres G et y , la stabililë doit rester la même, sous toutes les directions possibles.

Voilà pourquoi^ lorsque nous avons cherché la valeur de la stabilité, en fonction de Taire de la flottaison, nous avons pu supposer que le point F se trouvât sur la verticale Gy : sans , pour cela , rien ôter à l'étendue de nos raisonnements et de nos résultats.

Rappelons-nous la grande généralité que (dans la partie déjà citée des Dés^eloppements) nous avons donnée aux transformations dont une surface est susceptible , en ne changeant pas de courbure autour d'un point donné. Alors nous verrons que là même généralité de transformations peut s'appliquer à la '

figure des corps flottants; sans qu'ils cessent de conserver leur stabilité primitive , autour de la position d'équilibre que Ton considère.

Comme Texamen des cas les plus compliqués deviendrait peut-être un objet de pure curiosité , nous nous contenterons d'avoir indiqué le résultat auquel ils doivent conduire , sans entrer dans leur examen détaillé.

Après avoir fait connaître les propriétés les plus remarquables de la surface des centres de carène , revenons à la surface (*) des flottaisons, et déterminons-en les principaux éléments.

{a APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

1». NÉlfOlKE.